Do đó,việc thiết kế và ứng dụng bộ lọc số trở thành một phần không thể thiếu trong quá trình xử lý tín hiệu để cải thiện chất lượng và đảm bảo tính chính xác của thông tin.. Các bộlọc số
Cơ sở lý thuyết
Bộ lọc số lý tưởng
Bộ lọc số là hệ thống biến dạng phân bố tần số của tín hiệu theo tiêu chí nhất định Các mạch lọc số cho phép tín hiệu có phổ trong một dải tần số nhất định đi qua, trong khi tín hiệu ngoài dải tần số đó bị chặn lại.
Dải thông và dải chặn là hai khái niệm quan trọng trong hệ xử lý số Dải thông là dải tần số cho phép tín hiệu số đi qua, trong khi dải chặn là dải tần số không cho phép tín hiệu số đi qua Đối với hệ xử lý số lý tưởng, dải thông được xác định khi H(e^jω) ≥ 1, còn dải chặn khi H(e^jω) = 0 Tần số cắt, ký hiệu là ω_c, là tần số giới hạn giữa hai dải này Trong hệ xử lý số thực tế, tần số giới hạn của dải thông là ω_c và của dải chặn là ω_p, với dải quá độ (vùng chuyển tiếp) ∆ω_p = |ω_p - ω_c|, và nên giữ cho ∆ω_p càng nhỏ càng tốt.
Theo dạng của đặc tính biên độ tần số H (e jω ), người ta chia các bộ lọc thành các loại bao gồm:
Và theo dạng đặc tính xung h(n) người ta phân biệt các bộ lọc số:
Bộ lọc số có đặc tính xung hữu hạn (bộ lọc số FIR)
bộ lọc số có đặc tính xung vô hạn (bộ lọc số IIR)
1.1Bộ lọc thông cao lý tưởng
Bộ lọc thông cao (High-Pass Filter) cho phép các tần số cao đi qua trong khi loại bỏ hoặc làm suy giảm đáng kể các tần số thấp hơn Công cụ này thường được sử dụng để loại bỏ các thành phần tần số thấp không mong muốn hoặc để tách biệt tín hiệu tần số cao Đáp ứng tần số của bộ lọc được mô tả bởi | H (e jω )| với các giá trị 1 cho 0 ≤ ω ≤ ω c và 0 cho ω > ω c.
Hình 1 Bộ lọc thông cao lý tưởng
- Tần số cắt: f c Dải thông: f ∈ [ f c , ∞ ] Dải chặn: f ∈ [ 0 , f c ]
- Tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần f ≥ f c đi qua và không cho tín hiệu nằm ngoài dải tần này đi qua.
1.2Bộ lọc thông thấp lý tưởng
Bộ lọc thông thấp (Low-Pass Filter) là thiết bị cho phép tín hiệu tần số thấp đi qua trong khi loại bỏ các tín hiệu tần số cao hơn một ngưỡng nhất định Loại bộ lọc này được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như xử lý tín hiệu, điện tử, âm thanh và truyền thông, với mục đích làm mượt tín hiệu và loại bỏ nhiễu tần số cao Đáp ứng tần số của bộ lọc này được mô tả bởi hàm H(e^jω), trong đó tín hiệu được cho phép qua khi tần số ω nằm trong khoảng từ 0 đến ωc.
Hình 2 Bộ lọc thông thấp lý tưởng
- Tần số cắt: f c Dải thông: f ∈ [ − f c , f c ] Dải chặn: f ∈ [ f c , ∞ ]
- Tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần |f |≤ f c đi qua và không cho tín hiệu nằm ngoài dải tần này đi qua.
1.3 Bộ lọc thông dải lý tưởng
Bộ lọc chặn dải (Band-Pass Filter) là một loại bộ lọc điện tử cho phép tín hiệu có tần số nằm ngoài một dải tần xác định đi qua, đồng thời loại bỏ tín hiệu nằm trong dải tần đó Bộ lọc này hoạt động giống như sự kết hợp giữa bộ lọc thông cao và bộ lọc thông thấp, nhưng thay vì cho phép một dải tần đi qua, nó sẽ chặn một dải tần cụ thể trong tín hiệu Đáp ứng tần số của bộ lọc được mô tả bởi hàm H(e^jω), trong đó tín hiệu bị chặn trong khoảng tần số ω_c1 đến ω_c2 Đáp ứng xung của bộ lọc được biểu diễn qua công thức ℎ(n) = (sin(ω_c2 n) - sin(ω_c1 n)) / (πn).
Hình 3 Bộ lọc thông dải lý tưởng
- Tần số cắt: f c 1, f c 2 Dải thông: f ∈ [ f c 1 , f c 2 ] Dải chặn: f ∈ [ 0 , f c 1 ] và [ f c 2 , ∞ ]
- Tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần f c 1 ≤|f |≤ f c đi qua và không cho tín hiệu nằm ngoài dải tần này đi qua.
Bộ lọc số FIR (Finite Impulse Response): bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn
Bộ lọc FIR (Finite Impulse Response) là một loại bộ lọc số với đáp ứng xung hữu hạn, chỉ phản ứng với tín hiệu đầu vào trong một khoảng thời gian xác định Không có phản hồi, bộ lọc FIR phụ thuộc vào giá trị đầu vào trong một cửa sổ thời gian cố định, mang lại tính ổn định tuyệt đối và không gây biến dạng pha khi thiết kế với các hệ số đối xứng Bộ lọc này có thể được sử dụng để tạo ra các bộ lọc thông thấp, thông cao, chặn dải, hoặc chặn băng Tuy nhiên, bộ lọc FIR thường yêu cầu nhiều hệ số hơn so với bộ lọc IIR để đạt được đáp ứng tần số tương tự, dẫn đến độ phức tạp tính toán và bộ nhớ lớn hơn Nhờ vào khả năng cung cấp tính ổn định cao và dễ dàng thiết kế, bộ lọc FIR được ứng dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu số, như lọc nhiễu, xử lý âm thanh, viễn thông và chuyển đổi tín hiệu.
Các bộ lọc số FIR có đặc tính xung h(n) hữu hạn thỏa mãn:
=> Ta có hàm truyền hệ thống: H ( z)=∑ n = 0
Xét bộ lọc FIR có pha tuyến tính: θ(ω)= β − αω (trong đó α và β là các hằng số)
Với dạng xung h(n) đối xứng:
Với dạng xung h(n) phản đối xứng:
Như vậy, có bốn loại bộ lọc số FIR pha tuyến tính
- Loại 1: β=0 , N lẻ, đặc tính xung h(n) đối xứng
- Loại 2: β=0 , N chẵn, đặc tính xung h(n) đối xứng
2 , N lẻ, đặc tính xung h(n) phản đối xứng.
2 , N chẵn, đặc tính xung h(n) phản đối xứng
Type LPF HPF BPF SBF Hilbert Differentiator
Bộ lọc IIR
Bộ lọc IIR (Infinite Impulse Response) là một loại bộ lọc số với đáp ứng xung vô hạn, cho phép tín hiệu đầu vào ảnh hưởng đến đầu ra trong thời gian dài Nó sử dụng cả tín hiệu đầu vào và đầu ra trước đó để tính toán, giúp giảm số lượng hệ số cần thiết so với bộ lọc FIR Tuy nhiên, bộ lọc IIR có thể không ổn định nếu thiết kế không chính xác và có thể gây ra biến dạng pha trong tín hiệu Bộ lọc IIR được ứng dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu âm thanh, viễn thông, hệ thống điều khiển và xử lý ảnh, nhờ vào hiệu quả tài nguyên và khả năng lọc mạnh mẽ, mặc dù cần lưu ý đến tính ổn định và biến dạng pha.
Xét phương trình I/O tổng quát có dạng: y(n)=∑ k = 0
Phương trình đệ quy này mô tả một bộ lọc IIR, trong đó ngõ ra y(n) tại thời điểm n không chỉ phụ thuộc vào ngõ vào hiện tại x(n) và các ngõ vào trong quá khứ như x(n – 1), x(n – 2), …, x(n – N), mà còn phụ thuộc vào các ngõ ra trước đó y(n – 1), y(n – 2), …, y(n – M).
Nếu chúng ta giả sử các điều kiện ban đầu đều bằng 0, biến đổi Z phương trình trên sẽ cho:
Trong đó N(z) và D(z) biểu diễn đa thức tử số và đa thức tử số của hàm truyền Nhân và chia cho z N , H(z) trở thành:
Hàm truyền N z − z i z − p i có N zero và N cực Khi tất cả các hệ số bj bằng 0, hàm truyền này trở thành hàm truyền của bộ lọc FIR Để đảm bảo hệ thống ổn định, tất cả các cực cần phải nằm trong vòng tròn đơn vị.
Bộ lọc IIR có 3 phép biến đổi chính:
Phương pháp tương đương vi phân
Phương pháp xung bất biến
Phương pháp biến đổi song tuyến
Và các kiểu bộ lọc tương tự hay gặp:
Chebyshev loại 1 và Chebyshev loại 2
3.1Phương pháp xung bất biến
Trong phương pháp này chúng ta muốn đáp ứng xung của bộ lọc số trông tương tự như đáp ứng xung của bộ lọc chọn tần analog.
Lấy mẫuℎ a(t ) các chu kỳ lấy mẫu T ta thu đượcℎ(n):
T được chọn sao cho hình dạngℎ a(t ) được giữ bởi mẫu, lúc này: ω=Ω T vàe j ω = e j ΩT
Trên đường tròn đơn vị, khi z = e^(jω) và s = jΩ trên trục ảo, ta có phép biến đổi z = e^(sT) từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z Mối quan hệ giữa hàm hệ thống H(z) và H_a(s) trong miền tần số cũng được xác định thông qua phép biến đổi này.
Hình 4 Ánh xạ mặt phẳng phức trong phép biến đổi bất biến xung
Phương pháp biến đổi này là một thiết kế ổn định với các tần số Ω và ω có mối quan hệ tuyến tính Tuy nhiên, nó gặp phải hiện tượng aliasing, dẫn đến sai số trong quá trình lấy mẫu tần số analog, điều này có thể không chấp nhận được trong nhiều trường hợp Do đó, phương pháp thiết kế này chỉ nên được sử dụng khi bộ lọc analog có băng tần hữu hạn được biến đổi thành bộ lọc thông thấp hoặc thông dải mà không có dao động trong dải chắn.
Biến đổi song tuyến tính là công cụ quan trọng nhất trong thiết kế bộ lọc IIR, giúp tối ưu hóa hiệu suất lọc Phép chiếu jωa trên mặt phẳng là phương pháp dễ sử dụng nhất trong biến đổi này, mang lại sự thuận tiện cho quá trình thiết kế.
Sử dụng đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Z, nửa mặt phẳng trái của mặt phẳng S được chiếu vào bên trong vòng tròn đơn vị, trong khi nửa mặt phẳng phải được chiếu ra bên ngoài Phép biến đổi này cho phép ánh xạ các giá trị trên trục jωa lên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z mà không gặp phải hiện tượng chồng chập tần số như trong phép biến đổi xung bất biến.
Biến đổi song tuyến tính liên kết hàm truyền tương tự Ha(s) với hàm truyền số H(z) thông qua việc tích phân các phương trình vi phân Phương pháp số được sử dụng để tính toán tích phân gần đúng, giúp tối ưu hóa quá trình chuyển đổi giữa hai loại hàm truyền này.
Quan hệ giữa hàm truyền H(s) và H(z):
Ta xấp xỉ phương trình vi phân để tạo ra phương trình sai phân. s= 2
1 − sT /2 Ở đây T là một tham số Một tên gọi khác của phép biến đổi này là Biến đổi phân tuyến tính vì ta có T
2 s − z+1=0 là tuyến tính với mỗi biến (s hoặc z) nếu biến còn lại được cố định hoặc song tuyến tính với s và z.
Hình 5 Ánh xạ mặt phẳng phức trong phép biến đổi song tuyến tính
Toàn bộ nửa mặt phẳng bên trái được ánh xạ vào trong đường tròn đơn vị, tạo ra một phép biến đổi ổn định Trục ảo ánh xạ lên đường tròn đơn vị theo cách 1-1.
Do đó không có hiện tượng aliasing trong miền tần số Quan hệ của ω theo Ω là phi tuyến: ω=2tan − 1 ( ΩT 2 ) ≤¿ Ω = 2 T tan ( ω 2 )
3.3Phương pháp tương đương vi phân
Một trong những phương pháp đơn giản để chuyển đổi bộ lọc tương tự sang bộ lọc số là sử dụng phép gần đúng vi phân bằng một phương trình sai phân tương đương Phương pháp này thường được áp dụng để giải các phương trình vi phân tuyến tính bậc 1 thông qua các mối quan hệ nhỏ Đối với đạo hàm dy(t)/dt tại t = nT, ta có thể thay thế bằng phép sai phân lùi y(nT) - y(nT - T).
Trong bài viết này, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa thời gian lấy mẫu và tín hiệu rời rạc, được biểu diễn qua công thức ⅆ | t = nT = y(nT) − yT(nT−T) = y(n) − yT(n−1) Ở đây, T đại diện cho khoảng lấy mẫu và y(t) = y(nT) Hệ thống H(s) = s cho thấy sự tương tự với tín hiệu đầu ra dy(t)/dt, nơi tín hiệu rời rạc được tạo ra từ y(nT) − y(nT−T).
T , có hàm hệ thống là H ( z)= z − 1
Hàm hệ thống của bộ lọc số IIR đạt được nhờ lấy gần đúng phép đạo hàm bằng phép sai phân lùi là:
H(s): là hàm hệ thống của bộ lọc tương tự
Ta hãy khảo sát phép nội suy của ánh xạ từ mặt phẳng z với z= 1
Khi z biến thiên trên ∣z∣ = 1, quỹ tích trong miền số sẽ tương ứng với các điểm trong mặt phẳng s Điều này cho thấy sự liên kết giữa miền tần số tương tự và miền tần số số.
Hình 6 Ánh xạ mặt phẳng phức trong phương pháp biến đổi vi phân
Các phương pháp thiết kế bộ lọc
Thiết kế bộ lọc FIR
1.1 Thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp cửa sổ
Phương pháp Cửa sổ (Windowing method) là một kỹ thuật quan trọng trong thiết kế bộ lọc FIR, giúp xử lý tín hiệu số bằng cách kết hợp mẫu tín hiệu đầu vào với các hệ số cố định Kỹ thuật này cải thiện hiệu suất bộ lọc FIR bằng cách giảm độ nhạy đối với nhiễu tần số cao và thấp, từ đó tạo ra hàm phản ứng tần số mong muốn.
Các bước thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp cửa sổ
1 Xác định yêu cầu của bộ lọc: Đầu tiên, ta cần xác định yêu cầu cụ thể cho bộ lọc, chẳng hạn như dải tần số mong muốn, độ dốc tần số, độ trễ thời gian,
2 Chọn hàm cửa sổ: Bước này là quyết định quan trọng vì ta sẽ chọn một hàm cửa sổ cụ thể để áp dụng cho các hệ số của bộ lọc Các hàm cửa sổ phổ biến bao gồm cửa sổ Hamming, cửa sổ Hanning, cửa sổ Blackman, cửa sổ hình chữ nhật,… Mỗi loại cửa sổ có các đặc điểm khác nhau và sẽ ảnh hưởng đến hiệu suất của bộ lọc Độ gợn của dải (ripple) sẽ quyết định loại cửa sổ nên dùng:
Loại cửa sổ Mainlobe Mainlobe/sidelobe Peak 20log 10 δ
3 Thiết kế bộ lọc ban đầu: Bắt đầu với một hàm cửa sổ chọn lựa, ta tính toán bộ lọc FIR ban đầu bằng cách sử dụng phương trình biến đổi Fourier ngược từ hàm phản ứng tần số mong muốn.
4 Điều chỉnh bộ lọc: Sau đó, ta có thể điều chỉnh các tham số của bộ lọc, chẳng hạn như số mẫu hoặc chiều dài cửa sổ, để đáp ứng yêu cầu cụ thể.
5 Chuyển đổi hàm cửa sổ và hệ số bộ lọc: Cuối cùng là tính toán các hệ số thực tế của bộ lọc bằng cách kết hợp hàm cửa sổ với bộ lọc ban đầu.
Các dạng cửa sổ thông dụng: a, Cửa sổ Hình chữ nhật (Rectangular): Trong miền n, cửa sổ hình chữ nhật được định nghĩa: w (n)=rect N (n)={ 10 0 ≤ n ≤ N − ncònlại 1
Trong miền tần số: W R (e jω )=( sin sin ( ( ωM ω ω 2 ) ) ) e − jω M − 2 1 b, Cửa sổ Bartlett (Triangular): Trong miền n, cửa sổ Bartlett được định nghĩa: w T (n) N ={ 2 − N − N − 2 2 n n 1 1 N − 0 ≤ n ≤ 2 1 ≤ n ≤ N − N − 2 1 1
➞ Thiết kế giống cửa sổ hình chữ nhật nhưng dạng hàm khác nhau. c, Cửa sổ Hanning: Trong miền n, cửa sổ Hanning được định nghĩa: ω(n)={ 0.5 − 0.5cos 0 M − ncònlại 2 πn 1 0 ≤ n ≤ M − 1
Ta có tham số của bộ lọc Hanning:
N λ Han (n) N ≈ − 32 dB d, Cửa sổ Hamming: Trong miền n, cửa sổ Hamming được định nghĩa: ω(n)={ 0.54 − 0.46cos 0 ncònlại M − 2 πn 1 0 ≤n≤ M − 1
Ta có tham số của bộ lọc Hamming:
N λ Han (n) N ≈ −43dB e, Cửa sổ Blackman: Trong miền n, cửa sổ Blackman được định nghĩa: w B ={ 0 , 42 − 0 , 5cos N − 2 πn 1 0 +0 ncònlại , 08cos N − 4 πn 1 0 ≤ n ≤ N − 1
2 a m = 1 f, Cửa sổ Kaiser: Trong miền n, cửa sổ Kaiser được định nghĩa như sau: w k (n) N ={ I 0 ( β ( n − 2 I ) 1 0 ( β √ ( 1 n − − 0 2 ( ncònlại 1 ) N − 2 ) n 1 − 1 ) 2 ) 0 ≤n ≤ N − 1 Để đạt hiệu quả cao trong thiết kế, người ta thường lấy 4 ≤ β ≤ 9
1.2 Thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp lấy mẫu tần số
Phương pháp Lấy mẫu tần số (Frequency sampling method) là một kỹ thuật phổ biến trong thiết kế bộ lọc FIR Phương pháp này cho phép xác định trực tiếp các hệ số của bộ lọc dựa trên phản ứng tần số mong muốn, giúp tối ưu hóa hiệu suất của bộ lọc.
Các bước cơ bản trong phương pháp lấy mẫu tần số:
1 Xác định hàm phản ứng tần số mong muốn (desired frequency response): Trước hết, ta cần xác định phản ứng tần số mà ta muốn từ bộ lọc FIR Điều này bao gồm việc xác định các giá trị của phản ứng tần số ở các tần số cụ thể trong dải tần số mong muốn.
2 Xác định số lượng mẫu tần số (frequency samples): Ta cần quyết định số lượng mẫu tần số (sampling points) mà ta sẽ sử dụng để đại diện cho phản ứng tần số mong muốn Số lượng mẫu này thường phụ thuộc vào độ phân giải tần số mà ta cần và đặc tính của bộ lọc.
3 Tính toán phản ứng tần số mẫu (sampled frequency response): Sử dụng các tần số mẫu đã chọn, ta tính toán giá trị của phản ứng tần số mong muốn tại các tần số đó.
4 Sử dụng biến đổi Fourier ngược (inverse Fourier transform): Biến đổi Fourier ngược được sử dụng để chuyển đổi phản ứng tần số mẫu thành hệ số bộ lọc FIR Ta có thể sử dụng biến đổi Fourier ngược Discrete Fourier Transform (DFT) hoặc Fast Fourier Transform (FFT) để thực hiện việc này.
5 Trong tính toán hệ số bộ lọc: Hệ số bộ lọc FIR được tính toán dựa trên kết quả từ bước trước Hệ số này sẽ xác định cách bộ lọc ảnh hưởng đến tín hiệu đầu vào tại các tần số cụ thể.
Phương pháp lấy mẫu tần số cho phép thiết kế bộ lọc FIR theo yêu cầu tần số cụ thể, được ưa chuộng trong các ứng dụng cần kiểm soát tần số nghiêm ngặt Tuy nhiên, nhược điểm của phương pháp này là có thể dẫn đến số lượng hệ số lớn khi cần độ phân giải tần số cao, gây ra chi phí tính toán và lưu trữ tăng lên.
Thiết kế bộ lọc IIR
2.1 Thiết kế bộ lọc Butterworth
Bộ lọc IIR thông cao theo phương pháp Butterworth là một trong những phương pháp thiết kế bộ lọc phổ biến, nổi bật với khả năng tối ưu hóa đáp ứng tần số Bộ lọc Butterworth đảm bảo có đáp ứng biên độ phẳng nhất trong dải thông, không có gợn sóng trong băng thông và có tốc độ suy giảm đáp ứng từ từ ngoài dải thông.
Bộ lọc Butterworth nổi bật với biên độ đáp ứng tần số ổn định trong dải thông, mang lại tín hiệu chất lượng cao và ít biến dạng Đối với bộ lọc Butterworth bậc n, độ dốc suy giảm tại dải cắt đạt 20n dB/decade (10 dB/octave), cho thấy khả năng suy giảm tín hiệu trong dải dừng tăng nhanh khi bậc bộ lọc cao hơn Đặc biệt, đáp ứng tần số của bộ lọc được tối ưu hóa tại tần số cắt (f c), nơi tín hiệu suy giảm còn khoảng 1/√2 lần biên độ ban đầu, tương đương với mức suy giảm khoảng -3 dB.
Hình 7 Đồ thị đáp ứng biên độ bộ lọc ButterworthDựa vào đồ thị ta có nhận xét:
| H ( jω c)| 2 =0.5 ∀ N (hệ số suy giảm3dBở ω c )
Bộ lọc lý tương khi N →∞
Hàm truyền chuẩn hóa của bộ lọc Butterworth:
Hàm truyền của bộ lọc Butterworth:
H (s) a Các bước thiết kế bộ lọc Butterworth thông thấp:
Hình 8 Bộ lọc thông thấp Butterworth
1 Xác định các thông số về ω p, ω s, G p và G s và tìm bậc bộ lọc n ≥ [ log 10 ( 10 2log −G s / 10 10 − ( 1 ω ) s / / ( 10 ω p − G ) p / 10 ] − 1 )
3 Xác định hàm truyền chuẩn hóa H N (s) và hàm truyền H (s)
4 Chuyển sang bộ lọc số H(z) bằng phương pháp hợp lý b Các bước thiết kế bộ lọc Butterworth thông cao
1 Xác định các tham số thiết kế:
- Tần số cắt (f c ): Tần số mà tại đó đáp ứng biên độ giảm xuống −3 dB.
- Tần số lấy mẫu ( f s): Để chuẩn hóa tần số, cần biết tần số lấy mẫu.
- Độ suy giảm ( A s): Độ suy giảm tối thiểu ở tần số f s).
- Bậc của bộ lọc (N): Quyết định độ sắc nét của bộ lọc.
Tất cả các tần số được chuẩn hóa theo khoảng Nyquist (f N = f s
3 Xác định bậc của bộ lọc:
Sử dụng phương trình sau để xác định bậc tối thiểu N để đáp ứng yêu cầu:
Trong đó: ϵ : Thông số gợn sóng (phụ thuộc vào bộ lọc thông thấp hoặc cao).
4 Xác định hàm truyền chuẩn hóa:
Hàm truyền chuẩn hóa của bộ lọc Butterworth bậc N thông thấp có dạng:
Chuyển đổi thành dạng thông cao bằng cách thay s thành ω c s trong hàm truyền.
5 Biến đổi sang miền rời rạc (Z-domain):
Sử dụng kỹ thuật biến đổi song tuyến tính để chuyển đổi từ miền s (liên tục) sang miền z (rời rạc): s= 2
2.2 Thiết kế bộ lọc Chebyshev loại 1
Bộ lọc Chebyshev loại 1 (Chebyshev Type I) nổi bật với khả năng cung cấp đáp ứng tần số tốt trong vùng dải thông, mặc dù có độ dao động (ripple) trong khu vực này Thiết kế của bộ lọc sử dụng đa thức Chebyshev bậc n, với tham số ripple (ε) và tần số cắt (ωc) Bộ lọc này hiệu quả trong việc loại bỏ tần số ngoài dải, nhưng có thể gây biến dạng tín hiệu trong dải thông do sự dao động Chebyshev loại 1 rất phù hợp cho các ứng dụng yêu cầu sự chuyển tiếp nhanh giữa dải thông và dừng, đặc biệt trong lĩnh vực truyền thông và xử lý tín hiệu.
Hình 9 Bộ lọc Chebyshev loại 1 Đáp ứng bình phương biên độ:
Trong đó: N: bậc của bộ lọc ε: Tham số liên quan đến độ gợn tối đa của dải thông ω p : tần số cắt của dải thông
Hàm truyền của bộ lọc Chebyshev loại 1
Các bước thiết kế bộ lọc Chebyshev loại 1:
1 Xác định giá trị củaε Ví dụ độ gợn dải thông là A dB
2 Xác định giá trị của N Ví dụ suy hao tại dải chặn là B dB
N ≥cosh − 1 ¿¿ ¿ Trong đó, δ s: suy hao tối thiểu tại dải chắn tính theo biên độ
3 Xác định giá trị của s k s k =α k + β k , k = 1 , 2 , 3 , … , N α k =−sin[ (2 k − 2 N 1) ] π sinh [ N 1 sin ℎ − 1 ( 1 ε ) ] β k = cos [ ( 2 k − 2 N 1 ) ] π cosh [ N 1 sin ℎ − 1 ( 1 ε ) ]
4 Xác định giá trị của H N (s)và H (s)
2.3 Thiết kế bộ lọc Chebyshev loại 2
Bộ lọc Chebyshev loại 2 là một loại bộ lọc tín hiệu nổi bật với đặc điểm không có ripple trong dải thông, nhưng lại có ripple trong dải chặn, giúp đảm bảo đáp ứng tần số ổn định trong dải thông và hiệu quả giảm tần số ngoài dải Bộ lọc này có độ giảm nhanh trong dải chặn và được thiết kế dựa trên đa thức Chebyshev bậc n, với các tham số ripple (ε) và tần số cắt (ωc) So với Chebyshev loại 1, loại 2 cung cấp tín hiệu ổn định mà không bị biến dạng trong dải thông, trong khi loại 1 lại có ripple trong dải thông và không có ripple trong dải chặn, thích hợp cho các ứng dụng cần chuyển tiếp nhanh giữa dải thông và dải chặn.
Trong đó: N: bậc của bộ lọc ε: Tham số liên quan đến độ gợn tối đa của dải thông ω p : tần số cắt của dải thông
Các bước thiết kế bộ lọc Chebyshev loại 2:
Các bước thiết kế bộ lọc Chebyshev loại 1:
1 Xác định giá trị củaε Ví dụ độ gợn dải thông là A dB
2 Xác định giá trị của N Ví dụ suy hao tại dải chặn là B dB
N ≥cosh − 1 ¿¿ ¿ Trong đó, δ s: suy hao tối thiểu tại dải chắn tính theo biên độ
3 Xác định giá trị của s k (poles) Γ =[ 1 + √ δ 1 s − δ ] s 2 1 / N s k =( jω s ) j
4 Xác định giá trị của z k (zeros) z k = j ω s cos[ (2 l − 1) π 2 N ] , { 1 ≤ l≤ N ,N c ẵn ℎ
5 Xác định giá trị của H N (s)và H ¿) là đa thức được tính từ zeros và poles
2.4 Dịch tần bộ lọc tương tự
(từ thông thấp sang…) Công thức Tần số cắt mới của bộ lọc
Mô phỏng và phân tích các bộ lọc
Thiết kế bộ lọc thông thấp FIR bằng phương pháp cửa sổ
Phương pháp thiết kế: FIR Window Kaiser
Tần số lấy mẫu: 8000Hz
Thực hiện chạy code trong file “FIR_Lowpass_Filter” ta thu được kết quả
Biểu đồ đáp ứng tần số của bộ lọc minh họa cách bộ lọc giảm cường độ tín hiệu ở các tần số khác nhau Những điểm quan trọng cần lưu ý bao gồm:
Dải thông (Passband) của tín hiệu được duy trì phẳng từ 0Hz đến khoảng 2200Hz, cho thấy tín hiệu trong khoảng này được truyền qua mà không bị suy giảm Độ lớn trong dải thông gần đạt 0dB, nghĩa là tín hiệu không bị khuếch đại hay suy giảm.
Băng thông chuyển tiếp (Transition Band): Từ 2200Hz đến khoảng 2500Hz, bộ lọc bắt đầu suy giảm, đánh dấu sự chuyển tiếp từ dải thông sang dải dừng.
Dải dừng (Stopband) của bộ lọc thể hiện sự suy giảm mạnh mẽ sau 2500Hz, với các tín hiệu bị suy giảm xuống dưới 60 dB, cho thấy khả năng chặn hiệu quả tín hiệu trong dải dừng này.
Bộ lọc đạt hiệu năng cao, đáp ứng đầy đủ các yêu cầu thiết kế với dải thông phẳng và suy giảm nhỏ Băng thông chuyển tiếp sắc nét cùng với suy giảm tốt hơn 60dB trong dải dừng.
Biểu đồ đáp ứng xung cho thấy các hệ số thời gian của bộ lọc FIR, với đáp ứng xung có tính đối xứng, xác nhận tính chất tuyến tính pha quan trọng của bộ lọc này Các hệ số lớn nhất nằm ở giữa (khoảng mẫu 32) đóng vai trò chủ yếu trong đáp ứng của bộ lọc, trong khi các hệ số nhỏ hơn ở hai bên thể hiện biên độ giảm dần của hàm sinc được nhân với cửa sổ Kaiser.
Đối xứng của đáp ứng xung đảm bảo bộ lọc có đáp ứng pha tuyến tính, không gây biến dạng pha cho tín hiệu.
Sự phân bố các hệ số cho thấy bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn với bậc Nc, phù hợp với thiết kế.
Hiệu năng tổng quát của bộ lọc:
Đặc tính dải thông: Các tín hiệu dưới 2200Hz được truyền qua mà không bị méo hoặc suy giảm, đúng với mục tiêu thiết kế.
Băng thông chuyển tiếp: Bộ lọc chuyển từ dải thông sang dải dừng trong khoảng 2200Hz đến 2500Hz, phù hợp với thông số thiết kế.
Suy giảm dải dừng: Các tần số trên 2500Hz bị suy giảm hơn 60dB, đảm bảo loại bỏ nhiễu hoặc tín hiệu không mong muốn trong dải dừng
Bộ lọc FIR sử dụng cửa sổ Kaiser đã đạt được hiệu quả cao trong thiết kế, với dải thông cho phép truyền tải tín hiệu phẳng và không bị méo Băng thông chuyển tiếp và dải dừng của bộ lọc đảm bảo suy giảm nhanh chóng các tần số không mong muốn, trong khi đáp ứng xung đối xứng khẳng định tính tuyến tính pha Điều này làm cho bộ lọc trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng yêu cầu độ chính xác cao trong xử lý tín hiệu.
Thiết kế bộ lọc FIR thông cao bằng phương pháp lấy mẫu tần số
Thực hiện chạy code trong file “FIR_Highpass_Filter” Sau đó nhập vào các giá trị của
Số mẫu, Tần số cắt dải truyền, Tần số của tín hiệu sin cần lọc và xem kết quả.
Ví dụ ở đây nhập: Số mẫu = 100, Tần số cắt dải truyền = 0.6*pi, Tần số của tín hiệu sin cần lọc lần lượt là 300, 700, 900 ta thu được kết quả sau:
Số mẫu (M0) là yếu tố quyết định độ dài của bộ lọc FIR, ảnh hưởng trực tiếp đến độ chính xác của bộ lọc Khi số mẫu tăng lên, độ phân giải và độ chính xác trong đáp ứng tần số cũng được cải thiện.
Tần số cắt dải truyền (ωp = 0.6 * π) là tần số quan trọng của bộ lọc, đánh dấu điểm mà bộ lọc bắt đầu loại bỏ các thành phần tần số thấp Tại tần số cắt này, bộ lọc cho phép các tần số cao đi qua trong khi chặn các tần số thấp hơn 600Hz.
Bộ lọc đầu ra chỉ giữ lại các thành phần tần số cao hơn tần số cắt 600Hz, loại bỏ tất cả các thành phần tần số dưới mức này Trong mô hình 3, chỉ còn lại tín hiệu với tần số f 2p0 Hz và f 30 Hz, trong khi tín hiệu có tần số f 100 Hz đã bị loại bỏ hoàn toàn.
Thiết kế bộ lọc IIR – Butterworth thông thấp
Cho bộ lọc thông thấp có thông số như sau:
Tần số cắt dải thông: ω p=0.3 pi
Tần số cắt dải chặn: ω s=0.4 pi
Suy hao dải chặn: A sPdB
Độ gợn sóng dải thông: R p=0.5 dB
Tần số lấy mẫu: f s00 Hz
Dựa vào các thông số đầu vào ta tính được tần số cắt của bộ lọc này là f c = ω p
Thực hiện chạy code trong file “IIR_Butterworth_Lowpass_Filter” ta thu được kết quả:
Hình dạng của bộ lọc:
Tín hiệu vào và ra:
Nhận xét về phổ tín hiệu cho thấy đầu vào bao gồm 4 thành phần tần số 100Hz, 120Hz, 200Hz và 280Hz Bộ lọc thông thấp với tần số cắt fc = 150Hz cho phép tín hiệu 100Hz và 120Hz đi qua, trong khi hai tín hiệu còn lại bị chặn Hiện tượng này dễ dàng nhận thấy qua phổ tín hiệu đầu ra.
Thiết kế bộ lọc IIR – Butterworth thông cao
Tần số lấy mẫu f s00 Hz
Ripple trong passband Rp=1dB
Giảm tín hiệu trong stopband Rs=1dB
Tần số cắt chuẩn hóa (chuẩn hóa theo Nyquist): ω p=f c/(f s/2)=0.4
Tần số trong dải stopband chuẩn hóa: ω s=ω p ∗ 0.8=0.32
Bậc bộ lọc n =9 (dựa trên các thông số mẫu trên)
Thực hiện chạy code trong file “IIR_Butterworth_Highpass_Filter” ta thu được kết quả:
Cho tín hiệu đầu vào là:sin(2π ∗ 50t )+0,5sin(2π ∗ 150t )+0,8sin(2π ∗ 300t )
Ta được tín hiệu trước và sau khi lọc như sau:
Ta được phổ tín hiệu trước và sau khi lọc như sau:
Bộ lọc với tần số cắt 200 Hz chỉ cho phép tín hiệu có tần số lớn hơn 200 Hz đi qua, trong trường hợp này là tín hiệu có tần số 300 Hz từ x(t) Do đó, phổ tín hiệu sau khi lọc chỉ còn lại phần phổ tại tần số 300 Hz.
Thiết kế bộ lọc IIR thông dải
Bộ lọc thông dải Butterworth có các thông số quan trọng như sau: hệ số suy hao trong dải thông k p = 0.4 dB, trong khi đó hệ số suy hao trong dải dừng k s = 50 dB Tần số cắt dưới của dải thông được xác định là f p 1 = 0 Hz, và tần số cắt trên là f p 2 = 350 Hz Ngoài ra, tần số dừng dưới là f s 1 = 0 Hz và tần số dừng trên là f s 2 = 0 Hz.
Chuyển đổi tần số sang dải tần số chuẩn hóa bao gồm các bước quan trọng: Tần số cắt dưới được chuẩn hóa là ω p 1 = f p 1 /(fs/2), trong khi tần số cắt trên chuẩn hóa là ω p 2 = f p 2 /(fs/2) Ngoài ra, tần số dừng dưới chuẩn hóa được xác định là ω s 1 = f s 1 /(fs/2) và tần số dừng trên chuẩn hóa là ω s 2 = f s 2 /(fs/2).
Với tín hiệu vào được tạo là: sin(2π ∗ 100t )+0.7si n(2π ∗ 200t )+0.4 si n (2 π ∗300t )+ sinsi n (2 π ∗400t ) ta thu được tín hiệu trước và sau khi lọc:
Bộ lọc Chebyshev loại 1 với thông số k p = 2 có suy hao trong dải thông là 50 dB Tần số cắt dưới của dải thông là f p 1 = 0 Hz và tần số cắt trên là f p 2 = 350 Hz Đối với dải dừng, tần số dừng dưới là f s 1 = 0 Hz và tần số dừng trên là f s 2 = 360 Hz.
Chuyển đổi tần số sang dải tần số chuẩn hóa được thực hiện qua các tần số cắt và tần số dừng Cụ thể, tần số cắt dưới được chuẩn hóa là ω p 1 = f p1 / (fs/2), tần số cắt trên là ω p 2 = f p2 / (fs/2), tần số dừng dưới là ω s 1 = f s1 / (fs/2) và tần số dừng trên là ω s 2 = f s2 / (fs/2) Hình dạng bộ lọc sẽ được xác định dựa trên các tần số này.
Với tín hiệu vào được tạo là: sin(2π ∗ 100t )+0.7si n(2π ∗ 200t )+0.4 si n (2 π ∗300t )+ sinsi n (2 π ∗400t ) ta thu được tín hiệu trước và sau khi lọc:
Bộ lọc Chebyshev loại 2 có thông số k p = 0.4 với suy hao trong dải thông đạt 50 dB Tần số cắt dưới của dải thông là f p 1 = 0 Hz, trong khi tần số cắt trên là f p 2 = 350 Hz Đối với tần số dừng, tần số dừng dưới được xác định là f s 1 = 0 Hz và tần số dừng trên là f s 2 = 0 Hz.
Chuyển đổi tần số sang dải tần số chuẩn hóa bao gồm các yếu tố quan trọng như tần số cắt dưới chuẩn hóa ω p 1 = f p 1 / (fs / 2) và tần số cắt trên chuẩn hóa ω p 2 = f p 2 / (fs / 2) Bên cạnh đó, tần số dừng dưới chuẩn hóa được xác định bởi ω s 1 = f s 1 / (fs / 2) và tần số dừng trên chuẩn hóa là ω s 2 = f s 2 / (fs / 2).
Với tín hiệu vào được tạo là: sin(2π ∗ 100t )+0.7si n(2π ∗ 200t )+0.4si n(2π ∗ 300t )+sinsi n(2π ∗ 400t ) ta thu được tín hiệu trước và sau khi lọc:
Tín hiệu đầu vào được lọc qua bộ lọc có tần số cắt dưới và trên của dải thông từ 150Hz đến 350Hz, cùng với tần số cắt dưới và trên của dải dừng từ 100Hz đến 400Hz, sẽ loại bỏ các tần số 100Hz và 400Hz, chỉ cho phép tần số 200Hz và 300Hz đi qua Tuy nhiên, hình dạng của bộ lọc sẽ khác nhau tùy thuộc vào kiểu thiết kế.
Với Butterworth ta thấy rằng ở dải thông sẽ phẳng và sẽ đơn điệu cho tới dải dừng, kèm theo đó độ dốc chuyển đổi tốt
Với Chebyshev1 ta thấy rằng ở dải thông sẽ có gợn sóng nhẹ và sẽ đơn điêu cho tới dải dừng, kèm theo đó độ dốc chuyển đổi rất tốt.
Với Chebyshev2 ta thấy rằng ở dải thông sẽ phẳng và gợn sóng ở dải dừng, dộ dốc rất tốt.