De Toan 8

Bài 1 ( 3 điểm ) a. Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x 4 - 6x 3 + 27x 2 - 54x +32 b. A , p dụng chứng minh với mọi số nguyên n giá trị cả biểu thức A là số chẵn A = n 4 -6n 3 +27n 2 -54n +32 là số chẵn Bài 2 ( 4 điểm ) Cho hai biểu thức : 3 2 2 3 2 2 4 8 4 8 16 16 3 2 : 2 8 4 2 1 x x x x x x A x x x x x x + + + = ì ì ữ + + + + + 2 3 2 1 x x B x + = a. Rút gọn A , B b. Với giá trị nào của x thì A + B có giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị lớn nhất đó . Bài 3 ( 4 điểm ) a) Giải phơng trình : 18 1 4213 1 3011 1 209 1 222 = ++ + ++ + ++ xxxxxx b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : A = 3 + + + + + cba c bca b acb a Bài 4. ( 3 điểm ) Cho hình chữ nhật ABCD ,vẽ BH vuông góc với AC (H AC) . Gọi M,N lần l- ợt là trung điểm của các đoạn thẳng AH và CD. Chứng minh : BM MN Bài 5 ( 4 điểm ) Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 60 0 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và E . Chứng minh : a) BD.CE= 4 2 BC b) DM,EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi. Bài 6 ( 2 điểm ) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dơng và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Đáp án và thang điểm Bài Nội dung điểm Bài 1 3 điểm a, Phân tích đa thức thành nhân tử : (1,5 đ) A = x 4 - 6x 3 + 27x 2 - 54x +32 =(x - 1)(x 3 - 5x 2 +22x -32) 1 đ 1 Đề kiểm tra chọn nguồn học sinh giỏi Môn toán 8 Năm học 2009 2010 (Thời gian làm bài 120 phút ) 0,5 đ = ( x - 1)( x 2 )( x 2 -3x + 16) b. A , p dụng chứng minh với mọi số nguyên n giá trị cả biểu thức A là số chẵn : 1,5 đ Với n Z giá trị cả biểu thức: A = n 4 -6n 3 +27n 2 -54n +32 A = ( n - 1)( n 2 )( n 2 -3n + 16) 0,5 đ n Z => n 1 , n 2 Z => ( n - 1); ( n 2 ) là hai số nguyên liên tiếp 0,5 đ => ( n - 1)( n 2 ) 2 => ( n - 1)( n 2 ) = 2 k với k Z => A = 2k.( n 2 -3n + 16) => A là số chẵn 0,5 đ Bài 2 4 điểm a. Rút gọn A : ( 1,5 đ ) ĐKXĐ 1 2x và x 3 2 2 3 2 2 4 8 4 8 16 16 3 2 : 2 8 4 2 1 x x x x x x A x x x x x x + + + = ì ì ữ + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 4 1 2 4 16 : 2 2 1 2 x x x x x A x x x x x + + + + ữ = ì ữ + + + + + 0,25 đ 0,25 đ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 16 2 16 1 2 x x x A x x x + + + = ì ì + + + 0,5 đ 2 1 1 x A x x + = + + 0,5 đ Rút gọn B : ( 1 đ ) ĐKXĐ 1 x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 1 2 2 1 1 1 x+2 = x 1 x x x x B x x x x x + + = = + + + + b. Tìm giá trị nhỏ nhất của A + B : 1, 5đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 2 Với ĐKXĐ 1 2x và x ta có 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 3 2 4 x x A B x x x x A B x x A B x + + + = + + + + + + = + + + = + + ữ 0,25 đ 0,25 đ Vì 2 1 3 3 4 2 4 4 3 x + + = ữ 1 do đó : A + B 3 4 0,5 đ Vậy giá trị lớn nhất của A + B là 4 1 x =- 3 2 1 Khi đó x + = 0 nê n 2 ( thoả mãn ĐK) 0,5 đ Bài 3 4 điểm a) Giải ph ơng trình : 2 điểm Phân tích các mẫu : x 2 +9x+20 =(x+4)(x+5) ; x 2 +11x+30 =(x+6)(x+5) ; x 2 +13x+42 =(x+6)(x+7) ; ĐKXĐ : 7;6;5;4 xxxx 0,5 đ Phơng trình trở thành : 18 1 )7)(6( 1 )6)(5( 1 )5)(4( 1 = ++ + ++ + ++ xxxxxx <=> 18 1 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1 = + + + + + + + + xxxxxx 0,5 đ 0,5 đ 3 <=> 18 1 7 1 4 1 = + + xx <=> 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) <=> (x+13)(x-2)=0 Từ đó tìm đợc x=-13; x=2; 0,75 đ 0,2 5đ Đối chiếu ĐK có S = { -13; 2 } b. Chứng minh rằng :2 điểm A = 3 + + + + + cba c bca b acb a Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Từ đó suy ra 2 ; 2 ; 2 yx c zx b zy a + = + = + = ; 0,5 Thay vào ta đợc +++++= + + + + + = )()()( 2 1 222 y z z y x z z x y x x y z yx y zx x zy A A'p dụng tính chất a 2 + b 2 2ab => 2 z y ;2 z x ; 2 +++ y z x z y x x y Từ đó suy ra )222( 2 1 ++ A hay A 3 0,25đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ Bài 4 3 diểm *Gọi E là trung điểm của BH Dễ thấy tứ giác MECN là hình bình hành MN// EC * c/m E là trực tâm tam giác MBC: do AB BC 0,25đ 1,5đ 1,0 đ 4 ME //AB ME BC E là trực tâm của tam giácMBC * CEMB MNMB 0,25 đ Bài 5 4 điểm a. chứng minh BD.CE= 4 2 BC : 1,5 đ Trong tam giác BDM ta có : 1 0 1 120 MD = Vì 2 M =60 0 nên ta có : 1 0 3 120 MM = Suy ra 31 MD = Chứng minh BMD CEM (1) Suy ra CE CM BM BD = , từ đó BD.CE=BM.CM Vì BM=CM= 2 BC , nên ta có BD.CE= 4 2 BC b.C/m : DM,EM lần l ợt là tia phân giác của các góc BDE và CED.(1 điểm ) Từ (1) suy ra EM MD CM BD = mà BM=CM nên ta có EM MD BM BD = Chứng minh BMD MED Từ đó suy ra 21 DD = , do đó DM là tia phân giác của góc BDE Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED c) C/m : Chu vi tam giác ADE không đổi. (1 điểm ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK Tính chu vi tam giác bằng 2AH; Kết luận. 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 5 3 2 1 2 1 x y E D M C B A Bài 6 2 điểm Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z (x, y, z là các số nguyên dơng ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x 2 + y 2 = z 2 (2) Từ (2) suy ra z 2 = (x+y) 2 -2xy , thay (1) vào ta có : z 2 = (x+y) 2 - 4(x+y+z) z 2 +4z =(x+y) 2 - 4(x+y) z 2 +4z +4=(x+y) 2 - 4(x+y)+4 (z+2) 2 =(x+y-2) 2 , suy ra z+2 = x+y-2 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4) <=> xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 Từ đó ta tìm đợc các giá trị của x , y , z là : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 d 0,25 đ 0,5 đ 0,25đ 0,25 đ 0,25 đ 0, 25 đ *Chú ý mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa 6 . : xy=2(x+y+x+y-4) <=> xy-4x-4y= -8 (x-4)(y-4) =8= 1 .8= 2.4 Từ đó ta tìm đợc các giá trị của x , y , z là : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y =8, z=10) ; (x =8, y=6,z=10) 0,25 d 0,25 đ 0,5. 18 1 )7)(6( 1 )6)(5( 1 )5)(4( 1 = ++ + ++ + ++ xxxxxx <=> 18 1 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1 = + + + + + + + + xxxxxx 0,5 đ 0,5 đ 3 <=> 18 1 7 1 4 1 = + + xx <=> 18( x+7)- 18( x+4)=(x+7)(x+4) . -6n 3 +27n 2 -54n +32 là số chẵn Bài 2 ( 4 điểm ) Cho hai biểu thức : 3 2 2 3 2 2 4 8 4 8 16 16 3 2 : 2 8 4 2 1 x x x x x x A x x x x x x + + + = ì ì ữ + + + + + 2 3 2 1 x x B x +