Đồ Án cơ sở ngành (ee4057) phân tích trường Điện từ bằng phương pháp sai phân hữu hạn miền thời gian

Hình 1.2: Phân bố điện từ trường của một Yee cellÁp dụng công thức vi phân này vào hệ phương trình Maxwell đã nói ở trên và rời rạchoá không gian cần mô phỏng thành những ô có kích thước

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ĐỒ ÁN CƠ SỞ NGÀNH (EE4057)

Phân tích trường điện từ bằng phương pháp

sai phân hữu hạn miền thời gian

Giảng viên hướng dẫn: TS Hoàng Mạnh Hà

Sinh viên thực hiện: Võ Phạm Minh Hiển MSSV: 2010264

Tp Hồ Chí Minh – 2024

Trang 2

Mục lục

1.1 Khái niệm sai phân hữu hạn trong miền thời gian: 2

1.1.1 Hệ phương trình MaxWell: 2

1.1.2 Tính toán đạo hàm bằng phương pháp sai phân hữu hạn: 3

1.2 FTDT trong không gian ba chiều: 4

1.3 Xây dựng môi trường mô phỏng: 9

1.3.1 Thiết lập các thông số về không gian mô phỏng: 10

1.3.2 Thiết lập các thông số hình học: 12

1.3.3 Thiết lập nguồn và các linh kiện điện tử: 13

1.3.4 Thiết lập các thông số đầu ra: 15

1.4 Các linh kiện chủ động và thụ động: 16

1.4.1 Nguồn áp: 17

1.4.2 Nguồn dòng: 20

1.4.3 Điện trở: 23

1.4.4 Tụ điện: 25

1.4.5 Cuộn cảm: 27

1.4.6 Diodes: 30

1.5 Lấy mẫu trong không gian mô phỏng: 34

1.5.1 Lấy mẫu điện áp: 34

1.5.2 Lấy mẫu dòng điện: 37

1.5.3 Lấy mẫu điện từ trường: 39

1.6 Vòng lặp tính toán FDTD: 40

1.6.1 Cập nhật thành phần từ trường: 41

1.6.2 Ghi nhận mẫu thành phần từ trường: 41

1.6.3 Ghi nhận mẫu dòng điện: 42

Trang 3

1.6.4 Cập nhật thành phần điện trường: 42

1.6.5 Cập nhật thành phần điện trường tại nguồn áp: 43

1.6.6 Cập nhật thành phần điện trường tại nguồn dòng: 44

1.6.7 Cập nhật thành phần điện trường tại cuộn dây: 44

1.6.8 Cập nhật thành phần điện trường tại diode: 45

1.6.9 Ghi nhận mẫu thành phần điện trường: 46

1.6.10 Ghi nhận các mẫu điện áp: 47

2 NGUỒN SÓNG VÀ BIẾN ĐỔI GIỮA MIỀN THỜI GIAN VỚI MIỀN TẦN SỐ: 48 2.1 Nguồn kích thích: 48

2.1.1 Nguồn sóng Sin: 48

2.1.2 Nguồn sóng dạng Gaussian: 49

2.1.3 Nguồn sóng dạng đạo hàm chuẩn của Gaussian: 52

2.1.4 Nguồn sóng dạng điều chế cosine của Gaussian: 53

2.2 Biến đổi Fourier: 56

3 S-PARAMETERS: 58 4 Mô phỏng: 61 4.1 Điện trở được kích thích bởi nguồn áp: 61

4.2 Diodes được kích thích bởi nguồn áp: 62

4.3 Tụ điện được nạp bởi nguồn áp: 64

4.4 Biến đổi Fourier sang miền tần số và biến đổi ngược lại sang miền thời gian: 65 4.5 Mạch RCL được kích thích bằng nguồn áp dạng sóng Gaussian được điều chế bằng hàm cosine: 66

4.6 Hệ số scattering của mạch lọc vi dải tương đương mạch lọc thông thấp: 70 4.7 Biến áp một phần tư bước sóng: 73

5 Kết luận 76 5.1 Mục tiêu đã đạt được 76

5.2 Hướng phát triển của đề tài 76

Trang 4

Danh sách hình minh họa

1.1 Đạo hàm tại trung tâm 3

1.2 Phân bố điện từ trường của một Yee cell 4

1.3 Các thông số để khai báo khối vật thể: 12

1.4 Mô hình nguồn áp với điện trở trong RS và nguồn áp không có điện trở trong 17

1.5 Mô hình nguồn áp với điện trở trong RS 20

1.6 Mô hình tụ điện với điện dung C 25

1.7 Mô hình cuộn dây với độ tự cảm L 28

1.8 Mô hình diode trong không gian 30

1.9 Phương trình f (x) và các giá trị x0, x1, x2, xn đang tiến đến giá trị x để f (x) = 0 33

1.10 Phần thể tích lấy mẫu điện áp nằm giữa hai tấm PEC theo phương z 36

1.11 Bề mặt được bao quanh bởi các thành phần từ trường và phần dòng điện đi xuyên qua nó 38

1.12 Thành phần từ trường và điện trường theo phương y xung quanh node (i, j, k) 39

2.1 Tín hiệu (sin(2 ∗ pi ∗ t), 0 < t < 4) 49

2.2 Dạng sóng Gaussian trong miền thời gian 50

2.3 Dạng sóng Gaussian trong miền tần số 51

2.4 Dạng sóng Gauss bị dịch đi t0 trong miền thời gian 51

2.5 Dạng sóng đạo hàm chuẩn xung Gaussian trong miền thời gian 53

2.6 Dạng sóng đạo hàm chuẩn xung Gaussian trong miền tần số 54

2.7 Dạng sóng Gaussian được điều chế bằng hàm cosine trong miền thời gian 55 2.8 Dạng sóng Gaussian được điều chế bằng hàm cosine trong miền tần số 55 3.1 Mô hình mạch điện có N port 59

4.1 Mô hình điện trở đặt giữa 2 tấm PEC được kích thích bởi nguồn áp 61

4.2 Điện áp lấy mẫu giữa hai tấm PEC 62

Trang 5

4.3 Cường độ dòng điện lấy qua điện trở 63

4.4 Mô hình diode mắc giữa hai tấm PEC được kích thích bởi nguồn áp 63

4.5 Điện áp lấy mẫu giữa hai đầu diode 64

4.6 Tụ điện được nạp bởi nguồn áp 64

4.7 Điện áp giữa hai đầu tụ điện 65

4.8 Hàm g(t) gốc 67

4.11 Mô hình mạch RLC với nguồn áp 3D 67

4.9 Hàm G(ω) với biên độ phổ và pha 68

4.12 Mô hình mạch điện RCL với nguồn áp 2D 68

4.10 Hàm F−1(G(ω)) được biến đổi ngược từ G(ω) 69

4.13 Điện áp lấy mẫu mạch RLC 69

4.14 Phổ biên độ và tần số tại V0 70

4.15 Mô hình 3D của mạch vi dải 71

4.16 Kích thước các khối mô phrong 2D 71

4.17 Hệ số phản xạ của mạch vi dải 72

4.18 Hệ số phát xạ của mạch vi dải 72

4.19 Điện áp tại port 2 của mạch vi dải 73

4.20 Các thông số của máy biến áp một phần tư bước sóng và mô hình 3D gồm có thành phần triệt tiêu được bao quanh mô hình 74

4.21 Hệ số scattering S11 75

4.22 Hệ số scattering S21 75

Trang 6

Lời cảm ơn

Em xin gửi lời cảm ơn đến TS Hoàng Mạnh Hà, người đã định hướng và giúp đỡ emrất nhiều để em có thể hoàn thành đồ án này Thầy đã tạo điều kiện để em có cơ hộitìm hiểu về phương pháp mô phỏng trường điện từ trong không gian, hướng dẫn sử dụngcông cụ Matlab.Thầy đã giúp em có cái nhìn sâu sắc và hoàn thiện hơn từ lý thuyết bàihọc đến những vấn đề thực tiễn trong cuộc sống Nhưng lời nhận xét, góp ý và chỉ dẫntận tình của thầy đã giúp chúng em có một định hướng đúng đắn trong suốt quá trìnhthực hiện đồ án Trong quá trình tìm hiểu và viết báo cáo cho đề tài này, có nhiều kiếnthức em không thể hiểu trọn vẹn nên sẽ tồn tại những sai sót và hạn chế nhất định Do

đó, đồ án này không thể tránh được những thiếu sót, rất mong nhận được sự cảm thông

và góp ý từ quý thầy cô và bạn đọc

TP.HCM, tháng 5 năm 2024

Võ Phạm Minh Hiển

Trang 8

Sau khi khai triển toán tử vi phân từng phần ∇ (Nabla) trong toạ độ không gian Descartes(x, y, z) ta được hệ phương trình sau:

Có ba dạng đạo hàm là đạo hàm cận trên, cận dưới và đạo hàm tại trung tâm Trongphương pháp này ta tập trung sử dụng phương pháp đạo hàm tại trung tâm với côngthức như sau:

f′(x) ≈ f (x + ∂x − f (x − ∂x)

Hình 1.1: Đạo hàm tại trung tâm

Trang 9

Hình 1.2: Phân bố điện từ trường của một Yee cell

Áp dụng công thức vi phân này vào hệ phương trình Maxwell đã nói ở trên và rời rạchoá không gian cần mô phỏng thành những ô có kích thước ∂x, ∂y, ∂z để tính toán cácgiá trị điện từ trường

Như đã đề cập ở trên thì phương pháp FDTD rời rạc hoá cả không gian và thời giantrong quá trình tính toán Năm 1966, Kane Yee đã đặt tên cho từng không gian được rờirạc hoá là Yee cell Nếu xem môi trường mô phỏng có dạng hình hộp chữ nhật thì toàn

bộ không gian này được lấp đầy bởi các Yee cell với số lượng (Nx, Ny, Nz) và tại mỗi ônày chứa các thành phần điện trường và từ trường được phân bố như hình bên dưới:

Ta quay lại công thức (1.7) được để cập ở trên:

Trang 10

Exn+1(i, j, k) = 2εx(i, j, k) − ∆tσ

e

x(i, j, k)2εx(i, j, k) + ∆tσe

Trang 11

Khai triển tương tự như trên cho đầy đủ cả từ trường và điện trường cho không gian

ba chiều từ 6 phương trình MaxWell, ta được 6 thành phần điện từ trường được xâydựng bởi công thức với các hệ số được đặt như sau:

z (i, j, k) − Hn+

1 2

z (i, j − 1, k)

+ Cexhy(i, j, k) ×Hn+

1 2

z (i, j, k) − Hn+

1 2

z (i, j, k − 1)+ Cexj(i, j, k) × Jn+

1 2

1

z (i, j, k) − Hn+

1

z (i − 1, j, k)+ Ceyj(i, j, k) × Jn+

1 2

y (i, j, k) − Hn+

1 2

y (i − 1, j, k)

+ Cezhx(i, j, k) ×Hn+

1 2

x (i, j, k) − Hn+

1 2

x (i, j − 1, k)+ Cezj(i, j, k) × Jn+

1 2

iz (i, j, k)

(1.22)

Trang 12

Ceze(i, j, k) = 2εz(i, j, k) − ∆tσ

e

z(i, j, k)2εz(i, j, k) + ∆tσe(i, j, k)

Trang 13

Hzn+ (i, j, k) = Chzh(i, j, k) × Hzn− (i, j, k)

+ Chzex(i, j, k) × (Exn(i, j + 1, k) − Exn(i, j, k))+ Chzey(i, j, k) × Eyn(i + 1, j, k) − Eyn(i, j, k)+ Chzm(i, j, k) × Mizn(i, j, k)

Trang 14

Bắt đầu

Thiết lập môi trường mô phỏng và các thông số

Tính toán các hệ số

Tính toán thành phần từ trườngtại thời điểm (n + 0, 5).∆t

Tính toán thành phần điệntrường tại thời điểm (n + 1).∆t

Áp dụng các điều kiện biên

Tăng thời gian lên 1 bước, n => n + 1

n = Nstep?Dừng

Dữ liệu ra

SaiĐúng

Như đã nói ở trên thì việc thiết lập môi trường ban đầu trong mô phỏng là phần mà ta

sẽ xây dựng cho từng bài toán khác nhau Để chạy toàn bộ mô phỏng trên MATLAB, ta

sẽ chạy chương trình chính như sau:

1 d i s p ( ' d e f i n i n g the problem space parameters ' ) ;

Trang 15

Chúng ta sẽ phân tích rõ hơn từng subroutine bên trong chương trình chính để biết

rõ chức năng và cách hoạt động của chúng xuyên suốt báo cáo này

Thiết lập các thông số như tổng số bước thời gian mô phỏng, kích thước thực tế của(dx, dy, dz), các thông số điều kiện biên Các loại vật liệu khác nhau cũng được khai báonhư: Không khí, PEC (Perfect electric conductor), PMC (Perfect magnetic conductor),

1 % maximum number o f t i m e s t e p s t o run FTDT s i m u l a t i o n

number_of_time_step quyết định số bước thời gian mô phỏng, courant_factor sẽ là

hệ số để tính dt trong phần khởi tạo các thông số phía sau từ c (vận tốc ánh sáng) và

Trang 16

các giá trị dx, dy, dz được khai báo ở đây theo công thức:

trong đó ϵ0 = 8.854187817e − 12 và µ0 = 4 ∗ pi ∗ 1e − 7 lần lượt là độ điện thẩm và độ

từ thẩm trong chân không, c là vận tốc án sáng và dt là bước thời gian mà ta sẽ sử dụng

để tính toán trong mô phỏng

Trang 17

áp các thông số này lên vật liệu.

Thiết lập các thông số về hình dạng và vật liệu của các khối vật thể để đại diện cho cácbiên hay các linh kiện trong không gian mô phỏng, ở đây ta sử dụng hai hình khối chính

là hình hộp chữ nhật và hình cầu, với các thông số cần khai báo của hình hộp chữ nhật

là toạ độ của 2 điểm nằm ở hai góc của khối hộp và toạ độ tâm cùng với bán kính đốivới đường tròn Sau đó là khai báo loại vật liệu bên trong khối đó

Hình 1.3: Các thông số để khai báo khối vật thể:

1 b r i c k s = [ ] ;

Trang 18

1.3.3 Thiết lập nguồn và các linh kiện điện tử:

Khai báo các thông số liên quan đến các linh kiện cơ bản có trong mô phỏng như nguồn

áp nguồn dòng, điện trở, cuộn cảm, tụ điện, diode Các thông số cho từng linh kiện cầnđược khai báo bao gồm vị trí, giá trị điện trở, điện dung, độ từ thẩm, biên độ, dạng sóng,tần số,

Trang 20

1.3.4 Thiết lập các thông số đầu ra:

Thiết lập các thông số về tốt độ lấy mẫu vẽ đồ thị (plotting_step), tuỳ chọn nhữngoption trong mô phỏng như hiển thị lưới vật liệu, không gian khảo sát, Thiết lập miềntần số gồm tần số bắt đầu, kết thúc và bước tần số Đặc biệt là khai báo các thành phầnlấy mẫu bao gồm điện áp, dòng, điện trườn và từ trường tại những vị trí và hướng khácnhau Trong phần S-parameters còn khai báo các port để hỗ trợ trong việc tính toán hệ

Trang 21

Trong các mạch điện ứng dụng thì ta luôn thấy có những thành phần linh kiện điện tử

cơ bản như điện trở, tụ điện, cuộn cảm, diode, nguồn áp, nguồn dòng, Dòng điện chạytrong mạch được biểu diễn dưới dạng mật độ dòng ⃗Ji trong phương trình MaxWell (1.5)

Trang 22

1.4.1 Nguồn áp:

Từ công thức khai triển của phương trình MaxWell (1.22) cho thành phần Ez

Ezn+1(i, j, k) = Ceze(i, j, k) × Ezn(i, j, k)

Hn+

1 2

x (i, j, k) − Hn+

1 2

x (i, j − 1, k)

+ Cezj(i, j, k) × Jn+

1 2

node(i, j, k)

node(i, j, k + 1)

I

−+ VS

node(i, j, k)Hình 1.4: Mô hình nguồn áp với điện trở trong RS và nguồn áp không có điện trở trong

Dưới đây là đoạn chương trình để tạo mô hình nguồn áp trong không gian:

1 % v o l t a g e s o u r c e s

2 f o r i n d = 1 : number_of_voltage_sources

3 i s = round ( ( v o l t a g e _ s o u r c e s ( i n d ) min_x − fdtd_domain min_x) /dx ) +1;

4 j s = round ( ( v o l t a g e _ s o u r c e s ( i n d ) min_y − fdtd_domain min_y) /dy ) +1;

5 k s = round ( ( v o l t a g e _ s o u r c e s ( i n d ) min_z − fdtd_domain min_z) /dz ) +1;

6 i e = round ( ( v o l t a g e _ s o u r c e s ( i n d ) max_x − fdtd_domain min_x) /dx ) +1;

7 j e = round ( ( v o l t a g e _ s o u r c e s ( i n d ) max_y − fdtd_domain min_y) /dy ) +1;

8 ke = round ( ( v o l t a g e _ s o u r c e s ( i n d ) max_z − fdtd_domain min_z) /dz ) +1;

Trang 23

Listing 1.2: initialize_sources_and_lumped_elements.m đối với nguồn áp

Khi ta đặt một nguồn dòng giữa hai vị trí (i, j, k) và (i, j, k + 1) như hình trên thìcường độ dòng điện chạy qua 2 điểm này có công thức:

Kết hợp các phương trình trên và thay vào phương trình (1.34) ở trên, ta được:

Ezn+1(i, j, k) = Ceze(i, j, k) ∗ Ezn(i, j, k)

+ Cezhy(i, j, k) ∗ (Hn+

1 2

y (i, j, k) − Hn+

1 2

y (i − 1, j, k))+ Cezhx(i, j, k) ∗ (Hn+

1 2

x (i, j, k) − Hn+

1 2

x (i, j − 1, k))+ Cezs(i, j, k) ∗ Vn+

1 2

S (i, j, k)

(1.39)

Với các hệ số trong công thức trên là:

Trang 24

Đây là đoạn chương trình dùng để cập nhật các hệ số của nguồn áp:

16 / ( 2 ∗ eps_0∗eps_r_x ( f i ) + dt ∗sigma_e_x ( f i ) + a_term ) ;

17 Cexhz ( f i ) = ( 2 ∗ dt /dy ) / ( 2 ∗ eps_r_x ( f i ) ∗eps_0 + dt ∗sigma_e_x ( f i ) + a_term ) ;

18 Cexhy ( f i ) = −(2∗dt /dz ) / ( 2 ∗ eps_r_x ( f i ) ∗eps_0 + dt ∗sigma_e_x ( f i ) + a_term ) ;

25 / ( 2 ∗ eps_0∗eps_r_y ( f i ) + dt ∗sigma_e_y ( f i ) + a_term ) ;

26 Ceyhx ( f i ) = ( 2 ∗ dt /dz ) / ( 2 ∗ eps_r_y ( f i ) ∗eps_0 + dt ∗sigma_e_y ( f i ) + a_term ) ;

27 Ceyhz ( f i ) = −(2∗dt /dx ) / ( 2 ∗ eps_r_y ( f i ) ∗eps_0 + dt ∗sigma_e_y ( f i ) + a_term ) ;

Trang 25

34 / ( 2 ∗ eps_0∗eps_r_z ( f i ) + dt ∗sigma_e_z ( f i ) + a_term ) ;

35 Cezhy ( f i ) = ( 2 ∗ dt /dx ) / ( 2 ∗ eps_r_z ( f i ) ∗eps_0 + dt ∗sigma_e_z ( f i ) + a_term ) ;

36 Cezhx ( f i ) = −(2∗dt /dy ) / ( 2 ∗ eps_r_z ( f i ) ∗eps_0 + dt ∗sigma_e_z ( f i ) + a_term ) ;

Trên hình (1.5) ta có thể thấy nguồn dòng với biên độ IS và điện trở trong RS Trong đó

IS là giá trị dòng được tạo như một hàm biến đổi theo thời gian được ta định nghĩa tuỳtheo nguồn dòng Trong khi đó giá trị I còn phụ thuộc thêm vào hiệu điện thế ∆V giữahai node (i, j, k) và (i, j, k + 1) theo công thức sau:

node(i, j, k)

IS

Inode(i, j, k + 1)

RS+

−

∆V

Hình 1.5: Mô hình nguồn áp với điện trở trong RS

Dưới đây là đoạn chương trình để tạo mô hình nguồn áp trong không gian:

1 % c u r r e n t s o u r c e s

2 f o r i n d = 1 : number_of_current_sources

3 i s = round ( ( c u r r e n t _ s o u r c e s ( i n d ) min_x − fdtd_domain min_x) /dx ) +1;

Trang 26

4 j s = round ( ( c u r r e n t _ s o u r c e s ( i n d ) min_y − fdtd_domain min_y) /dy ) +1;

5 k s = round ( ( c u r r e n t _ s o u r c e s ( i n d ) min_z − fdtd_domain min_z) /dz ) +1;

6 i e = round ( ( c u r r e n t _ s o u r c e s ( i n d ) max_x − fdtd_domain min_x) /dx ) +1;

7 j e = round ( ( c u r r e n t _ s o u r c e s ( i n d ) max_y − fdtd_domain min_y) /dy ) +1;

8 ke = round ( ( c u r r e n t _ s o u r c e s ( i n d ) max_z − fdtd_domain min_z) /dz ) +1;

Listing 1.4: initialize_sources_and_lumped_elements.m đối với nguồn dòng

Ta thấy khi triển của (1.41) sẽ tương tự như nguồn áp, lúc này ta có thể tính đượcgiá trị Ezn+1 theo công thức tính được như sau:

1 2

y (i, j, k) − Hn+

1 2

y (i − 1, j, k))+ Cezhx(i, j, k) ∗ (Hn+

1 2

x (i, j, k) − Hn+

1 2

x (i, j − 1, k))+ Cezs(i, j, k) ∗ In+

1 2

S (i, j, k)

(1.42)

Trang 27

Đây là đoạn chương trình dùng để cập nhật các hệ số của nguồn dòng:

Trang 28

z như sau:

1 2

y (i, j, k) − Hn+

1 2

y (i − 1, j, k))+ Cezhx(i, j, k) ∗ (Hn+

1 2

x (i, j, k) − Hn+

1 2

x (i, j − 1, k))

(1.43)

3 i s = round ( ( r e s i s t o r s ( i n d ) min_x − fdtd_domain min_x) /dx ) +1;

4 j s = round ( ( r e s i s t o r s ( i n d ) min_y − fdtd_domain min_y) /dy ) +1;

5 k s = round ( ( r e s i s t o r s ( i n d ) min_z − fdtd_domain min_z) /dz ) +1;

6 i e = round ( ( r e s i s t o r s ( i n d ) max_x − fdtd_domain min_x) /dx ) +1;

7 j e = round ( ( r e s i s t o r s ( i n d ) max_y − fdtd_domain min_y) /dy ) +1;

8 ke = round ( ( r e s i s t o r s ( i n d ) max_z − fdtd_domain min_z) /dz ) +1;

Trang 29

Listing 1.6: initialize_sources_and_lumped_elements.m đối với điện trở

Đây là đoạn chương trình dùng để cập nhật các hệ số của điện trở:

33 r e s i s t o r s ( i n d ) f i e l d _ i n d i c e s = f i ;

Trang 30

iz (i, j, k) = C∆z

∆t∆x∆y ∗ (En+1

z (i, j, k) + Ezn(i, j, k)) (1.46)

node(i, j, k)C

Inode(i, j, k + 1)

+

−

∆V

Hình 1.6: Mô hình tụ điện với điện dung C

Dưới đây là đoạn chương trình để tạo mô hình tụ điện trong không gian:

1 % c a p a c i t o r s

2 f o r i n d = 1 : n u m b e r _ o f _ c a p a c i t o r s

3 i s = round ( ( c a p a c i t o r s ( i n d ) min_x − fdtd_domain min_x) /dx ) +1;

4 j s = round ( ( c a p a c i t o r s ( i n d ) min_y − fdtd_domain min_y) /dy ) +1;

5 k s = round ( ( c a p a c i t o r s ( i n d ) min_z − fdtd_domain min_z) /dz ) +1;

6 i e = round ( ( c a p a c i t o r s ( i n d ) max_x − fdtd_domain min_x) /dx ) +1;

7 j e = round ( ( c a p a c i t o r s ( i n d ) max_y − fdtd_domain min_y) /dy ) +1;

8 ke = round ( ( c a p a c i t o r s ( i n d ) max_z − fdtd_domain min_z) /dz ) +1;

9 c a p a c i t o r s ( i n d ) i s = i s ;

10 c a p a c i t o r s ( i n d ) j s = j s ;

Trang 31

Listing 1.8: initialize_sources_and_lumped_elements.m đối với tụ điện

Từ công thức trên, ta có thể tính toán được giá trị Ezn+1 như sau:

1 2

y (i, j, k) − Hn+

1 2

y (i − 1, j, k))+ Cezhx(i, j, k) ∗ (Hn+

1 2

x (i, j, k) − Hn+

1 2

x (i, j − 1, k))

(1.47)

Trang 32

12 f i = c r e a t e _ l i n e a r _ i n d e x _ l i s t ( eps_r_x , i s : i e −1, j s : je , ks : ke ) ;

13 a_term = ( 2 ∗C∗dx ) /( dy∗dz ) ;

14 Cexe ( f i ) = ( 2 ∗ eps_0∗eps_r_x ( f i ) − dt ∗sigma_e_x ( f i ) + a_term )

.

iz (i, j, k) = Jn−

1 2

iz (i, j, k) + ∆t∆z

L∆x∆y ∗ En

z(i, j, k) (1.50)

Trang 33

node(i, j, k)L

Inode(i, j, k + 1)

+

−

∆V

Hình 1.7: Mô hình cuộn dây với độ tự cảm L

Dưới đây là đoạn chương trình để tạo mô hình cuộn dây trong không gian:

1 % i n d u c t o r s

2 f o r i n d = 1 : number_of_inductors

3 i s = round ( ( i n d u c t o r s ( i n d ) min_x − fdtd_domain min_x) /dx ) +1;

4 j s = round ( ( i n d u c t o r s ( i n d ) min_y − fdtd_domain min_y) /dy ) +1;

5 k s = round ( ( i n d u c t o r s ( i n d ) min_z − fdtd_domain min_z) /dz ) +1;

6 i e = round ( ( i n d u c t o r s ( i n d ) max_x − fdtd_domain min_x) /dx ) +1;

7 j e = round ( ( i n d u c t o r s ( i n d ) max_y − fdtd_domain min_y) /dy ) +1;

8 ke = round ( ( i n d u c t o r s ( i n d ) max_z − fdtd_domain min_z) /dz ) +1;

Listing 1.10: initialize_sources_and_lumped_elements.m đối với cuộn dây

Từ các công thước trên ta có thể tính được giá trị Ezn+1 bằng công thức sau:

Trang 34

1 2

y (i, j, k) − Hn+

1 2

y (i − 1, j, k))+ Cezhx(i, j, k) ∗ (Hn+

1 2

x (i, j, k) − Hn+

1 2

x (i, j − 1, k))+ Cezj(i, j, k) ∗ Jn+12(i, j, k)

(1.51)

e

z(i, j, k)2εz(i, j, k) + ∆tσe(i, j, k)

Trang 35

1.4.6 Diodes:

Biến đổi FDTD cho các công thức của các linh kiệm điện tử được trình bày trong cácphần trước đó Những thành phần mạch điện này được đặc trưng bởi mối quan hệ tuyếntính của điện áp và dòng, và nó được thực hiện bằng cách rời rạc những thành phần

cả không gian và thời gian Tuy nhiên, một trong những điểm mạnh của phương phápFDTD là nó có thể mô hình hoá cả những linh kiện phi tuyến tính rất tốt Ở đây linhkiện được ta đề cập tới là Diode

node(i, j, k)

Id

Inode(i, j, k + 1)

+

−

∆V

Hình 1.8: Mô hình diode trong không gian

Hình (1.8) phác hoạ mô hình diode đặt giữa hai node trong không gian, diode nàycho dòng chạy theo phương z với cường độ dòng điện Id được biểu diễn bởi công thức:

I = Id= I0[e

qVd kT

với q là độ lớn của electron, đơn vị là coulombs, k là hằng số Boltzmann và T là nhiệt

độ tuyệt đối Kelvins Công thức trên với Vd= ∆V = ∆zEz được biểu diễn dưới dạng rờirạc không thời gian là:

Trang 36

Sử dụng công thức trên thay vào công thức (1.39) ta có được:

Ezn+1(i, j, k) + σ

e

z(i, j, k)∆t2εz(i, j, k) E

n+1

z (i, j, k) = Ezn(i, j, k) − σ

e

z(i, j, k)∆t2εz(i, j, k) E

x (i, j, k) − Hn+

1 2

1 % d i o d e s

2 f o r i n d = 1 : number_of_diodes

3 i s = round ( ( d i o d e s ( i n d ) min_x − fdtd_domain min_x) /dx ) +1;

4 j s = round ( ( d i o d e s ( i n d ) min_y − fdtd_domain min_y) /dy ) +1;

5 k s = round ( ( d i o d e s ( i n d ) min_z − fdtd_domain min_z) /dz ) +1;

6 i e = round ( ( d i o d e s ( i n d ) max_x − fdtd_domain min_x) /dx ) +1;

7 j e = round ( ( d i o d e s ( i n d ) max_y − fdtd_domain min_y) /dy ) +1;

8 ke = round ( ( d i o d e s ( i n d ) max_z − fdtd_domain min_z) /dz ) +1;

Listing 1.12: initialize_sources_and_lumped_elements.m đối với diode

Công thức (1.54) trên ta có thể viết lại như sau:

Trang 37

y (i, j, k) − Hn+

1 2

y (i − 1, j, k)+ Cezhx∗Hn+

1 2

x (i, j, k) − Hn+

1 2

x (i − 1, j, k)+ Cezd(i, j, k)

Ceze(i, j, k) = −2εz(i, j, k) − ∆tσ

e

z(i, j, k)2εz(i, j, k) + ∆tσe

z(i, j, k)

Cezhy(i, j, k) = − 2∆t

(2εz(i, j, k) + ∆tσe(i, j, k)) ∆x

Cezhx(i, j, k) = 2∆t

(2εz(i, j, k) + ∆tσe(i, j, k)) ∆y

Cezd(i, j, k) = − 2∆tI0

(2εz(i, j, k)∆x∆y + ∆tσe(i, j, k)∆x∆y)Đây là đoạn chương trình dùng để cập nhật các hệ số của diode:

Trang 38

Phương trình (1.55) có thể được tính bằng cách sử dụng phương pháp Raphson, là phương pháp được sử dụng phổ biến để giải những phương trình phi tuyến.Phương pháp này là vòng lặp sử dụng điểm ban đầu ở gần nghiệm và đạo hàm của nó

Newton-để tiến dần đến nghiệm Hình 1.9 cho ta một ví dụ đơn giản về việc tìm giá trị x sao cho

f (x) = 0 bằng cách tìm đạo hàm tại vị trí x0 ban đầu để xác định x1 sao cho f′(x0) = 0,tiếp tục tìm đạo hàm hàm tại x1 để tìm x2 sao cho f′(x1) = 0 và cứ lặp lại như vậy, ta

sẽ tiến dần đến nghiệm của phương trình

Hình 1.9: Phương trình f (x) và các giá trị x0, x1, x2, xn đang tiến đến giá trị x để

f (x) = 0

Ta có thể tính được x1 như sau:

x1 = x0− f (x0)

Trang 39

Sau đó tiếp tục tìm x2 từ x1 tương tự:

Đây là một phương pháp rất thuận tiện để giải phương trình (1.55) ở trên, vì vậy ta

sẽ tạo một chương trình con để giải phương trình này cho riêng trường hợp phi tuyếncủa linh kiện diode

Lấy mẫu hay đo giá trị tức thời tại một hay nhiều điểm trong không gian về điện áp,dòng điện hay điện từ trường là mục đích của phương pháp FDTD nhằm khảo sát cácgiá trị này biến đổi liên tục trong miền thời gian, từ đó có thể biến đổi sang miền tần sốbằng cách biến đổi Fourier và các hệ số scattering để khảo sát phổ của những mạch điệnhay những môi trường cụ thể tuỳ mục đích Dưới đây là phần trình bày về việc lấy mẫucác giá trị điện áp, dòng điện, từ trường và điện trường trong không gian

Lấy mẫu điện áp cũng được mô hình tương tự như những linh kiện điện tử, nó có dạngnhững hình khối hộp chữ nhật Điện áp ở đây được tính dựa trên điện từ trường xungquanh phần thể tích mà ta lấy mẫu trong suốt quá trình vòng lặp tính toán các giá trịđiện từ trường

Ví dụ ta xem xét phần thể tích khối hộp được định nghĩa giữa hai node (is, js, ks))

và (ie, je, ke), phần thể tích này nằm giữa hai tấm PEC Giá trị điện áp trung bình củaphần thể tích này có thể được tính dựa trên công thức:

Trang 40

V = − E ∗ ⃗⃗ dl (1.59)

Dấu tích phân này đại diện cho tổng những thành phần rời rạc trong không gian Ta

có ví dụ về hình (1.10), điện áp giữa hai đầu phần thể tích này theo phương z có thểđược biểu diễn như sau:

Tuy nhiên trong hình (1.10) ta có thể thấy tổng các thành phần điện trường theo phương

z này gồm có các cell xung quanh theo cả phương x và y Vì vậy mà phần điện áp trungbình này được tính theo công thức:

Tiêu đề	Phân Tích Trường Điện Từ Bằng Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn Miền Thời Gian
Tác giả	Võ Phạm Minh Hiển
Người hướng dẫn	TS. Hoàng Mạnh Hà
Trường học	Đại Học Bách Khoa
Chuyên ngành	Cơ sở ngành
Thể loại	đồ án
Năm xuất bản	2024
Thành phố	Tp. Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	82
Dung lượng	3,97 MB