Trần Huyên Don vị: Khoa Toán — Tin học ĐHSP TP.HCM ORS Bai toán nghiên cứu cấu trúc bóng của một tập hợp trong các poset là một trong những bải toán cơ bản của lý thuyết combinatorics.
Trang 1
TRUONG DAI HOC SU PHAM THANH PHO HO CHi MINH
CB HERD
Báo cáo đê tài khoa hoc câp cơ sở
BONG CUA MOT DOAN TRONG
MOT SO K-POSET
Mã số: CS 2008.19.25
Chủ nhiệm đề tài:T.S Trần Huyên Đơn vị: Khoa Toán - Tin học
THU VIEN
TP Hồ Chí Minh — 2009
Trang 2
Báo cáo khoa học tông kết các kêt quả thực hiện đề tài
nghiên cứu khoa học câp cơ sở
“BONG CUA MOT DOAN TRONG MOT SO K- POSET”
Mã số: CS 2008.19.25
Chủ nhiệm đề tài: TS Trần Huyên
Don vị: Khoa Toán — Tin học ĐHSP TP.HCM
ORS Bai toán nghiên cứu cấu trúc bóng của một tập hợp trong các poset là một trong những bải toán cơ bản của lý thuyết combinatorics Một hướng nghiên cứu
khá thú vị vẻ cầu trúc bóng là tìm kiếm các điều kiện dé những tính chat đặc trưng
nào đó của một số các tập hợp vẫn còn được bảo toàn qua bóng của nó Chăng hạn trong lí thuyết các K-poset, một trong những điều kiện để xác định cấu trúc K-poset
là bóng của một đoạn đầu (đối với thứ tự tuyến tính bỏ sung cho poset xuất phát) lại
là một đoạn đầu
Vào đầu những năm 1960 Kruskal - Katona đã trang bị thêm cho poset các
tập con của tập hữu hạn ŠS một thứ tự tuyến tính được gọi là thứ tự nén, biến poset
này thành K-poset Với thứ tự nén này, hiển nhiên bóng của một đoạn đầu là một
đoạn đầu Đề tài nghiên cứu khoa học cấp cơ sở với mã số CS.2004.23.58 của
chúng tôi đặt vấn đề mở rộng kết quả này cho một đoạn bắt kì trong K-poset các tập con của tập hữu hạn S-n phần tử và đã đạt kết quả trọn vẹn Chúng tôi đã tìm ra
được điều kiện cần và đủ để bóng của một đoạn trong K-poset này là một đoạn
Vào những năm 1990, nhà toán học Anh Daykin cùng học trò Trần Ngọc Danh đã xây dựng được một K-poset mới: K-poset các véctơ Boole
Poset B các véctơ Boole bao gôm các véctơ x = XỊXạ Xa, neN, x¡ € {0,1}
với thứ tự bộ phận được xác định một cách tự nhiên như sau:
X=XIXạ Xk Š YIY2 Yn= Y
nêu k < n và tôn tại dãy chỉ sô I¡<l;< <lv SaO XISY, „ XaŠyY, „ ,XkŠ Y
Hạng của véc tơ x= xị Xạ, kí hiệu r(x) là số thành phần của véc tơ, tức r(x) = n Tập các véctơ có cùng hạng được kí hiệu là B(n) Bong Ax cua véc to x € B(n) la
tập hợp tất cả các véctơ của B (n-1), có được từ x khi bỏ đi một thành phần nảo đó
cia x Nếu X=X¡ X,.¡ Xị Xi+¡ Xa thì phan ttr X= X) X).) Xj+y- X_ € Ax, c6 duoc tir
x khi loai bo thanh phan thứ 1, được gọi là bóng thứ ¡ và kí hiệu là A¡x Vậy:
Trang 3Ax=U {Ax|1<i<n}
Đề xây dựng cho poset B các véctơ Boole một thứ tự tuyến tính đề biến nó thành K-
poset Daykin và Tran Ngoc Danh dua thém vao khai niém trong lugng cua vécto
X=XIX¿ Xạ là: W (X) = XI†X¿† Xn
Thứ tự tuyến tính mà Daykin và Trần Ngọc Danh đưa vào poset B gọi là thứ tự dồn,
được xác định như sau:
® X=X X.<Y4 Yy- Ya = y nếu k<n
® X—XIX: Xa €VIY2 Yn=Y nếu w (x) < w(y)
hoặc w (x) = w (y) và tôn tại chỉ s6 t sao cho x, = y, khi i<t con x, = 1 >0=y, Daykin va Tran Ngọc Danh đã chứng minh được răng poset B các véctơ Boole với thứ tự dồn là K-Poset, nói riêng, bóng của một đoạn đầu theo thứ tự dồn lại là một doan dau
Đẻ tài nghiên cứu khoa học *Bóng của đoạn trong một số K-poset” với mã
số: CS 2008.19.25, là sự tiếp tục khuynh hướng của đè tài CS 2004.23.58, tìm kiếm
các điều kiện cần và đủ để bóng của một đoạn trong K-poset các véctơ Boole với
thứ tự đòn lại là một đoạn
Bởi sự khác biệt về cầu trúc bóng của các phản tử giữa hai K-poset mà chúng tỏi đề cập: Bóng của phản tử trong K-poset các tập con của tập hữu hạn S luôn có cùng trọng lượng trong lúc đó bóng của một phần tử trong K-poset B các véctơ Boole co hai loại trọng lượng khác nhau.; nên kỹ thuật xử lý bài toán trên trong hai trường hợp không có sự tương đòng Chúng tôi buộc phải xem xét hai loại bóng
theo hai trọng lượng của các phần tử Cụ thé chúng tôi đưa thêm vào các khái niệm
bóng đầy bóng khuyết của một phần tử, một tập hợp như sau:
Bong day cua phan tử x: Arx= © {A;x | w (A, x)=w (x) }
Bong khuyét cua x: Ayx=U {A¡x | w (A; x)<w (x) }
Bong day cua tap A: ApA=U {Arx Ixe A}
Bong khuyết của tập A: AyA=U {Ayx lxe A}
Nghiên cứu cầu trúc của các loại bóng đây, bóng khuyết của một phản tử, của các tập hợp chúng ta đã đạt được kết quả quan trọng nhất, giúp giải quyết khá trọn vẹn mục tiêu cơ bản nhát của đẻ tài: Tìm được các điều kiện cần và đủ đề bóng của một đoạn trong K-poset B lại là một đoạn Kết quả đó là: Trong tập mức B (n.K) các véctơ cùng hạng n và trọng lượng k thi “Bóng của đoạn [x.y] lai la doan = x=v.z
va v = m.u, trong do v € B (k+1,k) còn m e B(n-k+1,1)”
Trang 4đoạn trong K-poset B, được trình bày chỉ tiết trong bài báo:"Bóng của đoạn trong
K-poset cde vécto Boole”, da được báo cáo trong Hội nghị toán học Khoa toán ~ tin
toàn quốc năm 2009 Kết quả này cũng sẽ được đăng tải trong tap chi Khoa hoc
ĐHSP TP.HCM
TP.CM,ngày thắng năm 2009 Chủ nhiệm để tài
TS Trần Huyện
Trang 5Trần Huyền
Khoa Toán - Tin học
Đại Học Sư Phạm Tp.HCM
“Tóm tất nội dung
ông của mốt đoạn trong p nie weets bài báo này, dhủng tôi xem xết về
Bo te the thứ tý cân hà mới và đâu kến cân là đi đ bông ch ng oan trong poser B lai la mot de
1 Mởđầu
"oset các vectg Boole là tấp hợp gồm các vectơ x =
thứ tự bộ phân được xác định như sau fu, KEN si, € (0,1), wh
Beate re St
đông thời tổn tại đây, itn ch Có sả HH đai Si ps hg cin me là TÚ} 2 là số nh yêu néuk <
‘ma veta Boole » = 242
cản ven Tong ling eta vee = ewe inh a
w(t) = 4) $42 tty
Tap các ta cùng lưng" được ăn là B), i sk) ih eh poe ta cùng hang n và cũng t Bong thứ ¡ của vectơ z € ai Tae © Bln ~ 1) 08 de = a Hh mg k ton dh
eater Bong cla weeta 2, ki hig
r= [fault sin}
Vay nue = ttt
ong hi ph a ee gt gen tong angi dinh Hy dy của veetd Z, kí hit ` = wi)
(Cae bing tha phi có trong lượng bé hơn trọng tng cn «lp thts bong Khuvét
A#=|lAzleSz) <elz))
Hiển nhiện: Az = Aye Bang cia rap A Baht thôn l dược xác nh biến túc
Us:
ad
Trang 6Boole mot thir ty tuyén tin <, gọi là thứ tự dồn như sau:
“.“s kn
+ tư cu pc cá = V- nêu, v) < uly)
trong tấp các weets cing hạng th các vectở có trọng lương bổ hơn lai được xếp trước; theo thi tr db ác vo sở hạng bề bớa được ấp trúc cứ vet2 ô hạng lớn tồn tại chỉ số sao cho z = khi < £ đồng thời zụ =1 > 0 =
và trong cấc vectØ đồng hang và cùng trong lượng th vectø z được sắp trước vetØ nêu trong
sz khác nhan đầu iên các hành phần của 2 vetø tại cỉ số £ thi z, = Ì >0 Davin D E và Trin Ngọc Dank đã chứng mình được rằng poset 7 vi thự tr đôn là một /”
— poset nói đếng, bóng của mớt đoạn đầu (theo thứ tự đồn) trong lạ là một doan dầu Kết
«quit nv go ý co chẳng ta Ý tưởng mổ rộng nổ cho một đoạn bắt kỳ trong post Ø, tìn kiếm các ciêu liên cần và đủ để bóng của một doạn lử là một doạn
2 Các kết quả chính
Trước hết, để tiên lợi cho các phát biểu và chứng mình các kết quả ta đưa ra một vài quy ước
về mất kí hiệu Với méi vecto # = zZ; Z„, ta đất:
‘hy = max[i :2, = 1}
và khi đó, chúng ta có:
“Mệnh để 1 Với mỗi vecta Boole x = gi tạ, ta 6)
a max Ayr = Oye
bmi Aye
Aut
© max Sgt = Ait
A mingr = Aye
Do do: max, Avot mine = dye
Chứng mình A Dé ching minh max Az = Anz, ta dat
ss = min{i 2, = 0 ma khong tdn tai €€ [iho] dé ay = 1} Khi do, vi Ave € Ay, 66 ce kha nang sau: Hoke 4 45 ha hid ain ut» Dy
© Hoge i < s (khi đỏ cố quyền giả của A và ạ là ng nhau vi ắc chi ỗ 2 < 1 hong là Mộ thình phủn thứ thì Ad£ < AZ vì các thành phẫn của Aa,z là z¿= 0 côn thành phan thit eta Avr lazer = 1 Vay: max Aye = igs:
bị Đạt
ve master = và không có ¢ € lui} mà #ụ = 1} Voi Ar € Aye, 06 cde khả năng xây ra
2
Trang 7(0A 8 tăng 5c = 1) Kh do, dễ thấy ls Age > Age vee thành
ks of cổ bế hơn vcla ching ag san omg, hac ph cho > cea Ayr la x, =0, cdn thành phần chi sb v cia Oz lai la zee min Apr = Myer
e Đặt Voi bit ki Ayr © Agr, xdy ra các khả Tan th r= max(ï: z, = 1 và không có £ € [D;Í] mà z, = 0}
shh nb sổ bé
rong Boge (or (Vi nô rằng ro =0 th Ayg < Âu hơn £ của chứng là như nhau còn tành phân ei sb rela Sy ye lúc đó thành phân thứ r của À„z là z
Vay, max Age = Aye
dị Đặt
p= min{i 2 = 1 và không có ¢¢[ishy) ma x; = 0) Với dur © Ser 06 cic Kh năng xã « Hoặc ø < 1 < hị Hiển nhiên À,
Ta 2p Là vô quản g .y TỦ) Kid, ur > Sue bit che hah phần
số chỉ số tước cr la tier =O, c0n thanh phần thi cia Aye lazy = L í của A,z và Aa,x là nhự nhau, trong Xhi để thành phần thứ ¡ của min Baz = By
a
“Mệnh đề 2 Trong poset B rồi thit ti din, cho x <y Khu do
amin Se < min dy,
b max Ar < max Ay
Ching minha i ch cng mh cho eng hay € Blk (ce eg hap cb Is
‘qui la hién nhien!), Thật v s0= Weed = $othl tn tal ei 38¢ ma
¬ min Age = ye, te £ = lị(z), Và các thành phần cũa vectg Be z với
n của cAuuZ với lị(z) > f thd rng rin Sgr < min Say wal weet này bằng L VÀ vậy: món Ày = Bye = mind
bé hơn t là như nhau, còn tại chỉ s6 t thì #, = 1 > 0 = y,
‘Vay, trong mọi trường hợp: min Ax < min Ay,
3 at ka on hyo hee Apy = Sy te £ = ho(y) Do cdc thanh phần của veeta y wi
hi tm hon td bag ete) = (0) nên cỉ đúng một thành phần với dể
số lớn hơn £ của z bằng 0 Viv
max Az = max Ayr = Ay = max Ay
« Hoặc bu với lị(y) >t, Do (2) = íy] và sự khác nhau dầu tiên các thành phần của z và xảy ra tại chỉ số với z¡ = 1 > 0 = yp ất tồn tri chỉ số >
mi x, = 0, Do viy max Ayz = Age wig >t Vied f(y) và 4 đền lớn hon t nến
gy va Sgr giữ nguyên các thành phân của ý và z với các chỉ sô không vượt quá
t Dodo max Ay = Any > Age =
a
Trang 8Hệ quả 1 Trong poset B các ecl Bòletheo thứ tư dồn, nêu z < y thi M(x, y) C (min Ax; max Ay)
i quan tm ổa cúng La dây là vỗ hơng đề kế nào day dae ao hm
tt ie og ak Tr a hy eft aa oH nh củ ba fo ta,
Tà) An sốt A [ng] C Bla cơi fin doe tang Bl} tbe cpl ct oie
= 1), cdn Aye: y| phi eifa phần tử bé nbd cia Bin — 1,k) NÌ ecto a= 0.2 vA b= mu teong do
đời hỏi này, buộc đoạn [x3 y] pk
be BUk+ 1k); >€ BỊn —— 1,0); m€ Bín = E# 1,1) và u€ B( =1 Sir phan tích này đẫn đến chúng ta cĩ kết quả quan trong sau:
Đình ý 1 Tong B4) đo 1, trong đổ t€ BỊ + 1,k) tà m € BẦn = k + 1,1) £ <ụ Bing so là em ty Bn — 1) EM tả chỉ Hí Cung manh, Theo sự phân ích trên, diều kiến cho z,ÿ nối trong định lý hiển nhiên là cần Debe quá củ menh đê, ế thức chứng mình nhị tách củn hứng mình bĩng Huyết decyl a bong diy (9) du Đổ chứng mình A.jz là don, ta chỉ cần chứng tơ với bắt kì = các dau
ˆ ơn ân tạ ecto 29) sao sho = © So sin ce chi sb cia thành phần 0 Al i cin =v in ar, 8 hl ign
= Hoa f(s) = f(min Xg2) 2 lay) dual Chores bie th tng ta eu — tÚc với li veeta wi cae thinh phần ey wet wee
~ He f=) fin) Kd, ch = sh i oi « tbíg) = (s) + 1 < h(z) vã do cầu trúc thành phần của z mà + < a
Vy tong mới khễ nợ °€ Am
+ Để híng tịnh À len doa, tạ Chỉ rà rằng với bắt tổn ti ø € |z.g] mà
ooính cc hi của hành phân 1 đầu tiên cv max yo ai khả năng xây rà sau ~ Bo) ima Am) = 1 Gov chs ea hin pn ne =) = 3 Nếu j a Bi ty i
> Maj fon a "-
y= 54 Rh > EL Di ie hh pac rong cả bai trường hợp trí < và hiển nhủ
- wae wi am) D Sát
1 > min Aus,
ý Đồng thời
Sạc < may Ayg, luơn,
dêm tra đỗ dàng
Whi > 1 DB dng kid tra đồ ấy Tầng z Sa < y về nv
Aa
fay, trong moi khả năng: z € À/|Z:ÿ| a chứng mình định lý tr ta đã khơng xết đến trường hợp đác biết sar Mẫn cự bế nhấn lay là nhn cử lon nhất Hong Đn Rỳ Du đỡ ược khá phục hổ các kết quả manh hơn sau đây:
Mệnh đễ 3 Trong Bín,k) cha ø là phần tử bé nhit vi b là phẩn tử lớn nhất Khi đủ, nứt bắt i k), ta luơn cĩ:
ạc Àyjeiz] là đoạm trong Bin ~ 1,4),
9, Mule.b) là doan trong Bin ~ 1,k ~ 1)
Chững túi dành cho đốc gỉ tự chứng mình các kết quả này và sử dung chúng cho viên chứng tình đình lý sau
Trang 9mút đonn nếu 1 7 ắc tr lợp sợ
a ela) <
% nasa) và u(g) = w(z) < 2
Tài liệu tham khảo
| Anderson, L (1989: Combinatrzs of fits, Clarendon Pres, Oxted 2) Kruskal, J.B (1963): The number of simplices im a comples Math Optimization techniques Vniversity of California Press, Berkeley
3) Daykin, D.E (1996): To find ull siutable onders of 0.1 vectors Congressus Asian Bulletin of Mathematics 4] Tran Ngoc Danh (1997): Sets of 0.1 vectors with minimal sets of subvectors Rostock Math: Kollog
Abstract
‘The shadow of a segment in poset 2 of 0,1 vectors
In this paper, we look for shadow of a segment in poset B of 0,1 vectors, in which were defined squashed order, and prove some necessary and sufficient conditions for that the shadow of sequent is a segment
Trang 10HH SỬ PHẠM TỊ
TRUÒN
THUYET MINH BE TAI
KHOA HOC VA CONG NGHE CAP TRUONG (a TEN DE TAT 2 MÃ SỐ
Bóng của đoạn trong một số K-poset CS.2008.19
3 LĨNH VỤC NGHIÊN CỨU 4 LOẠI HÌNH NGHĨ
Tự ội Giá KỆ Nông Y Môi | Cøbản Ứng nhiên nhâvễn dục thuật Lạmwgụ được trường dụng
m oO oO 0 oO oO oa Q oO
$ THỜI GIAN THỰC HIỆN 12 tháng, Từ tháng 04 năm 2008 đến tháng 04 năm 2009
6 CƠ QUAN CHỦ TRÍ
“Tên cơ quan : Khoa Toán ~ Tìn học, Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM Địa chỉ : 280, An Dương Vương, Q.5, Tp.HCM
Điện thoại : 08 8 352 020 Fax
7 CHỦ NHIỆM ĐÈ TÀI
Họ và tên : Trân Huyện
Hoe vị, chức danh KH : TS “Chức vụ : Giảng viên
ia chi NR : 285/5 KT Cách mạng Tháng Tám, P.12, Q.10, Tp IICM Địa chỉ CQ :280, An Dương Vương, Q.5, Tp.HCM
Điện thoại CQ: 8330 12 Fax Di động
Điện thoại NR : 8627 198 E-mail
8 NHỮNG NGƯỜI THAM GIA THỰC HIỆN ĐÈ TÀI
Họ và tên Đơn vị công tác và | Nội dung nghiên cứu cụ Chữ ký
Tĩnh vực chuyên thể được gino
môn
9 ĐƠN VỊ PHÓI HỢP CHÍNH
“Tên đơn vị trong và ngoài
nước
Noi dung phổi hop Ho và tên người đại điện
19 TINH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC
16.1 Tổng qủan tỉnh hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của để tài
Kruskal (1963), Katona (1966) da nghién citu cấu trúc bóng cia doan trong poset IAS)
ĐỂ tải CS.2004.23.58 nghiên cứu cấu trúc bóng của đoạn bit ki trong pose
(N) - các
số kết quả
p con hữu hạn của tập số ự nhiền N do tc giả làm chủ nhiệm đñ dại được m