CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MỚI

CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THEO CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG MỚI. ĐẦY ĐỦ CÁC DANG TOÁN VÀ BÀI TẬP TỰ LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 9

Thầy giáo làng - LeeBui builythptphoyen2014@gmail.com 0972881468

MỘT SỐ NỘI DUNG KIẾN THỨC TRONG CHỦ ĐỀ

Thầy giáo làng - LeeBui builythptphoyen2014@gmail.com 0972881468

nghiệm của phương trình

Tập nghiệm biểu diễn bởi đường thẳng:

ax + by = c (d)

a = 0 và b ≠ 0:

(d) y = là đường thẳng song song

hoặc trùng với trục hoành (nếu c = 0)

a ≠ 0 và b = 0:

(d) x = là đường thẳng song song

hoặc trùng với trục tung (nếu c = 0)

a ≠ 0 và b ≠ 0:

(d) y = là đường thẳngcắt hai trục toạ độ

y = y

xO

x = y

xO

y =

y

xO

MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Tìm công thức nghiệm của phương trình và biểu diễn hình học

Hướng giải:

Tìm công thức nghiệm: Biến đổi phương trình về dạng: y(x), hoặc x(y) rồi kết luận

Biểu diễn hình học: Để vẽ được đường thẳng chỉ cần xác định hai điểm thuộc đường thẳng Nối hai điểm tìm được sẽ thu được đường thẳng cần tìm.

Bài 1: (SGK – KNTT): Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình

Mỗi nghiệm của (1) là toạ độ của một điểm thuộc đường thẳng y = -0,5x + 1,5 Ta cũng gọiđường thẳng này là đường thẳng d: x + 2y = 3

qua hai điểm A và B biểu

diễn tập hợp nghiệm của

phương trình

b Xét phương trình: 0x + y = -2 (2)

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho b Xét phương trình: x + 0y = 3 (3) Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho

Biểu diễn hình học tập hợp nghiệm: Biểu diễn hình học tập hợp nghiệm:

Chuyển giao file word Toán 9 CT mới – Zalo: 0972881468 3

Thầy giáo làng - LeeBui builythptphoyen2014@gmail.com 0972881468

Bài 2: a Cho phương trình ax + 2y = 4(d) Xác định a để đường thẳng d biểu diễn tập hợp nghiệm

của phương trình đi qua điểm M(1; 1,5)

b Vẽ đường thẳng (d) ở câu a và đường thẳng (t): -2x + y = -3 trên cùng một hệ trục toạ độ Xác định toạ độ giao điểm của (d) và (t)

Chú ý: Hs có thể sử dụng phương trình hoành độ giao điểm:

(d): và (t): Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (t):

hay x = 2 Thay x = 2 vào (d) hoặc (t) thu được y = 1 Vậy giao điểm của hai đường thẳng là G(2; 1)

Bài 3:(SGK – CD): Cho phương trình: 2x + y = 4

a Chứng tỏ rắng các cặp số (2;0), (0;4) là nghiệm của phương trình

b Trong mặt phẳng toạ độ Oxy hãy biểu diễn các cặp nghiệm (2;0), (0;4) của phương trình trên.Giải:

a Do 2.2 + 0 = 4 là khẳng định đúng nên cặp số (2;0) là nghiệm của phương trình trên Tương tự cặp

số (0;4) cũng là nghiệm của phương trình trên

b Các nghiệm (2;0), (0;4) lần lượt được biểu diễn

bởi các điểm H(2;0), K(0;4) trong mặt phẳng toạ

độ Oxy như hình bên

Dạng 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Thầy giáo làng - LeeBui builythptphoyen2014@gmail.com 0972881468

Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó

Tính chất chia hết của 1 hiệu

Nếu số trừ và số bị trừ đều chia hết cho cùng 1 số thì hiệu chia hết cho số đó

Tính chất chia hết của 1 tích

Nếu 1 thừa số của tích chia hết cho 1 số thì tích chia hết cho số đó 

b Tìm nghiệm nguyên tổng quát của phương trình rồi tìm nghiệm nguyên

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x – 3y = 6.

Giải:

Phương trình 2x – 3y = 6 có vế phải chia hết cho 3 nên 2x – 3y 3 Mà 3y 3 nên 2x 3 Do ƯCLN(2;3) = 1 nên x 3

Đặt x = 3t (t Z) Khi đó Nghiệm tổng quát của phương trình là:

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2x + 5y = 9

Giải:

Từ 2x + 5y = 9 với x, y nguyên dương ta có: 0 < 5y < 9 nên 0 < y < 2 Do đó y = 1 Khi đó x = 2.Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là: x = 2, y = 1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Cho phương trình: 2x – y = 6

a Tìm công thức nghiệm tổng quát của phương trình

b Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình

Bài 2: (SGK – CD) Trong các cặp số (8;1), (-3;6), (4;-1), (0;2) cho biết cặp số nào là nghiệm của

mỗi phương trình sau:

Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

a x + 2y = 0 b 3x – y = 0 c 2x – 5y = 10 d 7x + 4y = 13

Bài 7: Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình:

a 5x + 13y – 13 = 0 b 28x + 31y = 273

Bài 8: Cho đường thẳng (d) có phương trình: (a – 2)x + (2a + 3)y – a – 5 = 0

a Xác định a để (d) song song với trục hoành

b Xác định a để (d) song song với trục tung

c Xác định a để (d) đi qua điểm M(-3; 5)

d Xác đinh điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi a

Bài 9: Cho đường thẳng (d1): ax – 4y = 8 và (d2): 5x – 10y = b – 5

a Tính 2024a + 100b khi (d1) và (d2) cắt nhau tại M(2; -3)

b Tính 10a – 3b khi hai đường thẳng (d1) và (d2) có vô số điểm chung

Bài 10: Trên đoạn đường phố thẳng dài 100m, một đội công nhân lắp đường ống dẫn nước có hai

loại ống, một loại dài 3m, một loại dài 5m Hỏi có bao nhiêu cách lắp ống nước trên đoạn đường đó

Trong đó ax+by=c và a’x+b’y=c’ là những phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cặp số (x 0 ;y 0 ) là một nghiệm chung của phương trình (1) và (2) được gọi là nghiệm của hệ phương trình (I).

Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm(tìm tập nghiệm của nó)

b Kí hiệu (d) và (d’) lần lượt là đồ thị của ax+by=c và a’x+b’y=c’, ta có:

TH 1 : Nếu thì (d) ∩ (d’)hay hệ (I) có nghiệm duy nhất.

TH 2 : Nếu thì (d) // (d’) hay hệ (I) vô nghiệm.

TH 3 : Nếu thì (d) ≡ (d’) hay hệ (I) có vô số nghiệm

Thầy giáo làng - LeeBui builythptphoyen2014@gmail.com 0972881468

MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

Đây bài toán phổ biến trong đề thi, thường là có 2 ý Mỗi ý chiếm một điểm gồm một điểm chogiải hệ phương trình cơ bản Học sinh cần nắm vững kĩ năng giải hệ phương trình bằng phương phápthế hoặc phương pháp cộng để tìm ra nghiệm là cặp số (x;y) và kết luận

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

(Không sử dụng máy tính cầm tay)

Trích câu 2 ý a đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Thái Bình năm 2019-2020

Trừ hai vế hai phương trình của hệ mới ta

1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

a Một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:

Trong đó ax+by=c và a’x+b’y=c’ là những phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cặp số (x 0 ;y 0 ) là một nghiệm chung của phương trình (1) và (2) được gọi là nghiệm của hệ phương trình (I).

Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm(tìm tập nghiệm của nó)

b Kí hiệu (d) và (d’) lần lượt là đồ thị của ax+by=c và a’x+b’y=c’, ta có:

TH 1 : Nếu thì (d) ∩ (d’)hay hệ (I) có nghiệm duy nhất.

TH 2 : Nếu thì (d) // (d’) hay hệ (I) vô nghiệm.

TH 3 : Nếu thì (d) ≡ (d’) hay hệ (I) có vô số nghiệm

Từ đó:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

được hay Thế vào phương trình thứ nhất của

hệ đã cho ta được: hay Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:

(m là tham số)Giải hệ phương trình khi m = 3

Trích câu 2 ý a đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Thái Bình năm 2020-2021

Thay m = 3 vào hệ phương trình ta có:

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ

đã cho ta được: hay Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

Thầy giáo làng - LeeBui builythptphoyen2014@gmail.com 0972881468 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

DẠNG 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH THEO THAM SỐ m

Loại 1: Biện luận số nghiệm của hệ phương trình

Trong nhiều bài toán, việc biện luận số nghiệm của phương trình thường sử dụng phương phápthế, đưa hệ phương trình có tham số m về phương trình bậc nhất một ẩn và biện luận số nghiệm theophương trình bậc nhất một ẩn đó Quá trình biện luận số nghiệm của hệ phương trình diễn ra theocác bước cơ bản sau:

Bước 1: Từ hệ phương trình đã cho ban đầu rút y theo x hoặc rút x theo y tuỳ từng thuận lợi của bài toán và thay vào phương trình còn lại của hệ để xuất hiện một phương trình bậc nhất một ẩn có thể

là ẩn x hoặc ẩn y.

Bước 2: Biện luận nghiệm theo phương trình bậc nhất một ẩn đó:

Giả sử sau bước 1 ta thu được phương trình: Ax = B

Với m = 2 phương trình (4) 0x = - 4 Hệ phương trình vô nghiệm.

Với m = -2 phương trình (4) 0x = 0 Hệ phương trình vô số nghiệm với mọi

Ta có

Thay vào (3) ta có:

Hệ phương trình có nghiệm ( ; )

Loại 2: Biện luận tìm m thoả mãn điều kiện cho trước:

Đây là dạng toán phổ biến trong những năm thi gần đây Về cơ bản ta vẫn áp dụng phương phápthế đưa hệ phương trình có tham số m về phương trình bậc nhất một ẩn có tham số m theo x hoặc y.Qua đó xác định điều kiện của m với đề bài cho, có thể tìm nghiệm x, y theo m Thay x, y vào yêucầu của đề bài giải tìm m và kết hợp với điều kiện xác định của m, đưa ra kết luận cho bài toán

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:

với m là tham số

a Giải hệ phương trình với m = 1

b Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) Tìmgiá trị lớn nhất của biểu thức S = x + y

Trích câu 2 đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Thái Bình năm 2022-2023

Giải ý b:

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: (3)

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được: hay

Vì nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x,y)

Chuyển giao file word Toán 9 CT mới – Zalo: 0972881468 11

Thầy giáo làng - LeeBui builythptphoyen2014@gmail.com 0972881468

(4) Từ (4): Thay vào (3) ta được:

Vậy mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất( ,

Ta có x2 + y2 =

Lại có:

Vậy Smax = khi x = y Ta có hay

Giải phương trình thu được

hoặc (loại) vì S =

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:

a Tìm để hệ có nghiệm =

b Tìm để hệ có nghiệm có nghiệm duy nhất thỏa mãn :

c Tìm để hệ có nghiệm thỏa mãn có nghiệm duy nhất :

Lời giải tóm tắt:

a Thay = vào hệ phương trình ta được :

Vậy thì hệ có nghiệm duy nhất =

Để hệ có nghiệm duy nhất thì

(TM điều kiện )

Giải phương trình ta được

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình:

a Chứng tỏ rằng với mọi m hệ luôn có nghiệm duy nhất

b Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm(x;y) thoả mãn x < 1 và y < 1

c Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x, y không phụ thuộc vào m

Lời giải tóm tắt:

a Mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất( ,

b Để nghiệm (x;y) của hệ thoả mãn x <1 và y < 1, điều kiện là:

biến đổi ta được:

Vậy với m ≠ 0 và m ≠ 1 thì hệ có nghiệm(x;y) thoả mãn x < 1 và y < 1

a Giải hệ phương trình với m = 1 Đáp số: Hệ có vô số nghiệm thoả mãn (x; 2 – x)

b Chứng tỏ rằng với mọi hệ luôn có nghiệm duy nhất

c Tìm m để nghiệm duy nhất của hệ thoả mãn: x + y < 0 Đáp số: -3 < m < -1

d Tìm m nguyên để hệ có nghiệm nguyên duy nhất

Hướng dẫn ý d:

Từ các ý trên ta tìm được:

Chuyển giao file word Toán 9 CT mới – Zalo: 0972881468 13

Thầy giáo làng - LeeBui builythptphoyen2014@gmail.com 0972881468

Để hệ có nghiệm nguyên duy nhất thì (m +1) là ước của 1

Vậy với m = -2 hoặc m = 0 hệ có nghiệm nguyên duy nhất

Bài 2:Cho hệ phương trình

a Tìm để hệ có nghiệm Đáp số m = 5

b Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi

Đáp số:

c Tìm giá trị nguyên của để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần

tư thứ II trên mặt phẳng tọa độ

d Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm thỏa mãn :

Đáp số: m =0, m = 5

Hướng dẫn ý c:

Do nghiệm hệ thuộc góc phần tư thứ II nên ta có :

Chú ý theo kết quả ở trên đã tìm được nghiệm (x;y) và hệ có nghiệm duy nhất vơi mọi m

Bài 3: Cho hệ phương trình : có nghiệm duy nhất

a Giải hệ phương trình với Đáp số:

b Tìm để hệ có nghiệm thỏa mãn và Đáp số:

Bài 4: Cho hệ phương trình : có nghiệm duy nhất

Nhân bỏ ngoặc hai phương trình của hệ ta được:

Thu gọn hai vế hai phương trình của hệ để đưa hệ phương trình về dạng cơ bản:

Giải hệ phương trình ta được:

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm: (-2; -3)

Bài 2: Giải hệ phương trình sau:

Thu gọn hai vế hai phương trình của hệ để đưa hệ phương trình về dạng cơ bản:

Giải hệ phương trình ta được:

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm: (-1; 5)

Thầy giáo làng - LeeBui builythptphoyen2014@gmail.com 0972881468

Loại 2: Hệ phương trình giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Để giải hệ phương trình dạng này, chúng ta sử dụng các phép toán cơ bản, dựa vào dữ kiện của bài đặt các ẩn phụ a(x,y), b(x,y) và điều kiện xác định của a(x,y), b(x,y) nhằm đưa hệ phương trình ban đầu về hệ phương trình cơ bản theo ẩn a(x,y), b(x,y) Giải hệ phương trình này tìm được a(x,y), b(x,y) Lựa chọn giá trị u(x,y), v(x,y) phù hợp với điều kiện khi đặt ẩn phụ Từ a(x,y), b(x,y) tìm được giá trị x, y.

Bài 1: Giải hệ phương trình sau:

Giải hệ phương trình ta được:

Vậy hệ có nghiệm:

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Giải hệ phương trình sau:

DẠNG 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bước 1 Lập hệ phương trình:

- Chọn ẩn số(Thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

- Biểu thị các đại lượng chưa biết khác trong bài toán theo ẩn

- Lập hệ hai phương trình diễn đạt sự tương quan giữa các đại lượng trong bài toán

Bước 2 Giải hệ phương trình

Bước 3 Chọn kết quả thích hợp và trả lời

Loại 1: Toán chuyển động đều:

Công thức : S = v t

Trong đó :

s : quãng đường đi được (km, m, …)

t : thời gian đi hết quãng đường s (giờ, s, )

v : vận tốc của chuyển động (km/h, m/s, …).

Bài 1: Một ô tô xuất phát từ A và dự định đến B lúc 11 giờ trưa Cùng thời điểm xuất phát từ A nếu:

Vận tốc tăng 10km thì xe đến B lúc 10 giờ sáng

Vận tốc giảm 10km thì xe đến B lúc 12 giờ 30 phút trưa

Tính vận tốc dự định của xe, quãng đường AB và thời điểm xuất phát từ A

Thầy giáo làng - LeeBui builythptphoyen2014@gmail.com 0972881468

Nếu vận tốc tăng 10km thì xe đến B lúc 10 giờ sáng Xe đến sớm hơn dự kiến 1 giờ(thời gian ít hơn

dự kiến 1 giờ) Ta có phương trình:

(x + 10).(y -1) = xy(1)Nếu vận tốc giảm 10km thì xe đến B lúc 12 giờ 30 phút trưa Xe đến chậm 1,5 giờ(thời gian nhiềuhơn dự kiến 1,5 giờ) Ta có phương trình:

Thời điểm xuất phát từ A là 5 giờ sáng

Bài 2(SGK – KNTT): Một chiếc xe khách đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, quãng

đường dài 170 km Sau khi xe khách xuất phát 1 giờ 40 phút một chiếc xe tải xuất phát từ Cần Thơ

về Thành phố Hồ Chí Minh và gặp chiếc xe khách sau đó 40 phút Tính vận tốc của mỗi xe Biếtrằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15 km

Giải: Đổi 1 giờ 40 phút = giờ, 40 phút = giờ

Gọi vận tốc dự định của xe khách là: x(km/h, x > 15)

Gọi vận tốc dự định của xe tải là: y(km/h)

Thời gian xe khách đi được đến khi gặp xe tải: + = (giờ)

Thời gian xe tải đi được đến khi gặp xe khách: (giờ)

Quãng đường xe khách đi được đến khi gặp xe tải: x (km)

Quãng đường xe tải đi được đến khi gặp xe khách: y(km)

Tổng quãng đường đi được của hai xe: x + y = 170 (1)

Vận tốc của xe khách hơn vận tốc xe tải là 15 km: x – y = 15(2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ: (TMĐK).Vậy vận tốc xe khách là 60 km/h, vận tốc c xe tải là 45 km/h.

Bài 3: (SGK – CD) Một ca nô đi xuôi dòng từ địa điểm A đến địa điểm B và lại ngược dòng từ địa

điểm B về địa điểm A mất 9 giờ, tốc độ của ca nô khi nước yên lặng không đổi trên suốt quãngđường đó và tốc độ của dòng nước cũng không đổi khi ca nô chuyển động Biết thời gian ca nô đixuôi dòng 5 km bằng thời gian ca nô đi ngược dòng 4 km và quãng đường AB là 160 km Tính tốc

độ của ca nô khi nước yên lặng và tốc độ của dòng nước

Giải:

Gọi vận tốc thực tế của ca nô là: x(km/h, x > y > 0)

Gọi vận tốc của dòng nước là: y(km/h, y > 0)

Vận tốc ca nô lúc xuôi dòng là: x + y (km)

Vận tốc ca nô lúc ngược dòng là: x - y (km)

Thời gian ca nô đi xuôi dòng 5 km bằng thời gian ca nô đi ngược dòng 4 km ta có phương trình:

Thời gian ca nô đi từ A đến B hết: (giờ)

Thời gian ca nô đi từ B về A hết: (giờ)

Tổng thời gian ca nô đi xuôi dòng và ngược dòng mất 9 giờ ta có phương trình:

+ = 9(2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình:

Gợi ý giải hệ phương trình: Đặt ẩn phụ

Giải hệ phương trình thu được:

Chuyển giao file word Toán 9 CT mới – Zalo: 0972881468 19