Biểu diễn họ nghiệm của phương trình sin 2x = 1 trên đường tròn lượng giác ta được bao nhiêu điểm.. Tính số hạng thứ 8 của cấp số nhân đó.. Một biển số xe gọi là “số tiến” nếu phần sau k
Trang 1ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ SỐ 0
(Đề thi có 7 trang)
ĐỀ GIAO LƯU HSG LỚP 12 Năm học 2024 - 2025 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài 90 phút
Họ và tên thí sinh: . Mã đề thi 001
PHẦN 1 Câu trắc nghiệm 4 phương án
Câu 1 Cho hàm số y = 2x
3
3 − 2x2+ 2x Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A Hàm số đã cho nghịch biến trên (−∞; 1)
B Hàm số đã cho đồng biến trên (−∞; 1) và nghịch biến trên (1; +∞)
C Hàm số đã cho đồng biến trên R
D Hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞) và nghịch biến trên (−∞; 1)
Câu 2 Trong không gian Oxyz, cho điểm M (3; 1; 2) Tìm tọa độ điểm N là điểm đối xứng của
M qua trục Ox
A N (3; −1; −2) B N (−3; 1; 2) C N (−3; −1; −2) D N (3; 0; 0)
Câu 3 Cho bảng số liệu sau đây
Nhóm [1,5; 2,5) [2,5; 3,5) [3,5; 4,5) [4,5; 5,5) [5,5; 6,5)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu cho bởi bảng trên là
Câu 4 Biểu diễn họ nghiệm của phương trình sin 2x = 1 trên đường tròn lượng giác ta được bao nhiêu điểm?
Câu 5 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Đồ thị của hàm số y = 2x và y = log2x đối xứng nhau qua đường thẳng y = −x
B Đồ thị của hai hàm số y = ex và y = ln x đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
C Đồ thị của hai hàm số y = 2x và y = 1
2x đối xứng nhau qua trục hoành
D Đồ thị của hai hàm số y = log2x và y = log2 1
x đối xứng nhau qua trục tung.
Câu 6 Một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 354294, số hạng thứ 12 là u12 = 2 Tính số hạng thứ 8 của cấp số nhân đó
Câu 7 Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn
vị km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau
Quãng đường (km) [2,7; 3,0) [3,0; 3,3) [3,3; 3,6) [3,6; 3,9) [3,9; 4,2)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là
Trang 2Câu 8 Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và nhất thiết phải có chữ số 1 và 5?
Câu 9
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị có 3
điểm cực trị như hình dưới đây Số điểm cực trị của hàm
số g(x) = f (x3− 3x + 2) là
x
y
O
Câu 10 Cho hàm số f (x) = 1
3x
3 + 1
2x
2 + m3x + m2+ 2m, gọi A(a; b) là điểm uốn của đồ thị
hàm số y = f (x) Giá trị lớn nhất của b khi m thuộc
−2
3; +∞
bằng
71
108.
Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SAB đều, tam giác SCD vuông tại S Điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA Độ dài đoạn thẳng AM bằng
A a
√
7
a√ 5
3a
2a
3 .
Câu 12 Có bao nhiêu số nguyên k để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = k sin x + 1
cos x + 2 lớn hơn −1.
Câu 13 Cho hàm số f (x) = ln2020x
x + 1 Tính tổng S = f
0(1) + f0(2) + · · · + f0(2020)?
Câu 14 Biết lim
x→+∞
√
ax2 + bx + 3 − x = 2 Tính tích P = a · b
A P = −1
Câu 15 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 2a, góc [ABC =
60◦ Biết rằng A0O ⊥ (ABCD) và cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy một góc bằng 30◦ Thể tích của khối đa diện OABC0D0 là
A V = a
3√
3
a3
a3√ 3
a3√ 3
12 .
Câu 16 Biển số xe ô tô con đăng kí cá nhân của tỉnh Thanh Hóa gồm 2 phần, phần đầu là
mã tỉnh 36A và phần sau gồm 5 chữ số, mỗi chữ số có thể nhận từ 0 đến 9 Một biển số xe gọi
là “số tiến” nếu phần sau kể từ số thứ hai mỗi chữ số không nhỏ hơn chữ số đứng liền trước
nó Ông Tài đi đăng kí xe bấm số một cách ngẫu nhiên để chọn một trong các biển số có dạng
“36A − 356.XY ”(X, Y là các chữ số từ 0 đến 9) Xác suất để ông Tài bấm được biển “số tiến” là
A 3
1
3
10
99.
Trang 3Câu 17 Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình
x2− 1 (x − 1)x3+ x2− x2
(2 − m) + x2− 1 (x − 1) ≥ 0 nghiệm đúng với mợi x ∈ R
Câu 18
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên (0; +∞) thỏa mãn f (1) = 2,
f (2) = −1, f (3) = 0 và có đồ thị hàm f0(x) như hình vẽ bên
Phương trình |f (f (x))| = m (với m là tham số thực) có tối đa
bao nhiêu nghiệm?
x
y
Câu 19 Trong không gian Oxyz cho điểm E(8; 1; 1) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua E và cắt chiều dương các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) sao cho OG nhỏ nhất với
G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó a + b + c bằng
Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 1), B(3; −2; 0), C(1; 2; −2) Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến mặt phẳng (P ) lớn nhất, biết rằng (P ) không cắt đoạn BC Khi đó gọi B0 là hình chiếu vuông góc của B lên mp(P ), véc-tơ
−−→
BB0 cùng phương với véc-tơ nào sau đây?
A −→n = (2; −2; −1). B −→n = (1; 0; 2). C −→n = (−1; 2; −1). D −→n = (1; 0; −2).
Câu 21 Để đánh giá chất lượng một loại pin điện thoại mới, người ta ghi lại thời gian nghe nhạc liên tục của điện thoại được sạc đầy pin cho đến khi hết pin cho kết quả sau
Thời gian (giờ) [5; 5,5) [5,5; 6) [6; 6,5) [6,5; 7) [7; 7,5)
Gọi R là khoảng biến thiên, x là số trung bình cộng, Me là trung vị và ∆Q là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm nói trên Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 22 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b,
c > 0 sao cho OA + OB + OC + AB + BC + CA = 1 +√
2 Giá trị lớn nhất của VO.ABC bằng
1
1
1
162.
Câu 23 Cho bảng số liệu sau
n = 40
Trang 4Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) là
Câu 24 Cho một khối gỗ dạng khối chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau,
OA = 3 cm, OB = 6 cm, OC = 12 cm Trên mặt ABC người ta đánh dấu một điểm M sau đó người ta cắt gọt khối gỗ để thu được một khối hộp chữ nhật có OM là một đường chéo đồng thời khối hộp có 3 mặt nằm trên 3 mặt của tứ diện (xem hình vẽ)
O A
B
C M
Thể tích lớn nhất của khối hộp chữ nhật thu được bằng
Câu 25 Cho số nguyên dương n và n tam giác A1B1C1, A2B2C2, , AnBnCn, trong đó các điểm Ai+1, Bi+1, Ci+1 lần lượt thuộc các đoạn thẳng BiCi, CiAi, AiBi với i = 1, n − 1 sao cho
Ai+1Ci = 2Ai+1Bi, Bi+1Ai = 2Bi+1Ci, Ci+1Bi = 2Ci+1Ai Gọi S là tổng tất cả diện tích của n tam giác đó Tìm số nguyên dương n biết rằng S = 3
2 ·
32018
và tam giác A1B1C1 có diện tích bằng 1
Câu 26 Cho cấp số cộng (un) có số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba mươi lần lượt bằng 6 và
35 Tổng
1
√
u1+√
u2 +
1
√
u2+√
u3 + · · · +
1
√
u2019+√
u2020 bằng
45 +√
673
2020
45 +√
2020
39 .
PHẦN 2 Câu trắc nghiệm đúng sai
Câu 27 Trong Vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được cho bởi công thức: m(t) =
m0 1
2
Tt
; trong đó m0 là khối lượng chất phóng xạ bạn đầu (tại thời điểm t = 0), m(t) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t và T là chu kì bán rã (Nguồn: Giải tích 12, NXBGD Việt Nam, 2021) Hạt nhân Poloni (Po) là chất phóng xạ α có chu kì bán rã là 138 ngày (Nguồn: Vật lí 12, NXBGD Việt Nam, 2021) Giả sử lúc đầu có 100 gam Poloni Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
a) Sau 138 ngày thì khối lượng Poloni còn lại là 50 gam
b) Khối lượng Poloni còn lại sau 30 ngày nhiều hơn 85 gam
Trang 5c) Kể từ ngày thứ 55 trở đi thì khối lượng Poloni còn lại ít hơn 75 gam.
d) Kể từ ngày thứ 117 trở đi thì khối lượng Poloni mất đi nhiều hơn 80% so với
khối lượng Poloni còn lại
Câu 28 Có 10 bạn nam (trong đó có một bạn tên An) và có 10 bạn nữ (trong đó có một bạn tên Bình, một bạn tên Nhi) cùng tham gia một trò chơi Chia ngẫu nhiên 20 bạn đó thành 5 đội chơi, mỗi đội gồm 2 nam và 2 nữ Xác định tính đúng-sai của các khẳng định sau
a) Số phần tử của không gian mẫu là 113400
b) Số phần tử của biến cố “An và Bình cùng đội” là C1
9· C8
9 c) Xác suất để An, Bình Nhi cùng đội là 1
125. d) Xác suất để hai bạn An và Bình được xếp vào cùng một đội chơi bằng 1
25.
Câu 29 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, [ABC = 120◦, AB = a, SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) bằng 45◦ Gọi M là trung điểm của AC và N là trung điểm của SM Điểm P trên cạnh SC sao cho SP = 2P C Mặt phẳng (α) chứa BN tạo với mặt phẳng (ABC) một góc β Xác định tính đúng-sai của các khẳng định sau
a) Góc giữa (SAC) và (ABC) là bằng góc [BCS
b) Thể tích khối chóp S.ABC bằng a
3√ 3
24 . c) Khoảng cách giữa BN và M P bằng a
√ 21
14 . d) cos β lớn nhất bằng
√ 2
3 .
Câu 30 Bảng mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương của một công ty (đơn vị: triệu đồng) được cho như sau:
Từ bảng mẫu số liệu ghép nhóm nói trên Ta có
a) Cỡ mẫu là n = 100
b) Tần số tích lũy của nhóm [30; 35) là 58
c) Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là Me∈ (24; 25)
d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là ∆Q= 11
Câu 31 Xét hàm số bậc bốn y = f (x) có f (−1) = −6 Hàm số y = f0(x) đồng biến trên khoảng (−∞; +∞), f0(4) = 0 và f0(−1) = a Đặt g(x) = f (x) + 6
x2 Xét tính đúng sai của các khẳng định sau
Trang 6Phát biểu Đ S a) Hàm số g(x) có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (2; +∞)
b) Hàm số g(x) có 2 điểm cực trị
c) Có đúng 15 số nguyên a ∈ (−20; 7) để hàm số y = |g(x)| có đúng 3 điểm cực
trị trên (−1; +∞)
d) Với a = 16 thì đồ thị hàm số h(x) = ln √
x + 1 · g(x) tổng số tiệm cận ngang
và tiệm cận đứng là 4 tiệm cận
Câu 32 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(0; 0; 1) và điểm B(0; 0; 7), C(3; 3; 0) Biết rằng điểm M trong không gian thay đổi sao cho \AM B = 90◦, với mội điểm M có điểm N thuộc tia
BM sao cho BM · BN = 42 Xác định tính đúng-sai của các khẳng định sau
a) Trung điểm của AB là I(0; 4; 0)
b) Nếu S4M AB = 9 và M C ngắn nhất bằngp43 − 18√
2
c)
−−→
N A +−−→
N B +−−→
N C
nhỏ nhất khi N (a; b; c) Khi đó a + b + c = 14
3 . d) Biết \ABN = 45◦ khi đó N C có độ dài ngắn nhất bằng 8 − 2√
3
PHẦN 3 Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 33 Cho hàm số f (x) = 20 (x − 1) (x − 3) (x − 5) (x − 7) − m với m là tham số Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ (−2023; 2023) để đồ thị hàm số y = f (x) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3, x4 sao cho 1
2 − x1 +
1
2 − x2 +
1
2 − x3 +
1
2 − x4 > 0? KQ:
Câu 34 Gọi A là tập các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau Chọn ngẫu nhiên một
số thuộc A Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 45 (làm tròn đến hàng phần trăm) KQ:
Câu 35 Cho hàm số y = x +1
x, (x > 0) có đồ thị (C) Biết từ A (xA; yA) có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho đường thẳng nối hai tiếp điểm đi qua I(1; 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x2A−yA
Câu 36 Cho hình chữ nhật ABCD cố định có AD = 1, AB = √2
5 Điểm S thay đổi trong không gian sao cho hai tam giác SDA và SCB đều vuông ở S Tính thể tích của khối chóp S.ABCD khi giả sử rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là 45◦ (Kết quả làm tròn đến hàng phần
Câu 37 Biết rằng có hai cặp số thực x, y là (x1; y1) và (x2; y2) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 7|x2−4x−5|−log75
= 5−(y+2) và 2 |y − 2| − |y| + y2 − y ≤ 7 Tính px2
1+ x22+ y12+ y22 (làm tròn đến
Trang 7Câu 38 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, biết điểm I(0; 0; 1) Cho điểm A thay đổi thỏa mãn IA2 = 25, còn B, C thay đổi thỏa mãn IB2 = IC2 = 100 sao cho IA, IB, IC đôi một vuông góc, với I(0; 0; 1) Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
P = 4OA2− 3OB2− OC2
HẾT