Đề THi HSG( có ĐA)

Bài I ( 5,0 điểm) 1. Giải phương trình 2 2 3 3x x x− − = + . 2. Giải hệ phương trình 2 2 2 4 x y x y x y x y  + − − =    − + + =  Bài II ( 5,0 điểm) 1. Tìm tham số m để bất phương trình 2 1 1 4 3 x mx x m + < − + − có tập nghiêm là ¡ . 2. Tìm tham số m để hệ phương trình ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 x y x y m x y  + − − =   + − =   có đúng hai nghiệm phân biệt. Bài III ( 2,0 điểm) Tam thức 2 ( )f x x bx c= + + thỏa mãn 1 ( ) 2 f x ≤ với [ ] 1;1x∀ ∈ − . Hãy tìm các hệ số b và c . Bài IV (2,0 điểm) Cho , ,x y z là ba số thực dương thỏa mãn 1xy yz zx+ + = . Chứng minh rằng ta luôn có: 2 2 2 3 2 1 1 1 x y z x y z + + ≤ + + + . Bài V ( 6,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC trọng tâm G. Các điểm M, N được xác định bởi 1 2 CN BC= uuur uuur ; 3 4 0MA MB+ = uuur uuur r a/ Chứng minh rằng ba điểm G, M, N thẳng hàng . b/ Đường thẳng MN chia tam giác CAN thành hai tam giác. Tính tí số diện tích của hai tam giác đó. 2. Tam giác ABC có các đường phân giác trong AE, BF và CP. Chứng minh rằng ta luôn có: 2 ( )( )( ) EFP ABC S abc S a b b c c a ∆ ∆ = + + + ( với ; ; )BC a AC b AB c= = = . Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT ĐỒNG QUAN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề. Họ và tên thí sinh:………………………… ; Số báo danh:………………………………… ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2010 MÔN:TOÁN Bài ý Nội dung Điểm I(5 đ) 1(2,5đ) Giải phương trình Pt ⇔ ( ) 2 1 4 3x x− − = + . Đặt 3 1,( 1)x y y+ = − ≥ 2 ( 1) 3y x⇒ − = + Ta có hệ phương trình: 2 2 2 ( )( 1) 0 ( 1) 3 ( 1) 3 ( 1) 3 x y x y y x y x x y − + − =  − = +   ⇔   − = + − = +    1,0 • 2 2 3 17 0 ( ) 2 ( 1) 3 3 2 0 3 17 3 17 2 2 x y x y x y y loai y x y y y x =    −  − = =    =  ⇔ ⇔     − = + − − =     + +  = ⇒ =     0,75 • 2 2 1 1 13 1 1 ( ) 2 ( 1) 3 3 0 1 13 1 13 2 2 x y x y x y y loai y x y y y x = −    −  = − = −    =  ⇔ ⇔     − = + − − =     + −  = ⇒ =     KL: Phương trình có hai nghiệm là 3 17 2 x + = và 1 13 2 x − = . 0,75 2(2,5đ) Giải hệ phương trình 2 2 2(1) 4(2) x y x y x y x y  + − − =    − + + =  ĐKXĐ: 2 0; ; .y x y x y≥ ≥ ≥ NX: Ta thấy VT(1) 0 ≥ • pt(1) 2 2 2 2 4 2x x y x y x⇔ − − = ⇔ − = − 2 4 4 x y x ≥  ⇔  = −  1,0 • Thay 4 4y x= − vào pt(2) ta được: 2 2 2 4 4 4 4 4 2 4 4 4x x x x x x x− + + + − = ⇔ − + + − = ( vì 2)x ≥ 2 2 6 5 2 4 4 (6 ) x x x x x ≤  ⇔ ⇔ =  + − = −  Với 5 6. 2 x y= ⇒ = KL: Hệ có nghiệm 5 ( ; ) ;6 . 2 x y   =  ÷   1,5 II(5đ) 1.(2,5đ) Tìm tham số m… • Để bất phương trình có tập nghiệm ¡ ta cần có 2 4 3 0mx x m− + − ≠ với x ∀ ∈ ¡ ( m =0 không thỏa mãn) 2 0 0 1 0 4 3 4 0 m m m m m m ≠ ≠ < −    ⇔ ⇔ ⇔    ∆ < > − + + <    0,5 • Với 1m < − Khi đó ta có 2 4 3 0mx x m− + − < với x∀ ∈¡ Bpt 2 2 1 4 3 5 4 0x mx x m mx x m⇔ + > − + − ⇔ − + − < (1) Bpt có tập nghiệm ¡ 2 (1) 4 41 2 0 4 16 25 0 4 41 2 m m m m  − <   ⇔ ∆ < ⇔ − − > ⇔  + >   Mà 4 41 1 2 m m − < − ⇒ < 1 • Với 4m > Khi đó ta có 2 4 3 0mx x m− + − > với x ∀ ∈ ¡ Bpt 2 2 1 4 3 5 4 0x mx x m mx x m⇔ + < − + − ⇔ − + − > (2) Bpt có tập nghiệm ¡ 2 (2) 4 41 2 0 4 16 25 0 4 41 2 m m m m  − <   ⇔ ∆ < ⇔ − − > ⇔  + >   Mà 4 41 4 2 m m + > ⇒ > KL: 4 41 2 m − < ; 4 41 2 m + > 1 2.(2,5đ Tìm tham số m để hệ có hai nghiệm Hệ pt 2 2 2 2 ( ) 2( ) 2 (1) 4 4 0 ( ) ( 2) (2) y x I x y x y m x m x y y x x y II x m  = −   + − + =   =    ⇔ ⇔ + =    = −     + =     − =   1 NX: Nghiệm của hệ (I) thỏa mãn 0x y+ = và nghiệm của hệ ( )II thỏa mãn 4x y+ = Þ hai hệ không thể có nghiệm chung Þ Hệ phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt pt(1) có hai nghiêm phân biêt và pt(2) vô nghiêm( không xay ra) pt(2) có hai nghiêm phân biêt và pt(1) vô nghiêm( không xay ra) pt(1) và pt(2) có nghiêm kép m=0   ⇔   ⇔  KL: 0m = . 1,5 III2đ Tìm các hệ số ;b c . .• ĐK cần: Ta có 1 1 1 (0) (1) 2 2 2 1 3 1 ( 1) (2) 2 2 2 1 3 1 (1) (3) 2 2 2 f c f b c f b c   ≤ − ≤ ≤       − ≤ ⇔ − ≤ − + ≤ −       ≤ − ≤ + ≤ −     0,5 Từ (2) và (3) 3 1 2 2 c⇒ − ≤ ≤ − kết hợp với (1) 1 2 c⇒ = − Với 1 2 c = − thay vào (2) và (3) ta được 1 0 0 1 0 b b b − ≤ − ≤  ⇒ =  − ≤ ≤  1 .• ĐK đủ: Với 1 0; 2 b c= = − ta có 2 1 ( ) 2 f x x= − 2 1 1 1 0 1 ( ) 2 x x f x− ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ⇒ 1 0; 2 b c= = − thỏa mãn 0,5 2đ Chứng minh bất đẳng thức .• Ta có 2 2 1 ( )( )x x xy yz zx x y x z+ = + + + = + + 2 1 1 2 ( )( ) 1 x x x x y x z x y x z x   ⇒ = ≤ +  ÷ + + + + +   Tương tự ta có 2 1 1 2 1 y y y x y z y   ⇒ ≤ +  ÷ + + +   2 1 1 2 1 z z z x z y z   ⇒ ≤ +  ÷ + + +   1 • 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 x y x z z y VT x y x z z y       ≤ + + + + + =  ÷  ÷  ÷ + + +       Dấu bằng xảy ra 1 3 x y z⇔ = = = 1 V( 6đ) 1(4đ) Chứng minh thẳng hàng…… a/( 2đ) • Ta có 1 1 ( ) 2 2 1 3 (1) 2 2 CN BC AN AC AC AB AN AB AC = ⇔ − = − ⇔ = − + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur • 4 3 4 0 3 4( ) 0 7 MA MB AM AB AM AM AB+ = ⇔ − + − = ⇔ = uuur uuur r uuuur uuur uuuuur r uuuur uuur (2). • G là trong tâm tam giác ABC ( ) 1 3 GA GB GC o AG AB AC⇒ + + = ⇔ = + uuur uuur uuur r uuur uuur uuur (3) 1 E H N K P M G C B A Từ (1) và (2) 15 3 14 2 MN AN AM AB AC⇒ = − = − + uuuur uuur uuuur uuur uuur Từ (2) và (3) 5 1 21 3 MG AG AM AB AC⇒ = − = − + uuuur uuur uuuur uuur uuur 9 , , 2 MN MG M N G⇒ = ⇒ uuuur uuuur thẳng hàng. 1 b/ ( 2đ) • Gọi P MN AC= ∩ và E là trung điểm BC Đặt 1 2 ; NPA NPC S S S S ∆ ∆ = = Kẻ ,( )NH AC H AC⊥ ∈ Khi đó 1 1 2 2 1 1 . ; . 2 2 S PA S PA NH S PC NH S PC = = ⇒ = 1 • Kẻ / / ,( )CK AG K MN∈ Ta có 2 2. 4 PA AG EG EN PC CK CK NC = = = = 1 2 4 S PA S PC ⇒ = = 1 Hết 2(2đ) • Ta có 1 .AF.sin .AF .AF 2 1 .AC .AC.sin 2 APF ABC AP A S AP AP S AB bc AB A ∆ ∆ = = = Áp dụng t/c đường phân giác AP AC b AP b bc AP BP BC a AP PB a b a b = = ⇒ = ⇒ = + + + Tương tự bc AF a c ⇒ = + .AF ( )( ) ( )( ) APF APF ABC ABC S AP bc bc S S S bc a b a c a b a c ∆ ∆ ∆ ∆ ⇒ = = ⇒ = + + + + 1 Hoàn toàn tương tự ta có ( )( ) BPE ABC ac S S a b b c ∆ ∆ = + + và ( )( ) CEF ABC ab S S a c b c ∆ ∆ = + + Mà EF ( ) EFP ABC APF BPE C S S S S S ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = − + + 2 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ABC ABC bc ac ab abc S S a b a c a b b c a c b c a b b c c a ∆ ∆   = − − − =   + + + + + + + + +   1 P F E C B A . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề. Họ và tên thí sinh:………………………… ; Số báo danh:………………………………… ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM ĐỀ. 4x y+ = Þ hai hệ không thể có nghiệm chung Þ Hệ phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt pt(1) có hai nghiêm phân biêt và pt(2) vô nghiêm( không xay ra) pt(2) có hai nghiêm phân biêt và pt(1). −  Với 5 6. 2 x y= ⇒ = KL: Hệ có nghiệm 5 ( ; ) ;6 . 2 x y   =  ÷   1,5 II(5đ) 1.(2,5đ) Tìm tham số m… • Để bất phương trình có tập nghiệm ¡ ta cần có 2 4 3 0mx x m− + − ≠ với x ∀