Uber Integralinvarianten und Differentialgleichungen, by Sophus docx

The Project Gutenberg EBook of ¨ Uber Integralinvarianten und Differentialgleichungen, by Sophus Lie This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: ¨ Uber Integralinvarianten und Differentialgleichungen Author: Sophus Lie Release Date: April 24, 2008 [EBook #25157] Language: German Character set encoding: ISO-8859-1 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN *** ¨ Uber Integralinvarianten und Differentialgleichungen von Sophus Lie Videnskabsselskabets Skrifter. 1. Mathematisk-naturv. Klasse 1902. No. 1 Udgivet for Fridtjof Nansens Fond Christiania In Kommission bei Jacob Dybwad A. W. Brøggers Buchdruckerei 1902 Produced by K.F. Greiner, Ralf Stephan, Joshua Hutchinson and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images generously made available by Cornell University Digital Collections) Anmerkungen zur Transkription Die inkonsistente Schreibweise mehrerer W ¨ orter im Original wurde unver ¨ andert ¨ ubernommen. Vom Verlag nachtr ¨ aglich angegebene  Berichtigungen  wurden in den Text eingearbeitet und mit einem Plusze ichen als Anmerkung markiert. Fremlagt i Vid. Selsk. math. naturv. Kl. den 27de Septbr. 1901. Vorwort. Die Gesellschaft der Wissenschaften hat uns mit dem Auftrag beehrt, Pro- fessor S o p h u s L i e s hinterlassene Manuscripte durchzusehen, da sich darunter m ¨ oglicherweise Abhandlungen befinden konnten, die sich zur Bear- beitung oder Ver ¨ offentlichung eigneten. Von den sehr zahlreichen hinterlassenen Manuscripten, deren Verzeichniss sp ¨ ater ver ¨ offentlicht werden soll, sind nur wenige soweit ausgearbeitet, dass sie ohne weiteres gedruckt werden k ¨ onnten. Dagegen finden sich zahlreiche Entw ¨ urfe mit skizzirten Arbeiten und hin- geworfenen Ideen, die bei eingehenderer Bearbeitung wohl interessante Re- sultate liefern k ¨ onnen. Wir publicieren hiermit die erste der nachgelassenen Abhandlungen: ¨ Uber Integralinvarianten und Differentialgleichungen. Diese bildet eine Fortset- zung zweier fr ¨ uherer Abhandlungen ¨ uber Integralinvarianten, die in den Be- richten der kgl. S ¨ ach. Gesellschaft der Wiss. zu Leipzig 1897 publicirt sind, und war von Lie urspr ¨ unglich, wie aus einer Aufschrift auf dem Manuscript hervorgeht, bestimmt, ebenda zu erscheinen. Die Abhandlung ist im Grossen und Ganzen ziemlich ins Reine geschrie- ben und hier und da sind Correcturen ¨ ubergeklebt. Daher d ¨ urfte sie von Lie bereits f ¨ ur den Druck bestimmt gewesen sein. Zwar fehlt der angek ¨ undigte zweite Theil (siehe S. 6, Note 7) und die Einleitung scheint noch nicht endg ¨ ultig redigiert gewesen zu sein; aber die Abhandlung bildet trotzdem ein so abgeschlossenes Ganzes, dass wir kein Bedenken tragen sie zu ver ¨ offent- lichen. Wir haben das Studium dieser Abhandlung durch Anmerkungen an sol- chen Stellen zu erleichtern gesucht, wo ein Citat oder eine Erl ¨ auterung w ¨ un- schenswerth scheinen konnte. Hier und da haben wir auch kleinere Schreib- oder Rechenfehler richtig gestellt, worauf wir stets in Anmerkungen aufmerk- sam machen. Wir sprechen hiermit H r. Professor H. Goldschmidt in Christiania und Hr. Professor Friedrich Engel in Leipzig unseren besten Dank f ¨ ur ihre Mith ¨ ulfe beim Correcturenlesen aus. Dem Letztgenannten verdanken wir auch mehrere werthvolle Aufkl ¨ arungen ¨ uber gewisse Punkte in der Einlei- tung. Alf Guldberg. Carl Størmer. ¨ Uber Integralinvarianten und Differentialgleichungen ∗ . von Sophus Lie. In zwei Abhandlungen, die in den Leipziger Berichten † erschienen sind, habe ich wichtige Beitr ¨ age zu der schon fr ¨ uher von mir gestreiften allge- meinen Theorie der Integralinvarianten geliefert. In der ersten Arbeit, die zun ¨ achst dem allgemeinen Begriffe der Integralinvarianten und dem Zusam- menhang dieses Begriffes mit meiner Theorie der continuierlichen Gruppen und der Differentialinvarianten gewidmet war, sah ich mich dazu veranlasst, das Abh ¨ angigkeitsverh ¨ altniss zu betonen, in dem die Arbeiten anderer Ma- thematiker ¨ uber diesen Gegenstand zu meinen ¨ alteren Arbeiten stehen. In der zweiten Abhandlung besch ¨ aftigte ich mich mit der Verwerthung bekann- ter Integralinvarianten f ¨ ur die Integration vorgelegter Differentialgleichungen und insbesondere f ¨ ur die Reduction einer gegebenen continuirlichen Gruppe auf ihre Normalform. In dieser dritten Abhandlung besch ¨ aftige ich mich wiederum mit der Be- deutung der Integralinvarianten f ¨ ur die allgemeine Theorie der Differential- gleichungen, und zwar zerf ¨ allt diese Arbeit in mehrere Abschnitte 1 ), in denen ein lehrreiches Beispiel von sehr allgemeinem Charakter im Einzelnen durch- gef ¨ uhrt wird; gelegentlich gebe ich auch theoretische Entwicklungen, welche die allgemeine Theorie der Integralinvarianten f ¨ ordern sollen. Der Z weck dieser Untersuchungen ist eigentlich ein doppelter. Einerseits bietet die Theorie der Integralinvarianten an sich ein so grosses Interesse, dass eine ausf ¨ uhrliche Darstellung dieser Lehre als zweckm ¨ assig, ja notwen- dig betrachtet werden muss. Anderseits ist wohl zu beachten, dass die Theorie der Integralinvarianten im h ¨ ochsten Masse dazu geeignet ist, besonders lehr- reiche Illustrationen zu meinen allgemeinen Integrationstheorien zu liefern. Seit dem Anfange der siebziger Jahren habe ich eine Reihe fundamentaler Integrationstheorien entwickelt, in denen ausgedehnte Categorien von Dif- ferentialgleichungen durch rationelle gruppentheoretische Methoden erledigt werden, die mit Lagrange’s, Abel’s und Galois’ Behandlung der algebraischen Gleichungen durchgreifende Analogien darbieten. Diese meine allgemeinen Untersuchungen, in denen viele specielle Resultate meiner Nachfolger anti- cipirt worden sind, haben noch nicht die allgemeine Beachtung gefunden, die ∗ Die Theorien dieser Abhandlung entwickelte ich im Sommersemester 1897 in meinen Seminar-Vorlesungen an der Universit ¨ at Leipzig. S. Lie. † Leipziger Berichte Mai und Juli 1897. 2 Sophus Lie. M.N. Kl. sie entschieden verdienen. Es beruht dies wahrscheinlicherweise in erster Li- nie darauf, dass meine Theorien fast immer in abstracter Form entwickelt worden sind ∗ . Darum versuche ich jetzt wie auch in fr ¨ uheren Publicationen, lehrreiche und interessante Beispiele zu meinen allgemeinen Theorien im Einzelnen durchzuf ¨ uhren.Schliesslich wird es mir wohl einmal gelingen, der mathematischen Welt klar zu machen, dass gerade die Differentialgleichun- gen dasjenige Gebiet liefern, innerhalb dessen die capitale Bedeutung meiner Gruppentheorie sich am st ¨ arksten geltend macht. Es ist eben ein charakteri- stisches Merkmal der Gruppentheorie, dass sie einerseits schwierige Probleme erledigt, und dass sie anderseits genau feststellt, was unter gegebenen Vor- aussetzungen geleistet werden kann. Vielleicht kann es n ¨ utzlich sein, ehe ich den sp eciellen Gegenstand dieser Abhandlung in Angriff nehme, auf einige unter meinen allgemeinen Integra- tionstheorien hinzuweisen. Die Integration einer gew ¨ ohnlichen Differentialgleichung (n − q) ter Ord- nung in den Ver ¨ anderlichen x und y kann bekanntlich immer auf die Erledi- gung eines q-gliedrigen vollst ¨ andigen Systems: X 1 f = 0, X 2 f = 0, . . . X q f = 0 (1) in n unabh ¨ angigen Ver ¨ anderlichen x 1 , x 2 , . . . x n zur ¨ uckgef ¨ uhrt werden, und dabei l ¨ asst sich immer erreichen, dass die Klammerausdr ¨ ucke X i X k f −X k X i f s ¨ amtlich identisch verschwinden. Man weiss andererseits, dass die Integration eines q-gliedrigen vollst ¨ an- digen Systems (1) mit n unabh ¨ angigen Ver ¨ anderlichen x 1 , . . . x n , sich auf die Erledigung einer gew ¨ ohnlichen Differentialgleichung (n − q) ter Ordnung zur ¨ uckf ¨ uhren l ¨ asst; und dabei liegt es in der Natur der Sache, dass diese H ¨ ulfsgleichung (n−q) ter Ordnung im Allgemeinen keine specielle Eigenschaf- ten besitzt, aus denen sich eine Vereinfachung ihrer Integration herleiten lies- se. Ganz anders kann die Sache stehen, wenn ein vollst ¨ andiges System: X 1 f = 0, X 2 f = 0, . . . X q f = 0 (x 1 , x 2 , . . . x n ) ∗ Einige unter meinen Sch ¨ ulern finden es zweckm ¨ assig, diejenigen unter meinen Inte- grationstheorien, die von den Jahren 1870–1882 herr ¨ uhren, einfach zu ignorieren. Es ist aber und bleibt ein geschichtliches Faktum, dass nicht allein die Begr ¨ undung der Theorie der continuierlichen Gruppen, sondern auch die allgemeine Verwerthung dieser Theorie f ¨ ur Differentialgleichungen von mir herr ¨ uhrt. 1902 No.1 ¨ uber integralinvarianten und differentialgl. 3 zu Integration vorgelegt ist, und man von vorneherein gewisse specielle Ei- genschaften dieses vollst ¨ andigen Systems schon kennt. Ganz besonders eingehend habe ich mich ∗ in den Jahren 1872 und 1874 mit der Annahme besch ¨ aftigt, dass gewisse infinitesimale Transformationen: Y 1 f, Y 2 f, . . . Y p f, die das vollst ¨ andige System invariant lassen, und ander- seits gewisse L ¨ osungen des vollst ¨ andigen Systems von vorneherein bekannt sind. In den oben citierten Arbeiten aus den Jahren 1874 und 1882 gab ich die definitive Erledigung des eben formulierten Problems, und zu dieser weit- tragenden Theorie konnten sp ¨ atere Arbeiten anderer Mathematiker nach der Natur der Sache keine neuen und wesentlichen Beitr ¨ age hinzuf ¨ uhren † . Wir k ¨ onnen ferner annehmen, dass r unabh ¨ angige infinitesimale Trans- formationen X 1 f, X 2 f, . . . X r f vorgelegt sind, die Relationen von der Form X i X k f − X k X i f =  s c iks X s f (c iks = Const.) erf ¨ ullen, und dass man alle L ¨ osungen des Gleichungs-Systems X 1 f = 0, . . . X r f = 0 (2) anders ausgesprochen, alle Invarianten U (x 1 , x 2 , . . . x n ) der r-gliedrigen Gruppe X 1 f . . . X r f bestimmen will. Finden sich unter den Gleichungen (2) etwa q unabh ¨ angige, so bilden diese q Gleichungen X 1 f = 0, . . . X q f = 0 ein vollst ¨ andiges System, dess en n − q L ¨ osungen gerade die gesuchten Inva- rianten liefern. Will man nun die Integration dieses vollst ¨ andigen Systems in rationeller, das heisst, in einfachst m ¨ oglicher Weise durchf ¨ uhren, so muss man in erster Linie untersuchen, ob infinitesimale Transformationen Yf vorhan- den sind, die mit allen r Transformationen X 1 f, . . . X r f vertauschbar sind. Giebt es keine derartige Transformationen Yf, so kann die Integration des vollst ¨ andigen Systems X 1 f = 0, . . . X q f = 0 durch ausf ¨ uhrbare Operationen ∗ Verh. d. Ges. d. Wiss. zu Christiania 1872 und 1874. Math. Ann. Bd. IX. Verh. d. Ges. d. Wiss. zu Christiania 1882. Ein Resum´e dieser Theorien findet sich in Math. Ann. Bd. XXV. † Meine Nachfolger und Sch ¨ uler haben einige neue Anwendungen meiner Integrations- theorien geliefert. Es scheint aber ihrer Aufmerksamkeit entgangen zu sein, wie minimal die verbindende Br ¨ ucke ist. 4 Sophus Lie. M.N. Kl. geleistet werden. Sind dagegen infinitesimale Transformationen Yf vorhan- den, die mit allen X k f vertauschbar sind, so bilden alle Yf ihrerseits eine continuirliche endliche oder unendliche Gruppe, und es ist die Zusammenset- zung dieser Gruppe Yf, die das vorliegende Integrationsproblem beherrscht 2 ). Es kann vielleicht n ¨ utzlich sein, dass wir in aller K ¨ urze daran erinnern, wie wir dieses Problem auf das zuerst besprochene Problem zur ¨ uckgef ¨ uhrt haben. Sind X 1 f, . . . X r f, r unabh ¨ angige infinitesimale Transformationen der vorgelegten Gruppe, so k ¨ onnen wir immer annehmen, dass wir eine kanoni- sche Form dieser Gruppe X  k f =  ξ ki (x  1 , . . . x  n ) ∂f ∂x  i und gleichzeitig die reciproke Gruppe Y  k f =  i η  ki (x  1 , . . . x  n ) ∂f ∂x  i der letzten Gruppe kennen. Unser Problem deckt sich sodann mit der Reduktion der vorgelegten Gruppe X 1 f, . . . X r f auf ihre kanonische Form und findet daher seinen ana- lytischen Ausdruck in den r Gleichungen X k f = X  k f oder eigentlich in den r · n Gleichungen, die hervorgehen, wenn f ¨ ur f nach und nach x  1 , x  2 , . . . x  n gesetzt wird. Hiermit erhalten wir ein System partieller Differentialgleichungen Ω k (x 1 , x 2 , . . . x n , x  1 . . . x  n , ∂x  1 ∂x 1 , . . .) = 0 k = 1, 2, 3, . . . deren allgemeinste L ¨ osungen y  1 , y  2 , . . . y  n aus einem speciellen L ¨ osungssys- tem x  1 , . . . x  n durch bekannte Gleichungen y  i = ϕ i (x 1 , . . . x  n , b 1 , . . .) hervorgehen, die eine Gruppe und zwar gerade die kanonische reciproke Grup- pe bilden. Nachdem wir aber unser Problem auf diese Gestalt gebracht haben, [...]... X1 f , X2 f und das obenstehende Integral invariant l¨sst, und ist endlich die Gr¨sse C eine von Null a o verschiedene Constante, so sind ξ(x, y) und η(x, y) Funktionen von x und y, die durch die Gleichungen (CD + AB − AB)(ξx + ηy ) + (CD + AB − AB)x · ξ + (CD + AB − AB)y · η = 0 (Ax + By )(ξx + ηy ) + (Ax + By )x · ξ + (Ax + By )y · η = 0 (Ax + By )(ξx + ηy ) + (Ax + By )x · ξ + (Ax + By )y · η =... hierbei die Form: Uf = µ(x) ∂f ∂y und die Transformation Uf = µ(x) ∂f ∂f ∂f + zα(x, y) + zβ(x, y) ∂y ∂z ∂z wird bestimmt durch die Gleichungen: −Cβy Cβx Cαy −Cαx = µ(x)Ay = −Aµ (x) + µ(x )By = µ(x)Ay = −Aµ (x) + µ(x )By o a Die zugeh¨rigen Integrabilit¨tsbedingungen Axy + Byy = 0, Axy + Byy = 0 werden in allgemeinster Weise befriedigt, wenn wir Ax + By = X (x), Ax + By = X1 (x) und B = −Ωx , A = X(x) + Ωy... BXy , ∆ · B1 = AYx + BYy ∆ · A1 = AXx + BXy , ∆ · B1 = AYx + BYy Ωx Ωy Vx Vy ∆ · D1 = −A −B − A − B + D Ω Ω V V Die letzte Formel zeigt, dass es, sobald A, B, A und B nicht s¨mmtlich a gleich Null sind, immer m¨glich ist, die Gr¨ssen Ω und V derart zu w¨hlen, o o a dass D1 verschwindet Ist uberdies ¨ AB − AB = 0, 22 M.N Kl Sophus Lie so kann X und Y so gew¨hlt werden, dass A1 und B1 gleich Null werden... o σ = Ax + By die Gleichung σ(ξx + ηy ) + σx ξ + σy η = 0 erf¨llt und also wiederum einen gemeinsamen Multiplicator aller Uf darstellt u Wir fassen die bisherigen Resultate in der folgenden Weise zusammen: 1902 No.1 ¨ uber integralinvarianten und differentialgl 23 Satz 2: Ist die Gr¨sse C eine Constante, so stellt eine jede unter den drei o Gr¨ssen o ω = CD + AB − AB, = Ax + By , σ = Ax + By einen gemeinsamen... invariant l¨sst, auch jedes bei X1 f und X2 f invariante Integral in ein Integral a uberf¨hren muss, das ebenfalls bei diesen beiden Transformationen invariant u ¨ bleibt Das transformirte Integral: ψ dx1 dy1 , dessen Argument ψ jedenfalls in p1 , q1 , p1 , q1 und p1 q1 − p1 q1 linear ist, bleibt aber nur dann bei z1 ∂f ∂z1 und z1 ∂f ∂z1 1902 No.1 ¨ uber integralinvarianten und differentialgl 19 invariant,... Gleichung (6) nach x und die zweite nach y und addieren die Resultate, so erhalten wir die Integrabilit¨tsbedingung a 0 = ξ(Axx + Bxy ) + η(Axy + Byy ) + (ξx + ηy )(Ax + By ) oder wenn wir Ax + By = setzen, die Gleichung (ξx + ηy ) + xξ + yη =0 die uns zeigt, dass auch die Gr¨sse = Ax + By einen gemeinsamen Multio plicator aller Uf liefert Durch ganz analoge Behandlung der dritten und vierten Gleichung... )x · ξ + (Ax + By )y · η = 0 bestimmt werden Die Incremente ζ und ϑ besitzen die Form ξ = z · α(x, y), ϑ = z · β(x, y) und dabei werden α und β durch Quadratur der immer integrablen Gleichungen −Cβy Cβx Cαy −Cαx = Aηy − Bξy + ξAx + ηAy , = −Aηx + Bξx + ξBx + By , = −Bξy + Aηy + ξAx + ηAy , = Bξx − Aηx + ξBx + By 30 M.N Kl Sophus Lie gefunden Hier k¨nnen vier wesentlich verschiedene F¨lle eintreten... + qzαx ] + zz Ap + Bq Ap + Bq C(pq − pq) + + +D =0 +(ξx + ηy ) z z zz 1902 No.1 ¨ uber integralinvarianten und differentialgl 17 und zerlegt sich daher in die sechs Gleichungen:  −Cβy = Aηy − Bξy + ξAx + ηAy ,      Cβx = −Aηx + Bξx + ξBx + By ,     Cαy = −Bξy + Aηy + ξAx + ηAy ,  −Cαx = Bξx − Aηx + ξBx + By ,      0 = ξCx + ηCy    0 = D(ξx + ηy ) + ξDx + ηDy + Aαx + Bαy + Aβx +... No.1 ¨ uber integralinvarianten und differentialgl 27 Die Definitionsgleichung ξx + ηy = 0 zeigt, dass wir η = −Wx ξ = Wy , setzen k¨nnen und dass die Funktion W (x, y) ganz beliebig gew¨hlt werden o a kann Die Gleichungen (10) erhalten jetzt die Form ωx Wy − ωy Wx = 0, x Wy − y Wx = 0, σx Wy − σy Wx = 0 und sie sollen bestehen, welche Funktion von x, y die Gr¨sse W sein m¨ge o o Also sind ω, und σ drei... Fall C = 0, und schliesslich machen wir die Annahme, dass C keine Constante, sondern eine wirkliche Funktion von x und y darstellt C = Const = 0 Ist C constant und von Null verschieden, so sind die Gr¨ssen ξ und η beo stimmt durch die drei Gleichungen:  ω(ξx + ηy ) + ωx ξ + ωy η = 0  (ξx + ηy ) + x ξ + y η = 0 (10)   σ(ξx + ηy ) + σx ξ + σy η = 0 die in den Gr¨ssen o ξx + ηy , ξ, η linear und homogen . The Project Gutenberg EBook of ¨ Uber Integralinvarianten und Differentialgleichungen, by Sophus Lie This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost. ISO-8859-1 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN *** ¨ Uber Integralinvarianten und Differentialgleichungen von Sophus Lie Videnskabsselskabets Skrifter or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: ¨ Uber Integralinvarianten und Differentialgleichungen Author: Sophus Lie Release