KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2009-2010 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài thi: 180 phút Ngày thi: 24/11/2009 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu 1: (4 đ) Tìm tất cả các giá trị của tham số m, sao cho phương trình: 3 2 3 4 0x mx− + = có ba nghiệm phân biệt và các nghiệm đều nhỏ hơn 4. Câu 2: (4 đ) Giai hệ phương trình: Câu 3: (4 đ) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V. Điểm M thuộc miền trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M, song song với DA, DB, DC, theo thứ tự cắt mặt phẳng (DBC), (DCA), (DAB) tương ứng ở 1 1 1 , ,A B C . 1) Chứng minh: 1 1 1 1 MA MB MC DA DB DC + + = 2) Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện 1 1 1 MA B C khi M thay đổi. Câu 4: (4 đ) Cho hàm số : ,f R R→ thỏa mãn ( ( )) ( ) ( ) , ; ; .f xy f z f x f y z x y z R− = − ∀ ∈ Chứng minh: 1/ ( ) ( ) ( ), ; .f xy f x f y x y R= ∀ ∈ 2/ ( ) ( ) ( ), ; .f x y f x f y x y R+ = + ∀ ∈ 3/ f đồng biến trên R. Câu 5: (4 đ) Cho số nguyên dương n. Gọi M là tập số tự nhiên (viết trong hệ thập phân) có n chữ số, các chữ số lớn hơn 1 và không có hai chữ số khác nhau cùng nhỏ hơn 7 đứng liền nhau. 1/ Chứng minh: trong M, số các số có tận cùng 2 bằng số các số có tân cùng 3. 2/ Tính số phần tử của M theo n. HẾT 1 1 { x y x y xy + = + = −