Journal de Mathématics Pures et Appliquées Tome II pdf

The Project Gutenberg EBook of Journal de Mathématics Pures et Appliquées Tome II: 1837, by Various This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. 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Internal page references (mostly in the Table des Matières) give both this number and the corresponding PDF page number, as “page 144 (PDF:116)”. Numerous typographical errors in the original were discovered during the preparation of this edition : these have here been corrected and noted at the end of the text. The plates for M. Combes’ Mémoire on “frottement” were not available for this edition. JOURNAL de MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES, ou RECUEIL MENSUEL de mémoires sur les diverses parties des mathématiques ; Publié PAR JOSEPH LIOUVILLE, Ancien Elève de l’École Polytechnique, répétiteur d’Analyse à cette École. TOME DEUXIÈME. ANNÉE 1837. PARIS, BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE de l’école polytechnique, du bureau des longitudes, etc. quai des augustins, n o 55. 1837 TABLE DES MATIÈRES. Solution d’un Problème d’Analyse ; par M. Liouville. . . Page 1 (PDF:6) Solution d’une question qui se présente dans le calcul des Probabi- lités ; par M. Mondésir. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 (8) Note sur les points singuliers des courbes ; par M. Plucker. . . . 11 (15) Second Mémoire sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en séries dont les divers termes sont assujétis à satisfaire à une même équation différentielle du second ordre, contenant un paramètre variable, par M. Liouville. . . . . . . . . . . . 16 (19) Extrait d’une lettre de M. Terquem à M. Liouville. . . . . . . 36 (35) Note sur les équations indéterminées du second degré. — Formules d’Euler pour la résolution de l’équation Cx 2 ∓ A = y 2 . — Leur identité avec celles des algébristes indiens et arabes. — Démons- tration géométrique de ces formules ; par M. Chasles. . . . . 37 (36) Mémoire sur la classification des transcendantes, et sur l’impossi- bilité d’exprimer les racines de certaines équations en fonction finie explicite des coefficients ; par M. Liouville. . . . . . . . 56 (50) Sur le développement de (1−2xz+z 2 ) − 1 2 ; par MM. Ivory et Jacobi. 105 (86) Sur la sommation d’une série ; par M. Liouville. . . . . . . . . 107 (88) Mémoire sur une méthode générale d’évaluer le travail dû au frotte- ment entre les pièces des machines qui se meuvent ensemble en se pressant mutuellement. — Application aux engrenages coniques, cylindriques, et à la vis sans fin ; par M. Combes. . . . . . . 109 (90) Note sur une manière simple de calculer la pression produite par les parois d’un canal dans lequel se meut un fluide incompressible ; par M. Coriolis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 (105) Sur la mesure de la surface convexe d’un prisme ou d’un cylindre tronqué ; par M. Paul Breton. . . . . . . . . . . . . . . 133 (108) Note sur le développement de (1 − 2xz + z 2 ) − 1 2 ; par M. Liouville. 135 (110) Note sur un passage de la seconde partie de la Théorie des Fonctions analytiques ; par M. Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . 140 (114) Mémoire sur les surfaces isothermes dans les corps solides homo- gènes en équilibre de température ; par M. Lamé. . . . . . . 147 (119) Note de M. Poisson relative au mémoire précédent. . . . . . . 184 (148) Addition à la note de M. Poisson insérée dans le numéro précédent de ce Journal ; par l’Auteur . . . . . . . . . . . . . . . 189 (152) Mémoire sur l’interpolation ; par M. Cauchy . . . . . . . . . 193 (155) Note sur un passage de la Mécanique céleste relatif à la théorie de la figure des planètes ; par M. Liouville . . . . . . . . . . 286 (165) Extrait d’un mémoire sur le développement des fonctions en séries dont les différents termes sont assujétis à satisfaire à une même équation différentielle linéaire, contenant un paramètre variable ; par MM. Sturm et Liouville . . . . . . . . . . . . . . . 220 (176) Remarques sur les intégrales des fractions rationnelles ; par M. Pois- son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 (179) Mémoire sur le degré d’approximation qu’on obtient pour les va- leurs numériques d’une variable qui satisfait à une équation diffé- rentielle, en employant, pour calculer ces valeurs, diverses équa- tions aux différences plus ou moins approchées ; par M. Coriolis 229(183) Sur une lettre de d’Alembert à Lagrange ; par M. Liouville . . . 245 (195) Observations sur des théorèmes de Géométrie énoncés, page 160 (PDF:129) de ce volume et page 222 du volume précédent ; par M. Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 (197) Recherches sur les nombres ; par M. Lebesgue . . . . . . . . . 253 (201) Note sur un cas particulier de la construction des tangentes aux projections des courbes, pour lequel les méthodes générales sont en défaut ; par M. Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . 293 (231) Théorèmes sur les contacts des lignes et des surfaces courbes ; par M. Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 (235) Note relative à un passage de la Mécanique céleste ; par M. Poisson 312 (244) Remarques sur l’intégration des équations différentielles de la Dy- namique ; par M. Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 317 (248) Thèses de Mécanique et d’Astronomie ; par M. Lebesgue . . . . 337 (263) Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géomé- trie peut se résoudre avec la règle et le compas ; par M. Wantzel 366 (286) Solution d’un problème de Probabilité ; par M. Poisson . . . . 373 (292) Mémoire sur diverses manières de généraliser les propriétés des diamètres conjugués dans les sections coniques.–Nouveaux théo- rèmes de Perspective pour la transformation des relations mé- triques des figures.–Principes de Géométrie plane analogues à ceux de la Perspective. Manière de démontrer, dans le cône oblique, les propriétés des foyers des sections coniques; par M. Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 (303) Note sur la variation des constantes arbitraires dans les problèmes de Mécanique ; par M. Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 406 (316) Sur quelques propriétés générales des surfaces gauches ; par M. Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 (321) Troisième mémoire sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en séries dont les divers termes sont assujétis à satisfaire à une même équation différentielle du second ordre, contenant un paramètre variable ; par M. Liouville . . . . . . . . . . . 418 (325) Note sur une propriété des sections coniques ; par M. Pagès . . 437 (340) Solution nouvelle d’un problème d’Analyse relatif aux phénomènes thermo-mécaniques ; par M. Liouville . . . . . . . . . . . 439 (342) Note sur l’intégration d’un système d’équations différentielles du se- cond ordre, entre un nombre quelconque de variables, analogues à celles du mouvement d’un point libre autour d’un centre fixe, sol- licité par une force fonction de la distance au centre ; par M. Binet 457 (355) Solution d’un problème de Probabilité relatif au jeu de rencontre ; par M. Catalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 (364) Sur la formule de Taylor ; par M. Liouville . . . . . . . . . . 483 (375) Errata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 (376) FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES. [JMPA 1837:1] JOURNAL DE MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES. SOLUTION D’UN PROBLÈME D’ANALYSE ; Par Joseph LIOUVILLE 1. Soient x une variable indépendante comprise entre deux limites réelles x, X, et φ(x) une fonction de x déterminée, mais inconnue, qui ne devienne jamais infinie lorsque x croît de x à X. Cela posé, le problème que je veux résoudre est le suivant : quelle doit être la valeur de la fonction φ(x) pour que l’on ait constamment (1)  X x x n φ(x)dx = 0, n étant un quelconque des nombres entiers 0, 1, 2, 3,. . . ? Je dis que la fonction φ(x) qui résout ce problème est identiquement nulle, en sorte que l’on a φ(x) = 0 depuis x = x jusqu’à x = X. En effet, si la fonction φ(x) n’est pas nulle depuis x = x jusqu’à x = X, il faut que dans cet intervalle elle change de signe un certain nombre de fois, sans quoi les éléments de l’intégrale placée au premier membre de l’équation (1) seraient tous de même signe et ne pourraient avoir zéro pour somme. Supposons donc que la fonction φ(x) change de signe m fois, et soient x 1 , x 2 ,. . .x m , les m valeurs de x pour lesquelles ce changement s’effectue. Faisons ψ(x) = (x − x 1 )(x − x 2 ) . . . (x − x m ) : en développant le produit des facteurs binômes, ψ(x) prendra la forme x m + A 1 x m−1 + . . . + A m−1 x + A m . Si [JMPA 1837:2] donc on fait, dans l’équation (1), successivement n = m, n = m − 1,. . . n = 1, n = 0, et qu’on ajoute membre à membre les équations ainsi obtenues, après les avoir multipliées par les facteurs respectifs 1, A 1 ,. . .A m−1 , A m , on obtiendra  X x ψ(x)φ(x)dx = 0 :(2) or l’équation (2) est absurde, puisque les deux fonctions φ(x) et ψ(x) changeant de signe en même temps, l’élément ψ(x)φ(x)dx doit au contraire conserver tou- jours le même signe. Ainsi, lorsque x croît de x à X, il est absurde d’attribuer à φ(x) une valeur autre que zéro, C. Q. F. D. Cette démonstration subsiste même 6 lorsqu’on attribue à φ(x) une valeur imaginaire P + Q √ −1, car alors l’équa- tion (1) se décompose en deux autres équations qui donnent séparément P = 0, Q = 0 1 . 2. Si l’équation (1) est satisfaite, non pas pour toutes les valeurs de n, mais seulement pour les valeurs suivantes 0, 1, 2,. . .(p−1), je dis que la fonction φ(x) (supposée réelle) change de signe au moins p fois ; car si elle ne changeait de signe que m fois, m étant < p, on arriverait comme ci-dessus à l’équation (2) dont l’absurdité vient d’être démontrée. L’analyse précédente est fondée sur un principe semblable à celui dont j’ai fait usage dans un de mes mémoires (tome 1 er de ce Journal, page 253) ; mais il m’a paru qu’il était utile de donner de ce principe une application nouvelle et simple. 1 Soient B 0 , B 1 , . . . B n ,. des constantes données à volonté. Si l’on cherche une fonction φ(x) qui satisfasse à l’équation (3) Z X x x n φ(x)dx = B n , n étant un quelconque des nombres compris dans la série 0, 1, 2, 3,. . ., ce problème n’aura jamais plusieurs solutions. En effet si toutes les équations contenues dans la formule (3) sont satisfaites en prenant φ(x) = f (x), on pourra poser en général φ(x) = f(x) + (x), et il en résultera Z X x x n (x)dx = 0, et par suite (x) = 0, ce qui démontre notre théorème. 7 [JMPA 1837:3] SOLUTION D’une question qui se présente dans le calcul des probabilités ; Par M. É. MONDÉSIR, Elève ingénieur des Ponts-et-Chaussées. Si une urne contient b boules blanches et n boules noires, et qu’on en tire p au hasard, la probabilité de tirer parmi les boules restantes soit q blanches, soit q noires, n’est point altérée et reste la même qu’avant la soustraction des p boules. Il y aura trois cas à examiner, suivant que p sera à la fois plus petit que b et que n, ou compris entre les deux, ou plus grand en même temps que b et que n. 1 er cas : p < b, p < n. Il y aura dans ce cas (p + 1) hypothèses à faire sur la composition des p boules, savoir : 1 re hyp. . . . . p blanches, 2 e hyp. (p −1) bl., 1 noire, . . . . . . . . . . (p + 1) me hyp. . . . . p noires. Dans chacune de ces hypothèses, la probabilité pour amener q blanches, par exemple, parmi les (b + n −p) boules restantes serait, (1)              Dans la 1 re hypothèse (b−p)(b−p−1) [b−p−(q−1)] (b+n−p)(b+n−p−1) [b+n−p−(q−1)] , Dans la 2 e hypothèse (b−p+1)(b−p+1−1) [b−p+1−(q−1)] (b+n−p)(b+n−p−1) [b+n−p−(q−1)] , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dans la (p + 1) me hyp. b(b−1) [b−(q−1)] (b+n−p)(b+n−p−1) [b+n−p−(q−1)] . Cherchons maintenant la probabilité de chaque hypothèse. Soit N le nombre d’arrangements possibles avec (b + n) lettres, en les prenant p à p : ce nombre sera [JMPA 1837:4] N = (b + n)(b + n − 1) . . . [b + n −(p − 1)]; il exprimera toutes les manières possibles de faire le tirage des p boules, en supposant qu’on les tire de l’urne une à une. Nous aurons d’un autre côté toutes les manières possibles de faire le tirage de p blanches, en prenant le nombre d’arrangements de b lettres p à p. Nommons ce nombre A 0 : il sera A 0 = b(b −1)(b − 2) . . . [b − (p −1)]. 8 Nous aurons A 1 , ou le nombre de manières possibles de tirer (p−1) blanches et 1 noire, en observant que l’on peut former ce nombre en prenant chacun des arrangements de b boules (p − 1) à (p − 1), y ajoutant chacune des n boules noires, et permutant cette boule aux p places qu’elle peut occuper dans chacun des arrangements : nous aurons donc A 1 = b(b −1) . . . [b −(p − 2)]p . n. Pour obtenir A 2 , prenons chaque arrangement de b lettres (p − 2) à (p − 2) ; ajoutons-y chaque combinaison de n lettres 2 à 2 : la permutation de la première lettre aux (p −1) places de l’arrangement de (p −2) lettres donnera lieu à (p−1) arrangements nouveaux de (p − 1) lettres, et la permutation de la 2 me lettre transformera chaque arrangement de (p − 1) lettres en p arrangements de p lettres. On a évidemment de cette manière tous les arrangements possibles de (b −2) boules blanches et de a boules noires : écrivons donc A 2 = b(b −1) . . . [b −(p − 3)]p(p −1) n(n−1) 1.2 , nous aurons de même A 3 = b(b −1) . . . [b −(p − 4)]p(p −1)(p − 2) n(n−1)(n−2) 1.2.3 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A p−2 = b(b −1)p(p − 1) n(n−1) [n−(p−3)] 1.2 , A p−1 = bp n(n−1) [n−(p−2)] 1 , A p = n(n −1)(n − 2) . . . [n − (p −1)]. A 0 exprimant le nombre de manières possibles de tirer p blanches, et N le nombre [JMPA 1837:5] de manières possibles de tirer p boules quelconques, A 0 étant, en d’autres termes, le nombre de coups favorables à la première hypothèse, et N le nombre de coups possibles, A 0 N doit exprimer la probabilité de la première hypothèse : de même les probabilités des hypothèses suivantes seront exprimées par les fractions A 1 N , A 2 N , . . . A p−1 N , A p N . Si nous multiplions la probabilité de chaque hypothèse par la probabilité correspondante (1), et si nous faisons la somme, nous aurons pour la probabilité de tirer q blanches parmi les (b + n −p) boules restantes, la série suivante 1 N  A 0 (b−p)(b−p−1) [b−p−(q−1)] (b+n−p) [b+n−p−(q−1)] + A 1 (b−p+1)(b−p+1−1) [b−p+1−(q−1)] (b+n−p) [b+n−p−(q−1)] + A 2 (b−p+2)(b−p+2−1) [b−p+2−(q−1)] (b+n−p) [b+n−p−(q−1)] + . . . +A p b(b−1) (b−q−1] (b+n−p) [b+n−p−(q−1)]  . 9 Remplaçons dans cette série A 0 , A 1 ,. . . A p , par leurs valeurs, ainsi que N et remarquons que le facteur suivant b(b−1) [b−(q−1)] (b+n)(b+n−1) [b+n−(q−1)] est commun à tous les termes ; la probabilité cherchée sera b(b−1) [b−(q−1)] (b+n)(b+n−1) [b+n−(q−1)  (b−q) [b−p−(q−1)] (b+n−q) [b+n−p−(q−1)] + (b−q) [b−p+1−(q−1)] (b+n−q) [b+n−p−(q−1)] pn + (b−q) [b−p+2−(q−1)] (b+n−q) [b+n−p−(q−1)] p(p −1) n(n−1) 1.2 + . . . . . . + (b−q)(b−q−1) (b+n−q) [b+n−p−(q−1)] p(p −1) n(n−1) [n−(p−3)] 1.2 + b−q (b+n−q) [b+n−p−(q−1)] p n(n−1) [n−(p−2)] 1 + n(n−1) [n−(p−1)] (b+n−q) [b+n−p−(q−1)]  . Examinons la signification et la valeur de la quantité contenue entre les crochets : [JMPA 1837:6] tous les termes de la série ont un dénominateur commun (b + n −q) . . . [b + n − p −(q −1)] = (b + n −q)(b + n −q −1) . . . [b + n −q −(p −1)] : ce dénominateur est le nombre d’arrangements possibles avec (b + n −q) lettres prises p à p ; il ne diffère du dénominateur N que par le changement de (b + n) en (b + n − q) ; il doit donc exprimer le nombre de coups possibles, quand on tire p boules d’une urne qui en contient (b + n −q). Considérons chaque expression de la série, à part ce dénominateur commun, par exemple l’expression (b −q) . . . [b − p + 2 − (q − 1)]p(p −1) n(n−1) 1.2 , on peut l’écrire ainsi (b −q)(b − q − 1) . . . [b − q − (p −3)]p(p − 1) n(n−1) 1.2 . Comparée à l’expression A 2 , on voit que cette formule n’en diffère que par le changement de b en (b − q) ; elle doit exprimer toutes les manières possibles de tirer (p − 2) boules blanches et 2 noires d’une urne qui contient (b − q) boules blanches et n noires. On verrait de même que les autres expressions contenues entre les crochets ne diffèrent des autres expressions A 0 , A 1 , etc., que par le même changement de b en (b − q). La somme de ces expressions, sauf leur dénominateur commun, indique donc toutes les manières possibles de tirer p boules d’une urne qui contient (b − q) blanches et n noires, comme la somme des expressions A 0 etc., indique toutes les manières possibles de tirer p boules d’une urne qui contient b blanches et n noires. Cette somme d’expressions est donc égale à son dénominateur commun, et la série entière comprise entre les crochets égale à l’unité, ce qui réduit la probabilité cherchée à b(b−1) [b−(q−1)] (b+n)(b+n−1) [b+n−(q−1)] , c’est-à-dire à ce qu’elle était avant le tirage de p boules. 10 [...]... indéterminée La série p0 + p1 + etc est convergente : prenons en e et les divers termes de cette série, abstraction faite de leurs signes, et désignons les par P0 , P1 , etc ; représentons par P et G les valeurs absolues les plus grandes des deux fonctions P0 et l − gr pour des valeurs de x croissantes depuis x jusqu’à X ; représentons aussi par k0 la plus petite valeur de k En remplaçant partout sous... méthodes de M Sturm, les valeurs de z qui rendent V un maximum et les valeurs correspondantes de V Il est donc facile de trouver alors la limite supérieure que nous avons désignée au no II par la lettre W Mais l’emploi des méthodes de M Sturm étant trop pénible quand ρ est très grand, voici comment on peut y suppléer Soit Q la plus grande valeur que U puisse prendre lorsque z varie de 0 à Z, et L la... par les géomètres qui ont 2 Tome Ier 3 Tome Ier de ce Journal, page 106 et page 173 de ce Journal, page 411 20 traité des questions semblables et qui savent combien en général elles offrent de difficultés Elle consiste à prouver que si l’on désigne par n un indice très grand, par un la valeur absolue du nieme terme de la série (1) et par M un certain M nombre indépendant de n et facile à calculer, on a... température du du point dont l’abscisse est x4 La vitesse de refroidissement − est donc dt exprimée par la série   X Ve−rt r gVf (x)dx   x  Σ X   gV2 dx x 4 Tome Ier de ce Journal, page 411 32 Pour des valeurs positives de t, la convergence de cette série résulte évidemment de l’analyse précédente On démontrerait de la même manière la convergence des deux séries X √ V cos(t r) x Σ , X X √ V sin(t r)... arbitrairement et supposer, par exemple, égale à l’unité, pour x = x, dV soit la valeur de V , soit celle de , ces deux valeurs étant assujetties à la dx dV seule relation − hV = 0 ; d’où il résulte que pour des valeurs de x très dx rapprochées de x et un peu plus grandes, la fonction V est différente de zéro Donc l’équation (r) = 0 n’a pas de racines imaginaires, C Q F D 34 Extrait d’une lettre de M Terquem... du second degré, à deux ou plusieurs inconnues Dans toutes, ce grand analyste de l’école d’Alexandrie a montré beaucoup d’adresse et de génie ; mais ses solutions sont diverses, appropriées à des questions particulières, et ne mettent pas sur la voie des méthodes générales dont cette partie de l’analyse était susceptible Aussi a-t-il fallu en quelque sorte a créer de nouveau dans les temps modernes Fermat... d’autres termes, c’est de résoudre l’équation Cx2 +1 = y 2 , en valeurs rationnelles et entières de x et de y Cette question avait été proposée, en quelque sorte comme défi, aux géomètres anglais Lord Brouncker et Wallis la résolurent, en donnant à x et à y 2m m2 + c des expressions générales de la forme 2 , et 2 Frénicle trouva aussi m −c m −c cette solution Et Ozanam, ainsi que Prestet, la donnèrent comme... X L’équation générale de la ligne droite renferme deux constantes, que nous supposons y entrer au premier degré seulement Nous désignerons deux fonctions linéaires quelconques de ces deux constantes par r et s Alors des valeurs données de r et s déterminent une ligne droite unique, et l’équation Ψ(r, s) = Ψ = 0, en y considérant r et s comme variables, représente une courbe : cette courbe est regardée... constantes de l’équation générale d’un degré quelconque, la courbe correspondante acquiert des points doubles ou de rebroussement, le nombre des points d’inflexion diminue de six unités pour chaque point double et de huit pour chaque point de rebroussement J’ajouterai que sur les six points d’inflexion qui disparaissent, il y a deux de réels et quatre d’imaginaires, si c’est un point double proprement dit et. .. Pour des valeurs de ρ plus grandes que LZ, il vient donc h ρ LZ 1− ρ 2 1+ Q< Lorsque l’on prend le paramètre ρ suffisamment grand et tel que l’on ait ρ > 2LZ, ce que nous admettrons désormais, il vient par conséquent Q . (p−1) arrangements nouveaux de (p − 1) lettres, et la permutation de la 2 me lettre transformera chaque arrangement de (p − 1) lettres en p arrangements de p lettres. On a évidemment de cette manière tous. it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: Journal de Mathématics Pures et Appliquées Tome II: 1837 Recueil mensuel de mémoires. arrangement de b lettres (p − 2) à (p − 2) ; ajoutons-y chaque combinaison de n lettres 2 à 2 : la permutation de la première lettre aux (p −1) places de l’arrangement de (p −2) lettres donnera