Giải tích 1 báo cáo bài tập lớn Đề tài 13

Tuy nhiên, trong những năm gần đây, tiêu thụ và sản xuất than của Hoa Kỳ đã có xu hướng giảm mạnh do sự cạnh tranh của các nguồn năng lượng khác, như khí đốt tự nhiên, dầu mỏ, năng lượng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Giải tích 1 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

ĐỀ TÀI: 13

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Hiệp

Sinh viên thực hiện Mã số sinh viên

Thành phố Hồ Chí Minh – 2023

Mục lục

I.GIỚI THIỆU 3

II.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 5

1.Phương pháp hồi quy tuyến tính đơn giản 5

2.Phương pháp tăng trưởng tuyến tính 9

III.GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN VÀ KẾT LUẬN 10

1.Phương pháp hồi quy 10

a) Mô hình tiêu thụ than đá của Hoa Kỳ 1970 – 2019 10

b) Mô hình sản lượng than đá của Hoa Kỳ 1970 – 2019 11

2.Phương pháp tăng trưởng tuyến tính 12

3.Kết quả và bàn luận 12

IV.CHẠY PHẦN MỀM CHO BÀI TOÁN 14

V.TỔNG KẾT 16

I GIỚI THIỆU

Trong thời đại công nghiệp hóa hiện nay, than là một nguồn năng lượng quan trọng đối với nhiều quốc gia trên thế giới, đặc biệt là Hoa Kỳ Theo Cơ quan Thông tin Năng lượng Hoa Kỳ, Hoa Kỳ là quốc gia có sản lượng than lớn thứ ba trên thế giới, sau Trung Quốc và Ấn Độ, và là quốc gia có tiêu thụ than lớn thứ hai trên thế giới, sau Trung Quốc Tuy nhiên, trong những năm gần đây, tiêu thụ và sản xuất than của Hoa Kỳ đã có xu hướng giảm mạnh do sự cạnh tranh của các nguồn năng lượng khác, như khí đốt tự nhiên, dầu mỏ, năng lượng tái tạo… cũng như do những ảnh hưởng tiêu cực của than đối với môi trường và sức khỏe con người

H I ̀ NH 1

H I ̀ NH 2

Trong bối cảnh đó, việc tìm mô hình tiêu thụ và sản xuất than của Hoa Kỳ là một bài toán thú vị và có ý nghĩa thực tiễn Mô hình này có thể giúp ta hiểu rõ hơn về quá trình phát triển và biến đổi của ngành than của Hoa Kỳ, cũng như dự báo được tương lai của ngành này trong bối cảnh thị trường năng lượng toàn cầu Mô hình này cũng

có thể là cơ sở để các nhà quản lý, nhà nghiên cứu và các bên liên quan đưa ra các quyết định và chính sách hợp lý về việc sử dụng, khai thác và bảo vệ nguồn năng lượng quan trọng này

Mục tiêu của bài nghiên cứu này là tìm mô hình tiêu thụ và sản xuất than của Hoa Kỳ

từ năm 1970 đến năm 2019, dựa trên dữ liệu thống kê từ Cơ quan Thông tin Năng lượng Hoa Kỳ Đối tượng của bài nghiên cứu này là các nhà quản lý, nhà nghiên cứu

và các bên liên quan đến ngành than của Hoa Kỳ Phạm vi của bài nghiên cứu này là các dữ liệu về tiêu thụ và sản xuất than của Hoa Kỳ theo năm, được đo bằng đơn vị triệu tấn Để tìm mô hình tiêu thụ và sản xuất than của Hoa Kỳ, bài nghiên cứu này sử dụng phương pháp hồi quy tuyến tính đơn giản, một phương pháp thống kê cơ bản và phổ biến trong các bài toán tìm mối quan hệ giữa hai biến số Phương pháp này cho phép ta ước lượng một đường thẳng có dạng y=β0+β1x +ϵ , trong đó y là biến phụ

thuộc, x là biến độc lập, β0 và β1 là các hệ số hồi quy, và ϵ là sai số ngẫu nhiên

Phương pháp này cũng cho phép ta kiểm tra tính tối ưu và độ chính xác của mô hình bằng chỉ số như hệ số xác định R2 Ngoài ra, phương pháp này cũng cho phép ta dự báo giá trị của biến phụ thuộc khi biết giá trị của biến độc lập

II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để tìm mô hình tiêu thụ và sản xuất than của Hoa Kỳ, bài nghiên cứu này sử dụng ba phương pháp khác nhau, bao gồm: phương pháp hồi quy tuyến tính đơn giản, phương pháp bài toán vận tải, và phương pháp tìm phối hợp tối ưu trong sản xuất Trong phần này, chúng tôi sẽ mô tả chi tiết các bước thực hiện của mỗi phương pháp, cũng như các công thức, đoạn mã, bảng số liệu và hình ảnh minh họa cho các bước này

1 Phương pháp hồi quy tuyến tính đơn giản

Phân tích phương pháp hồi quy tuyến tính đơn giản hay dễ hiểu hơn là tìm sự liên hệ giữa hai biến số liên tục, biến độc lập(biến dự đoán, biến giải thích) trên trục hoành x với biến phụ thuộc(biến kết quả, biến phản hồi) trên trục tung y Sau đó vẽ đường thẳng hồi quy và từ phương trình đường thẳng ta dự đoán được biến y

Để áp dụng phương pháp hồi quy tuyến tính đơn giản, ta cần có dữ liệu về hai biến

số, ví dụ như năm và tiêu thụ than, hoặc chiều cao và cân nặng Ta sẽ sử dụng các công cụ thống kê và lập trình để ước lượng các hệ số hồi quy, kiểm tra độ chính xác của mô hình, và dự báo giá trị của biến phụ thuộc Phương pháp này có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, như kinh tế, khoa học, kỹ thuật, y tế…

Ví dụ 1: Cho bảng số liệu về tỷ lệ tử vong do ung thư da (số ca tử vong trên 10 triệu người) và độ tuổi tại trung tâm của mỗi trong số 49 tiểu bang ở Hoa Kỳ: Xem tại đây Làm thế nào để xây dựng một mô hình hồi quy tuyến tính đơn giản để dự đoán tỷ lệ

tử vong dựa trên độ tuổi ?

Giải Đầu tiên ta đặt:

x i : giá trị riênglẽ của độ tuổi từng khu vực

y i :giá trị riêng lẻcủa tỷ lệ ung thư từng khu vực

^

x : giá trị trungbình của độ tuổi các khu vực

^y :giá trị trung bìnhcủa tỷ lệ ung thư các khu vực

Ta có:

^

x=1

n∑

i=1

n

x i=¿39,53 (tuổi)¿

^y=1

n∑

i=1

n

y i=¿152,88¿

Hiệp phương sai và phương sai có thể được tính như sau:

S xy= 1

i=1

n

(x¿¿i−^x )( y i−^y )=¿−127,09¿ ¿

S xx= 1

i=1

n

¿ ¿ ¿

Trong đó S xy là hiệp phương sai giữa tuổi và tỷ lệ tử vong , S xx là phương sai của tuổi Kế tiếp

ta tính Hệ số hồi quy như sau:

b= S xy

S xx=

−127,09

21,26 =−5,977

a=^y−b ^x =152,88−(−5,977.39,53)=389,15

Từ đó ta có được mô hình dự đoán tỷ lệ ung thư theo công thức hồi quy tuyến tính là:

^y=a+bx=389,15−5,977 x

Sau khi tìm được mô hình dự đoán, ta tính hệ số xác định R2:

S S res=∑

i=1

n

(y i− ^y i)2 với y i là giá trị thực tế , ^y i là giá trị từ môhình

S S tot=∑

i=1

n

(y i−^y)2 với ^y là giá trị trung bìnhcủa giátrị thực

Từ đó ta tính được hệ số xác định R2:

R2=1−S S res

S S tot

=1−∑

i=1

n

(y i− ^y i)2

∑

i=1

n

(y i−^y)2

=1−17173,08 53637,71≈ 68 %

Một giá trị R2 tương đương 68% cho thấy mô hình hồi quy tuyến tính đã giải thích được khoảng 68% biến thiên của biến phụ thuộc Điều này có nghĩa là, 68% sự thay đổi trong tỷ lệ tử vong có thể được giải thích bằng sự thay đổi trong tuổi, dựa trên mô hình hồi quy mà nhóm đã trình bày

Code matlab của bài toán:

% Tải dữ liệu từ tệp văn bản trên web

url = 'https://online.stat.psu.edu/stat462/sites/onlinecourses.science.psu.edu.stat462/ files/data/skincancer/index.txt';

opts = detectImportOptions(url);

data = readtable(url, opts);

% Giả sử bạn đã tải dữ liệu vào biến 'data'

latitude = data.Lat;

mortality = data.Mort;

% Ước lượng hệ số hồi quy

p = polyfit(latitude, mortality, 1);

% Tính toán giá trị dự đoán

yfit = polyval(p, latitude);

% In hệ số và mô hình hồi quy

fprintf( "Mô hình tỷ lệ tử vong: y = %.2f + %.2f*x\n", round(p(2), 2), round(p(1), 2));

% Vẽ biểu đồ phân tán và đường hồi quy

plot(latitude, mortality, 'o');

hold on;

plot(latitude, yfit, 'r', 'LineWidth', 2);

hold off;

xlabel('Độ tuổi');

ylabel('Tỷ lệ tử vong');

title('Tỷ lệ tử vong do ung thư da theo độ tuổi');

Chạy thử code matlab của bài toán ta thu được:

H I ̀ NH 3

Hệ số hồi quy (-5.977) cho thấy mối quan hệ âm giữa độ tuổi và tỷ lệ tử vong do ung thư da Điều này có thể được hiểu là, khi độ tuổi tăng lên (di chuyển về phía Bắc), tỷ

lệ tử vong do ung thư da giảm đi Điều này có thể phản ánh việc người dân ở các vùng có độ tuổi cao hơn (khí hậu lạnh hơn) có ít tiếp xúc với ánh nắng mặt trời hơn, điều này giảm nguy cơ mắc bệnh ung thư da

Ví dụ, nếu chúng ta muốn dự đoán tỷ lệ tử vong do ung thư da ở một tiểu bang có vĩ

độ là 40 độ, chúng ta có thể thay x=40 vào mô hình để tính y^:

^y=389,15−5,977.40=150,07

Vì vậy, mô hình dự đoán rằng tỷ lệ tử vong do ung thư da ở một tiểu bang có vĩ độ là

40 độ sẽ là khoảng 149.23 trên 10 triệu người

Phương pháp hồi quy tuyến tính đơn giản rất hữu ích trong việc mô hình hóa mối quan hệ giữa hai biến và dự đoán giá trị của biến phụ thuộc dựa trên giá trị của biến độc lập Tuy nhiên, cần lưu ý rằng mô hình hồi quy chỉ là một ước lượng và có thể không hoàn toàn chính xác, đặc biệt là khi dữ liệu không tuân theo một mô hình tuyến tính hoặc có sự biến đổi lớn

Ví dụ 2: Cho bảng số liệu về diện tích lỗ thủng tầng ozone (million k m2) Kích thước

lỗ thủng tầng ozone trung bình từ ngày 7 tháng 9 đến ngày 13 tháng 10 Không có dữ liệu cho năm 1995, được lấy từ [đây]

Làm thế nào để xây dựng một mô hình hồi quy tuyến tính đơn giản để dự đoán diện tích lỗ thủng tầng ozone ? Dựa vào mô hình toán hồi quy tuyến tính dự đoán diện tích

lỗ thủng tầng ozone trong năm 2030 và 2040

Giải Đầu tiên ta đặt:

x i :lượng ozone của nămtương ứng

y i :nămtương ứngbắt đầu từ năm 1979

^

x :trung bình củalượng ozone các năm

^y :trungbình nămtừ năm1979

Ta có:

^

x=1

n∑

i=1

n

x i=¿18,65¿

^y=1

n∑

i=1

n

y i=¿2001,14¿

Hiệp phương sai và phương sai có thể được tính như sau:

S xy= 1

i=1

n

(x¿¿i−^x )( y i−^y )=¿58,09¿ ¿

S xx= 1

i=1

n

¿ ¿ ¿

Trong đó S xy là hiệp phương sai giữa tuổi và tỷ lệ tử vong , S xx là phương sai của tuổi Kế tiếp

ta tính Hệ số hồi quy như sau:

b= S xy

S xx=

58,09

53,46=1,087

a=^y−b ^x =2001,14−(1,087.18,65)=1980,87

Từ đó ta có được mô hình dự đoán tỷ lệ ung thư theo công thức hồi quy tuyến tính là:

^y=a+bx=1980,87+1,087 x

Từ mô hình ta dự đoán được diện tích lỗ thủng tầng ozone trong năm 2030 và 2040 lần lượt là:

^y=1980,87+1,087 x =¿x (2030)=45,20(million k m2)

^y=1980,87+ 1,087 x =¿x (2040)=54,40(million k m2)

2 Phương pháp tăng trưởng tuyến tính

Phương pháp tăng trưởng tuyến tính, được đinh nghĩa như sau:

Nếu một lượng bắt đầu từ một lượng P o và phát triển theo một lượng d, thì sau

khoảng một thời gia n được xác định: P n=P o+d n

Ví dụ 3: Dân số hươu nai trong một khu rừng quốc gia được đo lường là 12.000 cá thể vào năm 2003 và được đo lường lại là 15.000 cá thể vào năm 2007 Nếu dân số tiếp tục tăng tuyến tính với tốc độ này, dân số hươu nai sẽ là bao nhiêu vào năm 2014 ?

Giải

Để bắt đầu, chúng ta cần xác định cách chúng ta sẽ đo lường n Hãy nhớ rằng P0 là dân số khi n=0, vì vậy chúng ta có thể không muốn sử dụng năm 0 một cách đúng nghĩa Vì chúng ta đã biết dân số vào năm 2003, hãy xác định n=0 là năm 2003 Vậy

P0=12.000

Tiếp theo, chúng ta cần tìm d Hãy nhớ d là tăng trưởng mỗi khoảng thời gian, trong trường hợp này là tăng trưởng mỗi năm Giữa hai lần đo lường, dân số tăng lên

15.000−12.000=3.000, nhưng mất 2007−2003=4 năm để tăng lên nhiều đó Để tìm tăng trưởng mỗi năm, chúng ta có thể chia: 3000 hươu nai cho 4 năm laf 750 hươu nai trong 1 năm

Ngoài ra, bạn có thể sử dụng công thức độ dốc từ đại số để xác định sự khác biệt chung, lưu ý rằng dân số là đầu ra của công thức, và thời gian là đầu vào

d=độ dốc=15.000−12.0002007−2003=30004=750

Chúng ta có thể viết phương trình:

P n=12.000+750 n

Để trả lời câu hỏi, chúng ta cần lưu ý rằng năm 2014 sẽ là n=11, vì năm 2014 là 11 năm sau năm 2003

P11=12.000+750(11)=20.250 (cá thể )

III GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN VÀ KẾT LUẬN

1 Phương pháp hồi quy

Với phương pháp hồi quy tuyến tính đơn giản ta sẽ chia ra hai mô hình để giải quyết bài toán này, mô hình đầu tiên sẽ là mô hình tiêu thụ than đá của Hoa Kỳ và

mô hình thứ hai là mô hình sản xuất than đá của Hoa Kỳ

a) Mô hình tiêu thụ than đá của Hoa Kỳ 1970 – 2019

Đầu tiên ta đặt:

x i: lượng tiêu thụ than á trong từng nămđá trong từng năm

^

Ta có:

^

x=1

n∑

i=1

n

x i=¿851147,998(ngàn tấn), ^y=1

n∑

i=1

n

y i=¿1994,5(năm)¿ ¿

Hiệp phương sai và phương sai có thể được tính như sau:

S xy=∑

i=1

n

(x¿ ¿i y i)−n ^x ^y=81458519,58¿

S xx=∑

i=1

n

(x¿ ¿i2

)−n ^x2=1814448623988,93¿

Kế tiếp ta tính hệ số hồi quy:

b= S xy

S xx=

81458519,58

1814448623988.93=4,48944 10

−5

a=^y−b ^x =1994,5−4,48944 10−5.851147,998 ≈19 56

Từ đó ta có được mô hình dự đoán lượng tiêu thụ của Hoa Kỳ theo công thức hồi quy tuyến tính là:

y=a+bx=1956+ 4,49.10− 5

x

Hệ số xác định R:

R2=1−S S res

S S tot=1−

∑

i=1

n

(y i− ^y i)2

∑

i=1

n

(y i−^y)2

=1−80028.5 8 10412.5 =−668 %

b) Mô hình sản lượng than đá của Hoa Kỳ 1970 – 2019

Đầu tiên ta đặt:

x i: sản lượng than á trong từng nămđá trong từng năm

^

Ta có:

^

x=1

n∑

i=1

n

x i=¿917640.4652(ngàn tấn), ^y=1

n∑

i=1

n

y i=¿1994,5 (năm)¿ ¿

Hiệp phương sai và phương sai có thể được tính như sau:

S xy=∑

i=1

n

(x¿ ¿i y i)−n ^x ^y=75803260.93¿

S xx=∑

i=1

n

(x¿ ¿i2)−n ^x2=1610600370278.91¿

Kế tiếp ta tính hệ số hồi quy:

b= S xy

S xx=

75803260.93

1610600370278.91=4.70652 10

−5

a=^y−b ^x =1994,5−4.70652.10−5 917640.4652≈ 19 51

Từ đó ta có được mô hình dự đoán lượng tiêu thụ của Hoa Kỳ theo công thức hồi quy tuyến tính là:

y=a+bx=1951+4,7 10−5 x

Hệ số xác định R:

R2=1−S S res

S S tot=1−

∑

i=1

n

(y i− ^y i)2

∑

i=1

n

(y i−^y)2

=1−99656.81711 10412.5 =−857 %

2 Phương pháp tăng trưởng tuyến tính

Tốc độ giảm của sản lượng và tiêu thụ trong năm 2019: Độ dốc của đường hồi quy cho thấy tốc độ thay đổi của sản lượng và tiêu thụ theo thời gian Cụ thể, sản lượng than giảm với tốc độ 50908,395 ngàn tấn và tiêu thụ than giảm với tốc độ 100761,814 ngàn tấn so với dữ liệu năm 2018

Thời điểm sản lượng và tiêu thụ sẽ giảm xuống 0, nếu giả sử chúng tiếp tục giảm với tốc độ năm 2019: Như đã trình bày ở trên, theo mô hình hồi quy tuyến tính, sản lượng

và tiêu thụ than sẽ không bao giờ giảm xuống 0 Tuy nhiên, nếu chúng tiếp tục giảm với tốc độ năm 2019, chúng ta có thể ước lượng thời điểm chúng giảm xuống 0 bằng phương pháp tăng trưởng tuyến tính như sau:

Dựa trên số liệu bạn cung cấp, chúng ta có thể tính toán tốc độ giảm của sản lượng và tiêu thụ than từ năm 2018 đến năm 2019

Tốc độ giảm của sản lượng than từ năm 2018 đến năm 2019 là: 756167,095 -

705258,7 = 50908,395 ngàn tấn

Tốc độ giảm của tiêu thụ than từ năm 2018 đến năm 2019 là: 688105,327 -

587343,513 = 100761,814 ngàn tấn

Giả sử rằng tốc độ giảm này sẽ duy trì ổn định qua các năm tiếp theo, chúng ta có thể

sử dụng phương pháp tăng trưởng tuyến tính để dự đoán khi nào sản lượng và tiêu thụ than sẽ giảm xuống 0

Đối với sản lượng than, năm mà sản lượng than sẽ giảm xuống 0 là:

P n=P o+d n ≤ 0

 705258,7−50908,395n ≤ 0=¿n≥ 5,83 ≈ n=6(năm)

Vì vậy, sản lượng than dự kiến sẽ giảm xuống 0 vào khoảng giữa năm 2025

Đối với tiêu thụ than, năm mà tiêu thụ than sẽ giảm xuống 0 là:

P n=P o+d n ≤ 0

 587343,513−100761,814 n≤ 0=¿n ≥13,85 ≈ n=14(năm)

Vì vậy, sản lượng than dự kiến sẽ giảm xuống 0 vào khoảng giữa năm 2033

3 Kết quả và bàn luận

Vậy ta đã có được hai mô hình dự đoán cho sản lượng và tiêu thụ than đá của Hoa Kỳ

từ năm 1970- 2019 cho yêu cầu của bài toán lần lượt là:

^y=1950+ 4,71.10−5x

^y=1960+4,49.10−5 x

Tiếp đó ta xét, dựa vào mô hình trên thì lượng tiêu thụ và sản lượng đạt đỉnh điểm như nào, chúng ta cần tìm giá trị x sao cho đạo hàm của hàm số bằng 0 Tuy nhiên, vì

cả hai mô hình đều là hàm tuyến tính, đạo hàm của chúng là hằng số và không bao giờ bằng 0 Do đó, theo lý thuyết, cả sản lượng và tiêu thụ sẽ tiếp tục tăng theo thời gian nếu không có sự thay đổi trong các yếu tố ảnh hưởng

Mô hình có đại diện chính xác cho dữ liệu không ?: Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần phân tích các chỉ số thống kê như R2 để kiểm tra các giả định của hồi quy tuyến tính Theo kết quả bài ở trên thì ta thấy R2 của sản lượng và lượng tiêu thụ lần lượt là

−668 % v à−857 %cho lệ mô hình hồi quy tuyến tính đã giải thích được khoảng

−668 % v à−857 %biến thiên của biến phụ thuộc Điều này có nghĩa

−668 % v à−857 % là sự thay đổi sản lượng và lượng tiêu thụ có thể được giải thích bằng sự thay đổi năm, dựa trên mô hình hồi quy mà nhóm đã trình bày

Thời điểm sản lượng và tiêu thụ sẽ giảm xuống còn 0 Tức là theo lý thuyết, lượng tiêu thụ của Hoa Kỳ giảm xuống còn 0 là:

^y=19 56+4,49.10−5 x với x =0

 y ≈ 1956 (n ă m)

Tức là tới năm 1956 thì theo mô hình dự đoán lượng tiêu thụ than đá của Hoa Kỳ sẽ bằng 0

^y=195 1+ 4,71.10−5x với x=0

 y ≈ 1951(n ă m)

Tức là năm 1951 thì theo mô hình dự đoán, sản lượng than đá của Hoa Kỳ sẽ về 0 Nhưng theo mô hình hồi quy tuyến tính, sản lượng và tiêu thụ than sẽ không bao giờ giảm xuống 0 ngàn tấn vì độ dốc của đường hồi quy là dương Tuy nhiên, trong thực

tế, có thể có nhiều yếu tố khác như chính sách, kinh tế, có thể ảnh hưởng đến sảnx`x` lượng và tiêu thụ than