Luận văn thạc sĩ Địa kỹ thuật xây dựng: Phân tích sức chịu tải đất nền bằng phương pháp phần tử hữu hạn với matlab code

T Ổ NG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN C Ứ U

Tổng quan về các nghiên cứu ngoài nước

Trên thế giới, rất nhiều nghiên cứu về các giải pháp giải quyết vấn đềkhó khăn phát sinh từ việc các mặt chảy dẻo trong tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr–Coulomb giao nhau một cách không 'trơn' Các giải pháp được giới thiệu sau đây là các giải pháp tiêu biểu được các nhà khoa học đề xuất

1.1.1 Nghiên cứu tiên phong của Koiter về tính toán biến dạng dẻo

Công trình tiên phong nghiên cứu về vấn đề áp dụng đa bề mặt chảy dẻo vào giải quyết các bài toán dẻo thuộc về Koiter Trong tác phẩm nghiên cứu của mình công bố năm 1953 [3], Koiter đề xuất công thức tính toán gia số biến dạng dẻo:

Chương 1 T ổ ng quan tình hình nghiên c ứ u 9

  σ , g q là hàm thế năng dẻo, đặc trưng bởi tiêu chuẩn chảy dẻo và là hàm theo tensor ứng suất σ và ứng suất hữu hiệu q;

 là hệ số chảy dẻo; m là số hệ số chảy dẻo có thể có, đặc trưng bởi mỗi tiêu chuẩn chảy dẻo; Nghiên cứu của ông đặt nền tảng cho việc xử lý những khó khăn phát sinh khi sử dụng mô hình được mô tả bởi đa bề mặt chảy dẻo, được gọi là định luật Koiter

1.1.2 Nghiên cứu của Zienkiewicz và các cộng sự về các biến đối ứng suất trong tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr–Coulomb và vùng lân cận quanh điểm dị

Zienkiewicz là một trong những người đầu tiên đi đầu trong việc tìm các giải pháp giải quyết vấn đề phát sinh với các tiêu chuẩn chảy dẻo có đa bề mặt chảy dẻo không trơn, bao gồm trường hợp tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr–Coulomb Trong công trình nghiên cứu của mình và các cộng sự là Valliapant và Kings được công bố vào năm 1969 [4], tác giả nhận xét các vấn đề trên không phải lúc nào cũng gặp phải và dựa trên định luật Koiter, họ đề xuất giải pháp đơn giản là tránh thực hiện tính toán tại các vị trí vector n không liên tục trên bề mặt chảy dẻo Tuy nhiên, giải pháp này cho ra kết quả không đạt được kết quả độ dẻo theo yêu cầu, chính tác giả Zienkiewicz cũng công nhận điều đó trong một bài báo của mình và Nayak [5] Trong nghiên cứu đã đề cập ở trên của Nayak và Zienkiewicz [5], một trong những nhà nghiên cứu tiên phong áp dụng tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr–Coulomb kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn trong giải quyết các bài toán dẻo Cả hai đặt ra khái niệm về các biến ứng suất I 1 , J 2 , J 3 và góc Lode  Trong đó góc Lode được xác định như sau:

Các biến ứng suất này về sau được các nhà nghiên cứu ứng dụng rất nhiều trong bởi tính đa dụng của chúng Về phần tác giả Nayak và Zienkiewicz, họ đề xuất tìm ra một trạng thái ứng suất cụ thể nằm trong vùng lân cận ở vị trí mặt chảy dẻo không liên tục rằng nếu trạng thái ứng suất được tìm thấy trong vùng giới hạn đó thì các đạo hàm của hàm chảy dẻo được xem xét ở cả hai bên của điểm dị và giả định bởi giá trị trung bình Điều này phù hợp với định luật Koiter.

1.1.3 Nghiên cứu của Hinton và Owen về giá trị giới hạn góc Lode và các nghiên cứu tương tự

Trong tác phẩm nghiên cứu về phần tử hữu hạn trong mô hình dẻo xuất bản năm 1980 [6], Hinton và Owen đề cập những khó khăn vấp phải khi giá trị góc

Lode  xấp xỉ 30 o khi sử dụng các phương pháp số trong giải quyết bài toán về dẻo, cụ thể đối với mặt dẻo trong mô hình Tresca và mô hình Mohr–Coulomb Để giải quyết những khó khăn này, nhóm tác giảđề xuất giá trị giới hạn của góc Lode

Khi giá trị tuyệt đối của góc  chưa vượt quá 29 o , bài toán vẫn chưa phát sinh trở ngại Tuy nhiên, khi giá trị của góc  vượt quá 29 o , các tác giả đề xuất xây dựng các quan hệ cụ thể trong vùng lân cận điểm dị cho cả mô hình Tresca và mô hình Mohr–Coulomb, thỏa mãn yêu cầu của định luật Koiter (công thức (2.1)) Giải pháp được đưa ra là làm tròn tại góc không liên tục trên đa bề mặt chảy dẻo Trước đó, các tác phẩm của Gudehus xuất bản năm 1973 [7] có đề cập đến vấn đề trên Điều kiện chảy dẻo được đề ra nhằm áp đặt một ràng buộc đối với ứng suất tiếp của bát diện tùy thuộc hướng ứng suất của chính nó, để xác định ứng suất trung bình và đường bao phá hoại trong không gian ứng suất chính Tuy nhiên, mô hình đề xuất trên bị lõm xuống tại nơi gần trục nén theo thứ tự và để khắc phục, các tác giả đề xuất làm 'trơn' (smooth) bề mặt đường bao phá hoại tại những nơi đó bằng mặt chảy dẻo Drucker–Prager, là một đường ellipse liên tục trong mặt phẳng 1–2 Tương tự với công trình nghiên cứu của Marques [8] được xuất bản năm 1984 theo sau, khi xử lý mặt dẻo tại khu vực quanh điểm dị, ông đề xuất giải pháp làm trơn cục bộ bằng việc áp dụng các vector dòng Drucker–Prager thay vì các vector dòng Mohr–Coulomb Để thuận tiện về mặt số học, ông đã xác định rằng sựthay đổi sẽ trên không xảy ra nếu giá trị góc  nhỏhơn 29.999 o :

1.1.4 Nghiên cứu của Sloan và Booker về loại bỏ các điểm dịdựa theo giátrị góc Lode

Năm 1986, Sloan và Booker đã trình bày một giải pháp khác trong nghiên cứu của họ [9] Cả hai đề nghị một hàm dẻo mới hoàn toàn để loại bỏ các điểm dị trong mặt chảy dẻo không liên tục của mô hình Tresca và mô hình Mohr–Coulomb thay vì sử dụng vector dòng von Mises thay thế vị trí gần điểm dị của mô hình Tresca và vector dòng Drucker–Prager thay thế vị trí gần điểm dị của mô hình Mohr– Coulomb Với phương pháp này, họ tránh được trường hợp xuất hiện bước nhảy gradient tại điểm chuyển đổi giữa các mặt chảy dẻo, dẫn đến sai số khi tính toán kết quả Giá trị góc Lode  áp dụng lúc này sẽ được giới hạn bởi giá trị tuyệt đối như sau:

Trong đó,  T được định nghĩa là giá trị giới hạn tuyệt đối của góc Lode mà quá trình chuyển đổi mặt chảy dẻo không xảy ra Để đảm bảo quá trình chuyển đổi mặt chảy dẻo không xảy ra, giá trị góc  T được đề xuất trong phạm vi: o o

Hình 1.2 Giá trị góc  T để loại bỏ các điểm dị theo Sloan và Booker

1.1.5 Nghiên cứu của Crisfield về áp dụng phương pháp backward–Euler, đưa ra giải pháp sử dụng ánh xạcác điểm liên tục bằng vector

Trong một trong tác phẩm xuất bản năm 1987 của mình [10] về mặt chảy dẻo Mohr–Coulomb, Crisfield đưa ra ý kiến sử dụng phương pháp backward–Euler (phương pháp theo hướng implicit, khác với phương pháp forward–Euler theo hướng explicit) để tích phân các phương trình trong bài toán dẻo Ông chia ra bốn trường hợp khác nhau, tùy thuộc trạng thái ứng suất giảđịnh  trial , gọi là phương pháp return mapping và được hoàn chỉnh bởi các nhà nghiên cứu sau này:

1 Return mapping đơn vector, chỉ sử dụng trả về trên một mặt chảy dẻo

2 Khi giá trị góc Lode  vượt quá giới hạn nào đó, áp dụng vector trả ứng suất về vị trí gần nhất mà góc Lode  chưa vượt quá giới hạn Tuy nhiên, tác giả Crisfield đã loại bỏ trường hợp này vì lo ngại nó dẫn đến việc ứng suất vượt quá giới hạn của mặt dẻo, cho ra kết quả không chính xác

3 Return mapping hai vector được áp dụng hiệu quả hơn, nếu trả về một mặt chảy dẻo là không đủ xác định tensor biến dạng dẻo

4 Trường hợp cuối cùng là return mapping vềđỉnh, được đề xuất nếu không thể trả về mặt chảy dẻo bằng hai vector ánh xạ

Phương pháp này là cơ sở cho các nhà nghiên cứu sau này hoàn chỉnh phương pháp return mapping (được sử dụng trong luận văn) Crisfield dùng đại lượng góc

 đểxét trường hợp xảy ra thuộc trường hợp nào trong ba trường hợp trên Góc

 được định nghĩa là góc giữa hai vector dẻo  hay n của hai mặt dẻo A, B: arccos

Khi góc  nhỏ hơn 1 o , dùng return mapping đơn vector Tuy nhiên, khi góc

 lớn hơn 90 o , tensor ứng suất được ánh xạ về một điểm bên chóp kim tự tháp và do đó, dùng return mapping trả vềđỉnh Trường hợp góc  có giá trị lớn đáng kể nhưng nhỏ hơn 90 độ, sử dụng return mapping hai vector Bên cạnh đó, tác giả giới hạn giá trị góc Lode  như sau:

Nếu giá trị góc Lode  vượt giá trị 29.99 o thì áp dụng lại các vector chuẩn dòng Drucker–Prager

Tuy nhiên, Ortiz và Popov trong nghiên cứu về tính chính xác và ổn định của các thuật toán tích hợp được xuất bản năm 1985 [11], đã chỉ ra rằng nếu làm 'trơn' mặt chảy dẻo quá mức sẽ làm giảm độ chính xác trong tính toán và tính ổn định

Vì vậy, họ đặt vấn đề xử lý cục bộ trong phạm vi xung quanh điểm dị, sử dụng phương pháp xấp xỉ đường cong tương đương

Hình 1.3 Return mapping một vector (Nguồn: [12], pp.283)

Hình 1.4 Return mapping hai vector (Nguồn: [12], pp.283)

1.1.6 Nghiên cứu của de Borst về định nghĩa chỉ số điểm dị

CƠ SỞ LÝ THUY Ế T

Đất nền được xem là một loại vật liệu kỹ thuật

Đất nền là một trong những vật liệu được sử dụng thường xuyên trong kỹ thuật, vì hầu hết các công trình xây dựng đều tựa trên nền đất hoặc đá Đất nền được cấu tạo từ các hạt có hình dạng khác nhau nên khi xếp chồng lên nhau sẽ tạo ra những lỗ rỗng Các lỗ rỗng này có thể chứa nước hoặc không, từđó ta có thể kết luật trạng thái của đất nền Có nhiều tiêu chuẩn kỹ thuật về phân loại đất

2.1.1 Đất cát và đất sét

Các loại đất trong địa kỹ thuật xây dựng được phân loại theo sự phân bố kích thước hạt Sự phân loại này đề cập đến các hạt riêng lẻ và mẫu đất nói chung (xem Hình 2.1) Trong hình, ba đường cong phân bốkích thước hạt có thểđược quan sát cùng với định nghĩa về các kích thước hạt theo tiêu chuẩn châu Âu Dựa vào thành phần hạt trong đất, người ta quy định chia nhỏ về loại đất (xem Hình 2.2) Một số tên phân loại khác nhau cho các mẫu đất dựa trên như đất sét, phù sa và cát Đất có một phần lớn các hạt kích thước nhỏ thường được gọi là đất sét, kế đến là phù sa và cát khi đường kính cỡ hạt tăng lên Đất có hạt lớn hơn các kích thước trong

Hình 2.1 được gọi là cuội và đá.

Có vài khác biệt cơ bản trong ứng xử cơ lí giữa đất sét và cát, xuất phát từ sự kết dính với nước Trong cát, các hạt chạm vào nhau và ứng suất truyền từ hạt này sang hạt kia một cách trực tiếp Sự liên kết giữa các hạt hầu như là không có nên nước lỗ rỗng có thể thoát ra ngoài rất nhanh Tuy nhiên, do không có liên kết kết dính giữa các hạt nên cát thực thếkhông có độ bền khi căng, nghĩa ra nếu chúng chịu ứng suất kéo sẽ bị tách ra rất đơn giản và phá hoại cắt trượt sẽ xảy ra dễ dàng Với đất sét, các hạt không tiếp xúc trực tiếp với nhau vì có một lớp màng nước bao quanh các hạt, ở giữa các lớp màng này vẫn có các lỗ rỗng chứa đầy nước (lúc này là nước tự nhiên chứ không phải là nước trong đất) hoặc khí tự do Các lỗ rỗng này có kích thước nhỏ nên nước thoát ra rất chậm

Hình 2.1 Các đường cong phân bốkích thước hạt điển hình

Hình 2.2 Phân loại đất dựa trên kích thước hạt theo tiêu chuẩn châu Âu

(loam: mùn, slit: phù sa)

Chương 2 Cơ sở lý thuy ế t 25

2.1.2 Tính liên tục của đất nền

Trên mặt cắt ngang qua mẫu đất chịu tác dụng của ngoại lực, các lực theo phương đứng được biến đổi thành lực dọc trục Phương pháp tiếp cận phổ biến là làm trơn và chia chỏ phần tử, sau đó xác định ứng suất trên phần tử Do đó, khi chúng ta đề cập đến khái niệm ứng suất trong đất thì đó không phải là ứng suất giữa các hạt phân tử cấu thành đất nền mà là ứng suất xét trên toàn bộ mặt cắt ngang bất kì, nhấn mạnh tính liên tục của đất nền

2.1.2.1 Ứng suất hữu hiệu trong đất

Như chúng ta đã biết, thành phần cấu tạo của đất tự nhiên bao gồm hạt rắn, hạt nước và hạt khí Khả năng chịu tải của đất nền là khác nhau, tùy thuộc vào trạng thái bão hòa nước hay chưa Đất nền có thể chịu được ứng suất cắt do các hạt phân tử đất lồng vào nhau và tạo nên ma sát giữa các hạt, do đó khi đất ở trạng thái bão hòa nước sức chịu tải của đất nền sẽ giảm đi đáng kể Điều đó dẫn đến sự ra đời của khái niệm ứng suất hữu hiệu đối với đất bão hòa, xác định theo công thức: σ σ' p (2.1)

Trong đó: σ' là vector ứng suất hữu hiệu; σ là vector ứng suất tổng; p là vector áp lực nước lỗ rỗng, được xác định theo công thức sau:

Với: p pore  w w h là giá trị áp lực nước lỗ rỗng;

 K (2.3) Đối với đất cát và đất sét có: K K s   1 [25] Do đó, công thức (2.1) thường được viết lại như sau: σ σ p'  (2.4)

Việc xem xét đến trạng thái bão hòa hay không bão hòa của đất nền ảnh hưởng đến ứng xử và sức chịu tải của đất nền Trong phạm vi luận văn này chưa xét đến ảnh hưởng của trạng thái bão hòa của đất nền đến sức chịu tải đất nền

2.1.2.1 Cố kết trong nền đất

Khi tác dụng ngoại lực bất kì lên một mẫu đất, các hạt đất sẽ trượt lên nhau lấp đầy các lỗ rỗng và đẩy nước lỗ rỗng ra ngoài, ngoài tạo ra ma sát giúp đất nền chịu được ứng suất cắt, các hạt trượt lên nhau giữ ổn định không cho đất nền Nguyên nhân nước lỗ rỗng thoát ra ngoài là do nước chịu nén kém hơn nhiều so với hạt đất Nước lỗ rỗng thoát nhanh hay chậm tùy thuộc vào tính chất của từng loại đất Đến thời điểm nhất định, nước lỗ rỗng sẽ thoát ra gần như hoàn toàn và tải trọng tác động lên chỉ được chịu bởi các hạt đất Quá trình này được gọi là cố kết Thời gian của quá trình cố kết trong đất nền khác nhau với từng loại đất Trong phạm vi luận văn này cũng chưa xét đến hiện tượng cố kết trong đất nền

2.1.3 Các thí nghiệm trong phòng xác định đặc trưng cơ học của đất nền

Các tính chất cơ học của đất thường được xác định bằng các thí nghiệm trong phòng Trong phạm vi luận văn tốt nghiệp, học viên chủ yếu phân tích về quan hệ ứng suất–biến dạng trong đất nền và các thông số đặc trưng đất nền học viên quan tâm là lực dính c và góc ma sát trong  thường được xác định bằng hai thí nghiệm trong phòng rất phổ biến là thí nghiệm cắt trực tiếp và thí nghiệm nén ba trục

2.1.2.1 Thí nghiệm cắt trực tiếp (Shearbox test)

Thí nghiệm cắt trực tiếp là thí nghiệm phổ biến hiện nay nhằm xác định các thông số đặc trưng cho tính chất cơ học của đất Đất được xử lý và đặt vào một hộp chứa mẫu và máy tiến hành thí nghiệm cắt ngang mẫu đất Máy sẽđược điều chỉnh tác dụng lên mẫu một tải trọng N theo cấp tải quy ước trước Thí nghiệm kết thúc khi mẫu đất được cắt thành hai nửa Ứng suất hữu hiệu ' và ứng suất cắt

 của mẫu đất được tính như sau (xem Hình 2.3):

Với: A là diện tích tiết diện mặt cắt ngang của mẫu đất

Chương 2 Cơ sở lý thuy ế t 27 a) b)

Hình 2.3 a) Hướng tác dụng của tải trong thí nghiệm cắt trực tiếp; b) Biến dạng mẫu đất trong thí nghiệm cắt trực tiếp (Nguồn: [26]:pp.12)

Theo Hình 2.3.b, biến dạng cắt của mẫu đất được tính toán như sau:

Với: h 0 là chiều cao ban đầu của mẫu đất

Biến dạng theo phương đứng hay biến dạng thể tích của mẫu đất:

Do trong thí nghiệm này, đất chịu nén nên biến dạng thể tích theo như quy ước chung của Cơ học là âm (mang dấu "")

2.1.2.1 Thí nghiệm nén ba trục (Triaxial test)

Thí nghiệm nén ba trục là thí nghiệm tiên tiến hơn cũng nhằm mục đích xác định các đặc trưng cơ học của đất nền là lực dính c và góc ma sát trong  Trong thí nghiệm ba trục, mẫu đất hình trụ được nén hoặc kéo dài dọc theo kích thước của trục trong khi chịu tác động của một ứng suất hướng tâm (xem Hình 2.4) Các biến dạng và ứng suất trong mẫu được giả định là đồng nhất, có nghĩa là các ứng suất chính theo phương ngang là như nhau và được gọi là "áp lực buồng"

Hình 2.4 Hướng tác dụng của ứng suất trong thí nghiệm ba trục ( 1 >  2 =  3 );

Hình 2.5 Kết quả thí nghiệm nén ba trục: a) Ứng suất lệch và biến dạng thể tích đối với thí nghiệm thoát nước trên mẫu cát đất cát; b) Tỷ sốứng suất lệch và áp lực nước lỗ rỗng đối với thí nghiệm không thoát nước trên mẫu đất sét

Thí nghiệm ba trục đặc trưng bởi hai thông số ứng suất lệch q và áp lực thủy tĩnh p ' được xác định như sau:

Hai thông số trên rất quan trọng trong tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr–Coulomb

2.2 Lý thuyết về sức chịu tải đất nền theo Terzaghi

Trong lĩnh vực địa kỹ thuật, sức chịu tải của nền đất được định nghĩa là giới hạn tải trọng mà đất nền có khả năng chịu được Đất nền là nơi chịu mọi tải trọng công trình đặt lên, nên việc xác định sức chịu tải đất nền rất quan trọng trong thiết kế nền nhà và công trình, đảm bảo an toàn cho công trình khi thi công và sử dụng

Có ba dạng phá hoại đất nền khi vượt quá sức chịu tải (xem Hình 2.6):

Hình 2.6 Các dạng phá hoại khi đất nền chịu quá sức chịu tải cho phép: a) Phá hoại cắt tổng quát; b) Phá hoại cắt cục bộ; c) Phá hoại cắt xuyên (Nguồn: https://shohan432.blogspot.com/2020/04/sub-soil-investigation- maximum-bearing, truy cập 07/05/2022)

Trường hợp a) xảy ra phổ biến nhất, chủ yếu xảy ra với đất tốt hay đá; trường hợp c) xảy ra với cát rời; trường hợp b) là kết hợp giữa a) và c)

Công thức tính sức chịu tải của đất nền Terzaghi với giả thiết nền đất bằng phẳng, đồng nhất, ổn định và đáy móng phẳng Sức chịu tải cực hạn của nền đất có thể xác lập bằng công thức giải tích như sau:

Móng băng: q ult cN c qN q 0.5BN  (2.9) Móng vuông: q ult 1.3cN c qN q 0.3BN  (2.10)

Móng tròn: q ult 1.3cN c qN q 0.3BN  (2.11) Trong đó:

Phương pháp phần tử hữu hạn trong bài toán cơ học vật rắn biến dạng

Xét phân tố trong vật thể chịu tác dụng của ngoại lực bất kì, các thành phần ứng suất trong phân tố (xem Hình 2.7) có thể biểu diễn dưới dạng vector như sau:

  x xy xz yx y yz zx zy z

Gọi u, v, w là chuyển vị theo các trục x, y, z (u  x v;  y w;  z) Ứng suất gây ra biến dạng cho phân tố, ma trận biến dạng cũng có thể biểu diễn dưới dạng vector như sau:

  x xy xz yx y yz zx zy z

Các phương trình (2.18) còn gọi là phương trình biến dạng–chuyển vị

Hình 2.7 Các thành phần ứng suất theo các hướng không gian ba chiều

Các phương trình cân bằng nội:

 x yx zx x xy y zy y xz yz z z x y z F x y z F x y z F

Trong đó: F x , F y , F z là các lực thể tích

Mối liên hệ giữa ứng suất–biến dạng hay còn gọi là phương trình vật liệu:

Trong đó: D là ma trận vật liệu

2.2.2 Rời rạc hóa miền tính toán

Trong tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn, bước đầu tiên là phải chia nhỏ vật thể thành các phần tử, gọi là phần tử hữu hạn Loại phần tử, số lượng, cấu tạo được lựa chọn sao cho gần giống với hình dáng ban đầu của vật thểđược chia nhỏ Các phần tử liên kết với nhau tại các nút Nút là các điểm hữu hạn được chọn chứa ẩn cần xác định trong phân tích bài toán FEM Các phần tử sử dụng phổ biến:

1 Phần tửcơ bản: phần tử tam giác ba nút (T3), phần tử tứ giác bốn nút (Q4)

2 Phần tử cải tiến: phần tử tam giác sáu nút (T6), phần tử tứ giác tám nút (Q8), phần tử tứ giác chín nút (Q9)

Hình 2.8 Một số phần tử sử dụng phổ biến trong phân tích phần tử hữu hạn

Sau khi hoàn thành công tác tạo lưới phần tử, áp dụng điều kiện biên, hay tạo liên kết cho các nút Các nút áp dụng điều kiện biên thì một số hay toàn bộ ẩn chuyển vị tại đó được lược bỏ Hình 2.9 minh họa việc rời rạc hóa miền tính toán và áp dụng điều kiện biên (kí hiệu ô vuông là áp dụng điều kiện biên cho chuyển vị phương x và phương y, kí hiệu ô tròn là áp dụng điều kiện biên cho chuyển vị phương x tại các nút)

Hình 2.9 Rời rạc hóa miền tính toán trong phân tích phần tử hữu hạn áp dụng điều kiện biên: a) Sử dụng phần tử tứ giác; b) Sử dụng phần tử tam giác

2.3.3 Các phương trình cơ bản trong bài toán phần tử hữu hạn

Tọa độ và chuyển vị của một điểm bất kì trong phần tử thông qua chuyển vị nút đó biểu diễn như sau:

  x e và   y e là tọa độ điểm bất kì trong phần tử theo các phương;

   u e và    v e là chuyển vị điểm bất kì trong phần tử theo các phương; Tính toán đạo hàm để xác định các ma trận

Mỗi loại phần tử khác nhau sẽ đặc trưng bởi các hàm dạng khác nhau Trong luận văn này, học viên sử dụng phần tử tứ giác tám nút (Q8) trong phân tích bài toán phẳng nên học viên chỉ trình bày các công thức liên quan đến phần tử này Học viên kí hiệu như sau:

  , là vector chuyển vị tại điểm bất kì thuộc phần tử (2.22) f   

F , là vector lực thể tích tại điểm bất kì thuộc phần tử (2.23)

, là ma trận đạo hàm riêng theo biến x, y (2.24) Đưa đạo hàm riêng từ hệ tọa độ tự nhiên sang hệ tọa độ Descartes: x y x x x y y y

Với: J là ma trận Jacobi (ma trận chuyển đổi đạo hàm riêng từ hệ tọa độ tự nhiên sang hệ tọa độ Descartes):

Vector đạo hàm riêng trong hệ tọa độ Descartes:

Từ công thức (2.21), xác định vector chuyển vị tại điểm bất kì như sau: e Nq (2.28)

Dựa vào quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị:

B = AN , là ma trận biến dạng chuyển vị, tính đạo hàm riêng hàm dạng (2.30) Áp dụng nguyên lí năng lượng toàn phần dừng hay nguyên lí biến phân về chuyển vị Thếnăng toàn phần xác định như sau:

A là công của ngoại lực sinh ra trên chuyển dời của ngoại lực do biến dạng:

Trong đó:   g là lực khối,   p là lực mặt trên các chuyển vị q T

U là thế năng biến dạng của vật thể tích lũy:

Theo kết quả từ định luật Hooke, ta có ma trận độ cứng phần tử:

Với: D là ma trận vật liệu;

Bài toán ứng suất phẳng:

Bài toán biến dạng phẳng:

Sử dụng tích phân Gauss với các điểm Gauss dùng cho phần tử tứ giác:

Với: n là số điểm Gauss sử dụng

Hình 2.10 Sốđiểm Gauss trong phần tử: a) Tích phân 22 điểm Gauss; b) Tích phân 33 điểm Gauss

Bảng 2.2 Bảng tra sốđiểm Gauss và trọng số dùng trong phần tử tứ giác

Phần tử tứ giác tám nút (Q8) [27]:

Hình 2.11 Phần tử tám nút trong hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ tự nhiên – Trong phần tử tứ giác bốn nút, các ma trận và vector đặc trưng:

 q , là vector chuyển vị của phần tử (2.38)

N là ma trận hàm dạng Q4 (2.39)

Trong đó: các hàm dạng trong phần tử bốn nút:

Ma trận đạo hàm riêng hàm dạng theo biến x, y:

Có thể tham khảo thêm các dạng phần tử khác trong tác phẩm [27].

Tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr–Coulomb

2.4.1 Lý thuyết tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr–Coulomb

Trong các dạng vật liệu được sử dụng phổ biến hiện nay, xét theo dạng phá hoại, người ta chia ra hai dạng vật liệu là vật liệu dẻo (ductile materials) và vật liệu giòn (brittle materials) Ngoài ra còn có vật liệu nhựa (plastic materials) nhưng ít phổ biến hơn Trong khi vật liệu dẻo sau khi biến dạng tương đối mới xảy ra phá hoại chảy dẻo thì vật liệu giòn sau khi biến dạng tương đối nhỏ đạt đến trạng thái tới hạn và xảy ra phá hoại đứt gãy ngay lập tức Từ khái niệm trên, ta có thể xếp đất nền thuộc vật liệu phá hoại giòn và một trong những tiêu chuẩn phá hoại được áp dụng cho dạng vật liệu này là tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr–Coulomb Vật liệu dẻo có cường độ chịu nén và cường độ chịu kéo bằng nhau hoặc gần như bằng nhau

Vật liệu giòn có cường độ chịu nén lớn hơn khá nhiều so với cường độ chịu kéo

Hình 2.12 Các đường cong quan hệứng suất–biến dạng của các dạng vật liệu

Hình 2.13 Cường độ chịu nén và cường độ chịu kéo giới hạn của vật liệu giòn

Tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr– Coulomb, là một trong những mô hình dẻo được sử dụng đầu tiên và phổ biến nhất, đặc biệt trong các ứng dụng mô phỏng ứng xử của vật liệu đất Trong không gian ứng suất chính, các bề mặt chảy dẻo giao nhau tạo thành một hình lục giác kim tự tháp và một mặt cắt ngang hình lục giác không đều trong mặt phẳng ứng suất lệch (deviatoric)

Trong các thí nghiệm về sức bền vật liệu, với thí nghiệm kéo–nén đơn trục thì ta có thể dễ dàng dựđoán dạng phá hoại của vật liệu nhưng với thí nghiệm nén ba trục thì rất khó dựđoán được dạng phá hoại do tồn tại ứng suất lệch q và áp lực thủy tĩnh p', trong đó chỉ có ứng suất lệch q gây ra biến dạng cho vật liệu Tổng quát, ta có ma trận ứng suất phần tử:

 (sigma mean) là ứng suất trung bình; (2.43)

I là ma trận đơn vị;

S d là ma trận ứng suất lệch;

Từđó ta có khái niệm mặt phẳng ứng suất lệch (deviatoric plane) là mặt phẳng pháp tuyến với trục ứng suất thủy tĩnh p ' ( 1  2  3 )

Tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr–Coulomb cho rằng phá hoại vật liệu xảy ra nếu ứng suất trong vật liệu vượt giá trị ứng suất giới hạn Với ứng suất  x ,  y ,  z ,

 xy ,  yz ,  zx , ta có thểxác định được giá trị  n và  trên bất kì mặt cắt hợp phương ngang một góc  bất kì trên mặt bất kì của phần tử Khi biểu diễn kết quả vòng tròn Mohr ứng suất khi mẫu bị phá hoại của thí nghiệm cắt trực tiếp hay thí nghiệm nén ba trục, ta được đường thẳng tiếp tuyến với các vòng tròn Mohr hay còn gọi là đường giới hạn phá hoại Mohr–Coulomb Phương trình của đường này:

Trong đó: c là lực dính, chính là khoảng cách từ điểm giao nhau giữa đường giới hạn phá hoại Mohr–Coulomb và trục tung ứng suất tiếp đến gốc (0; 0);

 là góc ma sát trong, góc hợp bởi đường giới hạn phá hoại Mohr–Coulomb và trục hoành ứng suất pháp;

 n là giá trịứng suất pháp trên mặt phá hoại, lưu ý giá trịdương cho ứng suất kéo và âm cho ứng suất nén;

Hình 2.14 Vòng tròn Mohr ứng suất với tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr–Coulomb

Dựa theo Hình 2.14, công thức (2.44) có thể viết lại theo ứng suất chính lớn nhất  max và nhỏ nhất  min như sau:

      max min cos max min max min sin tan

Rút gọn, chuyển vế (2.45) ta thu được công thức:

Hay có thể viết lại dưới hàm dẻo (hay hàm chảy dẻo) như sau:

Lưu ý:trường hợp bài toán có xét đến trường hợp tăng bền, lực dính c không phải hằng số mà là một hàm theo  p là c    p Áp dụng điều kiện  1  2  3 , ta có thể viết lại công thức (2.47) như sau:

Với 1,  2 ,  3 là các ứng suất theo phương chính, ta có thể viết lại (2.48) thành 6 hàm như sau:

Nayak và Zienkiewicz trong nghiên cứu của họ [5] đưa ra có đề cập đến các biến ứng suất Cảhai đều là những nhà nghiên cứu tiên phong áp dụng tiêu chuẩn

Chương 2 Cơ sở lý thuy ế t 43 chảy dẻo Mohr–Coulomb kết hợp với phương pháp số toán học trong giải quyết các bài toán dẻo Các biến ứng suất được định nghĩa chung cho tất cả các mô hình phổ biến như mô hình Tresca, von Mises, Druger–Praker, Mohr–Coulomb… Ở đây học viên chỉ trình bày các biến ứng suất trong mô hình Mohr–Coulomb Các ứng suất  1 ,  2 ,  3 trong công thức (2.48) là các ứng suất theo phương chính ( 1  2  3 ) và có thể xác định theo công thức:

Trong đó, các biến ứng suất được định nghĩa như sau:

3 det x yx zx xy y zy xz yz z s

Ta có thể viết lại hàm chảy dẻo theo các biến ứng suất trên:

2 sin sin sin cos cos

  , gọi là hàm góc Lode (2.56)

Biến dạng trong vật thể bao gồm biến dạng đàn hồi và biến dạng dẻo Trong đó biến dạng đàn hồi tuân theo định luật Hooke, còn phần biến dạng dẻo tuân theo định luật chảy dẻo kết hợp:

Các hệ số trong n lấy theo Bảng 2.3

Bảng 2.3 Các hệ số C 1-3 trong vector pháp tuyến n

Từ n, ta tính được gia số ứng suất σ trong bài toán lặp, trong đó cần tìm đạo hàm ntheo σ, kí hiệu n σ

 sẽ xuất hiện suy biến do một vài tham số xuất hiện

  cos 3 dưới mẫu số hay tan 3 không xác định khi góc  = 30 o

Xét trên mặt phẳng 1 –2, mặt chảy dẻo Mohr–Coulomb sẽ cắt các trục tại :

Hình 2.15 Mặt chảy dẻo Mohr–Coulomb trong không gian ứng suất chính

Hình 2.16 Mặt chảy dẻo Mohr–Coulomb trong: mặt phẳng  1 – 2

Hình 2.17 Mặt chảy dẻo Mohr–Coulomb trong mặt phẳng ứng suất lệch

Mặt phẳng ứng suất lệch là mặt phẳng biểu diễn mặt chảy dẻo theo hướng của ứng suất chính, với mặt chảy dẻo Mohr–Coulomb là một hình lục giác

2.4.2 Góc giãn nở  và hàm thế năng dẻo

Hàm dẻo được biểu diễn dưới dạng công thức (2.48)

Hàm thế năng dẻo có thể trùng với hàm dẻo Trên Hình 2.14, ta biểu diễn vector độ tăng biến dạng dẻo  p vuông góc với mặt chảy dẻo Khi hàm dẻo trùng với hàm thế năng dẻo ( f g), vector  p hợp với mặt dẻo một góc   Điều này dẫn đến vấn đề khi đất đạt trạng thái chảy dẻo, thể tích đất sẽ tăng cùng với sự

Chương 2 Cơ sở lý thuy ế t 47 gian tăng ứng suất pháp theo hướng nén ( v p 0) do bị nở Điều này là vô lý, vì trong thực tế thí nghiệm cắt trực tiếp, chỉ có cát chặt và sét quá cố kết đất mới tăng thể tích khi phá hoại Nhưng sau đó, biến dạng thể tích cũng dần trở về 0 Do đó, ta phải thiết lập hàm thế năng dẻo khác hàm dẻo Trong hàm thế năng dẻo, góc giãn nở được sử dụng thay thế góc ma sát trong  Ta có ba trường hợp:

1 Khi  0, vector  p có phương thẳng đứng Khi đó,  v p 0, nghĩa là không xảy ra biến dạng thể tích

2 Khi   , với góc giãn nở  càng nhỏ,biến dạng thể tích nhỏ

3 Khi   , đã phân tích ở trên

Từ những phân tích trên, ta hiểu rằng góc giãn nở  là một đặc tính quan trọng của đất trong sử dụng các mô hình vật liệu trong giải bài toán cơ học biến dạng Góc giãn nở  biểu hiện độ giãn nở giới hạn của mô hình Nó giữ vai trò tương tự xác định tốc độ biến dạng thể tích đối với biến dạng cắt, như góc ma sát  trong việc cốđịnh tốc độthay đổi của độ bền cắt với ứng suất trung bình

Trong trường hợp này, ta phải áp dụng định luật chảy dẻo không kết hợp và tính vector pháp tuyến tại vị trí mặt chảy dẻo cho hàm thế năng dẻo m: p  g  ε  m σ (2.69)

Với: là hệ số chảy dẻo; g là hàm thế năng dẻo, thu được bằng cách thay thế góc ma sát  bằng góc giãn nở  trong các phương trình (2.49), thu được:

Ngoài ra hàm thếnăng dẻo có thể viết lại bằng cách dùng các bất biến và thay góc ma sát  bằng góc giãn nở  như sau:

Gia số biến dạng dẻo: d cos d p f

Thông số tái bền (hardening slope):

Phương pháp giả i l ặp và phương pháp hộ i t ụ

Mối quan hệ phi tuyến trong phân tích bài toán cơ học đặt ra nhiều vấn đề phân tích phức tạp hơn so với mối quan hệ tuyến tính Tính phi tuyến được biểu hiện thông qua sự phụ thuộc của các hệ số phương trình vào nghiệm của chính nó hoặc dưới hình thức tích, lũy thừa của các ẩn hoặc các đạo hàm của chúng Hai dạng phi tuyến chính thường sử dụng trong phân tích phần tử hữu hạn bài toán cơ học biến dạng vật rắn là: phi tuyến vật liệu (mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng hay các đặc tính vật liệu khác là hàm phức tạp, dẫn đến các hệ số phương trình phụ thuộc vào nghiệm của chính nó) và phi tuyến hình học (hay còn gọi là phân tích biến dạng lớn, chuyển vị lớn, dẫn đến tích hay lũy thừa của các ẩn số trong phương trình) Như vậy, khi ta xét đến bài toán phi tuyến vật liệu, chắc chắn mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là hàm phức tạp

Phương pháp giải lặp được hiểu là phương pháp tìm giá trị gần đúng với sai số nhất định Trong phân tích phần tử hữu hạn, có hai phương pháp lặp chính để mô hình hóa tính phi tuyến tính của vật liệu Phương pháp thứ nhất, cho bước gia số biến dạng bằng nhau tại các bước, các lần lặp với độ cứng không đổi Ma trận độ cứng tổng thể được hình thành và không thay đổi trong quá trình giải lặp Do đó, mỗi bước lặp lại đại diện cho một phân tích đàn hồi Sự hội tụ xảy ra khi ứng suất giải ra đạt đến giới hạn hoặc trong sai số cho phép Vector tải trọng tại mỗi bước lặp bao gồm tải trọng ngoài và tải thể tích Phương pháp này được gọi là ''phương pháp constant stiffness'' (phương pháp độ cứng không đổi), xem Hình 2.20 Điểm mạnh của phương pháp này là xây dựng đơn giản, thích hợp với các vật liệu phi tuyến mà quan hệcác đặc tính vật liệu không quá phức tạp Tuy nhiên, tốn nhiều bước lặp để hội tụ Phương pháp thứ hai, gia số biến dạng sẽ khác nhau tại các bước, các lần lặp với độ cứng thay đổi và giảm dần, phương pháp này gọi là ''phương pháp tangent stiffness'' (phương pháp độ cứng tiếp tuyến), xem Hình 2.21 Phương pháp này cần ít bước lặp hơn để hội tụ và xét đến giảm độ cứng vật liệu khi xảy ra sự cố

Hình 2.20 Phương pháp độ cứng không đổi

Hình 2.21 Phương pháp độ cứng tiếp tuyến

Trong luận văn này, học viên sử dụng phương pháp độ cứng tiếp tuyến mô hình hóa tính phi tuyến tính của vật liệu Bên cạnh đó, kết hợp với phương pháp lặp ẩn 'implicit' trong giải các phương trình vi phân thay vì phương pháp lặp hiện 'explicit' giúp tiếp tục giảm số lần lặp để hội tụ

Phương pháp lặp 'explicit' tính toán tính toán trạng thái của biến hay đại lượng tại thời điểm hiện tại, trong khi phương pháp lặp 'implicit' tìm nghiệm bằng cách giải phương trình liên quan đến trạng thái hiện tại và trạng thái kế tiếp Áp dụng phương pháp lặp 'explicit' và 'implicit' vào phương pháp Euler (phương pháp số bậc nhất để giải các phương trình vi phân thường với giá trị ban đầu cho trước) Dạng của phương trình vi phân thông thường (ODE):

Với điều kiện ban đầu:

  0 0 y t  y (2.86) t n  n t, n = 1, 2, 3, 4… là thứ tự bước lặp; (2.87) Phương pháp forward–Euler:

Phương trình (2.88) được viết lại như sau:

Phương trình (2.90) được viết lại như sau:

Gắn với phương pháp lặp 'implicit' và 'explicit' thì phương pháp forward–Euler theo 'explicit', phương pháp backward–Euler theo 'implicit' Tác giả Crisfield khi áp dụng phương pháp Euler vào tích hợp cùng định luật chảy dẻo kết hợp [31] cho rằng phương pháp backward–Euler hiệu quả hơn khi sử dụng để trả ứng suất giả định về mặt chảy dẻo giới hạn do tốn ít bước lặp hơn và cho ra phương pháp backward–Euler return, sử dụng các vector trả ứng suất về gần mặt chảy dẻo giới hạn Cụ thể xét kết quả phân tích cụ thể trong Hình 2.22

Hình 2.22 Kết quả ví dụ số minh họa sự khác biệt giữa phương pháp forward–

Euler và backward–Euler: a) Tính toán tọa độgiao điểm; b) forward–Euler bước A, C và trả vềD; c) Trường hợp dùng hai bước gia số; d) Trả về bằng phương pháp backward–Euler

Phương pháp backward–Euler là phương pháp được ứng dụng phổ biến trong triển khai trả ứng suất trở lại bề mặt chảy dẻo Phương pháp return mapping được xem là phương pháp xây dựng từ phương pháp backward–Euler, áp dụng cho các trường hợp mặt chảy dẻo giao nhau không 'trơn' như Mohr–Coulomb, Tresca…,

Chương 2 Cơ sở lý thuy ế t 57 nhằm mục đích tích phân ứng suất dựa trên gia số biến dạng trong tính toán phần tử hữu hạn với vật liệu đàn–dẻo

Trong nghiên cứu của mình [26], tác giả Clausen đã giải thích phương pháp return mapping theo dạng nguyên bản Phương pháp áp đặt điều kiện mô hình cấu thành được xem như đi từ đàn hồi tuyến tính đến trạng thái dẻo hoàn toàn Các phương trình dạng truyền thống được sử dụng cho triển khai trả ứng suất trở lại bề mặt chảy dẻo cũng như giao điểm của hai bề mặt chảy sẽ được đưa ra

Biến dạng và gia số biến dạng gồm hai phần, phần đàn hồi và phần dẻo:

Khi vật liệu đạt đến giới hạn chảy dẻo, xuất hiện biến dạng dẻo:

Tính toán gia sốứng suất theo định luật Hooke:

  σ D ε e e D ε ε e  p (2.94) Đối với bài toán phần tử hữu hạn, tích phân thu được phần gia số ứng suất:

Công thức (2.88) có thể viết lại như sau:

C A σ σ  σ là ứng suất cập nhật trên mặt chảy dẻo; (2.97)

B A σ σ  σ e là ứng suất giả định ngoài mặt chảy dẻo; (2.98) σ

 p là gia số ứng suất dẻo;

Tóm lại, kết quả đạo hàm của hàm thế năng cho ra gia số biến dạng dẻo (xem lại định luật Koiter và tham khảo Hình 2.23) Tính ứng suất dẻo bằng tích phân: σ  D 

Công thức (2.99) thường được xấp xỉ bởi công thức:

Công thức (2.100a) dùng đánh giá ứng suất cập nhật σ C , công thức (2.100b) dùng đánh giá ứng suất giả định σ B

Hình 2.23 Nguyên lí của phương pháp return mapping

Tuy nhiên, như đã đề cập, do vấn đề phát sinh tại vùng lân cận điểm dị khi áp dụng phương pháp backward–Euler vào tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr–Coulomb nên dưới đây học viên trình bày phương pháp return mapping được giới thiệu trong tác phẩm của de Souza Neto, Perić và Owen [20] về tính toán dẻo trên máy tính Phương pháp return mapping theo lặp ẩn (implicit) với mặt chảy dẻo Mohr– Coulomb trên gồm bốn trường hợp trả ứng suất về các vị trí khác nhau trên mặt chảy dẻo (G là shear (cắt) modulus, B là bulk (khối) modulus):

1 Ứng suất cập nhật trả về nằm trên mặt chảy dẻo (mặt trơn) Trường hợp này xác định hằng số:

2 Ứng suất cập nhật trả về nằm trên cạnh phải Trường hợp này cần xác định hằng số:

2 1 sin sin 1sin sin 4 sin sin

3 Ứng suất cập nhật trả về nằm trên cạnh trái Trường hợp này cần xác định hằng số:

2 1 sin sin 1sin sin 4 sin sin

4 Ứng suất cập nhật trả về nằm trên đỉnh kim tựtháp Trường hợp này xảy ra biến dạng thể tích, hằng số  

Các hằng số dùng xác định gia số biến dạng dẻo, cụ thể xem thuật toán

Hình 2.24 Return mapping trường hợp trả về cạnh

Hình 2.25 Return mapping trường hợp trả vềđỉnh

Các tác giả cũng xây dựng thuật toán có xét đến hệ số tái bền Hardening hay còn gọi là hệ sốtăng cứng

Hình 2.26 Các giai đoạn ứng xử của vật liệu

Trong luận văn, học viên áp dụng phương pháp độ cứng tiếp tuyến kết hợp với phương pháp returning mapping theo hướng lặp ẩn (implicit) với mặt chảy dẻo Mohr–Coulomb trên gồm bốn trường hợp trả ứng suất về các vị trí khác nhau trên mặt chảy dẻo.

Phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến

Phương pháp Newton–Raphson (còn gọi là phương pháp tiếp tuyến) là phương pháp áp dụng giải các phương trình, hệ phương trình phi tuyến được sử dụng phổ biến Phương pháp được mô tả như bên dưới

Hàm số f x   xác định và có đạo hàm đến cấp n1 tại giá trị biến x 0 và vùng lân cận của x 0 Giả sử x là nghiệm đúng của (2.101), còn x n là nghiệm xấp xỉ tại bước lặp thứ n Đặt: xx n  x n , theo khai triển Taylor:

Nếu x n thì công thức (2.107) có thể viết lại như sau:

Từ đó ta có công thức lặp Newton–Rapshon như sau:

   (2.111) Ứng dụng phương pháp vào bài toán cơ học biến dạng: quan hệ giữa chuyển vị và tải trọng:

Trong đó vector g được xem như vector lực cân bằng, khi vật thể đạt đến trạng thái cân bằng thì g0

Ma trận độ cứng tiếp tuyến: t d

Tổng biến dạng sau mỗi lần lặp:

Lặp lại vòng lặp đến khi thu được w0

Hình 2.27 Phương pháp Newton–Raphson

Phương pháp Newton–Rapshon khá đơn giản, kết quả hội tụchính xác nhưng khi gặp dạng đồ thị tăng chuyển vị lực không tăng nữa hay như dạng đường cong

"snap–through", "snap–back", "brittle collapse", ductile collapse" trong Hình 2.28 phải sử dụng phương pháp arc–length

Hình 2.28 Dạng đường cong "Snap–through", "Snap–back", "Brittle collapse",

"Ductile collapse" Để xây dựng đường cong quan hệ giữa tải trọng và chuyển vị từđó xác định các điểm giới hạn và phân nhánh, vector tải trọng p được thay thế bằng p e , trong đó  là tham số điều chỉnh cấp tải trọng, p e là vector tải trọng cố định

Phương trình quan hệ giữa chuyển vị và tải trọng viết dưới dạng cấp tải:

Nếu sử dụng phương pháp điều khiển theo tải trọng, dựa vào phương trình (2.116) vector chuyển vị q được xác định với sự tăng dần của hệ số cấp tải  cho trước, tuy nhiên trong quá trình đó chúng ta có thể gặp đường cong cấp tải dạng

"snap–through", "brittle collapse", ductile collapse" tại các điểm tới hạn Trong phương pháp điều khiển theo chuyển vị, lúc này chúng ta cần xác định giá trị  khi tăng dần độ lớn của vector chuyển vị q, nhưng một lần nữa chúng ta có thể gặp đường cong dạng "snap–back" Để khắc phục các hiện tượng này, từ những công trình nghiên cứu ban đầu của Riks [32] và Wempner [33] chúng ta sử dụng phương pháp acr–length, trong đó với mỗi bước thay đổi tải ta tìm giao điểm của (2.116) với độ dài cung s được định nghĩa: s ds (2.117)

Tham số được đưa vào như hệ số tổ hợp trong các tổ hợp khác nhau giữa tải trọng và chuyển vị Phương trình (2.116) viết lại khi có thông số s:

  s  f i    s   s e 0 g q p (2.119) Đối với phương pháp acr–length, thay thế vi phân (2.117) bằng gia số:

T 2 2 T 2 e e a    q q   p p  l (2.120) Với l là bán kính cố định của giao điểm mong muốn, vector q và gia số hệ số cấp tải  là các đại lượng cần tìm Sử dụng phương pháp lặp Newton– Rapshon cho (2.119) và (2.120) ta có thể xác định được q và  ở dạng gia số:

Thay vì sử dụng phương trình (2.121), một cách khác đơn giản hơn để xác định  i và q i được đề xuất bởi Crisfield [31] gọi là phương pháp spherical arc–length Cụ thể sử dụng phương trình đầu của (2.121) ta thu được:

Trong công thức trên ẩn là  i , do đó công thức (2.122) dùng xác định q i 1 cũng thì ẩn cũng chỉ là  i Từđó dựa vào điều kiện (2.120), ta được:

Từ (2.124) và (2.125), ta suy ra phương trình bậc hai xác định  i như sau:

Trong [31] Crisfield đề xuất giá trị 0 đểđơn giản hóa tính toán Để tránh hiện tượng trùng điểm (doubling back on its tracks), Crisfield [31] đã đưa ra công thức giới hạn giá trị góc tối thiểu giữa q i và q i 1 , từ đó giá trị góc cosin lớn nhất được tính như sau:

Hình 2.29 Phương pháp spherical arc–length

Lưu đồphương pháp arc–length:

Ma trận modulus tiếp tuyến tương thích

Ma trận modulus tiếp tuyến tương thích liên quan đến tính toán gia số ứng suất và biến dạng dẻo trong bài toán cơ học

 ep σ D ε (2.131) Để σ tiếp tuyến với mặt chảy dẻo và đảm bảo giới hạn tiêu chuẩn chảy dẻo,

D ep phải theo hướng pháp tuyến với mặt chảy dẻo, tức cùng hướng với  f n  σ ep 0

Gia sốứng suất trong công thức (2.131) dựa vào (2.132) và (2.92), kết hợp với (2.57), ta có thể viết lại công thức tính gia số ứng suất và suy ra hệ quả:

Với các phương pháp hội tụ dòng Euler áp dụng vào các tiêu chuẩn chảy dẻo, người ta đưa ra khái niệm ma trận modulus tiếp tuyến tương thích bảo toàn tốc độ hội tụ D epc do D ep chỉ phù hợp với trường hợp gia số biến dạng vô cùng nhỏ Clausen trong nghiên cứu của mình và các cộng sự [21] đã sử dụng phương pháp hình học tính toán ma trận D epc epc  ep

Trong đó: T là ma trận biến đổi cải tiến

Với: I là ma trận đơn vị 66

 có thể tính bằng ma trận chuyển đổi A (xem(2.148)) Ta có thể viết lại (2.135) như sau:

 là tốc độ thay đổi hướng của các trục ứng suất chính trong quá trình gia tăng ứng suất Việc xác định các định thức đạo hàm trong trục ứng suất chính sang trục tự nhiên có thể lập luận bằng hình học (xem Hình 2.30)

Nếu từng cặp hệ trục trong các hệ trục xyz và x’y’z’ thẳng hàng, thì tensor của các góc giữa các trục tọa độ,  ij 0 :

Tensor biến đổi tương ứng:A ij 0 cos ij 0  ij 0 (2.138)

Hình 2.30 Góc giữa các trục tọa độ trong một hệ tọa độ xoay rất nhỏ quanh trục z với góc dz (Nguồn: [21], pp.1048)

Khi góc  ij 0 thay đổi một giá trị nhỏ theo phương trục z là d ij z , tensor biến đổi như sau:

(2.139) Tương tự với trục x và y thu được tensor biến đổi như sau:

Chương 2 Cơ sở lý thuy ế t 69 Gia số biến đổi trong tensor chuyển đổi xác định như sau:

Hình 2.31 Vi phân của trạng thái ứng suất minh họa bởi các vòng tròn của

Bằng cách kiểm tra các vòng tròn của Mohr, người ta thấy rằng d z có liên quan đến vi phân ứng suất cắt, d xy như sau:

Tương tự áp dụng cho d x và d y :

 trong công thức (2.136) lần lượt xác định như sau:

(sựthay đổi góc  không ảnh hưởng đến đạo hàm riêng Atheo ứng suất pháp)

Thế (2.144), (2.145), (2.146), (2.147) vào (2.136), ta được ma trận T:

Do T là ma trận chéo nên bỏ qua vấn đề A hay A T (ma trận chuyển vị trí) Ngoài ra, có thể dùng phương pháp trị riêng và vector riêng xác định ma trận T Nếu cả ba ứng suất chính bằng nhau thì T là ma trận đơn vị 66.

PHƯƠNG PHÁP ĐỀ XU Ấ T

Phương pháp đề xuất và giới thiệu thuật toán xử lý

Như đã phân tích, nếu ứng suất giả định vượt ra ngoài bề mặt chảy dẻo (f > 0), ứng suất giả định là quá mức và cần được phân phối trả về bề mặt chảy dẻo giới hạn Trong giai đoạn này, ứng xử vật liệu đang ở giai đoạn dẻo nên các biến dạng dẻo cần được tính toán Tính toán biến dạng dẻo tùy vào việc chọn giá trị ẩn từ các phương trình vi phân và đạo hàm của hàm thế năng dẻo thuộc bước nào, công thức chung được đưa ra bởi Vermeer (1979) như sau:

         g g ε   , i là thứ tự của bước; (3.1)

Nếu 0, phương pháp lặp được gọi là 'explicit';

Nếu 1, phương pháp lặp được gọi là 'implicit'

Thuật toán return mapping đề xuất:

(Giảđịnh trạng thái đàn hồi Từ biến ε tại bước thứ n, tính toán các giá trị liên quan ở trạng thái đàn hồi) trial σ n  1   1 ,  2 ,  3 (Đưa ứng suất về dạng ứng suất chính, với:  1  2  3 )

If f trial 1 trial 3 trial   1 trial 3 trial sin  2c  n p  1 trial cos  0

(Kiểm ra hàm chảy dẻo)

Else (Plastic loading, using return mapping)

If (xem thuật toán case 1)

Then Return is valid And EXIT Elseif (xem thuật toán case 2,3)

Then Return is valid And EXIT Else (xem thuật toán case 4) trial

 (cập nhật ứng suất tại bước sau và biến dạng đàn hồi)

Chương 3 Phương pháp đề xu ấ t 75

          trial trial trial trial trial

Do (Newton–Raphson method for )

(Hằng số a xem công thức (2.101)) trial

(Check for convergence – kiểm tra sự hội tụ)

          trial trial trial trial trial

Right edge: f b trial    1 trial   2 trial     1 trial   2 trial  sin     2 c    n p cos   

Left edge: f b trial    2 trial   3 trial     2 trial   3 trial  sin     2 c    n p cos   

(Hằng số a, b xem công thức (2.102), (2.103)) trial 1 trial d   

 1 trial 3 trial   1 trial 3 trial sin  2    1 cos 

Right edge:  1 trial  2 trial   1 trial  2 trial sin   2    1 cos  

Left edge:  2 trial  3 trial   2 trial  3 trial sin   2    1 cos  

Sau khi hoàn tất quá trình giải lặp cho ra kết quả σ n 1, đưa kết quả về dạng ứng suất trong hệ tọa độ Descartes bằng công thức chuyển đổi theo hệ tọa độ (xem mục 2.8 chương 2).

Hình 3.1 Lưu đồ thuật toán hội tụ cho mô hình Mohr–Coulomb trong không gian ứng suất chính

PHÂN TÍCH S Ố VÀ BÀI TOÁN Ứ NG D Ụ NG

Bài toán móng băng (Strip footing)

4.2 Bài toán móng băng (Strip footing)

Qua bài toán phân tích số mục 4.1, học viên đã khẳng định tính đúng đắn, độ tin cậy của thuật toán được giới thiệu Tiếp theo, học viên đưa chương trình máy tính vào phát triển bài toán địa kỹ thuật thực tế bằng cách thiết lập cụ thể bài toán thực tế bằng MATLAB code Chạy chương trình thu được kết quả, so sánh kết quả thu được với kết quả từ lý thuyết, kết quả trong những nghiên cứu được công bố trước đây như của de Borst trong [13] hay Griffiths trong (Smith I., Griffiths D.V., Margetts L., 2014)…, kết quả từ phần mềm chuyên dụng sử dụng phổ biến trong mô phỏng các bài toán địa kỹ thuật là phần mềm Plaxis Connect Edition V20 Bài toán cụ thể học viên chọn tiến hành mô phỏng là bài toán phân tích sức chịu tải đất nền của móng băng, phân tích riêng với hai trường hợp móng mềm và móng cứng Bài toán sử dụng tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr–Coulomb trong dự đoán phá hoại vật liệu đất nền và móng, phần tử tứ giác 8 nút để tạo lưới, tích phân ba điểm Gauss, phương pháp giải phương trình vi phân là phương pháp lặp ẩn (implicit), phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến sử dụng phương pháp Newton– Raphson và phương pháp spherical arc–length, thuật toán return mapping đề xuất giới thiệu trong chương 3 Kết quả bài toán bao gồm xuất mô hình phân tích, mô hình tải trọng, mô hình chuyển vị, biểu đồ ứng suất, đường cong quan hệ ứng suất– chuyển vị và từ những kết quả trên, xác định được sức chịu tải cực hạn của đất nền Bài toán sức chịu tải móng băng là bài toán cơ bản về mô phỏng bài toán địa kỹ thuật xây dựng Móng băng là móng có tỉ số giữa 2 cạnh chiều dài và chiều rộng tương đối lớn, cụ thể tham khảo Table 10- Minumum width of strip footings (British

Standards) Do đặc tính trên, học viên sử dụng dạng bài toán Plane strain (biến dạng phẳng), nghĩa là loại bỏ các biến dạng một phương, chỉ còn hai phương trong mô phỏng bài toán strip footing

Bài toán mô phỏng móng băng đặt trên nền đất với các thông số đất nền cụ thể, chia ra hai trường hợp theo đặc tính của móng: móng mềm (flexible footing) và móng cứng (rigid footing) Sự phân biệt móng mềm và móng cứng tùy thuộc vào độ cứng của vật liệu móng so với đất nền (tham khảo Chương 9, tác phẩm Foundation Analysis and Design, J.E Bowles) Thông thường giả thuyết trong tính toán móng ta xem móng là tuyệt đối cứng, khi kiểm tra ứng suất, tính toán cốt thép vẫn dựa vào giả thuyết này Móng được coi là móng mềm khi biến dạng của nó nếu được xét đến sẽ dẫn tới sự phân bố lại ứng suất một cách đáng kể so với mô hình móng tuyệt đối cứng Trong tính toán móng mềm, có xét đến biến dạng của móng Do có độ cứng hữu hạn, móng sẽ bị võng ngược dưới tác dụng của phản lực nền đất Biến dạng của móng dẫn tới sự lún không đều của nền đất và dẫn tới áp lực của nền đất lên móng không đều Nội lực trong móng có xu hướng bé hơn so với mô hình tuyệt đối cứng, tuy nhiên ứng suất nền đất dưới các vị trí tập trung tải trọng (như vị trí chân cột) lại lớn hơn khi tính toán móng theo mô hình tuyệt đối cứng Khi móng có một kích thước khác biệt so với các kích thước còn lại (ví dụ chiều dài so với tiết diện đối với móng băng, hoặc chiều dày so với mặt bằng đối với móng bè), cần tính toán móng theo sơ đồ có xét đến biến dạng (móng mềm) để đưa đến kết quả tiết kiệm hơn về cốt thép và an toàn hơn về điều kiện ứng suất của nền đất Trong luận văn, học viên muốn mô phỏng cả hai bài toán và so sánh Trường hợp móng cứng ta gán thông số đặc trưng cho vật liệu móng, chia phần tử và phân tích Trường hợp móng mềm tương tự, nhưng ta xem như móng là một tấm phẳng dùng gán tải, nghĩa là móng biến dạng cùng với nền Quy trình giải bài toán móng trước tiên giải bài toán móng chịu trọng lượng bản thân của đất nền, sau đó mới thực hiện giải bài toán móng chịu tác dụng của tải trọng ngoài và phân tích sức chịu tải đất nền thông qua kết quả ứng suất–biến dạng Như công thức tính toán sức chịu tải đất nền của Terzaghi cũng có thông số N  (tham khảo nghiên cứu của Clausen và các cộng sự về phân tích phần tử hữu hạn cho thông số N  trong [35]) Bài toán mô phỏng này đã được phân tích bởi nhiều tác giả, tham khảo [26], [27] … Kết quả thí nghiệm cho ra biểu đồ quan hệ tải trọng–chuyển vị, qua đó xác định được sức chịu tải cực hạn của đất nền

Chương 4 Phân tích s ố và bài toán ứ ng d ụ ng 89

Hình 4.6 Sơ đồ tính bài toán móng băng trên nền đất chịu tải trọng phân bố

Học viên thiết kế bài toán với một chương trình máy tính dựa trên ngôn ngữ lập trình MATLAB Móng băng dưới tác dụng của tải trọng gây ra ứng suất làm biến dạng nền đất Các lý thuyết và phương pháp toán được trình bày trong chương

3 (tập trung các lý thuyết về định luật Hooke, phần tử Q8, tích phân sử dụng 33 điểm Gauss, tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr–Coulomb, phương pháp hội tụ, cụ thể là sử dụng thuật toán return mapping, phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến

Số liệu sử dụng ở đây mô phỏng dựa trên số liệu trong nghiên cứu của tác giả Griffiths trong [27]

Input: bài toán Plane strain (type =1); các thông số kích thước miền: a, b; các thông số đặc trưng vật liệu đất nền: E, , c, H, φ, ,  ; các thông sốđặc trưng vật liệu móng: B hoặc D,  f , c f , H f , φ f ,  f ,  f

(trường hợp móng cứng, rigid footing); các thông số về giá trị tải trọng, gia số tải, bước lặp: P 0 ,  0 , k max ; số lượng phần tử chia nhỏ miền: nex, ney; loại phần tử sử dụng: phần tử Q8; số điểm tích phân Gauss sử dụng: 33 điểm Gauss; gán vị trí liên kết; gán vị trí và giá trị tải trọng;

Output: mô hình phân tích – tải trọng – mô hình chuyển vị, biểu đồ ứng suất – chuyển vị…

Trong nghiên cứu của mình [27], tác giả Griffiths cũng sử dụng phần tử Q8 trong phân tích Trong khi đó, phần mềm sử dụng để so sánh kết quả phân tích là Plaxis 2D Connect Edition V20, việc chia miền sử dụng phần tử tam giác T6 hoặc T15

Thông số đầu vào bài toán móng băng xem Bảng 4.6 Trường hợp móng cứng thêm vào các thông số đặc trưng móng và cũng tiến hành phân tích phần tử hữu hạn cho móng

Sức chịu tải cực hạn là tích giá trị hệ số tăng tải tại bước tải cuối cùng với giá trị tải P 0 ban đầu: P 0

Vật liệu móng ở đây là bê tông cốt thép, các thông số đặc trưng là thông số của vật liệu bê tông, ở đây học viên dùng mô hình xây dựng đựa trên lý thuyết tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr–Coulomb nên các thông sốđặc trưng trình bày theo thông số yêu cầu của tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr–Coulomb

Bảng 4.6 Số liệu đầu vào chung của bài toán móng băng(2 trường hợp) Thông sốđầu vào Kí hiệu Giá trị dùng trong mô phỏng

Thông sốđặc trưng đất nền

Trọng lượng riêng của đất nền  (kN/m 3 ) 16

Kích thước miền theo phương x a (m) 10

Kích thước miền theo phương y b (m) 10

Thông sốđặc trưng móng (riêng cho bài toán móng cứng – rigid rough)

Thông số tạo lưới phần tử

Số phần tử chia theo phương x nex 20

Số phần tửchia theo phương y ney 20

Giá trị tải trọng P 0 (kPa) -1

Trường hợp bài toán móng mềm (flexible footing):

Hình 4.7 Mô hình phân tích bài toán móng băng, trường hợp móng mềm

Hình 4.8 Mô hình phân tích móng băng quanh móng, trường hợp móng mềm

Hình 4.9 Mô hình tải trọng móng băng, trường hợp móng mềm (đơn vị: kPa)

Hình 4.10 Kết quả chuyển vị bài toán móng băng, trường hợp móng mềm, hệ sốtăng tải  = 145.38

Hình 4.11 Kết quả chuyển vị bài toán móng băng, trường hợp móng mềm, hệ sốtăng tải  = 234.57

Hình 4.12 Biểu đồứng suất  x bài toán móng băng, trường hợp móng mềm, hệ sốtăng tải = 234.57 (đơn vị: kPa)

Hình 4.13 Biểu đồứng suất  y b bài toán móng băng, trường hợp móng mềm, hệ sốtăng tải = 234.57 (đơn vị: kPa)

Hình 4.14 Biểu đồứng suất  xy bài toán móng băng, trường hợp móng mềm, hệ sốtăng tải = 234.57 (đơn vị: kPa)

Hình 4.15 Biểu đồứng suất  z bài toán móng băng, trường hợp móng mềm, hệ sốtăng tải = 234.57 (đơn vị: kPa)

Chương 4 Phân tích s ố và bài toán ứ ng d ụ ng 97 a) Theo phương x b) Theo phương y Hình 4.16 Đường cong quan hệứng suất – chuyển vị nút 1247 (xem Hình 4.8)

(Giá trị lamda thể hiện giá trị sức chịu tải của đất nền theo quy ước ban đầu khi sử dụng phương pháp arc–length) a) Theo phương x b) Theo phương y Hình 4.17 Đường cong quan hệứng suất – chuyển vị nút 1010 (xem Hình 4.8)

(Giá trị lamda thể hiện giá trị sức chịu tải của đất nền theo quy ước ban đầu khi sử dụng phương pháp arc–length)

Chương 4 Phân tích s ố và bài toán ứ ng d ụ ng 99 a) Mô hình phân tích, tải trọng và mô hình tạo lưới phần tử T6 trong Plaxis b) Kết quả chuyển vị (chuyển vị lớn nhất là 0.129m) Hình 4.18 Một số kết quả học viên kiểm tra bằng phần mềm Plaxis với bài toán móng băng, trường hợp móng mềm

Trường hợp bài toán móng cứng (rigid footing):

Hình 4.19 Mô hình phân tích bài toán móng băng, trường hợp móng cứng

Hình 4.20 Mô hình phân tích móng băng quanh móng, trường hợp móng cứng

Hình 4.21 Mô hình tải trọng móng băng, trường hợp móng cứng (đơn vị: kPa)

T ả i tr ọng ban đầ u bài toán: -1 kPa

Hình 4.22 Kết quả chuyển vịbài toán móng băng, trường hợp móng cứng, hệ sốtăng tải  = 138.73

Hình 4.25 Biểu đồứng suất  x bài toán móng băng, trường hợp móng cứng, hệ sốtăng tải  = 355.50

Hình 4.26 Biểu đồứng suất  y bài toán móng băng, trường hợp móng cứng, hệ sốtăng tải  = 355.50

Hình 4.27 Biểu đồứng suất  xy bài toán móng băng, trường hợp móng cứng, hệ sốtăng tải  = 355.50

Hình 4.28 Biểu đồứng suất  z bài toán móng băng, trường hợp móng cứng, hệ sốtăng tải  = 355.50 a) Theo phương x b) Theo phương y Hình 4.29 Đường cong quan hệứng suất – chuyển vị nút 1224 (xem Hình 4.20)

(Giá trị lamda thể hiện giá trị sức chịu tải của đất nền theo quy ước ban đầu khi sử dụng phương pháp arc–length)

Chương 4 Phân tích s ố và bài toán ứ ng d ụ ng 107 a) Theo phương x b) Theo phương y Hình 4.30 Đường cong quan hệứng suất – chuyển vị nút 1010 (xem Hình 4.20)

(Giá trị lamda thể hiện giá trị sức chịu tải của đất nền theo quy ước ban đầu khi sử dụng phương pháp arc–length) a) Mô hình phân tích, tải trọng và mô hình tạo lưới phần tử T6 trong Plaxis b) Kết quả chuyển vị (chuyển vị lớn nhất là 0.102m) Hình 4.31 Một số kết quả học viên kiểm tra bằng phần mềm Plaxis với bài toán móng băng, trường hợp móng cứng

Bảng 4.7 Tổng hợp kết quả mô phỏng phân tích bài toán móng băng

Móng mềm Móng cứng u max

Kết quả chuyển vị lớn nhất xuất ra từ MATLAB học viên tự viết:

 Trường hợp móng mềm: u max 0.127 m;

 Trường hợp móng cứng: u max 0.109 m;

Kết quả sức chịu tải cực hạn xuất ra từ MATLAB học viên tự viết:

 Trường hợp móng mềm: q ult 234.57 kPa;

 Trường hợp móng cứng: q ult 355.50 kPa; a) Trường hợp móng mềm b) Trường hợp móng cứng Hình 4.32 Tổng hợp kết quả tính toán sức chịu tải đất nền bài toán móng băng

4.2.4 Nhận xét và thảo luận

Tiêu đề	Phân tích sức chịu tải đất nền bằng phương pháp phần tử hữu hạn với matlab code
Tác giả	Phạm Trần Hoàng Anh
Người hướng dẫn	TS. Lại Văn Quí
Trường học	Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Địa kỹ thuật xây dựng
Thể loại	Luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2022
Thành phố	TP. Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	138
Dung lượng	3,45 MB