CƠ SỞ LÝ THUYẾT
PHẦN TỬ THANH ĐỘ DỐC BIẾN DẠNG
3.1.1 Cơ sở xây dựng phần tử bằng phương pháp năng lượng
Theo Kahrobayan và cộng sự [13], năng lượng biến dạng U dự trữ trong vật liệu đàn hồi tuyến tính được viết là:
( ij ij ijk ijk ijk 1 ijk 1 ij 1 ij 1 )
Thành phần tensor biến dạng:
Thành phần vector độ dốc giãn nở:
Thành phần tensor độ dốc kéo dài lệch:
( ) 1 ( , , , ) ( , , ) ( , , ) ijk jk i ki j ij k jk mm i mi m ki mm j mj m
Thành phần tensor độ dốc xoay:
Thành phần vector góc xoay:
Trong biểu thức (1), các tham số p, ( ) 1 ,m s thường được gọi là ứng suất bậc cao Theo các phương trình cấu thành của vật liệu đàn hồi đẳng hướng tuyến tính, các thành phần ứng suất có liên hệ với các thông số động học hữu hiệu theo Lam và cộng sự [21] như sau: ij tr ( ) 2 ij
Trong các biểu thức trên, các hằng số Lamé xuất hiện trong các phương trình cấu thành của ứng suất cổ điển được ký hiệu là và Ngoài ra, các tham số ảnh hưởng kích thước độc lập được bổ sung, xuất hiện trong các phương trình cấu thành ứng suất bậc cao được ký hiệu là , ,l l l 0 1 2 Các hằng số Lamé có thể viết dưới dạng module đàn hồi E và hằng số Poisson Đối với phần tử thanh theo lý thuyết độ dốc biến dạng (SGT), thành phần của vector chuyển vị được biểu hiện như sau:
1 2 3 u =u x t u =0 u =0 (11) Đối với trường chuyển vị được đề cập trong phương trình (11), các thành phần khác không của tensor biến dạng, vector độ dốc giãn nở, vector độ dốc kéo lệch thu được là:
Thay các thành phần của biểu thức (12) – (14) vào các biểu thức (7) – (10), các thành phần khác không của ứng suất và tensor ứng suất bậc cao được xác định:
Xét phần tử thanh theo lý thuyết SGT, có chiều dài phần tử là L và diện tích mặt cắt ngang A, có các hằng số Lamé như module đàn hồi là E Thay các biểu thức (12) – (17) vào biểu thức (1), ta thu được phương trình năng lượng toàn phần U của phần tử thanh theo lý thuyết SGT:
Trong đó, độ cứng bậc cao D ảnh hưởng bởi 2 tham số phụ thuộc kích thước, ứng với thành phần bậc cao đang xét trong phương trình (18):
Phương trình động năng của hệ được biểu diễn như sau:
Trong đó, là trọng lượng riêng của thanh, A là diện tích mặt cắt ngang của thanh đang xét Phương trình công gây ra bởi ngoại lực được viết dưới dạng:
Trong đó, G là lực phân bố dọc trục trên phần tử thanh, ˆP và ˆQ lần lượt là lực tập trung thông thường và bậc cao, có phương dọc trục thanh, nằm ở đầu phần tử
Sử dụng nguyên lý Hamilton để xác định phương trình chủ đạo và các điều kiện biên của phần tử:
Thay các biểu thức (18) – (21) vào biểu thức (22) và sử dụng tích phân từng phần, phương trình chủ đạo và các điều kiện biên của phần tử thanh theo lý thuyết SGT được trình bày như sau:
Trong đó, biểu thức (23) là phương trình chủ đạo của phần tử thanh theo lý thuyết độ dốc biến dạng, biểu thức (24) là điều kiện biên cổ điển, thể hiện sự cân bằng của các tác động thông thường tại đầu phần tử, biểu thức (25) thể hiện điều kiện biên phi cổ điển, ứng với sự cân bằng của các tác động bậc cao tại đầu phần tử Đối với phương trình chủ đạo (23), khi thay đổi các tham số l 0 = =l 1 0, phương trình sẽ suy giảm về phương trình chủ đạo cho phần tử thanh theo lý thuyết cổ điển
3.1.2 Ứng xử tĩnh học của phần tử Đối với ứng xử tĩnh học, phương trình chủ đạo và điều kiện biên của phần tử cần được điều chỉnh: / =t 0 và u = u x t ( ) , Với các sửa đổi đó, phương trình chủ đạo và các điều kiện biên thuộc biểu thức (23) – (25) có thể viết lại như sau:
D EA G x dx dx dx dx
3.1.3 Phát triển phần tử bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Phần tử thanh SGT có độ cứng phụ thuộc vào tham số kích thước lần lượt là tham số độ dốc giãn nở l 0 , tham số độ dốc kéo dài lệch l 1 Các tham số này phụ thuộc vào tính chất vật liệu và tạo ra các hiệu ứng phụ thuộc kích thước khi xét đến các lý thuyết phi cổ điển, đặc biệt có thể biến đổi hai tham số kích thước kể trên để đưa từ lý thuyết tổng quát như SGT về các lý thuyết đặc biệt như MCST hoặc lý thuyết cơ học cổ điển
Xét phần tử thanh SGT hai nút có tọa độ hai nút đầu và cuối lần lượt là x 1 và x 2 , chiều dài phần tử được thể hiện là L e Phần tử thanh trong lý thuyết cổ điển sẽ có 1 bậc tự do là chuyển vị dọc trục u ở mỗi nút và có thành phần tương ứng là lực kéo nén đúng tâm
P Tuy nhiên, khi xét đến những ảnh hưởng bậc cao, phần tử thanh SGT đề xuất sẽ có 2 bậc tự do ở mỗi nút, lần lượt là u và = u/ x, và các thành phần lực nút tương ứng là thành phần lực kéo nén đúng tâm P và lực bậc cao Q Khi đó, vector chuyển vị nút của phần tử thanh SGT bao gồm các chuyển vị và biến dạng tại hai nút:
δ= u 1 1 u 2 2 T (32) Để phát triển ma trận độ cứng của phần tử thanh theo lý thuyết SGT, phương pháp Galerkin được sử dụng để sấp xỉ trường chuyển vị u của phần tử thông qua hàm dạng và vector chuyển vị nút:
Theo phương pháp Galerlin, thay biểu thức (33) vào phương trình cân bằng (26), ta có được phương trình:
Hoặc có thể viết lại dưới dạng phương trình hệ thống như sau: n e
Vector chuyển vị nút đề xuất: δ = u 1 1 u 2 2 T
Ma trận độ cứng phần tử thanh K theo lý thuyết SGT:
Phần tử thanh kéo nén thuần nhất hai nút đang được xét đến có phần tử mẫu được mô tả như hình 3.1 Vị trí tọa độ hai nút phần tử lần lượt được biểu diễn bởi đại lượng không thứ nguyên s phụ thuộc vào x 1 và x 2 , trong đó chiều dài của phần tử là L e
Hình 3.1 Phần tử mẫu thanh kéo nén thuần nhất đang xét Đại lượng không thứ nguyên s được xác định thông qua tọa độ hai nút của phần tử đang xét:
Cần lưu ý rằng tại nút đầu tiên của phần tử giá trị s = 0, tại nút thứ hai của phần tử giá trị s = 1 và dx=L ds e
Xét phần tử thanh hai nút không chịu tác động của ngoại lực, có vector chuyển vị nút
PHẦN TỬ DẦM ĐỘ DỐC BIẾN DẠNG
3.2.1 Cơ sở xây dựng phần tử bằng phương pháp năng lượng
Theo Kahrobayan và cộng sự [13], năng lượng biến dạng U dự trữ trong vật liệu đàn hồi tuyến tính được viết là:
( ij ij ijk ijk ijk 1 ijk 1 ij 1 ij 1 )
Thành phần tensor biến dạng:
Thành phần vector độ dốc giãn nở:
Thành phần tensor độ dốc kéo dài lệch:
( ) 1 ( , , , ) ( , , ) ( , , ) ijk jk i ki j ij k jk mm i mi m ki mm j mj m
Thành phần tensor độ dốc xoay:
Thành phần vector góc xoay:
Trong biểu thức (69), các tham số p, ( ) 1 ,m s thường được gọi là ứng suất bậc cao Theo các phương trình cấu thành của vật liệu đàn hồi đẳng hướng tuyến tính, các thành phần ứng suất có liên hệ với các thông số động học hữu hiệu theo Lam và cộng sự [21] như sau: ij tr ( ) 2 ij
Trong các biểu thức trên, các hằng số Lamé xuất hiện trong các phương trình cấu thành của ứng suất cổ điển được ký hiệu là và Ngoài ra, các tham số ảnh hưởng kích thước độc lập được bổ sung, xuất hiện trong các phương trình cấu thành ứng suất bậc cao được ký hiệu là , ,l l l 0 1 2 Các hằng số Lamé có thể viết dưới dạng module đàn hồi E và hằng số Poisson Đối với phần tử dầm theo lý thuyết độ dốc biến dạng (SGT), thành phần của vector chuyển vị được biểu hiện như sau:
= − = (79) Đối với trường chuyển vị được đề cập trong phương trình (79), các thành phần khác không của tensor biến dạng, vector độ dốc giãn nở, vector độ dốc kéo lệch, tensor độ dốc góc xoay, tensor ứng suất bậc cao thu được là:
Thay các thành phần của biểu thức (80) – (83) vào các biểu thức (75) – (78), các thành phần khác không của ứng suất và tensor ứng suất bậc cao được xác định:
Xét phần tử dầm theo lý thuyết SGT, có chiều dài phần tử là L và diện tích mặt cắt ngang A, có các hằng số Lamé như module đàn hồi là E Thay các biểu thức (80) – (87) vào biểu thức (69), ta thu được phương trình năng lượng toàn phần U của phần tử thanh theo lý thuyết SGT:
Trong đó, độ cứng bậc cao D 1 và D 2 ảnh hưởng bởi 3 tham số phụ thuộc kích thước, ứng với thành phần bậc cao đang xét trong phương trình (88):
Phương trình động năng của hệ được biểu diễn như sau:
Trong đó, là trọng lượng riêng của thanh, A là diện tích mặt cắt ngang của thanh đang xét Phương trình công gây ra bởi ngoại lực được viết dưới dạng:
Trong đó, G là lực phân bố dọc trục trên phần tử thanh, ˆP và ˆQ lần lượt là lực tập trung thông thường và bậc cao, có phương dọc trục thanh, nằm ở đầu phần tử
Sử dụng nguyên lý Hamilton để xác định phương trình chủ đạo và các điều kiện biên của phần tử:
Thay các biểu thức (88) – (91) vào biểu thức (92) và sử dụng tích phân từng phần, phương trình chủ đạo và các điều kiện biên của phần tử thanh theo lý thuyết SGT được trình bày như sau:
Trong đó, các đại lượng w x t ( ) , , ( , ) x t , ( , ) x t lần lượt là thành phần của vector chuyển vị nút, bao gồm: chuyển vị đứng, góc xoay, độ cong Các đại lượng V x t ( ) , ,
M x t , ( , )Q x t lần lượt là lực cắt có phương vuông góc với tiết diện dầm, moment gây ra bởi thành phần ứng suất cổ điển và bậc cao, và lực bậc cao gây ra bởi ứng suất bậc cao Các đại lượng này được thể hiện như sau:
3.2.2 Ứng xử tĩnh học của phần tử Đối với ứng xử tĩnh học, phương trình chủ đạo và điều kiện biên của phần tử cần được điều chỉnh: / =t 0 và w = w x t ( ) , Với các sửa đổi đó, phương trình chủ đạo và các điều kiện biên thuộc biểu thức (93) – (96) có thể viết lại như sau:
3.2.3 Phát triển phần tử bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Tương tự phần tử thanh, phần tử dầm phát triển theo lý thuyết SGT có độ cứng cũng phụ thuộc vào các tham số phụ thuộc kích thước lần lượt là tham số độ dốc giãn nở l 0 , tham số độ dốc kéo dài lệch l 1 , tham số độ dốc góc xoay l 2 Các tham số này phụ thuộc vào tính chất vật liệu và tạo ra các hiệu ứng phụ thuộc kích thước khi xét đến các lý thuyết phi cổ điển, đặc biệt có thể biến đổi các tham số để đưa từ lý thuyết tổng quát như SGT về các lý thuyết cụ thể hơn như MCST hoặc lý thuyết cổ điển
Xét phần tử dầm SGT có tọa độ hai nút đầu và cuối lần lượt là x 1 và x 2 , chiều dài phần tử được thể hiện là L e Phần tử dầm Euler – Bernoulli theo lý thuyết cổ điển có 2 bậc tự do tại mỗi nút lần lượt là chuyển vị vuông góc với trục w và góc xoay và có thành phần lực tương ứng là lực cắt V và moment M Lý thuyết SGT chỉ ra phần tử dầm SGT ngoài 2 bậc tự do theo lý thuyết cổ điển thì có thêm 1 bậc tự do độ cong tương ứng với thành phần lực bậc cao Q Khi đó, vector chuyển vị nút của phần tử dầm SGT bao gồm các chuyển vị thẳng đứng với trục, góc xoay và độ cong tương ứng với các thành phần lực cắt, moment và lực bậc cao tại 2 nút, có thể được biểu diễn như sau:
δ= w 1 1 1 w 2 2 2 T (107) Để phát triển ma trận độ cứng của phần tử dầm theo lý thuyết SGT, phương pháp Galerkin được sử dụng để sấp xỉ trường chuyển vị u của phần tử thông qua hàm dạng và vector chuyển vị nút:
Theo phương pháp Galerlin, thay biểu thức (108) vào phương trình cân bằng (100), ta có được phương trình:
Hoặc có thể viết lại dưới dạng phương trình hệ thống như sau: n e
Vector chuyển vị nút đề xuất: δ = w 1 1 1 w 2 2 2 T
Ma trận độ cứng phần tử thanh K theo lý thuyết SGT:
Phần tử dầm chịu uốn có hai nút đang được xét đến có phần tử mẫu được mô tả như hình 3.4 Vị trí tọa độ hai nút phần tử lần lượt được biểu diễn bởi đại lượng không thứ nguyên s phụ thuộc vào x 1 và x 2 , trong đó chiều dài của phần tử là L e
Hình 3.4 Phần tử mẫu dầm SGT đang xét Đại lượng không thứ nguyên s được xác định thông qua tọa độ hai nút của phần tử đang xét:
Cần lưu ý rằng tại nút đầu tiên của phần tử giá trị s = 0, tại nút thứ hai của phần tử giá trị s = 1 và dx=L ds e
Xét phần tử dầm hai nút không chịu tác động của ngoại lực, có vector chuyển vị nút
3 bậc tự do tại mỗi nút, được ký hiệu: chuyển vị vuông góc với trục dầm, góc xoay và độ cong của dầm tại nút thứ nhất lần lượt là w 1 , 1 , 1 ; chuyển vị vuông góc với trục dầm, góc xoay và độ cong của dầm tại nút thứ hai lần lượt là w 2 , 2 , 2 Thay thế đại lượng không thứ nguyên s cho các biểu thức (100) – (103), ta thu được phương trình chủ đạo và các điều kiện biên theo hệ tọa độ tự nhiên mới:
Từ đó, ta tìm được nghiệm thuần nhất của phương trình (115) có dạng:
Các hằng số C1, C2,… C6 xác định thông qua các điều kiện biên Phương trình (119) có thể viết dưới dạng:
Sử dụng các điều kiện biên (116) và (117) vào biểu thức (120), ta có được mối quan hệ giữa các hằng số C và vector chuyển vị nút δ:
Trong đó: cosh sinh sinh cosh cosh sinh
Do đó, ta thu được kết quả như sau:
Từ đó, các hàm dạng của phần tử dầm được phát triển theo lý thuyết SGT
N=PG L -1 = N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 xác định như sau:
2q sinh q 2q cosh q s 2q sinh q 4q cosh q 2q cosh qs 6 q sinh q 12qcosh q 12q sinh qs 6 q cosh q 12qsinh q 6 q 1
2q sinh q 2q cosh q 12cosh q q 12sinh q q q sinh q 8q cosh q 18q sinh q 2q 12qcosh q
12sinh q q q sinh q 4q cosh q 6 q sinh q s 2q sinh
4q sinh q 12qcosh q 12sinh q sinh qs 4q cosh q 12qsinh q 2q 12cosh q
2q sinh q 2q cosh q 12cosh q q 12sinh q q q sinh q 8q cosh q 18q sinh q 2q 12qcosh q
3 s q cosh q 4q sinh q 6 qcosh q q sinh q q cosh q 6cosh q q 6 sinh q q s 2q cosh q 6 q sinh q 6 qcosh q q sinh q q cosh q 2cosh q q s 2sinh q q q cosh q 2q sinh q 2qco
4 3 2 3 cosh qs q sinh q 4qcosh q 6 sinh q 2q sinh qs q cosh q 4qsinh q 6cosh q
2q sinh q 2q cosh q 12cosh q q 12sinh q q q sinh q 8q cosh q 18q sinh q 2q 12q
2q sinh q 2q cosh q s 2q sinh q 4q cosh q 2q cosh qs 6 q sinh q 12qcosh q 12q sinh qs 6 q cosh q 12qsinh q 6 q
2q sinh q 2q cosh q 12cosh q q 12sinh q q q sinh q 8q cosh q 18q sinh q 2q 12qcosh q
5 s 2q cosh q 12qcosh q 4q s q sinh q 6 q sinh q 6 q s q sinh q 2q sinh q 2q cosh q 2q cosh qs 2q sinh q 12sinh q 12q sinh qs 2q cosh q 12cosh q 4q 2q sinh q 2q co
4 3 2 3 sh q 12cosh q q 12sinh q q q sinh q 8q cosh q 18q sinh q 2q 12qcosh q
4q sinh q 2qcosh q sinh qs 2qsinh q 6cosh q q
2q sinh q 2q cosh q 12cosh q q 12sinh q q q sinh q 8q cosh q 18q sinh q 2q 12qcosh q
3.2.4 Ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ địa phương
Giả sử phần tử mẫu dầm SGT đang xét trong hệ tọa độ địa phương đang chịu tác dụng lực phân bố vuông góc với trục phần tử bất kỳ f(s) và lực tập trung tại 2 nút lần lượt là
V 1 −M 1 −Q 1 −V 2 M 2 Q 2 T , có thể được thể hiện như hình 3.5
Hình 3.5 Phần tử dầm SGT chịu ngoại lực tác dụng
Với vector chuyển vị nút δ = w 1 1 1 w 2 2 2 T phương trình hệ thống: n e
Nên ta có được ma trận độ cứng của phần tử:
3.2.5 Ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể
Hình 3.6 Phần tử dầm SGT trong hệ tọa độ tổng thể
Vector chuyển vị nút, góc xoay và độ cong trong hệ tọa độ địa phương:
Vector chuyển vị nút, góc xoay và độ cong trong hệ tọa độ tổng thể:
δ g e = w x1 w y1 1 1 w x 2 w y 2 2 2 T (140) Quan hệ của chuyển vị nút, góc xoay và độ cong trong hai hệ tọa độ: sin cos ; g l ; g l
K g : ma trận độ cứng phần tử dầm SGT trong hệ tọa độ tổng thể
K l : ma trận độ cứng phần tử dầm SGT trong hệ tọa độ địa phương.
PHẦN TỬ KHUNG DỘ DỐC BIẾN DẠNG
3.3.1 Phát triển phần tử bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Phần tử khung SGT kết hợp từ hai phần tử là phần tử thanh SGT và phần tử dầm SGT nên có cả bậc tự do của cả hai phần tử này, do đó cũng phụ thuộc vào các tham số phụ thuộc kích thước lần lượt là tham số độ dốc giãn nở l 0 , tham số độ dốc kéo dài lệch l 1 , tham số độ dốc góc xoay l 2 Các tham số này phụ thuộc vào tính chất vật liệu và tạo ra các hiệu ứng phụ thuộc kích thước khi xét đến các lý thuyết phi cổ điển, đặc biệt có thể biến đổi các tham số kể trên để đưa từ lý thuyết cơ học tổng quát như SGT về các lý thuyết đặc biệt như MCST hoặc lý thuyết cơ học cổ điển
Xét phần tử khung SGT có tọa độ hai nút đầu và cuối lần lượt là x 1 và x 2 , chiều dài phần tử được thể hiện là L e Phần tử khung theo lý thuyết cổ điển có 3 bậc tự do tại mỗi nút lần lượt là chuyển vị dọc trục u, chuyển vị vuông góc với trục w và góc xoay và có thành phần lực tương ứng lần lượt là lực dọc, lực cắt và moment Lý thuyết SGT chỉ ra phần tử khung SGT ngoài 3 bậc tự do theo lý thuyết cổ điển thì có thêm 1 bậc tự do khác là biến dạng dọc trục ε độ cong tương ứng với cả hai thành phần lực bậc cao Q Khi đó, vector chuyển vị nút của phần tử khung SGT bao gồm các chuyển vị dọc trục, chuyển vị thẳng đứng với trục, biến dạng dọc trục, góc xoay và độ cong tương ứng với các thành phần lực cắt, moment và lực bậc cao tại 2 nút, có thể được biểu diễn như sau:
3.3.2 Ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ địa phương
Trong lĩnh vực phần tử hữu hạn, phần tử khung đã được phát triển dựa trên lý thuyết cổ điển với vector chuyển vị nút bao gồm 3 bậc tự do tại mỗi nút δ = u i w i i T đại diện cho các thành phần lực dọc trục, lực cắt và moment xoay tại mỗi nút Mặc khác, phần tử khung dựa trên lý thuyết SGT có vector chuyển vị nút bao gồm 5 bậc tự do
δ= u i w i i i i T tại mỗi nút được mô tả như hình 3.7
Hình 3.7 Phần tử khung SGT trong hệ tọa độ địa phương
Giả sử phần tử mẫu khung SGT đang xét trong hệ tọa độ địa phương đang chịu tác dụng của các thành phần ngoại lực bao gồm lực phân bố dọc trục, lực phân bố vuông góc với trục bất kỳ lần lượt là G(s) và f(s) và lực cắt, lực dọc trục, moment tập trung tại
2 nút lần lượt là −P 1 V 1 −Q 1 −M 1 −Q ' 1 P 2 −V 2 Q 2 M 2 Q ' 2 T , có thể được thể hiện như hình 11
Hình 3.8 Phần tử khung SGT chịu ngoại lực tác dụng
Với vector chuyển vị nút δ = u 1 w 1 1 1 1 u 2 w 2 2 2 2 T , phương trình hệ thống: n e
Ma trận độ cứng của phần tử khung SGT kết hợp từ hai phần tử dầm SGT và thanh SGT:
Trong đó các giá trị trong ma trận độ cứng được lấy như sau:
; ; ; ; bar bar bar bar bar
11 11 13 12 16 13 18 14 33 22 bar bar bar bar bar
; ; ; ; beam beam beam beam beam
22 11 24 12 25 13 27 14 29 15 beam beam beam beam beam
210 16 44 22 45 23 47 24 49 25 beam beam beam beam beam
= = = = = = = = = = = = = beam ; 79 45 beam ; 710 46 beam ; 99 55 beam ; 910 56 beam beam
3.3.3 Ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể
Hình 3.9 Phần tử khung SGT trong hệ tọa độ tổng thể
Vector chuyển vị nút, góc xoay và độ cong trong hệ tọa độ địa phương:
δ l e = u 1 w 1 1 1 1 u 2 w 2 2 2 2 T (154) Vector chuyển vị nút, góc xoay và độ cong trong hệ tọa độ tổng thể:
δ g e = u 1 w 1 x1 y1 1 1 u 2 w 2 x 2 y 2 2 2 T (155) Quan hệ của chuyển vị nút, góc xoay và độ cong trong hai hệ tọa độ:
cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos cos sin
K g : ma trận độ cứng phần tử dầm SGT trong hệ tọa độ tổng thể
K l : ma trận độ cứng phần tử dầm SGT trong hệ tọa độ địa phương.
KẾT QUẢ TÍNH TOÁN SỐ
KHẢO SÁT THANH THEO LÝ THUYẾT SGT
Thực hiện khảo sát bài toán thanh SGT được chế tạo từ epoxy [9] có các hằng số vật liệu như sau: E = 1.44MPa, à = 522MPa Thanh đang khảo sỏt được ngàm hai đầu, chịu một lực phõn bố đều G = 100 àN/àm là hằng số, cỏc tham số phụ thuộc kớch thước l0 l1 = 11.01 àm, cú chiều dài thanh L = 7l0
Hình 4.1 Phần tử thanh kích thước micro/nano đang khảo sát
Bài toán được thực hiện nhằm kiểm tra sự hội tụ của phương pháp phần tử hữu hạn và kiểm tra tính đúng đắn của phần tử bằng cách so sánh kết quả với các nghiệm giải tích dựa trên lý thuyết SGT và lý thuyết cổ điển Ngoài ra, bài toán còn cung cấp nghiệm phần tử hữu hạn của lý thuyết cổ điển mà không cần phải tính toán trực tiếp như ở bài toán thanh thông thường, bằng cách biến đổi các tham số phụ thuộc kích thước l 0 = l 1 =
0 từ lý thuyết SGT cho kết quả lý thuyết cổ điển
Kết quả cho thấy nghiệm phần tử hữu hạn khi biến đổi các tham số phụ thuộc kích thước cho kết quả tương tự nghiệm giải tích ở lý thuyết cổ điển
Chuẩn Euclid (norm L 2 ) được sử dụng để đánh giá sự hội tụ và chính xác của nghiệm được giải bằng phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng lý thuyết SGT so với nghiệm giải tích của Kahrobaiyan và cộng sự [13], chuyển vị đang thể hiện thuộc điểm giữa thanh khảo sát Sự chênh lệch trong các bảng bên dưới thể hiện sự chênh lệch giữa nghiệm phần tử hữu hạn của các lưới so với nghiệm giải tích
Trong đó, nghiệm giải tích theo lý thuyết Độ Dốc Biến Dạng của bài toán thanh đang khảo sát được Kahrobaiyan và cộng sự [13] nghiên cứu và rút ra được công thức:
Bảng 4.1 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn và giải tích của phần tử thanh sử dụng lý thuyết SGT
Lưới 2 phần tử 4 phần tử 8 phần tử Giải tích [13]
Bảng 4.2 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn và giải tích của phần tử thanh sử dụng lý thuyết cổ điển
Lưới 2 phần tử 4 phần tử 8 phần tử Giải tích
Hình 4.2 Kết quả khảo sát bài toán thanh sử dụng lý thuyết SGTvà lý thuyết cổ điển
Kết quả thu được từ hình 4.2 cho ta thấy phương pháp phần tử hữu hạn hội tụ khi tăng số phần tử trong hệ đang xét và kết quả hội tụ về nghiệm giải tích đã được chứng minh ở những nghiên cứu trước đó Bài toán thanh khi khảo sát theo lý thuyết SGT thu được kết quả chuyển vị nhỏ hơn khi khảo sát theo lý thuyết cổ điển Điều này tương đồng với kết quả độ cứng của bài toán thanh khi khảo sát theo lý thuyết SGT cứng hơn khi khảo sát theo lý thuyết cổ điển
Kết quả khảo sát cho thấy phần tử thanh kéo nén đúng tâm khi ở quy mô kích thước nano/micro cần xét đến các hiệu ứng phụ thuộc kích thước Trong đó, lý thuyết SGT cho kết quả phù hợp thực tế và các nghiên cứu công bố trước đây ở cả phương pháp giải tích và phần tử hữu hạn Độ cứng của phần tử thanh sử dụng lý thuyết SGT cho kết quả cứng hơn lý thuyết cổ điển Từ đó, có thể kết luận rằng độ cứng của phần tử ảnh hưởng bởi tham số phụ thuộc kích thước và cho kết quả khác lý thuyết cổ điển đáng kể.
KHẢO SÁT DẦM THEO LÝ THUYẾT SGT
Phần tử dầm kích thước micro/nano được nghiên cứu trong trường hợp này sử dụng lý thuyết SGT để tìm chuyển vị của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn, sau đó so sánh với nghiệm giải tích của lý thuyết SGT bởi Kong và cộng sự [9] Ngoài ra, để khảo sát tính tổng quát của lý thuyết SGT, tác giả thực hiện biến đổi các tham số phụ thuộc kích thước l 0 = l 1 = 0 để bài toán cho kết quả dựa trên lý thuyết MCST, từ đó so sánh với kết quả giải tích sử dụng lý thuyết MCST được công bố trong nghiên cứu trước đây của Park và cộng sự [7] Tương tự, có thể thu được kết quả bài toán dựa trên lý thuyết cổ điển bằng cách biến đổi các tham số phụ thuộc kích thước l 0 = l 1 = l 2 =0
Phần tử dầm kích thước micro/nano đang khảo sát được chế tạo từ epoxy [9] có các hằng số vật liệu như sau: E = 1.44MPa, à = 522MPa Dầm đang khảo sỏt cú sơ đồ là một dầm console chịu tỏc động của lực tập trung P = 100 àN tại đầu tự do Dầm cú kớch thước tiết diện h = b/2 = 20 àm và chiều dài dầm L = 20h
Hình 4.3 Phần tử dầm kích thước micro/nano đang khảo sát
Chuẩn Euclid cũng được sử dụng ở bài toán này nhằm đánh giá sự chính xác của kết quả đề xuất so với nghiệm giải tích tương ứng sử dụng SGT, cũng như điều chỉnh các tham số kích thước để nhận lại kết quả tính toán từ lý thuyết MSCT hay lý thuyết cổ điển, chuyển vị w trong các bảng bên dưới thể hiện chuyển vị tại đầu tự do của dầm đang khảo sát Sự chênh lệch trong các bảng dưới đây thể hiện sự chênh lệch giữa nghiệm phần tử hữu hạn của các lưới so với nghiệm giải tích, còn norm L 2 đánh giá sự chính xác của hai phương pháp
Trong đó, lời giải giải tích theo lý thuyết Ứng Suất Cặp Đôi của bài toán dầm đang khảo sát được Park và cộng sự [7] nghiên cứu và đưa công thức:
Ngoài ra, lời giải giải tích theo lý thuyết Độ Dốc Biến Dạng của bài toán dầm đang khảo sát được Kong và cộng sự [9] nghiên cứu và đưa ra công thức:
• P: là lực tập trung tác dụng lên đầu tự do, có giá trị không đổi
• E: module đàn hồi của vật liệu của dầm đang khảo sát
• I: moment quán tính của dầm đang khảo sát
• : module cắt của vật liệu của dầm đang khảo sát
• A: diện tích mặt cắt ngang của dầm đang khảo sát, có giá trị không đổi
• l: tham số phụ thuộc kích thước, đặc trưng cho vật liệu của dầm
Bảng 4.3 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn và giải tích của phần tử dầm sử dụng lý thuyết SGT
Lưới 2 phần tử 4 phần tử 8 phần tử Giải tích [9]
Bảng 4.4 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn và giải tích của phần tử dầm sử dụng lý thuyết MSCT
Lưới 2 phần tử 4 phần tử 8 phần tử Giải tích [9]
Bảng 4.5 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn và giải tích của phần tử dầm sử dụng lý thuyết cổ điển
Lưới 2 phần tử 4 phần tử 8 phần tử Giải tích
Hình 4.4 Kết quả khảo sát bài toán dầm sử dụng lý thuyết SGT, lý thuyết MSCT và lý thuyết cổ điển
Kết quả bài toán cho thấy sự chính xác khi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán dầm ở quy mô kích thước micro/nano theo lý thuyết SGT, đồng thời thể hiện tính tổng quả của lý thuyết SGT khi có thể biến đổi về các lý thuyết MCST hay lý thuyết cổ điển thông qua việc điều chỉnh các tham số kích thước Dựa vào đồ thị hình
4.4 có thể thấy rằng độ cứng của phần tử dầm theo lý thuyết SGT lớn hơn lần lượt các lý thuyết MCST và lý thuyết cổ điển, điều này đúng với các nghiên cứu trước đó của Lam và cộng sự [21] Ngoài ra, bài toán còn cho thấy sự ảnh hưởng đáng kể của tham số phụ thuộc kích thước vào ứng xử cơ học của phần tử dầm SGT đang xem xét.
KHẢO SÁT KHUNG PORTAL THEO LÝ THUYẾT SGT
Phần tử khung SGT đề xuất sẽ được sử dụng để tính toán mô phỏng khung portal ở quy mô kích thước nano được nghiên cứu trong thí dụ này Các chuyển vị trong khung portal sẽ được xác định bằng phương pháp phần tử hữu hạn, sau đó biến đổi các tham số kích thước để nhận lại kết quả tính toán theo lý thuyết MCST nhằm so sánh với nghiệm đã được nghiên cứu bởi Busra và cộng sự [23] Ngoài ra, có thể thu được kết quả bài toán dựa trên lý thuyết cổ điển bằng cách biến đổi các tham số phụ thuộc kích thước l 0 = l 1 = l 2 =0 và so sánh với kết quả giải tích của bài toán
Phần tử khung kích thước micro/nano đang khảo sát được chế tạo từ vật liệu [23] có các thông số như sau: E = 0.45 TPa, ν = 0.27 Khung đang khảo sát có sơ đồ là khung 1 nhịp chịu tác động của lực tập trung f 2x = 1 nN và mômen M 3 = 10nNm, kích thước các đoạn khung có giá trị L = 10 nm được mô tả như hình 4.5
Hình 4.5 Phần tử khung kích thước micro/nano đang khảo sát
Nghiệm phần tử hữu hạn của lý thuyết MCST khi được biến đổi từ lý thuyết SGT tổng quát và được so sánh với kết quả trong nghiên cứu của Bursa và cộng sự [23] Sự chênh lệch trong các bảng dưới đây thể hiện sự chênh lệch giữa nghiệm phần tử hữu hạn so với nghiệm của Bursa và cộng sự [23]
Bảng 4.6 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn khi biến đổi tham số phụ thuộc kích thước và phương pháp phần tử hữu hạn trực tiếp của phần tử khung sử dụng lý thuyết MCST (chuyển vị ngang tại nút 2)
Lưới 2 phần tử 4 phần tử 8 phần tử FEM [23]
Chênh lệch 0.3901% 0.1557% 0.0006% - Đơn vị: 10 -12 m Bảng 4.7 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn khi biến đổi tham số phụ thuộc kích thước và phương pháp phần tử hữu hạn trực tiếp của phần tử khung sử dụng lý thuyết MCST (chuyển vị xoay tại nút 2)
Lưới 2 phần tử 4 phần tử 8 phần tử FEM [23]
Bảng 4.8 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn khi biến đổi tham số phụ thuộc kích thước và phương pháp phần tử hữu hạn trực tiếp của phần tử khung sử dụng lý thuyết cổ điển (chuyển vị ngang tại nút 2)
Lưới 2 phần tử 4 phần tử 8 phần tử FEM
Bảng 4.9 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn khi biến đổi tham số phụ thuộc kích thước và phương pháp phần tử hữu hạn trực tiếp của phần tử khung sử dụng lý thuyết cổ điển (chuyển vị xoay tại nút 2)
Lưới 2 phần tử 4 phần tử 8 phần tử FEM
Hình 4.6 Chuyển vị của phần tử khung portal đang xét dựa trên các tham số phụ thuộc kích thước khác nhau
Kết quả khảo sát của bài toán phản ánh đúng nghiên cứu đang thực hiện, độ cứng của phần tử khung lớn hơn khi xét đến tham số phụ thuộc kích thước Cụ thể, tham số phụ thuộc kích thước càng lớn, càng gia tăng độ cứng của hệ kết cấu đẫn đến chuyển vị nhỏ hơn so với khi xem xét bài toán ở lý thuyết cổ điển, thể hiện rõ tính chất phụ thuộc kích thước của hệ khung ở quy mô kích thước nano/micro.
KHẢO SÁT KHUNG HÌNH THOI THEO LÝ THUYẾT SGT
Phần tử khung kích thước micro/nano sử dụng lý thuyết SGT để khảo sát ứng xử của hệ khung dạng hình thoi khi thay đổi các tham số phụ thuộc kích thước cũng như khi biến đổi giữa các lý thuyết khác nhau, từ đó kết luận được sự thay đổi của độ cứng của khung
Phần tử khung kích thước nano/micro đang khảo sát được chế tạo từ epoxy [9] có các hằng số vật liệu như sau: E = 1.44MPa, à = 522MPa Lực tập trung P 0 = 20 àN đặt tại đỉnh của khung đang khảo sát, có liên kết ngàm tại chân khung được mô tả như hình
4.7 khung cú kớch thước tiết diện h = b/2 = 20 àm và chiều dài L = 20h
Hình 4.7 Hệ khung micro/nano hình thoi đang khảo sát
Bảng 4.10 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn khi biến đổi tham số phụ thuộc kích thước và phương pháp phần tử hữu hạn trực tiếp của phần tử khung hình thoi sử dụng lý thuyết cổ điển (chuyển vị đứng tại đỉnh khung)
Lưới 1 phần tử 2 phần tử 4 phần tử FEM
Hình 4.8 Chuyển vị của phần tử khung hình thoi đang xét dựa trên các tham số phụ thuộc kích thước khác nhau
KHẢO SÁT HỆ KHUNG HÌNH CHỮ NHẬT THEO LÝ THUYẾT SGT 49 4.6 KHẢO SÁT KHUNG HÌNH LỤC GIÁC THEO LÝ THUYẾT SGT
Phần tử khung kích thước micro/nano đang khảo sát sử dụng lý thuyết SGT để khảo sát ứng xử của hệ khung khi thay đổi các tham số phụ thuộc kích thước cũng như khi biến đổi giữa các lý thuyết khác nhau, từ đó kết luận được sự thay đổi của độ cứng của khung khi khảo sát ở quy mô kích thước micro/nano
Hình 4.9 Hệ khung micro/nano hình chữ nhật đang khảo sát
Phần tử khung kích thước micro/nano đang khảo sát được chế tạo từ epoxy [9] có các hằng số vật liệu như sau: E = 1.44MPa, à = 522MPa Lực tập trung P 0 = 210 3 àN đặt tại các đỉnh của khung đang khảo sát, có liên kết khớp cố định và khớp di động được mụ tả như hỡnh 4.9 khung cú kớch thước tiết diện h = b/2 = 20 àm và chiều dài L = 20h
Bảng 4.11 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn khi biến đổi tham số phụ thuộc kích thước và phương pháp phần tử hữu hạn trực tiếp phần tử khung chữ nhật sử dụng lý thuyết cổ điển (chuyển vị đứng tại điểm khảo sát)
Lưới 1 phần tử 2 phần tử 4 phần tử FEM
Hình 4.10 Chuyển vị của phần tử khung chữ nhật đang xét dựa trên các tham số phụ thuộc kích thước khác nhau
Cũng như các bài toán khác, hệ khung cho kết quả độ cứng tăng dần khi giảm dần các tham số phụ thuộc kích thước Tỉ lệ giữa kích thước thật của phần tử và tham số phụ thuộc kích thước càng lớn thì tính chất của lý thuyết SGT càng giảm và ngược lại, tỉ lệ này càng nhỏ thì tính chất của lý thuyết SGT càng rõ ràng, có thể thấy được thông qua so sánh chuyển vị của phần tử giữa lý thuyết cổ điển và lý thuyết SGT
4.6 KHẢO SÁT KHUNG HÌNH LỤC GIÁC THEO LÝ THUYẾT SGT
Khảo sát bài toán với hình dạng đặc biệt là hình lục giác, tương tự với các mạng lưới kích thước micro/nano Từ đó, xác định được ứng xử cơ học của hệ khung kích thước micro/nano ứng với thực thực tế
Hình 4.11 Hệ khung micro/nano lục giác đang khảo sát
Phần tử khung lục giác kích thước micro/nano đang khảo sát chế tạo từ epoxy [9] có cỏc hằng số vật liệu như sau: E = 1.44MPa, à = 522MPa Lực tập trung P 0 = 410 3 àN đặt tại các vị trí của khung đang khảo sát, có các liên kết khớp di động được mô tả như hỡnh 4.11 khung cú kớch thước tiết diện h = b/2 = 20 àm và chiều dài L = 20h
Hình 4.12 Chuyển vị của phần tử khung lục giác đang xét dựa trên các tham số phụ thuộc kích thước khác nhau
Hình 4.13 Chuyển vị của phần tử khung lục giác đang xét giữa các lý thuyết cổ điển, MCST và SGT
Bài toán phản ánh tính chất cơ học của hệ khung lục giác kích thước micro/nano khi xét ở các lý thuyết khác nhau Độ cứng của hệ khung tăng dần khi lần lượt xét ở các lý thuyết cổ điển, MCST và SGT Sự chuyển đổi giữa các lý thuyết đặc biệt phụ thuộc vào cách chuyển đổi các tham số phụ thuộc kích thước.
KHẢO SÁT HỆ KHUNG MẮT CÁO THEO LÝ THUYẾT SGT
Hệ khung khảo sát có hình dạng đặc biệt, tương ứng với các mạng lưới tinh thể trong các vật liệu micro/nano Bài toán khảo sát ứng xử cơ học của hệ khung với tác động của ngoại lực khi xét theo lý thuyết SGT
Hình 4.14 Hệ khung nano/micro mắt cáo đang khảo sát
Phần tử khung mắt cáo kích thước nano/micro chế tạo từ epoxy [9] có các hằng số vật liệu như sau: E = 1.44MPa, à = 522MPa Lực tập trung P 0 = 80 àN đặt tại cỏc vị trớ của khung đang khảo sát, liên kết ngàm ở cạnh khung được mô tả như hình 26 khung cú kớch thước tiết diện h = b/2 = 20 àm và chiều dài L = 20h
Hình 4.15 Chuyển vị của phần tử khung mắt cáo đang xét dựa trên các tham số phụ thuộc kích thước khác nhau
Hình 4.16 Chuyển vị của thanh trên cùng thuộc phần tử khung mắt cáo đang xét dựa trên các tham số phụ thuộc kích thước khác nhau