DE khao sat DT tinh 2009 - 2010

UBND huyện Lục Ngạn Phòng giáo dục và đào tạo Đề khảo sát đội tuyển HSG cấp tỉnh Năm học 2009-2010 Môn : Toán 9 Thời gian l m b i: 150 phút Ngày kiểm tra: 8/3/2010 Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức A = + + + a aa a a a a 1 4 1 1 1 1 a) Rút gọn A. b) Tính A với a = (4 + 15 )( 10 - 6 ) 154 Câu 2: (3 điểm) 1. Cho phơng trình: 2 4 0x mx = (1) a) CMR phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 2 2 1 2 2( ) 7x x A x x + + = + . c) Tìm các giá trị nguyên của m sao cho hai nghiệm của phơng trình đều là nghiệm nguyên 2. Giải hệ phơng trình sau: 6 y 5 x 4 xy 8 107 x 3 2 y 1 y 5 1 x 1 =+ =+ + Câu 3. (1 điểm) Chứng minh rằng số: P = n 6 n 4 + 2n 3 + 2n 2 trong đó n N v n > 1 không phải là số chính phơng Câu 4. (3 điểm) Cho ABC . đờng phân giác trong của góc BAC cắt cạnh BC tại D . Xét đờng tròn (0) thay đổi nhng luôn đi qua điểm A ,D và không tiếp xúc với các đờng thẳng AB, AC đờng tròn này cắt các đờng thẳng AB , AC tơng ứng tại M ,N .Gọi K là giao điểm các đờng thẳng vuông góc với DM tại M và đờng thẳng vuông góc với DN tại N . a. Chứng minh: Điểm K nằm trên đờng tròn (O). b. Chứng minh: K luôn thuộc một đờng thẳng cố định c. Xác định vị trí của đờng tròn (O) để đoạn MN nhỏ nhất Câu 5. ( 1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 3 + y 3 + xy, Biết rằng: x + y = 1. Hết UBND huyện Lục Ngạn Phòng giáo dục và đào tạo Hớng dẫn chấm bài khảo sát đội tuyển HSG cấp tỉnh năm học 2009 - 2010 Môn : Toán 9 Câu ý Nội dung Điểm Ghi chú 1 a Biến đổi đợc A = 4 a 1,25 2.0 b Tính đợc D F K E N M O A B C a = (4 15). 2.( 5 3). 4 15 (4 15).( 5 3).( 5 3) 2.(4 15).(4 15) 2 + = + = + = Vậy P = 8 0,75 2 1 a) Ta có phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có 2 16 0m = + > với mọi m => Đ.P.C.M b) Theo định lý vi et ta có: 1 2 1 2 . 4 x x m x x + = = Vậy P = 2 2 7 8 m m + + Xét P 1 = 2 2 ( 1) 8 m m + 0 => P 1 => P lớn nhất bằng 1 đạt đợc m = 1 c) Để phơng trình (1) có nghiệm nguyên thì 2 16m = + là số chính phơng 2 16m = + = k 2 (k m).(k + m) = 16 k - m, k + m là ớc của 16. Lại do k m và k + m là hai số cùng tính chẵn, lẻ => ta có bảng sau k m 2 4 8 k + m 8 4 2 m -3 0 3 Thử lại ta có các giá trị cần tìm của m thoả mãn đề bài là: m = -3; m = 0; m = 3 0,5 0.75 0,75 3 2 d) Biến đổi hệ phơng trình thành: 1 1 3 4 5 6 x y x y + = + = Giải hệ này đợc: 1 9 1 6 x y = = 0,25 0,5 3 P = n 6 n 4 + 2n 3 + 2n 2 = n 2 .(n + 1) 2 .(n 2 -2n +2) Giả sử n 2 - 2n + 2 = k 2 . Giải ra ta có n = 1 trái đề bài n > 1. Vậy P không thể là số chính phơng với mọi số tự nhiên n, n > 1 0.5 0.5 1 4 a ã ã 0 0 Do 90 & 90 ( )DMK DNK gt= = mà D thuộc (O) nên DK là đờng kính của (O) => K thuộc đờng tròn (đpcm) 1 3 b Theo CM trên ta có ã 0 90DAK = (Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) => KA AD Mà AD cố định => K thuộc đờng thẳng cố 1 ®Þnh vu«ng gãc víi AD c KÎ DE; DF lÇn lît vu«ng gãc víi AB; AC CM ®îc DEF DMN ∆ ∆ :  1 MN DM EF DE = ≥ (V× DM ≥ DE) => MN ≥ DE. Mµ DE cè ®Þnh => MN nhá nhÊt  M trïng E  (O) nhËn AD lµ ®êng kÝnh 0,5 0,5 5 Ta cã: P = (x + y).(x 2 - xy + y 2 ) + xy = (x + y) 2 ( ) 3x y xy   + −   + xy  P = 1 – 2xy = 1 – 2x( 1 – x) 2x 2 - 2x + 1 = ……. ≥ 1 2 => P nhá nhÊt b»ng 1 2 ®¹t ®îc  x = y = 1 2 0,5 0,5 1 . thẳng cố 1 ®Þnh vu«ng gãc víi AD c KÎ DE; DF lÇn lît vu«ng gãc víi AB; AC CM ®îc DEF DMN ∆ ∆ :  1 MN DM EF DE = ≥ (V× DM ≥ DE) => MN ≥ DE. Mµ DE cè ®Þnh => MN nhá nhÊt  M trïng. giáo dục và đào tạo Đề khảo sát đội tuyển HSG cấp tỉnh Năm học 200 9- 2010 Môn : Toán 9 Thời gian l m b i: 150 phút Ngày kiểm tra: 8/3 /2010 Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức A = + + + a aa a a a a. Lục Ngạn Phòng giáo dục và đào tạo Hớng dẫn chấm bài khảo sát đội tuyển HSG cấp tỉnh năm học 2009 - 2010 Môn : Toán 9 Câu ý Nội dung Điểm Ghi chú 1 a Biến đổi đợc A = 4 a 1,25 2.0 b Tính đợc