CHỦ ĐỀ 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Vấn đề 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ ( các bước làm bài toán ) Hàm số bậc ba : 3 2 y ax bx cx d= + + + Hàm số bậc bốn : 4 2 y ax bx c= + + Hàm số ax b y cx d + = + ( ) 0, 0c ad bc≠ − ≠ • Tập xác đònh : D = R • Đạo hàm : y’= . . . . . y’= 0 ⇔ x = ? lim ? x y →−∞ = lim ? x y →+∞ = • Bảng biến thiên : ⇒ Các khỏang đồng biến , nghòch biến , điểm cực đại , điểm cực tiểu . • y’’= . . . . . y’’= 0 ⇔ x = ? Bảng xét dấu y’’: ⇒ Các khỏang lồi , lõm , điểm uốn . • Vẽ đồ thò : • Tập xác đònh : D = R\ d c − • Đạo hàm : y’= ( ) 2 ad bc cx d − + ' 0y⇒ > ( hoặc y’<0 ) , x D ∀ ∈ y’ không xác đònh d x c ⇔ = − • Tiệm cận : . Tiệm cận đứng : d x c = − .Tiệm cận ngang : a x c = • Bảng biến thiên : ⇒ Các khỏang đồng biến (hoặc nghòch biến ) . Hàm số không có cực trò • Vẽ đồ thò : Bài tập : 1/ Khảo sát các hàm số : a/ y= 3 2 2 1x x x− + + b/ y= 3 2 3 3 1x x x− + − − c/ y= 4 2 1 3 4 2 x x− + d/ y= 4 2 3 2 2 x x+ − e/ y= 4 2 x− f/ y = 3 2 x x − − g/ 2 2 2 1 x x y x − + = − h/ 2 2 1 x x y x + − = + Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Chú ý : • y’ (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x 0 ; y 0 ) • Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì y’ (x 0 ) = a • Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì y’ (x 0 ) = a 1 − Bài tập : 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = 2 1 x x − + tại giao điểm của nó với trục hoành 3/ Cho hàm số y = 132 3 2 3 ++− xx x có đồ thò ( C ) .Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) : a/ Tại điểm có hoành độ x 0 = 2 1 b/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x – 1 Phương trình tiếp tuyến với (C) của đồ thò hàm số y = f ( x) tại điểm M (x 0 ; y 0 ) là: y – y 0 = y’ (x 0 ) . ( x – x 0 ) Trong phương trình trên có ba tham số x 0 ; y 0 ; y’(x 0 ) .Nếu biết một trong ba số đó ta có thể tìm 2 số còn lại nhờ hệ thức : y 0 = f (x 0 ) ; y’(x 0 )= f ’(x 0 ) 4/ Cho hàm số y = 4 2 2 3x x− − có đồ thò ( C ) .Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) : a/ Tại giao điểm của ( C ) và trục tung . b/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 24 x +1 Vấn đề 3 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Bài toán: Dựa vào đồ thò ( C) của hàm số y =f(x) , Biện luận số nghiệm của phương trình : F(x , m ) = 0 ( với m là tham số ). Cách giải : Vấn đề 4:TÌM GÍA TRỊ LỚN NHẤT – GÍA TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Bài toán: Tìm giátrò lớn nhất – giá trò nhỏ nhất của hàm số y= f (x) trên Khoảng (a ; b ) Đoạn [a;b ] • Tính y’ • Lập bảng biến thiên trên (a ; b ) • Kết luận : ( ) ; max CD a b y y= hoặc ( ) ; min CT a b y y= • Tính y’ • Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm ( ) 0 ;x a b∈ • Tính y (x 0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn nhất M , kết luận : [ ] ; max a b y M= Chọn số nhỏ nhất m , kết luận : [ ] ; min a b y m= Bài tập 5/Tìm GTLN- GTNN củahàm số sau trên mỗi tập tương ứng : a/ ( ) 3 2 2 3 12 1f x x x x= − − + trên 5 2; 2 − b/ ( ) 2 .lnf x x x= trên [ ] 1;e c/ ( ) 4 1 2 f x x x = − + − + trên [ ] 1; 2− e/ xxy 2 cos+= trên ] 2 ;0[ π f/ 2 4).2( xxy −+= trên tập xác đònh g/ y = x 3 + 3x 2 - 9x – 7 trên [ - 4 ; 3 ] h/ y = x + 2 1 1x − trên ( ) 1; +∞ m/ y= 2 cos 2 4sinx x+ trên 0; 2 π 6/ Tìm tiệm cận của đồ thò các hàm số sau : 1/ y = 2 1 2 x x − + 2/ y = 3 2 3 1 x x − + 3/ y = 2 2 3 6 5 x x x + − − 4/ y = 5 2x − + 5/ 2 2 2 3 1 x x y x + − = − CHỦ ĐỀ 2 : HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARÍT 1/ Phương trình mũ- lôgarít cơ bản : Dạng a x = b ( a> 0 , 0a ≠ ) • b ≤ 0 : pt vô nghiệm • b>0 : log x a a b x b= ⇔ = Dạng log a x b= ( a> 0 , 0a ≠ ) • Điều kiện : x > 0 • log b a x b x a= ⇔ = 2/Bất phương trình mũ- lôgarít cơ bản : • Chuyển phương trình : F(x , m ) = 0 về dạng : f(x) = h(m) (*) • Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của ( C) và đường thẳng (d) : y= h (m) • Dựa vào đồ thò (C ) , ta có kết quả : ( . Nếu (d) và (C ) có n giao điểm thì (*) có n nghiệm đơn . . Nếu (d) và (C ) có 0 giao điểm thì (*) vô nghiệm . . Nếu (d) và (C ) tiếp xúc với nhau tại m điểm thì (*) có m nghiệm kép ). Dạng a x > b ( a> 0 , 0a ≠ ) • b ≤ 0 : Bpt có tập nghiệm R • b>0 : . log x a a b x b> ⇔ > , khi a>1 . log x a a b x b> ⇔ < , khi 0 < a < 1 Dạng log a x b> ( a> 0 , 0a ≠ ) • Điều kiện : x > 0 • log b a x b x a> ⇔ > , khi a >1 log b a x b x a> ⇔ < , khi 0 < x < 1 3/ Cách giải :Đưa về cùng cơ số – Đặt ẩn phụ Bài tập 7/ Giải các phương trình : 1/ 1 2 3 1 2 3 3 3 9.5 5 5 x x x x x x+ + + + + + + = + + 2/ 2.16 x - 17.4 x + 8 = 0 3/ log 4 (x +2 ) = log 2 x 4/ 4 8 2 5 3 4.3 27 0 x x+ + − + = 5/ 1 1 4 6.2 8 0 x x+ + − + = 6/ ( ) 3 3 log log 2 1x x+ + = 7/ 2 3 3 7 7 11 11 7 x x− − = ÷ ÷ 8/ 2 5 4 1 4 2 x x− + = ÷ 9/ 1 1 3 3 10 x x+ − + = 10/ 4 7 log 2 log 0 6 x x− + = 11/ log 02log.3 2 1 2 3 =++ xx 12/ 9 4log log 3 3 x x + = 13/ lnx + ln(x+1) = 0 14/ 3.25 x + 2. 49 x = 5. 35 x 15/ 3 27 9 81 1 log 1 log 1 log 1 log x x x x + + = + + 8 / Giải các bất phương trình : 1/ 2 3 2 4 x x− + < 2/ 16 4 6 0 x x − − ≤ 3/ ( ) 1 3 log 1 2x − ≥ − 4 / ( ) ( ) 3 9 log 2 log 2x x+ > + 5/ 2 ( ) ( ) 3 1 3 log 4 3 log 2 3 2x x− + + ≤ 6/ 4 16 3log 4 2log 4 3log 4 0 x x x + + ≤ CHỦ ĐỀ 3 : KHỐI ĐA DIỆN , MẶT CẦU VÀ MẶT TRÒN XOAY Cần nhớ :1/ Tam giác đều cạnh a có : Đường cao h = 3 2 a và diện tích S = 2 3 4 a 2/ Hình vuông cạnh a có : Đường chéo 2a và diện tích S = 2 a Bài tập 9/ Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Tính thể tích của khối chóp biết : a/ Cạnh bên 2a b/ Góc SAC bằng 45 0 c/ Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 0 10/ a/Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác ABC .A’B’C’ có A’A, AB, BC vuông góc nhau từng đôi một và A’A= 2a, AB = a, BC= a 3 b/ Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có đáy là tam giác đều cạnh a . điểm A’ cách đều ba điểm A ,B ,C ,cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 0 . Tính thể tích của khối lăng trụ. • Thể tích của khối lăng trụ : V = B. h ( B : diện tích đáy , h là chiều cao ) • Thể tích của khối hộp chữ nhật : V = a.b.c ( a,b,c là ba kích thước ) • Thể tích của khối lập phương : V = a 3 (a: cạnh ) • Thể tích của khối chóp : V = 1 3 B. h ( B : diện tích đáy , h là chiều cao ) c/ Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính thể tích của khối lăng trụ. 11/ Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA ⊥ (ABC) , SA= a 5 . Tính thể tích của khối chóp đó Bài tập 12/ Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón biết : a/ Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a . b/ Đường sinh bằng a , góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60 0 c/ Bán kính đáy r = 12 và góc ở đỉnh là 120 0 13/ Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ biết a/ Một hình trụ có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là một hình vuông b/ Bán kính đáy a , chiều cao 2a 14/Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , SA vuông góc ABCD. a/ Xác đònh mặt cầu đi qua S , A ,B , C, D . b/ Tính diện tích của mặt cầu biết AB = a , AD = 2a , SA = 3a . 15/ (Đại học khối A – 2006 ) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ , bán kính đáy bằng chiều cao và bằ.Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a . Tính thể tích khối tứ diện OO’AB . • Hình nón có : Diện tích xung quanh xq S rl π = - Thể tích 2 1 . . 3 V r h π = • Hình trụ có :Diện tích xung quanh 2 xq S rl π = - Thể tích 2 . .V r h π = ( l : đường sinh, r : bán kính đáy, h : đường cao ) • Mặt cầu có : Diện tích S = 4 π R 2 - Thể tích V = 3 4 3 r π