Đề thi đại học khối A Ngoại thương

ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG ( Đề số 1) –KHỐI A Câu I: 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số 2 2 2 1 x x y x + − = − 2. Tìm điểm M trên đồ thò của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Câu II: 1. Giải hệ phương trình : 3 3 6 6 3 3 1 x x y y x y  − = −   + =   2. Giải và biện luận phương trình : 2 2 2 2 2 4 2 2 5 5 2 x mx x mx m x mx m + + + + + − = + + trong đó m là tham số. 3. Giả sử x và y thì các số thay đổi thoả mãn :x > 0 , y > 0 và x+y=1 .Hãy tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : 1 1 x y P x y = + − − Câu III: Các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện : 1 cos cos cos sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C − = Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông Câu IV: Cho họ đường cong( m C ) có phương trình : 2 2 2 2 1 25 x y m m + = − trong đó m là tham số , 0m ≠ và 5m ≠ ± 1. Tùy theo các giá trò của m ,hãy xác đònh khi nào thì m C là Elip và khi nào thì m C là Hyperbol? 2. Giả sử A là một điểm tuỳ ý trên đường thẳng x =1 và A không thuộc trục hoành .Chứng minh rằng với mỗi điểm A luôn luôn có bốn đường cong của họ (C m ) đi qua A .Hỏi trong số bốn đường cong ( m C ) đó có bao nhiêu Elip và bao nhiêu Hyperbol ? Câu V: 1. Trên mặt phẳng cho thập giác lồi ( hình mười cạnh lồi ) 1 2 10 A A A .Xét tất cả các tam giác mà ba đỉnh của nó là đỉnh của thập giác.Hỏi trong số các tam giác đó , có bao nhiêu tam giác mà cả ba cạnh của nó đều không phải là cạnh của thập giác ? 2. Tính tích phân : 4 6 6 0 sin 4 sin cos x dx x x π + ∫ ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG – KHỐI A + D (ĐỀ SỐ 1) CÂU I: 1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số: 2 2 2 1 x x y x + − = − • TXĐ: D = R\{1} 2 2 ' 2 ( 1) 0 ' 0 2 x x y x x y x − = − =  = ⇔  =  • Tiệm cận đứng: x = 1 vì lim 1x = ∞ → Ta có: 1 3 1 y x x = + + − • Tiệm cận xiên: y = x + 3 vì 1 lim 0 1x x = − → ∞ • BBT: • Đồ thò: 2) Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất. Giao điểm của 2 đường tiệm cận là: I(1,4) Gọi 1 1 , 4 ( )M a a C a   + + + ∈     • Xét a > 0 Ta có: 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 IM a a a a a a a IM   = + + = + + ≥ +     = + ⇒ ≥ + min( ) 2 2 2IM⇒ = + khi 1 1 2 4 2 2 2 a a a = ⇔ = 1 1 1 4 1 , 4 2 4 4 4 2 2 2 a M   ⇔ = ⇒ + + +       Do tính đối xứng nên có 2 điểm M thoả điều kiện bài toán: 1 1 4 1 , 4 2 1 4 4 2 2 1 1 4 1 , 4 2 2 4 4 2 2 M M   + + +         − + −       CÂU II: 1) Giải hệ: 3 3 3 3 (1) 6 6 1 (2) x x y y x y  − = −    + =  Ta có (1): ( ) 3 3 3 0x y x y⇔ − − − = 2 2 3 0 x y x xy y =  ⇔  + + − =   Với x = y thế vào (2) ta có: 1 1 6 6 2 2 1 1 6 6 2 2 x x y y −   = =     ∨   −   = =     Với 2 2 3 0x xy y+ + − = (*) . Từ (2) , 1x y⇒ ≤ Nên (*) 2 2 1x xy y⇔ = = = Không thỏa (2) loại trường hợp này. Vậy hệ có nghiệm là: 1 1 1 1 , ; , 6 6 6 6 2 2 2 2     − −             2) Giải và biện luận: 2 2 2 2 2 4 2 2 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 .5 2 2 2 2 2 2 2 5 1 5 2 x mx x mx m x mx m x mx x mx x mx m x mx m x mx x mx m x mx m + + + + + − = + + + + + + + + ⇔ − = + +   + + + + ⇔ − = + +       . Nếu 2 2 0x mx m+ + > thì vế trái < 0 và vế phải > 0 . Nếu 2 2 0x mx m+ + < thì vế trái > 0 và vế phải < 0 Vậy phương trình 2 2 0x mx m⇔ + + = có 2 ' m m= −V Biện luận: 3) x > 0, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trò nhỏ nhất. 1 1 = + − − x y P x y Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 ' 3 3 2 1 2 3 3 ' 0 2 2 1 2 1 3 2 8 12 6 1 0 1 2 8 8 2 0 2 1 2 − = + − − + ⇒ = − − = ⇔ − = + − ⇔ − + − =   ⇔ − − + =  ÷   ⇔ = x x P x x x x P x x P x x x x x x x x x x x Bảng biến thiên: Vậy 2 min p = khi 1 2 x y= = CÂU III: Các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện: 1 cos cos cos sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C − = (1) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Ta có: (1) ( ) ( ) 4cos cos cos 4 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 sin s in sin 1 cos cos cos 2 cos cos cos 1 sin sin sin 0 2 2 cos cos 2 cos 2sin cos 2 2 2 2 2 2sin cos 0 2 2 2sin cos cos 2cos cos cos 2 2 2 2 2 ⇔ − = ⇔ + + + − + + = ⇔ + + + − + + = + − + − ⇔ + − − = −   ⇔ − + −     A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B A B C A B A B C C C A B C C C 0 2 2 cos cos sin cos 0 2 2 2 2 cos cos 2 2 sin cos 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 π π π π π π −   =     −    ⇔ − − =  ÷ ÷     −   − = =   ⇔ ⇔ − =     =  =     =    =    ⇔ = ⇔ =     =   =    A B A B C C C A B C A B C B A C C C C tg A A B B C C Vậy tam giác ABC vuông. CÂU IV: 2 2 ( ) 1 2 2 25 x y C m m m + = − 1) ( )C m là elip 2 0 5 5 2 5 25 0 m m m m m  > >   ⇔ ⇔ > ⇔   < −   − >  ( )C m là hyperbol 2 0 0 0 5 2 5 5 25 0 m m m m m m  ≠  ≠ ≠    ⇔ ⇔ ⇔    < − < <     − <  2) Lấy A(1, a) thuộc đường thẳng x = 1 và A không thuộc Ox nên a khác 0 Ta có: 2 1 ( ) 1 2 2 25 a A C m m m ∈ ⇔ + = − ( ) 4 2 2 26 25 0 (1)m a m⇔ − + + = Đặt 2 t m= thì (1) là ( ) 2 2 ( ) 26 25 0f t t a t= − + + = Có: 2 1. (25) 25 0 vì a 0 25 0   = − < ≠  = >   f a P Nên f(t) = 0 có 2 nghiệm , 1 2 t t thỏa 0 25 1 2 t t< < < 2 2 0 25 1 2 0 5 1 2 m m m m ⇔ < < < ⇔ < < < Vậy với mỗi điểm A(1, a) luôn có 4 đường cong thuộc họ (Cm) đi qua, trong đó có 2 elip và 2 hyperbol CÂU V: 1) Số tam giác bất kỳ có 3 đỉnh là 3 đỉnh của thập giác là 3 120 10 C = Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của thập giác là: 10 x 6 = 60 (do 1 cạnh có 6 tam giác) Số tam giác có 2 cạnh là cạnh của thập giác là: 10 Vậy có : 120 – 60 – 10 = 50 tam giác thỏa yêu cầu của đề bài toán. 2) (Khối D) Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) = 6 6 sin cosx + x Ta có: 6 6 sin cos 6 6 2 2 sin cos 1 3sin cos 3 2 2 1 sin cos 4 5 3 cos 4 8 8 x x x x x x x x x + + = − = − = + Vậy 5 3 ( ) cos 4 8 8 f x x= + ⇒ Nguyên hàm 5 3 ( ) sin 4 8 32 F x x x c= + + 2) (Khối A) Tớnh 6 6 4 8sin 4 sin cos 0 x I dx x x = + Ta coự: 4 8sin 4 5 3cos 4 0 x I dx x = + ẹaởt t = 5 + 3cos4x 12sin 4dt xdx = ẹoồi caọn: 0 8 2 4 x t x t = = = = 8 8 2 1 2 2 ln ln 4 3 3 3 2 2 I dt t t = = = . ) 1 2 10 A A A .Xét tất cả các tam giác mà ba đỉnh c a nó là đỉnh c a thập giác.Hỏi trong số các tam giác đó , có bao nhiêu tam giác mà cả ba cạnh c a nó đều không phải là cạnh c a thập giác. nhất. Giao điểm c a 2 đường tiệm cận là: I(1,4) Gọi 1 1 , 4 ( )M a a C a   + + + ∈     • Xét a > 0 Ta có: 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 IM a a a a a a a IM   = + + =. ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG ( Đề số 1) –KHỐI A Câu I: 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò c a hàm số 2 2 2 1 x x y x + − = − 2. Tìm điểm M trên đồ thò c a hàm số sao cho khoảng cách