Lezioni di Cosmologia Teorica doc

A mia moglie e mia figlia Maurizio Gasperini Lezioni di Cosmologia Teorica Maurizio Gasperini Dipartimento di Fisica Universit ` a di Bari UNITEXT- Collana di Fisica e Astronomia ISSN versione cartacea: 2038-5730 ISSN elettronico: 2038-5765 ISBN 978-88-470-2483-0 e-ISBN 978-88-470-2484-7 DOI 10.1007/978-88-470-2484-7 Springer Milan Dordrecht Heidelberg London New York c  Springer-Verlag Italia 2012 Quest’opera ` e protetta dalla legge sul diritto d’autore e la sua riproduzione ` e ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere ef- fettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire so- lo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n.108, Milano 20122, e-mail segreteria@aidro.org e sito web www.aidro.org. 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Copertina: Simona Colombo, Milano Impaginazione: CompoMat S.r.l., Configni (RI) Stampa: GECA Industrie Grafiche, Cesano Boscone (MI) Stampato in Italia Springer-Verlag Italia S.r.l., Via Decembrio 28, I-20137 Milano Springer fa parte di Springer Science + Business Media (www.springer.com) Prefazione Questo libro rappresenta la continuazione ideale di un precedente testo di teoria del- l’interazione gravitazionale 1 , preparato per i corsi della Laurea Magistrale in Fisica. ` E comunque formulato in modo autosufficiente, in quanto include un capitolo ini- ziale che introduce e illustra brevemente tutte le nozioni di relativit ` a generale e di geometria Riemanniana utilizzate nei capitoli successivi. Come il precedente, anche questo testo ` e rivolto agli studenti della nuova Laurea Magistrale in Fisica e in Astronomia, e in particolare a quelli degli indirizzi Teori- co, Astrofisico e Astroparticellare. Contiene gli elementi di base della cosmologia relativistica, del cosiddetto modello cosmologico standard e del suo completamento inflazionario. ` E organizzato per servire da traccia ad un corso di cosmologia di stam- po teorico, ma cerca di non perdere mai di vista il confronto con i principali risul- tati osservativi. Particolare attenzione viene infatti dedicata alla fenomenologia dei fondi cosmici, la cui descrizione ed interpretazione rappresenta uno dei principali obiettivi della cosmologia moderna. La cosmologia attuale ` e un campo di ricerca molto vasto e in continuo fermen- to, stimolato dall’arrivo di dati sperimentali sempre pi ` u precisi e dal corrispondente insorgere di nuove idee, nuovi modelli, nuovi scenari per l’Universo primordiale, in stretto contatto con i progressi della fisica teorica delle alte energie e delle intera- zioni fondamentali. ` E dunque inevitabile che un libro di testo, progettato in modo specifico per un corso di durata semestrale (con contenuti necessariamente limitati), non possa fornire un rendiconto completo ed adeguato di tutti i risultati ottenuti e di tutti gli studi cosmologici attualmente in corso. Per rispettare i vincoli imposti dalla programmazione didattica si ` e preferito ri- durre al minimo la parte che riguarda il modello cosmologico standard, e far po- sto ad alcuni recenti sviluppi di cosmologia primordiale che appaiono potenzial- mente rilevanti, soprattutto in vista dei risultati osservativi attesi per l’immedia- to futuro. Viene omesso, in particolare, uno studio esplicito della nucleosintesi e della bariogenesi, tenendo conto che tali argomenti vengono affrontati anche in 1 M. Gasperini, Relativit ` a Generale e Teoria della Gravitazione (Springer-Verlag, Milano, 2010). vi Prefazione altri corsi specificatamente dedicati alle problematiche della fisica subnucleare e astroparticellare. Viene invece dedicato molto spazio alla teoria delle perturbazioni cosmologi- che, strumento indispensabile per lo studio dei fondi cosmici. ` E inoltre inclusa una discussione dettagliata della radiazione gravitazionale fossile perch ´ e la sua rivela- zione, diretta o indiretta, potrebbe dare indicazioni cruciali sulla scelta del corretto modello inflazionario. Non mancano alcuni accenni ad argomenti di interesse emer- gente, di tipo teorico-fenomenologico, come lo studio dell’effetto di “deriva” del redshift (il cosiddetto redshift drift), e il problema delle medie cosmologiche, fatte su ipersuperfici spaziali e sul cono luce. Vengono infine presentate alcune recentis- sime idee sui modelli d’universo “a membrana”, anche in vista del loro possibile impatto sulla fisica delle interazioni fondamentali. L’appendice dedicata a questo argomento potrebbe essere usata come punto di partenza per corsi di livello pi ` u avanzato, da svolgere nel contesto del Dottorato di Ricerca. Come a volte capita nella prima stesura di un libro di testo, ` e possibile che an- che in queste note siano presenti errori, imprecisioni, o importanti omissioni. Tutti i lettori che vorranno segnalarmi le eventuali inesattezze riscontrate (o anche pre- sentare critiche e commenti) possono farlo inviando un messaggio di posta elettro- nica all’indirizzo gasperini@ba.infn.it, e li ringrazio in anticipo per la loro collaborazione. Ringraziamenti ` E doveroso sottolineare che alcune parti di questo libro hanno tratto grande profit- to dal lavoro di ricerca svolto in collaborazione con amici e colleghi che ricordo con molta stima e gratidudine. A questo proposito vorrei ringraziare, in particolare, Massimo Giovannini e Gabriele Veneziano. Desidero ringraziare anche tutti gli studenti ed i colleghi che nel corso degli an- ni hanno contribuito, con i loro commenti, suggerimenti e critiche, a correggere e migliorare queste note. Elencarli tutti sarebbe impossibile, per cui mi limito a rin- graziarli collettivamente. Faccio un’eccezione per l’amico e collega Luigi Tedesco, che ringrazio in particolare per aver letto criticamente e commentato alcune parti di questo manoscritto. Sono infine grato alla Springer-Verlag Italia, e in particolare a Marina Forlizzi, per l’incoraggiamento ricevuto, gli utili consigli e l’ottima riuscita editoriale di que- sto libro. Un sentito ringraziamento va anche a Pierpaolo Riva per la sua preziosa guida ed assistenza nella fase finale di produzione del manoscritto. Cesena, ottobre 2011 Maurizio Gasperini Notazioni, convenzioni e unit ` a di misura In questo libro, a meno che non sia esplicitamente indicato il contrario, usere- mo lo 0 come indice temporale; le lettere latine minuscole i, j,k, per gli indi- ci spaziali 1,2,3; e le lettere greche minuscole μ,ν,α, per gli indici spazio- temporali 0, 1,2,3. In una variet ` a multidimensionale con d dimensioni spaziali, d > 3, indicheremo invece gli indici spazio-temporali con le lettere latine maiu- scole, A,B,C,···= 0,1,2,3, ,d. Come di consueto useremo la convenzione della sommatoria, e quindi indici ripetuti in posizioni verticali opposte si intenderanno sommati. Ad esempio: φ α ψ α = 3 ∑ α=0 φ α ψ α . Per la metrica g μν dello spazio-tempo adotteremo la segnatura pseudo-Euclidea con autovalore temporale positivo, g μν = diag(+,−,−,−) , e indicheremo con g il determinante della matrice che rappresenta le sue componenti covarianti, g ≡detg μν . Le convenzioni per i principali oggetti geometrici sono le seguenti. Tensore di Riemann: R μνα β = ∂ μ Γ να β +Γ μρ β Γ να ρ −{μ ↔ ν}, dove il simbolo {μ ↔ ν} indica un’espressione identica a quella che lo precede, ma con l’indice μ sostituito da ν e viceversa. Tensore di Ricci: R να = R μνα μ = R (να) ; viii Notazioni, convenzioni e unit ` a di misura derivata covariante: ∇ μ V α = ∂ μ V α +Γ μβ α V β ; ∇ μ V α = ∂ μ V α −Γ μα β V β , dove Γ μν α ` e la connessione di Christoffel: Γ μν α = 1 2 g αβ  ∂ μ g νβ + ∂ ν g μβ −∂ α g μν  = Γ (μν) α . Gli indici racchiusi in parentesi tonde oppure quadre si intendono, rispettivamente, simmetrizzati o antisimmetrizzati in accordo alla regola: T (αβ) ≡ 1 2  T αβ + T βα  , T [αβ] ≡ 1 2  T αβ −T βα  , e cos ` ı via per gruppi di indici superiori a due. Ad esempio: T (μνα) = 1 3!  T μνα + T ναμ + T αμν + T μαν + T νμα + T ανμ  , T [μνα] = 1 3!  T μνα + T ναμ + T αμν −T μαν −T νμα −T ανμ  . Ovviamente, un tensore risulta completamente simmetrico o antisimmetrico quando coincide, rispettivamente, con la sua parte simmetrica, T μν ≡ T (μν) , o con quella antisimmetrica, T μν ≡ T [μν] . Il simbolo completamente antisimmetrico (o simbolo di Levi-Civita) della variet ` a di Minkowski, ε μναβ , ` e definito con le seguenti convenzioni: ε 0123 =+1, ε μναβ = −ε μναβ . In una variet ` a spazio-temporale di Riemann, dotata di una generica metrica g μν ,il corrispondente tensore completamente antisimmetrico η μναβ ` e definito da η μναβ = ε μναβ √ −g , η μναβ = √ −gε μναβ . Il sistema di unit ` a che verr ` a usato pi ` u di frequente ` e il cosiddetto sistema di unit ` a “naturali”, nel quale la velocit ` a della luce c, la costante di Planck ¯ h, e la costante di Boltzmann k B vengono posti uguale ad uno. In questo sistema la costante di Newton G acquista dimensioni di massa al quadrato (o inverso di lunghezza al quadrato), ed ` e collegata alla massa di Planck M P e alla lunghezza di Planck λ P dalla rela- zione: (8πG) −1 = M 2 P = λ −2 P . Si noti la presenza del fattore 8π (conveniente per semplificare le notazioni), che definisce quella che viene anche chiamata massa di Planck “ridotta”. In unit ` a CGS Notazioni, convenzioni e unit ` a di misura ix abbiamo: M P =  ¯ hc 8πG  1/2  0.4 ×10 −5 g, λ P =  8πG ¯ h c 3  1/2  8 ×10 −33 cm. Spesso esprimeremo masse, energie e temperature in eV (elettronvolts) e suoi mul- tipli, anzich ` e (rispettivamente) in grammi, erg e gradi Kelvin. Inoltre, esprimeremo distanze e tempi in (eV) −1 , anzich ` e (rispettivamente) in centimetri e secondi. A questo proposito ricordiamo che, in unit ` a naturali, M P =(8πG) −1/2  2.4 ×10 18 GeV, dove 1 GeV = 10 9 eV, e ricordiamo le relazioni di equivalenza: (1eV) −1  1.97 ×10 −5 cm 6.59×10 −16 s 8.6×10 −5 Kelvin −1 . Esprimeremo anche, quando sar ` a conveniente, le energie in unit ` a di massa di Planck, e le densit ` a di energia in unit ` a della cosiddetta “densit ` a critica” ρ c , definita da ρ c = 3H 2 8πG = 3H 2 M 2 P , dove H ` e il parametro di Hubble. Per l’Universo attuale il parametro H 0 ≡ H(t 0 ) vale H 0 = 3.2h ×10 −18 s −1  8.7h ×10 −61 M P , dove h = H 0 /(100 km s −1 Mpc −1 ). Le recenti osservazioni 2 forniscono, in partico- lare, h = 0.72±0.03. La densit ` a critica corrispondente all’Universo attuale ` e quindi data da: ρ c (t 0 )= 3H 2 0 8πG = 3H 2 0 M 2 P  1.88h 2 ×10 −29 gcm −3  2.25h 2 ×10 −120 M 4 P . 2 Si vedano ad esempio i dati aggiornati sul sito ufficiale del Particle data Group, disponibili all’indirizzo web: http://pdg.lbl.gov/ Indice 1 Richiami di relativit ` a generale 1 1.1 Elementi di geometria Riemanniana . . . 2 1.1.1 Metrica, connessione e derivata covariante . 4 1.1.2 Curve geodetiche e tensore di curvatura . . . 9 1.2 Le equazioni di Einstein con costante cosmologica . 14 1.3 Il tensore dinamico energia-impulso . . . 19 1.3.1 Esempi: campo scalare e fluido perfetto . . . 21 Esercizi 24 2 La geometria di Friedmann-Robertson-Walker 29 2.1 Variet ` a massimamente simmetriche . . . 30 2.1.1 Spazio tridimensionale omogeneo e isotropo . . . 31 2.2 Coordinate comoventi . . 33 2.2.1 Gauge sincrono e tempo cosmico 34 2.2.2 Tempo conforme 34 2.3 Effetti cinematici nella geometria FLRW 35 2.3.1 Spostamento spettrale 35 2.3.2 Orizzonte di particella e orizzonte degli eventi . . 38 Esercizi 40 3 La dinamica del modello cosmologico standard 47 3.1 Le equazioni di Friedmann-Robertson-Walker 48 3.2 Soluzioni esatte per fluidi perfetti barotropici 51 3.2.1 Fase di radiazione, fase di materia, epoca d’equilibrio . 53 3.3 Propriet ` a termodinamiche del fluido di radiazione 58 3.4 La relazione luminosit ` a-redshift . . 63 3.4.1 Et ` a dell’Universo 64 3.4.2 Distanza di luminosit ` a 67 3.4.3 Magnitudine apparente e modulo di distanza . . . 68 3.5 L’effetto di “redshit drift” . . . 70 Esercizi 72 xii Indice 4 Il modello inflazionario 77 4.1 Problemi del modello standard e possibili soluzioni 77 4.1.1 Massa mancante e materia oscura 77 4.1.2 Accelerazione ed energia oscura 79 4.1.3 Costante cosmologica e quintessenza . 80 4.1.4 Problema della piattezza . . 81 4.1.5 Problema degli orizzonti . . 83 4.1.6 Singolarit ` a iniziale e inflazione . 86 4.2 La soluzione inflazionaria di de Sitter . . 87 4.2.1 Curvatura costante e completezza geodetica 90 4.3 Cinematica inflazionaria 92 Esercizi 96 5 Inflazione “slow-roll” 101 5.1 Dinamica del campo scalare inflatonico 102 5.2 Condizioni di “slow-roll” e soluzioni inflazionarie . 103 5.2.1 Potenziale quadratico e inflazione caotica . . 105 5.2.2 Soluzioni esatte: il potenziale esponenziale . 106 Esercizi 107 6 Teoria delle perturbazioni cosmologiche 111 6.1 Equazioni non perturbate in tempo conforme 112 6.2 Perturbazioni lineari della metrica e delle sorgenti . 113 6.2.1 Perturbazioni scalari . 115 6.3 Trasformazioni infinitesime e variabili gauge-invarianti . 117 6.3.1 Scelta del gauge 121 6.4 Dinamica delle perturbazioni scalari . . . 122 6.4.1 Sorgente scalare ed equazione canonica . . . 126 Esercizi 129 7 L’anisotropia della radiazione cosmica 133 7.1 Amplificazione inflazionaria delle perturbazioni scalari . 133 7.1.1 Normalizzazione canonica delle fluttuazioni del vuoto 137 7.2 Distribuzione spettrale fuori dall’orizzonte . . 140 7.2.1 Perturbazioni di curvatura nei modelli “slow-roll” 142 7.2.2 Spettro primordiale del potenziale di Bardeen . . 145 7.3 L’effetto Sachs-Wolfe . . 148 7.3.1 Condizioni iniziali adiabatiche . . 152 7.4 Spettro angolare delle anisotropie . 155 Esercizi 159 8 Il fondo di radiazione gravitazionale fossile 165 8.1 Evoluzione canonica delle perturbazioni tensoriali . 166 8.2 Produzione di gravitoni e densit ` a d’energia spettrale . . . 170 8.2.1 Esempio: calcolo dei coefficienti di Bogoliubov . 173 8.3 Il fondo gravitazionale dei modelli inflazionari 180 [...]... (1.2) La condizione di validit` dell’approssimazione Newtoniana richiede che, per quaa lunque massa di prova m, l’energia potenziale m|φ | dovuta all’interazione con la Gasperini M.: Lezioni di Cosmologia Teorica DOI 10.1007/978-88-470-2484-7 1, c Springer-Verlag Italia 2012 2 1 Richiami di relativit` generale a massa cosmologica M risulti molto pi` piccola dell’energia di riposo mc2 , e quindi u richiede... tensoriale di peso w = 0 a 4 1 Richiami di relativit` generale a ` Un semplice esempio di oggetto di questo tipo e costituito dall’elemento di quadri-volume infinitesimo d 4 x, che sotto l’azione di un generico diffeomorfismo si trasforma come una densit` scalare di peso w = 1 Per una generica trasformazione a di coordinate abbiamo infatti d4x → d4x = d4x ∂x , ∂x (1.13) che si riduce alla legge di trasformazione... risulta invariante rispetto all’operazione di trasporto parallelo lungo qualsiasi curva, ossia soddisfa alla condizione di avere derivata covariante nulla A questo proposito ricordiamo che il differenziale ordinario di un oggetto tensoriale non si trasforma a sua volta come un tensore sotto l’azione di un generico diffeomorfismo Per un vettore Aμ , ad esempio, la regola di trasformazione tensoriale (scritta... Questa propriet` di antisimmetria nelle due coppie di indici ci dice che Rμναβ si pu` a o scrivere come il prodotto tensoriale di due tensori antisimmetrici di rango due, per cui il numero delle sue componenti indipendenti si riduce da 44 = 256 a 6 × 6 = 36 Inoltre, il tensore di Riemann soddisfa alla cosiddetta I identit` di Bianchi, a R[μνα] β = 0, (1.66) che impone 16 ulteriori condizioni, e riduce... rigido di Minkowski Si pu` infatti dimostrare che l’annulo ` larsi del tensore di Riemann e condizione necessaria e sufficiente affinch´ esista un e sistema di coordinate nel quale la metrica gμν si riduca dappertutto alla forma di Minkowski ημν (si veda ad esempio il testo [3] della bibliografia finale) ` Il risultato (1.62) ci mostra che e il tensore di curvatura di Riemann a controllare le forze di marea... soddisfare alla condizione ∇ν T μν = 0 (1.98) Come vedremo nella sezione seguente, questa condizione risulta automaticamente soddisfatta purch´ i diffeomorfismi rappresentino una trasformazione di simmetria e 1.3 Il tensore dinamico energia-impulso 19 (nel senso del teorema di N¨ ther) per l’azione materiale considerata D’altra parte, il o fatto che ci siano solo 6 equazioni indipendenti, e quindi che... condizione (1.45), l’Eq (1.46) determina univocamente i 40 coefficienti per i termini del secondo ordine dello sviluppo di Taylor (1.44), e fissa, al secondo ordine, la trasformazione di coordinate che definisce il sistema localmente inerziale nel punto scelto x0 Possiamo osservare che la propriet` di essere localmente annullabile si estende a dalla connessione di Christoffel a tutte le connessioni di. .. 1.2 Le equazioni di Einstein con costante cosmologica Sfruttando il formalismo geometrico introdotto nelle sezioni precedenti, e seguendo le indicazioni fisiche fornite dal principio di equivalenza e dall’equazione di deviazione geodetica, scegliamo dunque di descrivere la dinamica del campo gravitazionale mediante un’azione che sia invariante per diffeomorfismi e che contenga il tensore di curvatura La... calcolare la variazione δ Rμν del tensore di Ricci A questo scopo partiamo dalla definizione esplicita di Rμν , ed esprimiamo la variazione gμν δ Rμν sotto forma di divergenza covariante Applicando il teorema di Gauss e la condizione (1.76) troviamo allora che il contributo variazionale del tensore di Ricci si pu` scrivere come un integrale di flusso sul bordo ∂ Ω di un o vettore proporzionale alla variazione... delle derivate della a metrica di ordine superiore al primo (nel terzo passaggio abbiamo applicato il teorema di Gauss, e sfruttato la condizione di bordo (1.76)) La forma esplicita di tale contributo dipende, ovviamente, dalla particolare Lagrangiana materiale che stiamo considerando Possiamo per` indicare tale contributo in maniera concisa e generica o 18 1 Richiami di relativit` generale a introducendo . mia moglie e mia figlia Maurizio Gasperini Lezioni di Cosmologia Teorica Maurizio Gasperini Dipartimento di Fisica Universit ` a di Bari UNITEXT- Collana di Fisica e Astronomia ISSN versione cartacea:. Rivelazione diretta del fondo di gravitoni fossili . . . 191 8.4.1 Rivelazione mediante correlazione di due antenne 193 Esercizi 197 Appendice A La cosmologia delle membrane 205 A.1 Membrane di Dirichlet. all’operazione di trasporto parallelo lungo qualsiasi curva, ossia sod- disfa alla condizione di avere derivata covariante nulla. A questo proposito ricordia- mo che il differenziale ordinario di un oggetto