Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc Đề thi KSCL lần II, năm học 2009 -2010 Trờng THPT Văn Quán Môn : Toán , Lớp 12 Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề Họ và tên học sinh :SBD : Phòng thi: Câu I. (2,5 điểm) Cho h m số 3 4 3 1= +y x x (C) 1, Khảo sát và vẽ đồ thị h m số. 2, Giả sử A là một điểm trên (C) có hoành độ 1 = A x và d là đờng thẳng qua A có hệ số góc m. Hãy xác định m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác A. Câu II. (2 điểm) 1, Giải phơng trình : 3 3 sin . osx - cos x.sinx = 0x c 2, Gii phng trình : x x x 6.4 13.6 6.9 0 + = Câu III . (2 điểm) 1, Giải hệ phơng trình : 2 2 3 3 3 3 2( ) 3( ) 6 x y x y xy x y + = + + = 2, Tính : 1 1 8ln .ln e x x dx x + Câu IV.(2,5 điểm) 1, Trong không gian Oxyz cho A(1;-1;1) ,B(3;0;4) và C(2;-1;2). Viết phơng trình mặt phẳng (ABC). 2, Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. Mặt phẳng (AHK) cắt SC tại M. Tính thể tích của khối chóp S.AHMK. Câu V. (1 điểm) Cho , , 0 1 a b c a b c > + + = Chứng minh rằng: 1 1 1 1 . 1 . 1 64 a b c + + + ữ ữ ữ Hết (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Đáp án Câu ý Nội dung Điểm I 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị m = 0, y=x 3 -3x 2 +) TX D =R 2 0 ' 3 6 , ' 0 2 = = = = x y x x y x Hàm số đồng biến trên ( ;0) và(2; ) + Hàm số nghịch biến trên (0;2) Hàm số có một giá trị cực đại tại x = 0 : y C =y(0)=0, Hàm số có một giá trị cực đại tại x = 0 : y CT =y(2)= - 4. lim , lim x x y y + = + = +)BBT x - 0 2 + y + 0 - 0 + y 0 + - -4 +) Vẽ đồ thị : Ct trc Oy ti: (0;0). Ct trc Ox tai: (0;0),(3;0). y=6x-6, y=0 x=1 = y Điểm uốn : I() f(x)=x*x* x-3*x*x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y 2 Tỡm m phng trỡnh: 3 2 2 3x x m = cú 4 nghim phõn bit. 3 3 2 2 2 2 3 3x x m x x m = = (1) Phng trỡnh (1) cú 4 nghim phõn bit khi v ch khi: th hm s y = |x| 3 3x 2 ct th hm s y=-m 2 ti 4 im phõn biệt. Căn cứ vào đồ thị hàm số y = |x| 3 – 3x 2 thì phương trình (1) có 4 nghiệm 2 0 4 0 2 2 m m m ≠ ⇔ − < − < ⇔ − < < f(x)=abs(x*x*x)-3*x *x f(x)=-2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y II. 1 Giải phương trình: 3 2 2 os ( ) 3 osx-sinx=0 4 π − −c x c (cosx+sinx) 3 -3cosx-sinx=0 ⇔ (1+2sinx.cosx)(sinx+cosx)-3cosx-sinx=0 ⇔ 2cos 2 x(sinx-cosx)=0 osx=0 tanx=1 ⇔ c 2 π π = +x k hoặc 4 π π = +x k III 1 a) Vì 1 1 ( 2 1)( 2 1) 1 2 1 ( 2 1) 2 1 − + − = ⇒ − = = + + nên − − + − ⇔ + ≥ + x 1 x 1 x 1 bpt ( 2 1) ( 2 1) − ⇔ − ≥ − + x 1 x 1 x 1 do 2 1 1+ > 2 x 1 (x 1)(x 2) 0 x 1 x 1 − ≤ < − − + ⇔ ≥ ⇔ + ≥ IV Vì AC vuông góc BB’ ⇒ phương trình AC: 2x+y+m=0 A AC ∈ ⇒ 2+m=0 ⇒ m=-2 Phương trình AC: 2x+y-2=0 Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 0 ( 1;4) 3 1 0 x y C x y + − = ⇒ − + − = Tương tự phương trình AB: x-3y-1=0 Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình: 3 1 0 ( 5; 2) 2 1 0 x y B x y − − = ⇒ − − − + = 2 2 2 ( 6; 2); ( 2;4). 1 . ( . ) 2 ABC AB AC S AB AC AB AC = − − = − = − uuur uuur uuur uuur uuur uuur Vậy diện tích tam giác ABC = 14 đvdt. V Gọi H là trung điểm của AB . Ta có A’H ⊥ (ABC) .Kẻ HE ⊥ AC thì · = o A'EH 45 là góc giữa hai mặt (AA’C’C) và (ABC) . Khi đó : A’H = HE = a 3 4 ( bằng 1 2 đường cao ∆ ABC) . Do đó : = = 2 3 a 3 a 3 3a V . ABC.A'B'C' 4 4 16 3 Phương trình: 1 5 25 log (5 1).log (5 5) 2 1 x x m + + + = + có nghiệm(1,0đ) (log 5 (5 x +1)+1) log 5 (5 x +1)=4m+2 (1) Đặt t=log 5 (5 x +1)( t>1). 0,25đ (1) ⇔ phương trình: t 2 +2t=4m+2 có nghiệm t>1. 0,25đ Hàm số f(t)=t 2 +2t đồng biến với mọi t>1. 0,25đ Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi: 1 4 2 3 4 m m+ > ⇔ > 0,25đ III Tính diện tích tam giác ABC (1,0đ) Vì AC vuông góc BB’ ⇒ phương trình AC: 2x+y+m=0 A AC∈ ⇒ 2+m=0 ⇒ m=-2 Phương trình AC: 2x+y-2=0 Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 0 ( 1;4) 3 1 0 x y C x y + − = ⇒ − + − = 0,25đ Tương tự phương trình AB: x-3y-1=0 Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình: 3 1 0 ( 5; 2) 2 1 0 x y B x y − − = ⇒ − − − + = 0,25đ 2 2 2 ( 6; 2); ( 2;4). 1 . ( . ) 2 ABC AB AC S AB AC AB AC = − − = − = − uuur uuur uuur uuur uuur uuur 0,25đ Vậy diện tích tam giác ABC = 14 đvdt. 0,25đ IV Phương trình: (n+1)x n+2 -3(n+2)x n+1 + a n+2 = 0 vô nghiệm.(1,0đ) Xét hàm số f(x)= (n+1)x n+2 -3(n+2)x n+1 + a n+2 f’(x)=(n+1)(n+2)x n+1 -3(n+1)(n+2)x n f’(x)=0 3x ⇔ = , '( ) 0 3 '( ) 0 3 f x x f x x > ⇔ > < ⇔ < 0,25đ x - ∞ 3 + ∞ f’(x) - 0 + f(x) a n+2 - 3 n+2 0,25đ Vậy min f(x)= a n+2 - 3 n+2 >0( Vì a>3, n là số tự nhiên). f(x)>0 với mọi x 0,25đ ⇒ phương trình (n+1)x n+2 -3(n+2)x n+1 + a n+2 = 0 vô nghiệm. 0,25đ V 2 9 (1 )(1 )(1 ) 256 y x x y + + + ≥ .(1,0đ) Theo BĐT Côsi: 3 4 3 4 3 4 3 1 1 4 . 3 3 3 27 1 1 4 . 3 3 3 27 9 3 3 3 27 1 1 4 ( ) x x x x x y y y y y x x x x x y y y y y + = + + + ≥ + = + + + ≥ + = + + + ≥ 0,5đ Vậy: 2 9 (1 )(1 )(1 ) 256 y x x y + + + ≥ 0,25đ Dấu bằng sảy ra khi: 3 9 x y = = 0,25đ . ĐT Vĩnh Phúc Đề thi KSCL lần II, năm học 2009 -2010 Trờng THPT Văn Quán Môn : Toán , Lớp 12 Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề Họ và tên học sinh :SBD : Phòng thi: Câu I. (2,5. 64 a b c + + + ữ ữ ữ Hết (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Đáp án Câu ý Nội dung Điểm I 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị m = 0, y=x 3 -3x 2 +) TX D =R 2 0 '