Đề tài sử dụng biến Đổi fourier nén dữ liệu

Phương pháp biến đổi Fourier chủ yếu được sử dụng để chuyển đổi tín hiệu từmiền thời gian sang miền tần số, giúp chúng ta có cái nhìn rõ ràng hơn về cấu trúc tần số của tín hiệu.. Một số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐỀ TÀI

SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI FOURIER NÉN DỮ LIỆU.

LỚP: L13 - NHÓM: 20 - HK232

GVHD: HUỲNH THÁI DUY PHƯƠNG

SINH VIÊN THỰC HIỆN

1 2213397 Nguyễn Kim Thư

2 2012653 Đặng Thiên Bảo

3 2114762 Huỳnh Quốc Thái

5 2313578 Nguyễn Hoàng Trinh

7 2313686 Trần Việt Trung

BÁO CÁO KẾT QUẢ LÀM VIỆC NHÓM

5 2313578 Nguyễn Hoàng Trinh

LỜI MỞ ĐẦU

Trong bối cảnh của xã hội hiện đại ngày nay, khi mà khoa học và công nghệđóng vai trò chủ chốt trong quá trình công nghiệp hóa và hiện đại hóa, việc xử lý vàquản lý lượng lớn dữ liệu trở nên cực kỳ quan trọng Dữ liệu phức tạp không chỉ đòihỏi dung lượng lớn để lưu trữ mà còn cần được xử lý một cách nhanh chóng và chínhxác để phục vụ cho các nhu cầu khác nhau Điều này đã thôi thúc sự phát triển của cácphương pháp xử lý thông tin tiên tiến, trong đó có phương pháp biến đổi Fourier, mộtcông cụ mạnh mẽ trong việc phân tích và xử lý tín hiệu

Phương pháp biến đổi Fourier chủ yếu được sử dụng để chuyển đổi tín hiệu từmiền thời gian sang miền tần số, giúp chúng ta có cái nhìn rõ ràng hơn về cấu trúc tần

số của tín hiệu Qua đó, việc xác định các thành phần tần số và biên độ của tín hiệu trởnên dễ dàng, cho phép việc xử lý, lọc, và phân tích tín hiệu được thực hiện một cáchhiệu quả hơn Điều này đặc biệt quan trọng trong các ứng dụng như truyền thông, xử

lý âm thanh, hình ảnh, và thậm chí trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên và kỹ thuật.Tuy nhiên, việc áp dụng phương pháp biến đổi Fourier cũng đặt ra những thách thứcnhất định, bao gồm việc tính toán phức tạp và đòi hỏi công nghệ xử lý mạnh mẽ Do

đó, sự cải tiến liên tục trong công nghệ máy tính và thuật toán xử lý tín hiệu là cầnthiết để tối ưu hóa hiệu suất và khả năng ứng dụng của phương pháp này

Việc thực hiện bài báo cáo dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy Huỳnh TháiDuy Phương đã mở ra một cánh cửa mới, giúp nhóm chúng tôi tiếp cận và hiểu sâuhơn về lý thuyết cũng như khai triển Fourier Qua đó, chúng tôi không chỉ có cơ hộiđược tìm hiểu, nghiên cứu về một lĩnh vực đầy thách thức mà còn được củng cố và mởrộng kiến thức của mình Điều này không chỉ giúp chúng tôi hoàn thiện bản thân màcòn là bước đệm quan trọng để tiếp tục nghiên cứu sâu hơn trong tương lai

Tuy nhiên, dù đã nỗ lực hết mình, chúng tôi nhận thức rằng trong quá trình thựchiện, không thể tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi luôn sẵn lòng lắng nghe và tiếpnhận mọi góp ý từ thầy cũng như từ tất cả mọi người để bài báo cáo này có thể đượchoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn thầy Huỳnh Thái Duy Phương đã kiên nhẫn,chia sẻ và hỗ trợ chúng tôi không chỉ về mặt kiến thức mà còn về tinh thần Chúng tôi

hy vọng sẽ tiếp tục nhận được sự hướng dẫn, ủng hộ từ thầy và mọi người để có thể

MỤC LỤC

Chương 1: Cơ Sở Lý Thuyết………

1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính………

2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính………

2.1 Định nghĩa nhân của ánh xạ tuyến tính………

2.2 Định nghĩa ảnh của ánh xạ tuyến tính………

2.3 Định lý………

3 Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính………

3.1 Định nghĩa………

3.2 Định lý………

3.3 Mối liên hệ giữa hai ma trận trong cơ sở khác nhau………

3.4 Hai ma trận đồng dạng………

Chương 2: Giới thiệu khai triển Fourier rời rạc………

1 Một số khái niệm cơ bản………

1.1 DFT đối với tín hiệu tương tự………

1.2 DFT với tín hiệu rời rạc………

2 DFT cho tín hiệu một chiều………

2.1 Định nghĩa………

2.2 Tính chất………

3 DFT cho tín hiệu hai chiều………

3.1 Định nghĩa………

3.2 Tính chất………

4 Ứng dụng của khai triển fourier rời rạc trong nén ảnh………

Chương 3: Code Python và hướng dẫn sử dụng phép biến đổi Fourier vào nén dữ

liệu……….

1 Các bước áp dụng biến đổi Fourier vào nén dữ liệu………

2 Code Python và diễn giải ………

3.3 Hiệu suất và đánh giá ……… KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHẦN MỞ ĐẦU

1 TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI

Khai triển Fourier là một kỹ thuật phổ biến và quan trọng trong xử lý tín hiệu vàtoán ứng dụng Joseph Fourier là người đã phát hiện và đưa ra thực tế để sử dụng chophép phân tích tín hiệu theo các thành phần tần số khác nhau Nó được ứng dụng rấtnhiều trong việc nén dữ liệu, nhận diện khuôn mặt,… vào cuộc sống cho nên chúng tôi

đã chọn đề tài “ Sử dụng biến đổi Fourier nén dữ liệu” để nghiên cứu và làm bài tập

lớn của mình

2 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Phép biến đổi và khai triển Fourier trong việc nén dữ liệu

3 PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Trong kỹ thuật

4 MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU

Sử dụng mở rộng Fourier để biểu diễn tín hiệu số cho phép chúng ta giảm kíchthước dữ liệu mà không làm mất thông tin quan trọng và tìm hiểu cách sử dụng tínhnăng mở rộng Fourier trong nén dữ liệu và so sánh nó với các phương pháp nén dữliệu khác

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Thông qua ánh xạ tuyến tính, khai triển và biến đổi Fourier

Sử dụng tính chập,

6 KẾT CẤU CỦA ĐỀ TÀI

Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài gồm 03chương:

- Chương 1: Cơ Sở Lý Thuyết

- Chương 2: Giới thiệu khai triển Fourier rời rạc

- Chương 3: Code Python và hướng dẫn sử dụng phép biến đổi Fourier vào nén dữ liệu

Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

Cho V và W là hai không gian vectơ trên cùng tập số K

Ánh xạ tuyến tính f :V → W giữa hai không gian vectơ V , W là một ánh xạ thỏamãn:

f(x + y)=f(x)+f(y), (∀ x, y ∈V )(∀ v1, v2∈V)f (v1+v2)=f (v1)+f (v2)

(∀ α ∈ K , ∀ v ∈V)f(αv)=αf (v)

2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

2.1 Định nghĩa nhân của ánh xạ tuyến tính:

Cho ánh xạ tuyến tính f :V → W

Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các vectơ x của không gian véctơ

V, sao cho f (x)=0

Kerf ={∀ x∈V ∨f (x)=0}

Nhân của ánh xạ tuyến tính

2.2 Định nghĩa ảnh của ánh xạ tuyến tính:

Cho ánh xạ tuyến tính f :V → W

Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các phần tử y của không gian

vectơ W sao cho tồn tại x ∈ V để y =f (x)

f ={ y∈ W∨∃ x∈V : y=f (x)}

Ảnh của ánh xạ tuyến tính

2.3 Định lý:

Cho ánh xạ tuyến tính f :V → W

1) Nhân của ánh xạ tuyến tính (Kerf ) là không gian con của V

2) Ảnh của ánh xạ tuyến tính (Imf ) là không gian con của W

Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi ảnh của một tậpsinh của V

Được gọi là biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f.

Cho ma trận A =(a ij)mxn trên tập số K khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyếntính f : K n → K m thỏa: [f(x)]F = A E , F [ X ] E

3.3 Mối liên hệ giữa hai ma trận trong cơ sở khác nhau

Cho ánh xạ tuyến tính f : X → Y

Cho 2 cơ sở của X là: E={e1, e2, ⋯ , e n}, E '={e '1, e '2, ⋯ , e ' n}

Cho 2 cơ sở của Y là: F={f1, f2, ⋯ , f n}, F '={f '1, f '2, ⋯ , f ' n}

P là ma trận chuyển cơ sở từ E vào E ':[ x]E =P[ x] E '

Q là ma trận chuyển cơ sở từ F vào F ':[ y] F =Q[ y] F '

A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E và F

Trong trường hợp đặc biệt:

+ A là ma trận của f trong cơ sở E

+ B là ma trận của f trong cơ sở F

⟹ A và B đồng dạng

Chương 2: GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC

1 Một số khái niệm cơ bản

Trong biến đổi Fourier, miền thời gian là không gian trong đó tín hiệu ban đầu

được mô tả Thông thường, miền thời gian là một đoạn thời gian liên tục hoặc mộtchuỗi các mẫu thời gian rời rạc Khi thực hiện biến đổi Fourier, tín hiệu từ miền thờigian được chuyển đổi sang miền tần số, nơi mà các thành phần tần số của tín hiệu cóthể được phân tích và định rõ

Trong biến đổi Fourier, miền tần số là không gian trong đó các thành phần tần

số của tín hiệu được mô tả Thông thường, miền tần số là một đoạn tần số liên tục hoặcmột tập hợp các tần số rời rạc Khi thực hiện biến đổi Fourier, tín hiệu từ miền thờigian được chuyển đổi sang miền tần số, giúp phân tích thành phần tần số của tín hiệu

và hiểu rõ hơn về cấu trúc tần số của nó

Chuỗi Fourier là một cách biểu diễn một hàm có chu kỳ bất kỳ (có thể không

chu kỳ) thành một tổ hợp tuyến tính của các hàm sin và cos Cụ thể, Chuỗi Fourier biểu diễn một hàm liên tục và chu kỳ T (hoặc không chu kỳ) như là một tổ hợp vô hạn của các hàm sin và cos với các tần số cơ bản và bội số của chúng.Ngoài ra, chuỗi Fourier còn là một công cụ quan trọng trong xử lý tín hiệu và toán học ứng dụng Nó

lý hơn, giúp trong việc giải các bài toán liên quan đến xử lý tín hiệu, hình ảnh, và nhiều lĩnh vực khác.

Biến đổi Fourier là một phép biến đổi toán học quan trọng trong lĩnh vực xử lý

tín hiệu và toán học ứng dụng Nó cho phép biến đổi một tín hiệu từ miền thời giansang miền tần số, hoặc ngược lại, để phân tích hoặc tổng hợp tín hiệu Biến đổi Fouriergiúp phân tích cấu trúc tần số của tín hiệu và là công cụ quan trọng trong nhiều lĩnhvực như xử lý ảnh, âm thanh, truyền thông, điện tử, và nhiều lĩnh vực khác

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) là một phiên bản của biến đổi Fourier áp dụng

cho tín hiệu rời rạc, tức là tín hiệu được đo tại các thời điểm rời rạc thay vì liên tục.Biến đổi này thường được sử dụng để phân tích và tổng hợp tín hiệu số, như các tínhiệu kỹ thuật số được lấy mẫu từ tín hiệu thực tế Biến đổi Fourier rời rạc có ứng dụngrộng rãi trong xử lý tín hiệu số, truyền thông số, và nhiều lĩnh vực khác

Biến đổi Fourier nhanh (FFT) là một thuật toán hiệu quả để tính toán biến đổi

Fourier của một tín hiệu rời rạc Nó là một phiên bản tối ưu hóa của biến đổi Fourierrời rạc, giúp giảm đáng kể thời gian tính toán so với phương pháp truyền thống FFTđược sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu số, truyền thông, xử lý hình ảnh, và nhiềuứng dụng khác nơi cần phải thực hiện phân tích tần số nhanh chóng trên dữ liệu số

Biến đổi Fourier có một số tính chất quan trọng:

1 Tính tuyến tính: Biến đổi Fourier của tổng của hai tín hiệu bằng tổng của

biến đổi Fourier của từng tín hiệu đó riêng lẻ

2 Tính đối xứng: Có một mối quan hệ đối xứng giữa biến đổi Fourier của một

tín hiệu và biến đổi Fourier của nghịch đảo thời gian của tín hiệu đó

3 Tính dịch chuyển thời gian: Việc dịch chuyển tín hiệu trong miền thời gian

tương đương với việc nhân tín hiệu trong miền tần số với một hàm phức theo tần số

4 Tính dãn tần số: Việc mở rộng hay thu hẹp tín hiệu trong miền thời gian

tương đương với việc nhân tín hiệu trong miền tần số với một hàm phức theo thờigian

5 Tính đối xứng phản kích: Biến đổi Fourier của một hàm thực là một hàm

chẵn và biến đổi Fourier của một hàm ảo là một hàm lẻ

Các tính chất này làm cho biến đổi Fourier trở thành một công cụ mạnh mẽtrong việc phân tích và tổng hợp tín hiệu trong nhiều lĩnh vực khác nhau

Nén dữ liệu là quá trình giảm kích thước của dữ liệu để tiết kiệm không gian

lưu trữ hoặc băng thông truyền thông Trong đề tài này, chúng ta xem xét các phương pháp nén dữ liệu sử dụng biến đổi Fourier như biến đổi Cosine rời rạc (DCT) và biến đổi Walsh-Hadamard

1.1 DFT đối với tín hiệu tương tự:

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) đối với tín hiệu tương tự là một biến thể của DFTđược áp dụng cho tín hiệu liên tục hoặc tương tự, thay vì tín hiệu rời rạc Trong trườnghợp này, chúng ta không có một số lượng hữu hạn các mẫu như trong tín hiệu rời rạc,

mà thay vào đó chúng ta có một tín hiệu liên tục được biểu diễn trong miền thời gian

Để thực hiện DFT cho tín hiệu tương tự, chúng ta cần sử dụng một phiên bản liêntục của công thức DFT, được gọi là biến đổi Fourier liên tục (CFT) CFT biểu diễnmột tín hiệu liên tục thành miền tần số và cho phép phân tích cấu trúc tần số của tínhiệu tương tự

Công thức CFT cho tín hiệu tương tự x(t) là:

- X(f) là phổ tần số của tín hiệu tương tự ở tần số \( f \)

- x(t) là tín hiệu tương tự trong miền thời gian

- t là biến thời gian

1.2 DFT với tín hiệu rời rạc:

Một chuỗi tín hiệu x[n], trong đó n là chỉ số mẫu thời gian (đôi khi được coi là

thời điểm), DFT sẽ chuyển đổi chuỗi này thành một chuỗi hệ số tần số X[k], trong đó k

là chỉ số tần số Công thức chính xác của DFT cho một tín hiệu rời rạc là:

- x[n] là giá trị mẫu của tín hiệu đầu vào tại thời điểm n

- N là số lượng mẫu trong tín hiệu

2 DFT cho tín hiệu một chiều

Công thức này tính toán hệ số biến đổi Fourier rời rạc F(n) cho mỗi tần số thứ nbằng cách tổng hợp tất cả các mẫu tín hiệu f(kT) với một hàm phức với tần sốe −i 2 πkn N

3 Tính đối xứng: DFT của một tín hiệu x[n] là một chuỗi có tính chất đối xứng,

nghĩa là X[k] = (N −k) cho mọi k

4 Tính chồng chất: DFT của một tín hiệu được lặp lại trong không gian thời gian(periodic extension) sẽ tạo ra một phổ mặt đối xứng trong miền tần số

5 Tính đối xứng phản kích: Nếu tín hiệux [n] là thực, thì DFT của nó X [k] sẽ có

tính chất đối xứng phản kích, tức là X[k] = X¿( N−k), với liên hợp phức (*) biểu thị phứchợp của một số

DFT cho tín hiệu hai chiều được biểu diễn bằng công thức sau:

- x[m , n] là giá trị pixel tại vị trí(m , n) trên hình ảnh

- M và N là chiều dài và chiều rộng của hình ảnh

3.2 Tính chất

Các tính chất quan trọng của biến đổi Fourier rời rạc (DFT) cho tín hiệu hai

1 Tính tuyến tính: DFT là một phép biến đổi tuyến tính, tức là nó thỏa mãn tínhchất tuyến tính Nói cách khác, DFT của tổng của hai tín hiệu hai chiều bằng tổng của DFT của từng tín hiệu đó riêng lẻ.

2 Tính chập và tích hạt nhân: DFT của tích của hai tín hiệu hai chiều bằng convolution của DFT của từng tín hiệu Ngược lại, DFT của convolution của hai tín hiệu hai chiều bằng tích Hadamard (tích hạt nhân) của DFT của từng tín hiệu

3 Tính đối xứng: DFT của một tín hiệu hai chiềux[m , n] là một ma trận có tính chất đối xứng, nghĩa là X[k , l] = X[M −k , N−l] cho mọi k và l

4 Tính chồng chất: DFT của một tín hiệu hai chiều được lặp lại trong không gian thời gian (periodic extension) sẽ tạo ra một phổ mặt đối xứng trong miền tần số

5 Tính đối xứng phản kích: Nếu tín hiệux[m , n] là thực, thì DFT của nó X[k , l]

sẽ có tính chất đối xứng phản kích, tức là X[k,l] = X¿( M−k , N−l), với ( * ) biểu thị phức hợp của một số

Các tính chất này giúp hiểu rõ cách DFT tương tác với tín hiệu hai chiều và làmcho nó trở thành một công cụ quan trọng trong phân tích và xử lý tín hiệu hai chiều như hình ảnh và video

4 Ứng dụng của khai triển Fourier rời rạc trong nén ảnh

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) được sử dụng trong nén ảnh để biểu diễn hìnhảnh dưới dạng các thành phần tần số Các ứng dụng cụ thể bao gồm:

1 Biến đổi hình ảnh từ không gian thời gian sang không gian tần số: DFT được

sử dụng để chuyển đổi hình ảnh từ miền không gian sang miền tần số, tức là biểu diễnhình ảnh dưới dạng các thành phần tần số khác nhau

2 Loại bỏ thông tin không cần thiết: Sau khi biến đổi sang miền tần số, các

thành phần tần số không quan trọng có thể được loại bỏ hoặc lượng tử hóa một cáchhiệu quả Điều này giúp giảm kích thước của tập tin hình ảnh mà vẫn giữ lại mức độchất lượng chấp nhận được

3 Sử dụng kỹ thuật nén hỗn hợp: Kết hợp các kỹ thuật nén không mất và mất

thông tin, trong đó thông tin tần số thấp được lưu trữ một cách chính xác, trong khithông tin tần số cao được lượng tử hóa hoặc loại bỏ

4 Ứng dụng trong các định dạng hình ảnh nén: Các chuẩn nén hình ảnh như

JPEG sử dụng biến đổi Fourier rời rạc để chuyển đổi hình ảnh thành miền tần số và ápdụng kỹ thuật nén phù hợp trên các thành phần tần số

Tóm lại, biến đổi Fourier rời rạc được sử dụng trong nén ảnh để chuyển đổihình ảnh thành miền tần số và loại bỏ hoặc lượng tử hóa các thành phần tần số khôngcần thiết, giúp giảm kích thước tập tin mà vẫn duy trì chất lượng hình ảnh chấp nhậnđược

Ví dụ: Nếu bạn có một bức ảnh của một bức tường đơn giản (Hình 1), sự thayđổi giữa các pixel từ trái sang phải hoặc từ trên xuống dưới là ít Trong miền tần số,điều này tương đương với sự hiện diện của các tần số thấp, nhưng không phải các tần

số cao

Mặt khác, nếu bạn có một hình ảnh của một hàng rào picket (Hình 2), thì sựthay đổi giữa các pixel sẽ liên tục khi di chuyển từ trái sang phải Do đó, trong miềnFourier, bạn sẽ thấy các tần số cao theo hướng X, nhưng không theo hướng Y

Cuối cùng, nếu bạn có một hình ảnh của một bàn cờ (Hình 3), thì các giá trịpixel sẽ thay đổi nhiều cả hai hướng Vì vậy, biến đổi Fourier của hình ảnh sẽ có cáctần số cao cả ở hướng X và Y