Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2 BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2 A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI 1. = + + ∫ 2 2 du 1 u arctg c a a u a 4. = + ∫ du 2 u c u 2. − = + + − ∫ 2 2 du 1 u a ln c 2a u a u a 5. ( ) = + > − ∫ 2 2 du u arcsin c a 0 a a u 3. + = + − − ∫ 2 2 du 1 a u ln c 2a a u a u 6. = + ± + ± ∫ 2 2 du ln u u p c u p Kỹ năng biến đổi tam thức bậc 2: 1. − + + = + − ÷ 2 2 2 2 b b 4ac ax bx c a x 2a 4a 2. ( ) + + = ± + ± 2 2 2 ax bx c mx n p B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN I. Dạng 1: ∫ 2 dx A = ax + bx + c 1. Phương pháp: ( ) + = = + + + + + ∫ ∫ 2 2 2 dx dx 1 mx n arctg c mp p ax bx c mx n p ( ) + − = = + + + + + + − ∫ ∫ 2 2 2 mx n pdx dx 1 ln c 2mp mx n p ax bx c mx n p 2. Các bài tập mẫu minh họa • ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 d d 1 d 2 2 1 2 2 3 ln 2 4 8 1 4 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 x x x x A c x x x x x + + − = = = = + + + + + + − + − ∫ ∫ ∫ 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 1 2 dx A 3x 4x 2 = − − ∫ ; 2 3 2 2 dx dx A ; A ; 4x 6x 1 5x 8x 6 = = − + + − + ∫ ∫ 2 1 1 4 5 6 2 2 2 1 0 0 dx dx dx A ; A ; A 7x 4x 3 6 3x 2x 4x 6x 3 = = = − + − + − + ∫ ∫ ∫ 9 Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương II. Dạng 2: ( ) ∫ 2 mx + n B = dx ax + bx + c 1. Phương pháp: ( ) ( ) ( ) + + − + = = + + + + ∫ ∫ 2 2 m mb 2ax b n mx n 2a 2a B dx dx ax bx c ax bx c = = ( ) + + + − ÷ + + ∫ 2 2 d ax bx c m mb n A 2a 2a ax bx c = + + + − ÷ 2 m mb ln ax bx c n A 2a 2a Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm) • Nếu mẫu có nghiệm kép 0 x x= tức là 2 2 0 ( )ax bx c a x x+ + = − thì ta giả sử: ( ) + = + ∀ − + + − 2 2 0 0 mx n x x x ax bx c x x α β Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm α, β. Với α, β vừa tìm ta có: ( ) + = + + ∫ 2 mx n B dx ax bx c = ln − − + − 0 0 x x c x x β α • Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ,x x : 2 1 2 ( )( )ax bx c a x x x x+ + = − − thì ta giả sử + = + ∀ − − + + 2 1 2 mx n x x x x x ax bx c α β Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm α, β. Với α, β vừa tìm ta có: ( ) dx + = + + ∫ 2 mx n B ax bx c = ln ln− + − + 1 2 x x x x c α β 2. Các bài tập mẫu minh họa: • − ∫ 1 2 2x + 3 B = dx 9x 6x + 1 ( ) ( ) 2 2 2 1 11 18 6 1 18 6 d 11 d 9 3 d 9 3 9 6 1 9 6 1 9 6 1 x x x x x x x x x x x − + − = = + − + − + − + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 9 6 1 11 3 1 2 11 ln 3 1 9 9 9 9 3 1 9 6 1 3 1 d x x d x x c x x x x − + − = + = − − + − − + − ∫ ∫ 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 10 Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 2 2 7 3x dx 3x 4 dx 2 7x dx B ; B ; B 4x 6x 1 2x 7x 9 5x 8x 4 − − − = = = − − − + − − ∫ ∫ ∫ ; III. Dạng 3: ∫ 2 dx C = ax + bx + c 1. Phương pháp: Bổ đề: ln 2 2 du u u k c u k = + + + + ∫ Biến đổi nguyên hàm về 1 trong 2 dạng sau: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 dx dx 1 lnC mx n mx n k c m ax bx c mx n k = = = + + + + + + + + + ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 dx dx 1 arcsin 0 mx n C p m p ax bx c p mx n + = = = > + + − + ∫ ∫ 2. Các bài tập mẫu minh họa: • ( ) ( ) 2 3 2 2 d 1 d 5 5 45 ln 4 16 2 4 45 4 10 5 5 4 16 x x C x x c x x x = = = − + − − + − − − − ∫ ∫ 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 1 2 3 2 2 2 dx dx dx C ; C ; C 3x 8x 1 7 8x 10x 5 12x 4 2 x = = = − + − − − − ∫ ∫ ∫ IV. Dạng 4: ( ) ∫ 2 mx + n dx D = ax + bx + c 1. Phương pháp: ( ) 2 2 2 dx dx 2 2 ax b m mb D a a ax bx c ax bx c + = − + + + + ∫ ∫ = ( ) 2 2 2 2 d ax bx c m mb C a a ax bx c + + − × + + ∫ 2. Các bài tập mẫu minh họa: • D 1 = ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 0 0 0 4 d 2 d d 2 4 5 4 5 4 5 x x x x x x x x x x x + + = + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 1 d 4 5 d 2 4 5 2ln 2 4 5 2 4 5 2 1 x x x x x x x x x x x + + = + = + + + + + + + + + + + ∫ ∫ ( ) ( ) 3 10 10 5 2 ln 3 10 2ln 2 5 10 5 2 ln 2 5 + = − + + − + = − + + 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 11 Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 2 2 5 4x dx 3x 7 dx 8x 11 dx D ; D ; D 3x 2x 1 2x 5x 1 9 6x 4x − + − = = = − + − − − − ∫ ∫ ∫ V. Dạng 5: ( ) ∫ 2 dx E = px + q ax + bx + c 1. Phương pháp: Đặt 2 1 dt 1 1 dx ;px q p x q t p t t − + = ⇒ = = − ÷ . Khi đó: ( ) 2 2 2 2 2 dt pt dx dt E px q ax bx c t t 1 a 1 b 1 q q c t t p t p − = = = ± + + + α + β + γ − + − + ÷ ÷ ∫ ∫ ∫ 2. Các bài tập mẫu minh họa: • ( ) ∫ 3 1 2 2 dx E = x - 1 x - 2x + 2 . Đặt 2 2 1 1 1 1 3 1 ; 2 dx x t t x t x x t t dt t = ⇒ = + = ⇒ = − = ⇒ = − = Khi đó: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 1 2 2 2 1 dt t dx E 1 x-1 x 2x 2 t 1 t 1 2 2 t t t − = = − + + + − + ∫ ∫ ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 dt 1 5 2 2 2 ln t t 1 ln 1 2 ln ln 2 1 5 t 1 + + = = + + = + − = + + ∫ 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 2 3 2 2 2 1 2 2 dx dx dx E ; E ; E 2x 3 x 3x 1 3x 4 2x 3x 7 x 1 x 1 = = = + + − − + + − + ∫ ∫ ∫ VI. Dạng 6: ( ) ( ) ∫ 2 mx + n dx F = px + q ax + bx + c 1. Phương pháp: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 dx dx mq m px q n mx n p p F px q ax bx c px q ax bx c + + − ÷ + = = + + + + + + ∫ ∫ ( ) 2 2 dx dxmq mqm m F n C n E p p p p ax bx c px q ax bx c = + − = + − ÷ ÷ + + + + + ∫ ∫ 12 Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2 2. Các bài tập mẫu minh họa: ( ) ( ) 1 1 2 0 2 3 d 1 2 2 x x F x x x + = = + + + ∫ ( ) 1 1 2 2 0 0 dx dx 2 2I J x 2x 2 x 1 x 2x 2 + = + + + + + + ∫ ∫ 1 2 0 dx 2 2 I x x = + + ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 2 0 dx 2 5 ln 1 1 1 ln 1 2 1 1 x x x + = = + + + + = + + + ∫ ( ) 1 2 0 1 2 2 dx J x x x = + + + ∫ . Đặt 2 0 1 1 1 1 1 2 dx x t x t x t dt t = ⇒ = = ⇒ = + = ⇒ − = . Khi đó: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 dt t dt 2 2 2 J ln t t 1 ln 1 5 1 t 1 1 1 1 2 1 2 t t t − + = = = + + = + + − + − + ∫ ∫ ⇒ F 1 = 2I + J = ( ) ( ) ( ) 2 5 2 2 2 2 9 4 5 2ln ln ln 1 2 1 5 1 2 1 5 + + + + = + + + + • ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 5 1 2 1 2 2 2 1 4 3 x dx x x x − − + + = + − − − ∫ ∫ -3 2 2 2 -2 x + 3 dx F = 2x + 1 -x - 4x - 3 ( ) 3 2 3 2 2 2 2 2 1 dx 5 dx 1 5 I J 2 2 2 2 x 4x 3 2x 1 x 4x 3 − − − − = + = + − − − + − − − ∫ ∫ 3 2 2 2 4 3 dx I x x − − = − − − ∫ ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 2 dx arcsin x 2 6 1 x 2 − − − − π = = + = − + ∫ ( ) 3 2 2 2 2 1 4 3 dx J x x x − − = + − − − ∫ . Đặt 2 1 2 3 1 1 3 1 2 1 2 2 2 2 x t t x t x x ; t t dt dx t − = − ⇒ = − − − = ⇒ = + = ⇒ = − = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 2 2 2 1 3 1 2 1 3 1 3 2 2 1 2 1 2 dt 2t dt J 1 5t 6t 1 1 1 1 1 2 1 3 4 t t t 1 dt 1 5t 3 1 2 1 arcsin arcsin arcsin 2 3 4 5 5 5 3 2 t 5 5 − − − − − − − − − = = − − − − − − − − + = = = − ÷ − + ∫ ∫ ∫ Vậy ( ) 2 5 5 1 2 1 F I J arcsin arcsin 2 2 12 2 3 4 π = + = + − 13 Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 3 2 2 2 0 0 0 4x 7 dx 6 7x dx 7 9x dx F ; F ; F 8 5x 3x 4x 2 2x 5 x x 4 4x 3 2x x 1 + − − = = = − − + + − + + + + ∫ ∫ ∫ VII. Dạng 7: ( ) ∫ 2 2 xdx G = ax + b cx + d 1. Phương pháp: Đặt 2 2 2 2 2 t d t dt t cx d t cx d x ; x dx c c − = + ⇒ = + ⇒ = = Khi đó: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1t dt dt G A c c at bc ad c a t d b t c = = = × + − − + ∫ ∫ 2. Các bài tập mẫu minh họa: • ( ) ∫ 1 1 2 2 0 xdx G = 5 - 2x 6x + 1 . Đặt 2 0 1 6 1 1 7 6 x t t x x t x dx t dt = ⇒ = = + ⇒ = ⇒ = = . Khi đó: ( ) ( ) 7 7 7 1 2 2 2 1 1 1 3 4 7 1 t dt 1 dt 1 1 4 t 1 G ln ln 6 2 2 8 4 t 16 4 t 16 t 5 4 7 t 3 + + = = = = ÷ − − − − ÷ ∫ ∫ 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 3 2 2 2 2 2 2 1 1 0 x dx x dx x dx G ; G ; G 4x 3 5 x 5x 11 7 3x 8 7x 2x 1 = = = − − − − − + ∫ ∫ ∫ VIII. Dạng 8: ( ) ∫ 2 2 dx H = ax + b cx + d 1. Phương pháp: Đặt ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 d td.dt xt cx d x t cx d x xdx t c t c − = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = − − ⇒ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 td.dt t c dx xdx dt x xt t c td t c cx d − − − = = = − − + . Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 dx dt dt H A ad bt ad bc ax b cx d b t c t c − − = = = = + − + + + − ÷ − ∫ ∫ ∫ 2. Các bài tập mẫu minh họa: 14 Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2 • ( ) ∫ 3 1 2 2 2 dx H = x - 2 x + 3 . Đặt 2 2 2 3 3 3 3 7 2 2 x t x xt x t x x t = ⇒ = + = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = và ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3t dt x t x 3 t 1 x 3 x x dx t 1 t 1 − = + ⇒ − = ⇒ = ⇒ = − − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3t dt t 1 dx x dx dt x xt t 1 3t t 1 x 3 − − − = = = − − + . Khi đó ta có: 2 3 1 2 7 2 dt 2 5 H t = = − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 7 2 1 2 5 1 2 2 15 14 2 5 ln ln 2 10 2 5 2 10 2 2 15 14 2 5 t t − − + = + + − 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 d d 5 ; ; d 2 3 1 5 2 3 2 3 1 x x x H H H x x x x x x x x + = = = + − − + + + − ∫ ∫ ∫ IX. Dạng 9: ( ) ( ) ∫ 2 2 mx + n dx I = ax + b cx + d 1. Phương pháp: ( ) ( ) 2 22 2 xdx dx I m n mG nH ax b cx d ax b cx d = + = + + + + + ∫ ∫ 2. Các bài tập mẫu minh họa: • ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 3 2 2 2 4 1 7 1 5 3 1 2 x dx x x − + = − − − + ∫ ∫ 3 1 2 2 2 4x + 3 dx I = x - 2x - 4 3x - 6x + 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 du udu du 4u 7 4 7 4J 7L u 5 3u 2 u 5 3u 2 u 5 3u 2 + = = + = − − + − + − + ∫ ∫ ∫ Xét ( ) 2 2 2 1 5 3 2 udu J u u = − + ∫ . Đặt 2 2 2 2 3 2 3 3 t tdt t u u udu − = + ⇒ = ⇒ = ( ) ( ) 14 2 14 14 2 2 2 2 1 5 5 5 udu tdt dt 1 t 17 J ln 2 17 t 17 t 17 t 17 t u 5 3u 2 − = = = = + − − − + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 17 14 17 5 1 17 14 17 5 1 ln ln ln 2 17 17 14 17 5 2 17 17 14 17 5 − + − − = − = ÷ + + + − 15 Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương Xét ( ) 2 2 2 1 5 3 2 du L u u = − + ∫ . Đặt 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 ut u u t u u t = + ⇒ = + ⇒ = − ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2tdt t 3 2tdt du udu dt udu u ut t 3 2t t 3 3u 2 t 3 − − − = ⇒ = = = − − + − . Khi đó: ( ) ( ) 14 2 14 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 du dt dt L 2 17 5t u 5 3u 2 5 t 3 t 3 = = = = − − + − − ÷ − ∫ ∫ ∫ 14 2 2 1 1 17 t 5 ln 5 2 17 17 t 5 + = × − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 70 2 17 2 5 17 ln 2 85 70 2 17 2 5 17 + − = − + ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 17 14 17 5 4 7 70 2 17 2 5 17 I 4J 7L ln ln 2 17 2 85 17 14 17 5 70 2 17 2 5 17 − + + − = − = − + − − + • ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 6 1 2 2 2 1 2 1 1 1 5 2 1 3 x dx x x − − + − = + + + − ∫ ∫ 6 -1 2 2 2 2 -1 2x + 1 dx I = x + 2x + 6 2x + 4x - 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2u 1 du udu du 2 2J L u 5 2u 3 u 5 2u 3 u 5 2u 3 − = = − = − + − + − + − ∫ ∫ ∫ Xét ( ) 6 2 2 2 5 2 3 udu J u u = + − ∫ . Đặt 2 2 2 3 2 3 2 2 t tdt t u u udu + = − ⇒ = ⇒ = ( ) ( ) 6 3 3 2 2 2 2 1 1 2 udu tdt dt 2 3 1 J arctg arctg t 13 13 13 13 t 13 t u 5 2u 3 = = = = − ÷ + + + − ∫ ∫ ∫ Xét L = ( ) 6 2 2 2 5 2 3 du u u + − ∫ . Đặt 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 ut u u t u u t = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ ( ) 2 2 3tdt udu 2 t = − ⇒ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3tdt 2 t du udu dt u ut 2 t 3t 2 t 2u 3 − = = = − − − . Khi đó: ( ) ( ) 3 6 3 6 3 6 6 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 du dt dt 1 dt L 13 3 5 13 5t u 5 2u 3 t 5 2 t 5 2 t = = = = − + − − + − ÷ − ∫ ∫ ∫ ∫ 16 Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2 3 6 1 2 13 5 t 1 1 1 78 3 5 26 5 ln ln ln 5 2 13 5 13 5 t 2 65 78 3 5 26 5 + + − = × = − ÷ ÷ − − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 1 1 78 3 5 26 5 I 2J L arctg arctg ln 13 13 13 2 65 78 3 5 26 5 + + = − = − − ÷ − − 17 . Phương Xét ( ) 2 2 2 1 5 3 2 du L u u = − + ∫ . Đặt 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 ut u u t u u t = + ⇒ = + ⇒ = − ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2tdt t 3 2tdt du udu dt udu u ut t 3 2t t 3 3u 2 t 3 − − − =. 2 2 1 2 1 1 1 5 2 1 3 x dx x x − − + − = + + + − ∫ ∫ 6 -1 2 2 2 2 -1 2x + 1 dx I = x + 2x + 6 2x + 4x - 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2u 1 du udu du 2 2J L u 5 2u 3 u 5 2u. 2 dt 2 5 H t = = − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 7 2 1 2 5 1 2 2 15 14 2 5 ln ln 2 10 2 5 2 10 2 2 15 14 2 5 t t − − + = + + − 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1