BÀI TẬP LỚN MÔN XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU ĐỀ TÀI THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ

Do đó,việc thiết kế và ứng dụng bộ lọc số trở thành một phần không thể thiếu trong quá trình xử lý tín hiệu để cải thiện chất lượng và đảm bảo tính chính xác của thông tin.. Các bộlọc số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

···☼···

BÀI TẬP LỚN MÔN

XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU

ĐỀ TÀI 3: THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ

Nhóm:13 - Lớp L01 - Giảng viên: PGS TS Hà Hoàng Kha

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2024

BÁO CÁO PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ VÀ KẾT QUẢ

Trần Thái Bảo 2210279 Thiết kế bộ lọc thông

Đoàn Ngọc Sang 2212901 Thiết kế bộ lọc thôngdải IIR 20%

Phan Thành Sang 2212913 Thiết kế bộ lọc thôngcao FIR 20%

Võ Đức Tài 2213005 Thiết kế bộ lọc thôngthấp FIR 20%

Võ Tuấn Thành 2213152 Thiết kế bộ lọc thôngcao IIR 20%

Mục lục

Lời mở đầu 1

Chương 1: Cơ sở lý thuyết 3

1 Bộ lọc số lý tưởng 3

1.1 Bộ lọc thông cao lý tưởng 3

1.2 Bộ lọc thông thấp lý tưởng 4

1.3 Bộ lọc thông dải lý tưởng 6

2 Bộ lọc số FIR (Finite Impulse Response): bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn 7

3 Bộ lọc IIR 9

3.1 Phương pháp xung bất biến 10

3.2 Phương pháp biến đổi song tuyến tính 11

3.3 Phương pháp tương đương vi phân 13

Chương 2: Các phương pháp thiết kế bộ lọc 15

1 Thiết kế bộ lọc FIR 15

1.1 Thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp cửa sổ 15

1.2 Thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp lấy mẫu tần số 17

2 Thiết kế bộ lọc IIR 18

2.1 Thiết kế bộ lọc Butterworth 18

2.2 Thiết kế bộ lọc Chebyshev loại 1 21

2.3 Thiết kế bộ lọc Chebyshev loại 2 23

2.4 Dịch tần bộ lọc tương tự 26

Chương 3: Mô phỏng và phân tích các bộ lọc 27

1 Thiết kế bộ lọc thông thấp FIR bằng phương pháp cửa sổ 27

2 Thiết kế bộ lọc FIR thông cao bằng phương pháp lấy mẫu tần số 29

3 Thiết kế bộ lọc IIR – Butterworth thông thấp 30

4 Thiết kế bộ lọc IIR – Butterworth thông cao 32

5 Thiết kế bộ lọc IIR thông dải 34

Chương 4: Kết luận 40

1 So sánh các bộ lọc IIR 40

2 So sánh bộ lọc FIR và IIR 42

Lời kết thúc 45

Lời mở đầu

Trong thời đại kỹ thuật số ngày nay, việc xử lý và phân tích tín hiệu số đóng vai tròquan trọng trong rất nhiều lĩnh vực kỹ thuật và khoa học, từ viễn thông, âm thanh, hìnhảnh, đến các ứng dụng trong y học, công nghiệp, và quân sự Các tín hiệu này có thể là

âm thanh, hình ảnh, video hoặc tín hiệu từ các cảm biến, trong đó các yếu tố không mongmuốn, như tạp âm hoặc nhiễu, có thể ảnh hưởng đến chất lượng của tín hiệu gốc Do đó,việc thiết kế và ứng dụng bộ lọc số trở thành một phần không thể thiếu trong quá trình xử 

lý tín hiệu để cải thiện chất lượng và đảm bảo tính chính xác của thông tin

Bộ lọc số là công cụ quan trọng trong việc điều chỉnh đặc tính tần số của tín hiệu số,giúp loại bỏ các thành phần không cần thiết và giữ lại những thành phần có ích Các bộlọc số có thể được chia thành nhiều loại, bao gồm bộ lọc thông thấp (low-pass filter),thông cao (high-pass filter), dải thông (band-pass filter) và dải chặn (band-stop filter).Mỗi loại bộ lọc này có những ứng dụng đặc thù tùy thuộc vào mục đích và yêu cầu xử lýtín hiệu

Bộ lọc thông thấp thường được sử dụng để loại bỏ tạp âm có tần số cao, trong khi bộlọc thông cao giúp loại bỏ các thành phần tần số thấp, chẳng hạn như tiếng ồn nền trongtín hiệu âm thanh Bộ lọc dải thông và dải chặn có thể được sử dụng để phân tích hoặcloại bỏ các tần số nằm trong một dải tần số xác định Một bộ lọc số có thể được thiết kế dưới dạng bộ lọc FIR (Finite Impulse Response) hoặc IIR (Infinite Impulse Response),tùy vào các yêu cầu về tính toán, độ ổn định và độ chính xác trong ứng dụng

Việc thiết kế bộ lọc số không chỉ đòi hỏi sự hiểu biết vững vàng về lý thuyết tín hiệu

mà còn yêu cầu kiến thức vững chắc về toán học, đặc biệt là các phép biến đổi Fourier,biến đổi Z và lý thuyết về đáp ứng tần số Quá trình thiết kế bộ lọc bao gồm việc xác địnhcác tham số quan trọng như tần số cắt, độ dốc, độ trễ, và việc tối ưu hóa các tham số nàysao cho bộ lọc có thể đáp ứng chính xác yêu cầu của ứng dụng Các phương pháp thiết kế 

bộ lọc, chẳng hạn như phương pháp thiết kế qua đặc tính đáp ứng tần số hoặc phươngpháp lấy mẫu tần số, đều đóng vai trò quan trọng trong việc đạt được một bộ lọc hiệuquả

Trong đề tài này, chúng ta sẽ đi sâu vào các phương pháp thiết kế bộ lọc số, nghiêncứu chi tiết các bước thực hiện từ lý thuyết đến thực hành Cụ thể, chúng ta sẽ tìm hiểu vềcác phương pháp thiết kế bộ lọc FIR và IIR, cách xác định các thông số thiết kế như tần

số cắt, độ dốc, đáp ứng biên độ, và cách kiểm tra và đánh giá hiệu quả của bộ lọc thôngqua các tín hiệu mẫu Thông qua đó, chúng ta không chỉ hiểu rõ hơn về các nguyên lý cơ 

bản trong thiết kế bộ lọc mà còn có cái nhìn sâu sắc về ứng dụng của bộ lọc số trong việc

xử lý tín hiệu thực tế

Với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ, việc thiết kế bộ lọc số ngày càng trở nênquan trọng và phổ biến, không chỉ trong các ứng dụng chuyên biệt như xử lý âm thanh,hình ảnh mà còn trong các lĩnh vực như viễn thông, xử lý tín hiệu y tế và trong các thiết

bị điện tử thông minh Điều này càng khẳng định vai trò quan trọng của bộ lọc số trongviệc cải thiện chất lượng tín hiệu và tối ưu hóa quá trình xử lý thông tin

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

1 Bộ lọc số lý tưởng

Khái niệm về bộ lọc: Bộ lọc số là một hệ thống dùng để làm biến dạng sự phân bố tần

số của các thành phần của một tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho Các mạch lọc số cho tínhiệu số có phổ nằm trong 1 dải tần số nhất định đi qua và không cho tín hiệu có phổ nằmngoài dải tần số đó đi qua

Khái niệm về dải thông và dải chặn: Dải thông là dải tần số mà hệ xử lý số cho tínhiệu số đi qua, dải chặn là dải tần số mà hệ xử lý số không cho tín hiệu số đi qua

Đối với hệ xử lý số lý tưởng: dải thông là vùng tần số mà ¿ H (e jω)∨¿1, còn dải chặn

¿ H  (e jω)∨¿0 Tần số giới hạn giữa dải thông và dải chặn gọi là tần số cắt và thường được

ký hiệu làωc

Đối với hệ xử lý số thực tế: Quy ước tần số giới hạn của dải thông là ωc, tần số giớihạn của dải chặn làω p, giữa dải thông và dải chặn tồn tại dải quá độ (hay còn gọi là vùngchuyển tiếp)∆ ω p=¿ω p−ωc∨¿ và∆ ω pcàng nhỏ càng tốt

Theo dạng của đặc tính biên độ tần số H (e jω), người ta chia các bộ lọc thành các loạibao gồm:

 Bộ lọc thông thấp

 Bộ lọc thông cao

 Bộ lọc thông dải

 Bộ lọc chặn dải

Và theo dạng đặc tính xung h(n) người ta phân biệt các bộ lọc số:

 Bộ lọc số có đặc tính xung hữu hạn (bộ lọc số FIR)

 bộ lọc số có đặc tính xung vô hạn (bộ lọc số IIR)

1.1Bộ lọc thông cao lý tưởng

Bộ lọc thông cao (High-Pass Filter): Bộ lọc thông cao cho phép các tần số cao đi qua

và loại bỏ hoặc làm suy giảm đáng kể các tần số thấp hơn Điều này thường được sử dụng

để loại bỏ thành phần tần số thấp không mong muốn hoặc để tách tín hiệu tần số cao

Đáp ứng tần số: | H (e jω)|={0;0≤ ω ≤ ωc

1; ωc≤ ω ≤ π   Đáp ứng xung:

Hình 1 Bộ lọc thông cao lý tưởng

- Tần số cắt:f c  Dải thông:f  ∈[f c, ∞]  Dải chặn:f  ∈[0, f c]

- Tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần f ≥ f c đi qua và không cho tín hiệu nằm ngoàidải tần này đi qua

1.2Bộ lọc thông thấp lý tưởng

Bộ lọc thông thấp (Low-Pass Filter): là một loại bộ lọc cho phép tín hiệu có tần sốthấp đi qua và loại bỏ các tín hiệu có tần số cao hơn một ngưỡng nhất định Bộ lọc thông

thấp có thể được sử dụng trong nhiều ứng dụng, chẳng hạn như trong xử lý tín hiệu, điện

tử, âm thanh, và truyền thông để làm mượt tín hiệu, loại bỏ nhiễu tần số cao

- Tần số cắt:f c  Dải thông:f  ∈[− f c, f c]  Dải chặn:f  ∈[f c, ∞]

- Tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần |f |≤ f c đi qua và không cho tín hiệu nằm ngoàidải tần này đi qua

1.3 Bộ lọc thông dải lý tưởng

Bộ lọc chặn dải (Band-Pass Filter) là một loại bộ lọc điện tử cho phép tín hiệu có tần

số nằm ngoài một dải tần xác định đi qua, đồng thời chặn hoặc loại bỏ tín hiệu nằm trongdải tần đó Bộ lọc chặn dải hoạt động tương tự như bộ lọc thông cao và bộ lọc thông thấpkết hợp lại, nhưng thay vì cho phép một dải tần đi qua, nó sẽ loại bỏ một dải tần nhất địnhtrong tín hiệu

Đáp ứng tần số:| H (e jω)|={   1 ; −ωc1≤ ω ≤ ωc 2

0 ; 0 ≤ ω ≤ ωc 1, ωc 2≤ ω ≤ π  

Đáp ứng xung:ℎ(n)=sin(ωc 2n)− sin(ωc1n)

πn

Hình 3 Bộ lọc thông dải lý tưởng

- Tần số cắt:f c1,  f c2  Dải thông:f  ∈[f c1, f c2]  Dải chặn:  f  ∈[0, f c1]và[f c2, ∞]

- Tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần f c1≤|f |≤ f c đi qua và không cho tín hiệu nằmngoài dải tần này đi qua

2 Bộ lọc số FIR (Finite Impulse Response): bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn

Bộ lọc FIR (Finite Impulse Response) là một loại bộ lọc số có đáp ứng xung hữu hạn,nghĩa là phản ứng của nó với tín hiệu đầu vào chỉ kéo dài trong một khoảng thời gian xácđịnh Bộ lọc FIR không có phản hồi, chỉ phụ thuộc vào giá trị đầu vào trong một cửa sổthời gian cố định Đặc điểm nổi bật của bộ lọc FIR là tính ổn định tuyệt đối, không gâybiến dạng pha khi được thiết kế với các hệ số đối xứng, và có thể được áp dụng để tạo racác bộ lọc thông thấp, thông cao, chặn dải, hoặc chặn băng Tuy nhiên, bộ lọc FIR thườngyêu cầu số lượng hệ số lớn hơn so với bộ lọc IIR để đạt được đáp ứng tần số tương tự, dẫnđến độ phức tạp tính toán và bộ nhớ lớn hơn Bộ lọc FIR được sử dụng rộng rãi trong cácứng dụng xử lý tín hiệu số như lọc nhiễu, xử lý âm thanh, viễn thông, và chuyển đổi tínhiệu, nhờ vào khả năng cung cấp tính ổn định cao và khả năng dễ dàng thiết kế

Các bộ lọc số FIR có đặc tính xung h(n) hữu hạn thỏa mãn:

- Loại 1: β=0 , N lẻ, đặc tính xung h(n) đối xứng

- Loại 2: β=0 , N chẵn, đặc tính xung h(n) đối xứng

Bộ lọc IIR (Infinite Impulse Response) là một loại bộ lọc số có đáp ứng xung vô hạn,

nghĩa là một tín hiệu đầu vào có thể ảnh hưởng đến đầu ra trong một khoảng thời gian vô

hạn Bộ lọc IIR sử dụng cả tín hiệu đầu vào và đầu ra trước đó để tính toán giá trị đầu ra,

giúp giảm số lượng hệ số cần thiết so với bộ lọc FIR Tuy nhiên, bộ lọc IIR có thể không

ổn định nếu thiết kế không chính xác và có thể gây ra biến dạng pha trong tín hiệu Bộ

lọc IIR được ứng dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu âm thanh, viễn thông, hệ thống điều

khiển và xử lý ảnh, nhờ vào hiệu quả về tài nguyên và khả năng lọc mạnh mẽ, mặc dù cần

¿a0 x(n)+a1 x(n−1)+a2 x(n −2)+…+a N  x(n − N  )− b1 y(n−1)− b2 y(n −2)− … − b M  y(n −

Dạng phương trình đệ quy này biểu diễn một bộ lọc IIR Ngõ ra y(n) ở thời điểm y(n)

không chỉ phụ thuộc vào ngõ vào hiện tại x(n) ở thời điểm n và các ngõ vào trong quá

khứ x (n – 1), x (n – 2), …, x (n – N), mà còn phụ thuộc vào các ngõ ra trước đó y (n – 1),

y (n – 2), …, y (n – M)

Nếu chúng ta giả sử các điều kiện ban đầu đều bằng 0, biến đổi Z phương trình trên sẽcho:

 Bộ lọc IIR có 3 phép biến đổi chính:

 Phương pháp tương đương vi phân

 Phương pháp xung bất biến

 Phương pháp biến đổi song tuyến

Và các kiểu bộ lọc tương tự hay gặp:

 Butterworth

 Chebyshev loại 1 và Chebyshev loại 2

 Eliptic

3.1Phương pháp xung bất biến

Trong phương pháp này chúng ta muốn đáp ứng xung của bộ lọc số trông tương tựnhư đáp ứng xung của bộ lọc chọn tần analog

Lấy mẫuℎ a(t ) các chu kỳ lấy mẫu T ta thu đượcℎ(n):

ℎ(n)=ℎ a(t )

T được chọn sao cho hình dạngℎ a(t )  được giữ bởi mẫu, lúc này:

ω=Ω T  vàe j ω=e j ΩT 

Do z=e  trên đường tròn đươn vị vàs= jΩ trên trục ảo, ta có phép biến đổi sau đây

Hình 4 Ánh xạ mặt phẳng phức trong phép biến đổi bất biến xung

Nhận xét: Phương pháp biến đổi này là một thiết kế ổn định và các tần số Ω và ω cóquan hệ tuyến tính Tuy nhiên còn gặp phải hiện tượng aliasing (sai số lấy mẫu) đáp ứngtần số analog và trong nhiều trường hợp hiện tượng aliasing này không chấp nhận được.Như vậy, phương pháp thiết kế này chỉ tiện sử dụng khi bộ lọc analog có băng tần hữuhạn biến đổi thành bộ lọc thông thấp hoặc thông dải không có dao động trong dải chắn

3.2Phương pháp biến đổi song tuyến tính

Biến đổi song tuyến tính là công cụ đặc lực nhất của thiết kế bộ lọc IIR Phép chiếu dùngtrong biến đổi song tuyến tính là phép chiếu dễ dùng nhất, chiếu trục jωa trên mặt phẳng

S lên đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Z, chiếu nửa mặt phẳng trái bảo đảm ổn địnhcủa mặt phẳng S thành bên trong vòng tròn đơn vị bảo đảm ổn định của mặt phẳng Z,chiếu nửa mặt phẳng phải của mặt phẳng S thành bên ngoài của vòng tròn đơn vị của mặt

phẳng Z Phép biến đổi này cho phép ánh xạ các giá trị trên trục jωa lên vòng tròn đơn vịtrong mặt phẳng Z mà không bị chồng chập tần số như phép biến đổi xung bất biến.

  Biến đổi song tuyến tính gắn các hàm truyền tương tự Ha(s) và hàm truyền số H(z)trên cơ sở tích phân các phương trình vi phân và tính tích phân gần đúng bằng phươngpháp số

Quan hệ giữa hàm truyền H(s) và H(z):

Nhận xét: Toàn bộ nửa mặt phẳng bên trái được ánh xạ vào bên trong đường tròn đơn

vị Đây là một phép biến đổi ổn định Trục ảo ánh xạ lên đường tròn đơn vị là ánh xạ 1-1

Do đó không có hiện tượng aliasing trong miền tần số Quan hệ của ω  theoΩ là phituyến:

ω=2tan− 1(ΩT 

2 )≤¿Ω= 2

T   tan(ω

2 )

3.3Phương pháp tương đương vi phân

Một trong những phương pháp đơn giản nhất để biến đổi bộ lọc tương tự sang bộ lọc

số là lấy gần đúng phương trình vi phân bằng một phương trình sai phân tương đương.Phép gần đúng này thường được dùng để giải phương trình vi phân tuyến tính hệ bậc 1bằng mối quan hệ nhỏ

Đối với đạo hàm dy(t )

dt   tạit =nT , ta thay bằng phép sai phân lùi  y(nT )− y(n T − T  )

Ta hãy khảo sát phép nội suy của ánh xạ từ mặt phẳng z với z=   1

Chương 2: Các phương pháp thiết kế bộ lọc

1 Thiết kế bộ lọc FIR

1.1 Thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp cửa sổ

Nguyên lý: Phương pháp Cửa sổ (Windowing method) là một kỹ thuật quan trọng trongthiết kế bộ lọc FIR Bộ lọc FIR được sử dụng để xử lý tín hiệu số bằng cách kết hợp cácmẫu tín hiệu đầu vào với các hệ số cố định Phương pháp cửa sổ giúp cải thiện hiệu suấtcủa bộ lọc FIR bằng cách giảm độ nhạy của bộ lọc đối với các nhiễu tần số cao và thấp, tạo

ra một hàm phản ứng tần số mong muốn

Các bước thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp cửa sổ

1 Xác định yêu cầu của bộ lọc: Đầu tiên, ta cần xác định yêu cầu cụ thể cho bộ lọc,chẳng hạn như dải tần số mong muốn, độ dốc tần số, độ trễ thời gian,

2 Chọn hàm cửa sổ: Bước này là quyết định quan trọng vì ta sẽ chọn một hàm cửa sổ

cụ thể để áp dụng cho các hệ số của bộ lọc Các hàm cửa sổ phổ biến bao gồm cửa sổHamming, cửa sổ Hanning, cửa sổ Blackman, cửa sổ hình chữ nhật,… Mỗi loại cửa sổ cócác đặc điểm khác nhau và sẽ ảnh hưởng đến hiệu suất của bộ lọc Độ gợn của dải (ripple)

sẽ quyết định loại cửa sổ nên dùng:

Loại cửa sổ Mainlobe Mainlobe/sidelobe Peak 20log10δ 

5 Chuyển đổi hàm cửa sổ và hệ số bộ lọc: Cuối cùng là tính toán các hệ số thực tế của

bộ lọc bằng cách kết hợp hàm cửa sổ với bộ lọc ban đầu

 b, Cửa sổ Bartlett (Triangular): Trong miền n, cửa sổ Bartlett được định nghĩa:

wT (n) N ={ 2n

 N −10≤ n ≤

 N −12

➞ Thiết kế giống cửa sổ hình chữ nhật nhưng dạng hàm khác nhau

 c, Cửa sổ Hanning: Trong miền n, cửa sổ Hanning được định nghĩa:

1.2 Thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp lấy mẫu tần số

Nguyên lý: Phương pháp Lấy mẫu tần số (Frequency sampling method) là một trongnhững phương pháp thông thường để thiết kế bộ lọc FIR Phương pháp này cho phép tathiết kế bộ lọc FIR bằng cách xác định trực tiếp các hệ số bộ lọc dựa trên phản ứng tần sốmong muốn của bộ lọc

Các bước cơ bản trong phương pháp lấy mẫu tần số:

1 Xác định hàm phản ứng tần số mong muốn (desired frequency response): Trướchết, ta cần xác định phản ứng tần số mà ta muốn từ bộ lọc FIR Điều này bao gồm việcxác định các giá trị của phản ứng tần số ở các tần số cụ thể trong dải tần số mong muốn

2 Xác định số lượng mẫu tần số (frequency samples): Ta cần quyết định số lượngmẫu tần số (sampling points) mà ta sẽ sử dụng để đại diện cho phản ứng tần số mongmuốn Số lượng mẫu này thường phụ thuộc vào độ phân giải tần số mà ta cần và đặc tínhcủa bộ lọc

3 Tính toán phản ứng tần số mẫu (sampled frequency response): Sử dụng các tần sốmẫu đã chọn, ta tính toán giá trị của phản ứng tần số mong muốn tại các tần số đó

4 Sử dụng biến đổi Fourier ngược (inverse Fourier transform): Biến đổi Fourierngược được sử dụng để chuyển đổi phản ứng tần số mẫu thành hệ số bộ lọc FIR Ta cóthể sử dụng biến đổi Fourier ngược Discrete Fourier Transform (DFT) hoặc Fast FourierTransform (FFT) để thực hiện việc này

5 Trong tính toán hệ số bộ lọc: Hệ số bộ lọc FIR được tính toán dựa trên kết quả từ bước trước Hệ số này sẽ xác định cách bộ lọc ảnh hưởng đến tín hiệu đầu vào tại các tần

số cụ thể

Phương pháp lấy mẫu tần số cho phép ta thiết kế bộ lọc FIR dựa trên yêu cầu tần số

cụ thể mà ta muốn đạt được, và nó thường được ưa chuộng trong các ứng dụng yêu cầukiểm soát nghiêm ngặt về tần số Tuy nhiên, nhược điểm là có thể dẫn đến số lượng hệ sốlớn nếu ta cần đạt được độ phân giải tần số cao, điều này có thể gây ra chi phí tính toán

và lưu trữ tăng lên

2 Thiết kế bộ lọc IIR

độ ban đầu, tương đương với mức suy giảm khoảng -3 dB.

Đáp ứng bình phương biên độ của bộ lọc thông thấp bậc N:

3 Xác định hàm truyền chuẩn hóa H  N  (s) và hàm truyền H  (s)

4 Chuyển sang bộ lọc số H(z) bằng phương pháp hợp lý

b Các bước thiết kế bộ lọc Butterworth thông cao

1 Xác định các tham số thiết kế:

- Tần số cắt (f c): Tần số mà tại đó đáp ứng biên độ giảm xuống −3 dB

- Tần số lấy mẫu (f s): Để chuẩn hóa tần số, cần biết tần số lấy mẫu

- Độ suy giảm ( As): Độ suy giảm tối thiểu ở tần số f s)

- Bậc của bộ lọc (N): Quyết định độ sắc nét của bộ lọc

ϵ : Thông số gợn sóng (phụ thuộc vào bộ lọc thông thấp hoặc cao)

4 Xác định hàm truyền chuẩn hóa:

  Hàm truyền chuẩn hóa của bộ lọc Butterworth bậc N thông thấp có dạng:

5 Biến đổi sang miền rời rạc (Z-domain):

 Sử dụng kỹ thuật biến đổi song tuyến tính để chuyển đổi từ miền s (liên tục)

sang miền z (rời rạc):