báo cáo mô hình hóa hệ thống kỹ thuật cơ điện tử hệ thống lò xo 3 bậc tự do

Rung động của hệ lò xo 3 bậc tự do 1.2.1 Rung động tự nhiên Một hệ thông được xem là rung động tự nhiên khi nó chỉ có sự xáo trộn ban đâu của hệ, tức là không có ngoại lực tác động vào h

111Equation Chapter 1 Section 1TONG LIEN DOAN LAO ĐỘNG VIỆT

NAM TRUONG DAI HOC TON DUC THANG KHOA ĐIỆN - ĐIỆN TỬ

MSSV: 42101146

THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH, NĂM 2023

TỎNG LIÊN ĐOÀN LAO ĐỘNG VIỆT NAM

TRUONG DAI HOC TON DUC THANG KHOA ĐIỆN - ĐIỆN TỬ

ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG

TON DUC THANG UNIVERSITY

BAO CAO MO HINH HOA HE THONG

LÊ THANH LIÊM MSSV: 42101502 PHAN TRUNG TÍN MSSV: 42101146 GVHD: TS VÕ HỮU HẬU

THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH, NĂM 2023

MỤC LỤC

CHƯƠNG I GIỚI THIẾU HỆ THÔNG 5c: 2222t222Etrrttrtrrtrtrrrrrrrrerrrree 5

11 Hệ thống lò xo 3 bậc tự đO cccccccessesensentscccceeccececestesettuctetteteceececeeeeeeanaenea 5 1.2 Rung động của hệ lò xo 3 bậc tự do 2 22L 2211211122112 1111 He 6 1.2.1 Rung động tự nhiên 22 2221222112 11152115 111 1155115111511 1 E1 HH krhớ 6 1.2.2 Rung động cưỡng ĐứỨC - -L Q02 1112122111111 1811111111111 12011111111 ch 6

CHUONG 2 THỰC HIỆN TÍNH TOÁN ĐÁP ỨNG HỆ THÔNG 2-5555: 7

2.1 — Rung động tự nhiên - 2 2 1211222112 1121151115 11511111912 ke ườ 7 2.1.1 Xác định ma trận độ cứng [k] và [m] - E22: S2 E222 E22 E‡cszcxkcserrses 7

2.1.2 Động năng và thế năng đàn hồi - 5: 1S SE E1 1211111121111 1211 ke 9

2.1.3 Phương trình lapranỹe c c1 22121211111 1251 1211101111 H21 key lãi

2.1.5 Tần số dao động tự nhiên L1 c1 221121112111 121 1121110111151 1 1811201111 11122 kệ 15 2.1.6 Xác định giá tTỊ Ä ST TH ng HH KH HH HH he, 19 2.1.7 Đáp ứng ngõ ra của hệ thống - 5 s SE1EE E122 211211 1212181111011 reo 24 2.2 Rung động cưỡng Đức 0 1201121112 2211111155110 11 11115112 ng ket 29 2.2.1 Phương pháp phân tích Modal - - ccc ccc 2112211121111 1151 1k tk 29 2.2.2 Xác định qi{L) c5: 12121 1 122121212111 122121211111 812 re 32 2.2.3 Đáp ứng ngõ ra của hệ thống - 5 SE 1212121121112 18111121 ro 34

CHƯƠNG 3 MÔ PHÒNG HỆ THÔNG 2225 2222 treo 35

3.1 Mô phỏng hệ rung động tự nhiên 5 - E22 2221212111 1111511121211 5111181518118 k reg 35 3.2 Mô phỏng dao động cưỡng Đức L0 211 11 nnn HH na HH ớt 36

0502608957-084 cc ccccccccscsssssesesesescsvesesescsvsvesesssvavaveressasevaveseseassveseseseseavsesevavevecsesees 39

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hinh 1.1 Ảnh minh họa hệ thống lò xo ba bậc tự đo - 5: SSc2EEErrryei 6

Hình 2.1.1 Sơ đồ khâu rắn tự do của m1 -cccccttrnrgrrae 8 Hình 2.1.2 Sơ đồ khâu rắn tự do của I12 ch rae 8 Hình 2.1.3 Sơ đồ khâu rắn tự do của m3 ch rae 9

Hình 3.1.1 Kết quả mô phỏng rung động tự nhiên - 5-5 5 1c EE2EcExcEsrtky 37 Hình 3.2.1 Kết quả mô phỏng mathlab rung động cưỡng bức 22 sec: 38 Hình 3.2.2 Sơ đồ khối mô phỏng simulink rung động cưỡng bức s5: 38 Hình 3.2.3 Kết quả mô phỏng simulink rung động cưỡng bức - 255cc: 39

cấp sự linh hoạt, đàn hồi và khả năng chịu tải tốt

Hinh 1.1 Anh minh hoa hé thống lò xo ba bậc tự do

Bậc đầu tiên thường là bậc mềm, giúp lò xo dễ uốn cong và co lại khi gặp tải trọng nhẹ Bậc thứ hai có độ cứng trung bình, giữ cho lò xo đủ mạnh mẽ để đối phó với các tải trọng trung bình Bậc thứ ba, thường là bậc cứng nhất, cung cấp độ đàn hôi cao, hấp thụ năng lượng và chịu được tải trọng lớn mà không bị biến dạng quá mức

1.2 Rung động của hệ lò xo 3 bậc tự do

1.2.1 Rung động tự nhiên

Một hệ thông được xem là rung động tự nhiên khi nó chỉ có sự xáo trộn ban đâu của hệ, tức là không có ngoại lực tác động vào hệ mà chỉ có sự dịch chuyên của một hoặc các phan tử của hệ ban đầu Khi xét đến hệ có rung động tự nhiên, người ta chỉ xét đến các thông số kỹ thuật như

độ cứng lò xo, khối lượng vật và một yếu tô quan trọng khác dùng để biêu diễn được đáp ứng đầu ra của hệ thống chính là tần số dao động tự nhiên

HE THONG LO XO 3 BAC TU DO

2|Page

1.2.2 Rung động cưỡng bức

Trái ngược lại với rung động tự nhiên, thì rung động cưỡng bức là có ngoại lực tác động vào

hệ, có thé là tác động và một hoặc các phần tử của hệ đề gây ra sự kích thích, tạo ra sự chuyên động Đề xác định đáp ứng đầu ra của hệ thông, thì rung động cưỡng bức có phần tính toán phức tạp hơn, chúng ta cũng sẽ được hiểu rõ về phần này ở chương 2

HE THONG LO XO 3 BAC TU DO

HE THONG LO XO 3 BAC TU DO

Từ đây ta có thê diễn tả hệ phương trình theo dạng tổng quát như sau:

[m|+[k|X=F Trong đó:

0 —2000 2000

HE THONG LO XO 3 BAC TU DO

2.1.2 Déng ning va thé ning dan hdi

Cho x; biểu thị sự dịch chuyển của khối lượng m; và F;, lực tác dụng theo hướng của xi tại khối lượng m,trong một hệ thống lò xo n bậc tự do Năng lượng thê năng đàn hồi của lò xo thứ ỉ được cho bởi

1 V=—xF,xx, 2 1 x;

Tổng năng lượng tiềm năng có thể được biểu thị bằng

v=> V=}xỀ)F,xx

Từ

F,=}, ki XX, j=1 Phương trình trở thành

n

xx eho DY kya, i=1 j=l

1 V=—x

Vi cac chi số i va j có thể được hoán đổi cho nhau, chúng ta có môi quan hé k,=k ;

Phương trình thế năng trên cũng có thê được viết dưới dạng ma trận như

V=+xx*Tx[k|xx"

2 Trong đó ma trận độ cứng được cho bởi

ky kị Ky,

kia|ká Kar os an

k ky wk nl

HE THONG LO XO 3 BAC TU DO

6|Page

Tiếp theo, chúng ta sẽ xây dựng phương trình động năng theo từng vật có khối lượng m;:

1 ‹ T.=—Xxm.x x 1 2 m, i

Tổng động năng của hệ thông có thể được biểu thi bang

Và ma trận khối lượng [zz| là một ma trận chéo được cho bởi

7|Page

Mm, My My [m|= My, Hy Map

May Myo Man

2.1.3 Phwong trinh lagrange

Các phương trình chuyên động của một hệ rung động thường có thê được suy ra một cách đơn giản về tọa độ tông quát băng cách sử dụng các phương trình Lagrange Các phương trình của Lagrange có thê được phát biếu, đôi với một hệ thông n-bậc tự do, như

trong d64;=04q,/6¢ la van tốc tổng quát và Q” là lực tổng quát không bảo toàn tương ứng với

tọa độ tổng quát qJ Các lực được đại diện bởi Q”có thể là lực tiêu tán (giảm xóc) hoặc các lực bên ngoài khác không thề bắt nguồn từ một chức năng tiềm năng Ví dụ, nêu Fxk, Fyk và Fzk đại diện cho các lực bên ngoài tác dụng lên khối lượng thứ k của hệ thống theo các hướng x, y

và z, tương ứng, thì lực tông quát Q”có thê được tính như sau:

RE, x< t‡p NA 2.4 dq; ™ 0q; 2q | t )

trong ổđó X:, YkVvà Z¿ lần lượt là sự dịch chuyên của khối lượng thứ k theo các hướng x, y và Z

Đối với một hệ thống bảo toàn, Q”` = 0, vì vậy phương trình (2.4) có dạng

2.1.4 Giá trị đặc trung w’

Theo phương trình larange, ta có:

HE THONG LO XO 3 BAC TU DO

8|Page

" j=1,2, ,n iat) ot ave

"!ˆ là một vector hàng giống với hàng thứ Í của ma trận [m]

Ta tiếp tục vi phân hai về của phương trình (2.7) ta được:

=1

ar} (2.8)

HE THONG LO XO 3 BAC TU DO

ki là một vector hàng giống với hàng thứ! trong ma trận Ky]

Tir (2.8},/2.9],(2.10) va phwong trinh larange, ta thu được kết quả:

Trong đó: fF, , va laluc khéng bao toan

V6i mét hé thong co nang luong duge bao toan > F =(0)

mx +{k]x =0 (2.11)

Giá sử nghiệm của phương trình (2.11) có dạng:

HE THONG LO XO 3 BAC TU DO

10|Page

v(t) =X T(t) (2,12)

Trong đó:

Xi ta hằng số

TU): hàm theo thời gian

Thay (7) vào (6) ta được:

Ta có thể nhận thay rang, về phải của của (2.13) là độc lập, không phụ thuộc vào giá trị của bắt

kê các biên, vậy đây là một hang sô

Với một hệ chuyên động điêu hòa có cùng pha và tân số, ta có:

T(t) =C cos( ct + @)

= T(t) =- Cwsin( wt + Ø)

HE THONG LO XO 3 BAC TU DO

Hoặc ta có thê viết dưới dạng tông quát như sau:

Nhận xét ở phương trình trên, ta có thê thấy rằng nghiệm X=0 là nghiệm tầm thường của phương trình, do vậy ta phải xét đến giá trị của định thức của ma trận HÉI- «z|m| | =0

> A3 -øm l3] k]- (2 1m] —U (2.14)

Hệ quả tính định thức ma trận bằng không là đề tìm ra được tần số dao động tự nhiên của hệ thống lò xo ba bậc tự do Đề tìm được giá trị đặc trưng cũng như là tần số dao động tự nhiên của hệ thống, ta sẽ làm theo phương pháp sau:

Với phương trình (2.14) ta có thể viết lại thành:

111 ID|=5|K'[Il=z—x|1 2 2|E

12 3

4x10" 2x10"

|=8xIữ 10° 10°

HE THONG LO XO 3 BAC TU DO

15|Page

Ma

HE THONG LO XO 3 BAC TU DO

X"”x[m|x KX =1 (2.18)

XétX!”, ta có:

Xr x m| x xu~ 1

1 5 0 0 Ẩ=|X?ÏxÍi —1,2481 0/5559 x|—1,/2481x|0 5 01

0,5559 | [0 0 5

==mx |XPÌ x|12+1,24812+0,5559”Ì=1

HE THONG LO XO 3 BAC TU DO

Tại thời điểm t=0, phương tình có dạng như sau :

š 0Ì=>) X”'A,cos|ló,|= Ä"!A, cos| ó, + X”! A, cos|g,|+.X” A, cos/¢,|

i=l

HE THONG LO XO 3 BAC TU DO

22|Page

Lần lượt thay từng đại lượng thành phần của các vector X'!, XI và XẼ! vào phương tình trên, ta

nhận được các phương trình sau :

X10 =X!'A,cos| ,}+X7 A, cos (2 +X!) /A;cos| 5) (2.22)

22Equation Section (Next)¥,|0/— X$!A,cos|@,|+X?'A,cos|$,]+ X5°'As cos! 5| (2.23)

%(0\=x?!A,cos ($,|+X2'A,cos |p, |+ x3! Ascos| đa] (2.24)

Xét phương trình (2.22), ta có :

X,(0 EXƑA,cos[ ó¡|+ÄX? 'A, cos (| +X?ÌA; cos| $3}

=X!" A,cos|@,|+ x?! A,cos (po |+ XA, cos| $s} =X

Trong đó, X¡o là vị trí ban đầu của hệ Tuy nhiên, khi không có một sự kích thích nào giúp vật m chuyển động thì sẽ không có sự dịch chuyển nào được diễn ra, do đó khiến các giá trị x bằng 0 tại mọi thời điểm Nên ta chọn khoảng cách dịch chuyển ban đầu của vật m; là 1 Vậy phương trình sẽ trở thành :

xi A,cosld,)+X? A;c0S p+ Xx) ‘A, cos [Os\= 1

= 0,26 A,cos|ở, |+0,3296 A,cos|,|+0,1467 A,cos| ¢3)=1

Xét phương trình (2.23), có :

HE THONG LO XO 3 BAC TU DO

23|Page

X10 =x! A,cos| ó¡)+X? 'A;cos| ó2 + XA, cos| $3)

= X!! A,cos|o,|+ x?! A,cos (po |+ XP A, cos Lớ:| =0

= — 0,325 A, cos |p,|+0,1467 A,cos| ó;|+0,2643 A; cos| ó;|=0

Tương tự, xét phương trình (2.24), ta lại có :

x:|0ÌEX}!A,cos lú,|+Xƒ 'A,cos Cia X?A¿ cos| $3)

= X$! A; cos| @,|+ X5'A,cos|,|+X5"A; cos [ó›|=0

= 0,145 A, cos| $, |-0,264 A, cos ($,| +0,3296 A,cos|3|=0

Vậy từ phân tích trên, ta đã có được 3 phương trình dao động tại thời điểm t=0 của X¡, Ä;¿ và 3; như sau :

0,26 A, cos|@, ]+0,3296 A;cos| ó,|+0,1467 A,cos |p |=1

—0,325 A,cos|@, |+0,1467 A;cos|ó„ +0,2643 A;cos| ó; =0 (2.25)

0,145 A, cos |ó,|—0,264 A„cos l6; |+0,3296 A;cos| 6;]—=0

Đề thê hiện phương trình vận tốc tại vị trí ban đầu, ta sẽ xét phương trình đạo hàm quãng đường theo thời gian đã tìm hiểu ở lý thuyết như sau :

x (0) =— œ,X A,sin|ój

i=l

Do do:

HE THONG LO XO 3 BAC TU DO

24|Page

x 0) =-@,X"lA, sinlÓ; ea, XA, sin| ó;|—œ¿ A; sin|Ós}= 0

%, (0\=-@, X,"'A, sin(¢,)-@,X,”' A,sin|¢,) -@,X ,"' A,sin|¢,|

= 1%, (0|=-@, X,"'A, sin[$,)-o,X," A,sin|@,) -w,X}" A, sin(9,)

X; [0|=-@, X,"A, sin|$,)-@, X," A, sin|o,) —@,X," A, sin(9,)

Lần lượt thay từng giá trị thành phần của các ma trận X”! #”! và X'” cùng với các giá trị

œ¡=36,4, 6œ,=24.94 và œ¿;=8,B994 vào hệ trên, ta cd:

X,(0)=—36,4 0,26 A, sin|¢, |— 24,94.0,33 A, sin|¢, |-8,9 0,1467 A,sin| 5)

=\ X,|0]}=36,40,325 A, sin|@,|—24,94.0,147 A, sin | ,|—8,9.0,2643 A, sin (5}

š; l0]=—36,4.0,145 A, sin|Ó; ]+24,94.0,264 A;sin (ó; |—8,9.0,3296 A„sin| đ:]

—36,4.0,26 A, sin (6, _24,94 0,3296 A,sin (ó,|—8,8994 0,1467 A,sin |ó;|=0

36,4 0,325 A, sin| $,|—24,94.0,1467 A, sin| $,| —8,8994.0,2643 A,sin|p,|=0

—36,4.0,145 A, sin |@,}+24,94.0,264 A, sin |p, |-8,8994.0,3296 A,sin (p,|=0

—9,464 A,sin|ó,|— 8,22 A,sin|ó,|— 1,3055 A,sin|ó;|=0

=¡ 11,83.A,sin|@,)—0,366sin| đ;}—2,352 A;sin |Ó:|=0 (2.26)

—5,278 A, sin |@;| +6,58 A,sin| ó;]—2,933 A; sin| 6;]—0

Ta đang xét hệ thông dao động tại thời điểm t=0, do đó Ở,=9;=9:=0, Vậy, từ hệ (2.25) thì ta có

thê suy ra được các biên độ dao động của từng phương trình dao động trên :

HE THONG LO XO 3 BAC TU DO

25|Page

0,26 A, cos|@, |+0,3296 A, cos| @,|+0,1467 A,cos |p, |=1

—0,325 A,cos|@, }+0,1467 A,cos|@, +0,2643 A,cos| $, =0

0,145 A, cos | @,| -0,264 A, cos |p, |+0,3296 A,cos| @,|=0

0,26 A; cos |0 |+0,3296 A, cos| 0]+0,1467 A, cos 0 |=1

= |—0,325 A, cos| 0|+0,1467 A, cos|0}+0,2643 A, cos|0)=0

0,145 A, cos (0J— 0,264 A, cos| 0) + 0,3296 A, cos|0|=0

0,26 A,+0,3296 A,+0,1467 A¿=1

Vậy daco A,A, va Ay, thé vào (2.25) và nhận được phương trình dao động của vật m; ,m; vàm;

theo thời gian như sau :

#¡tÌ=0,26 1,341 cos| 36,4 +0,33 1,651 cos Í24,94:]+0,1467.0,732 cos| 8.8994 r)

XjtÌ=0,33.1,341 cos(36,4 t+ 0,1467.1,651 cos (24,94 t] +0,26.0,732 cos| 8,8994 ¢|

X, [t}=0,145.1,341 cos 36,4 t) -0,264.1,651 cos (24,94 t} +0,3296.0,732 cos 8,8994 |

HE THONG LO XO 3 BAC TU DO

(rÌ=0,3487 cosL36,4t]}+0,5442 cos|24,94t)+0,107 cosl8,8994r |

ltÌ=—0,436 cos | 36,4t]+0,242 cos(24,94 £)+0,193 cos(8,8994r |

%, [t]=0,194.cos [36,4 t]— 0,436 cos| 24,94 t} +0,241 cos| 8,8994 ¢)

x

x,

Tương tự, thé A,,A, va Ag, thé vao (2.26) và nhận được phương trình vận tốc của vật

m,,m;vàm: theo thời gian :

#ltÌ=—9,464 A, sin 36,41]—8,22 A„sin 24,94 ¢ |—1,3055 A,sin (8,8994 ¿j

x„|t]=11,83 A,sin| 36,4 ủ— 0,366 sin [24,94t]—2,352 A„sin |8,8994:)

>

x; | ()=—5,278 A, sin [36,4] +6,58 A, sin [24,94 t|— 2,933 A, sin (6, |

X, ltÌ=—12,69.sin|36,4t |— 13,57 sin| 24,941) —0,956 sinl 8,8994 ¢)

=| x,(t)=15,86.sin (36,4 t]—6,041 sin(24,94 ¢|—1,722.sin{8,8994t) (2.28)

%,|t} =—7,077.sin| 36,4 t} + 10,87 sin | 24,94 t) 2,147 sin|8,8994 t)

2.2 Rung động cưỡng bức

2.2.1 Phương pháp phân tích Modal ;

Khi các ngoại lực tác dụng lên hệ có nhiêu bậc tự do thì hệ đó sẽ trải qua rung động cưỡng bức Đối với một hệ thống có niọa độ hoặc bậc tự do, điều khiển phương trình chuyên động là một tập hợp gồm n phương trình vi phân thông thường là bậc hai Việc giải các phương trình này trở nên phức tạp hơn khi bậc tự do của hệ thống (n) lớn và khi các hàm cưỡng bức không tuần hoàn Trong những trường hợp như vậy, một phương pháp thuận tiện hơn được gọi là phân tích Modal có thê được sử dụng để giải quyết vấn đề Trong phương pháp này, định lý giãn nở được

sử dụng và độ dịch chuyên của các khối lượng được tính được biểu diễn dưới dạng tổ hợp

tuyến tính của các chế độ thông thường của hệ thống Phép biến đôi tuyến tính này tách rời các phương trình chuyên động đề chúng ta thu được một tập hợp gồmn phương trình vi phân bậc hai không ghép đôi Việc giải các phương trình này tương đương với có thê dễ dàng thu được

HE THONG LO XO 3 BAC TU DO