báo cáo đồ án cấu trúc dữ liệu và giải thuật

Nghiên cứu về các thuật toán SortKí hiệu tổng sau ta sẽ sử dụng kí hiệu này xuyên suốt các chứng minh thời gian cho trường hợp tệ nhất a Selection Sort Ý tưởng: Từ tập dữ liệu ban đầu ta

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA: TOÁN - TIN

BÁO CÁO ĐỒ ÁN CẤU TRÚC DỮ LIỆU VÀ GIẢI THUẬT

TÊN ĐỀ TÀI: Search + Sort

LỚP: 21KDLB

MSSV - HỌ VÀ TÊN: 21280109 – Phan Huy Thịnh, 21280105 – Hoàng Phúc

NĂM HỌC: 2021 - 2022

GIẢNG VIÊN: Nguyễn Bảo Long

TP.HCM, ngày 24 tháng 10 năm 2022

MỤC LỤC

PHẦN PHÂN CÔNG 1

PHẦN NỘI DUNG 1

I.Ý TƯỞNG CHUNG 1

II.NGHIÊN CỨU VỀ CÁC THUẬT TOÁN SORT 1

a) Selection sort 1

b) Insertion sort 2

c) Bubble sort 4

d) Interchange sort 4

e) Quick sort 5

f) Merge sort 6

g) Heap sort 7

III.NGHIÊN CỨU VỀ CÁC THUẬT TOÁN SEARCH .8

a) Linear search 8

b) Binary search 8

BIỂU ĐỒ SO SÁNH VÀ NHẬN XÉT VỀ THỜI GIAN CHẠY CỦA CÁC THUẬT TOÁN .10

MỨC ĐỘ HOÀN THÀNH VÀ TỰ ĐÁNH GIÁ 12

PHẦN PHÂN CÔNG

Trình bày ý tưởng, đưa ra chứng minh cho trường hợp tệ nhất, đo thời gian chạy của các thuật toán Sort, nhận xét biểu đồ thời gian chạy,

hoàn tất báo cáo

Trình bày mã giả, cài đặt các thuật toán, (cùng thực hiện) đo thời gian chạy của các thuật toán Sort, vẽ biểu đồ thời gian chạy, làm khung báo

cáo

PHẦN NỘI DUNG

I Ý tưởng chung

Nghiên cứu tất cả các thuật toán Search và Sort, đưa ra mã giả sau đó lập trình, rồi so sánh thời gian chạy của các thuật toán Sort Từ đó nhận xét các thuật toán Search và đưa ra các trường hợp thuận lợi, trung bình và phức tạp nhất của thuật toán Sort

II Nghiên cứu về các thuật toán Sort

Kí hiệu tổng sau ta sẽ sử dụng kí hiệu này xuyên suốt các chứng minh thời gian cho trường hợp tệ nhất

a) Selection Sort

Ý tưởng: Từ tập dữ liệu ban đầu ta tìm được phần tử nhỏ nhất, đưa phần tử nhỏ nhất

ra vị trí đầu tiên Sau đó tìm phần tử nhỏ nhất trong tập dữ liệu còn lại rồi đưa vào vị trí thứ hai Quá trình lặp đi lặp lại cho đến khi không còn phần tử nào thì chúng ta có được dữ liệu cần sắp xếp

Mã giả:

Thuật toán Selection Sort(A, n)

Input: Mảng A có n phần tử

Output: Mảng A xếp theo thứ tự tăng dần

for (i 0 to n – 2) do

k i;

for (j i + 1 to n – 1) do

if ( A[k] > A[j] ) then k j;

A[k] A[i];

Output A;

Độ phức tạp ở cả 3 trường hợp đều là ,

Chứng minh (tất cả các dòng đều được thực hiện):

for (i 0 to n – 2) do

k i;

for (j i + 1 to n – 1) do

if ( A[k] > A[j] ); vì có 2 thao tác định vị và 1 thao tác so sánh

k j;

A[k] A[i];

Tổng lại:

b) Insertion Sort

Ý tưởng: Tìm vị trí thích hợp trong mảng sau đó chuyển dữ liệu và vị trí thích hợp trống và đưa dữ liệu mới vào Bài toán tìm vị trí sẽ dùng phương pháp tìm kiếm tuần tự để giải quyết và duyệt tuần tự ở cuối mảng

Mã giả:

Thuật toán Insertion Sort(A, n)

Input: Mảng A có n phần tử

Output: Mảng A xếp theo thứ tự tăng dần

for j = 2 to n do

x A[j];

i j – 1;

while i > 0 and A[i] > x do

A[i+1] A[i]

i i-1;

A[i + 1] x;

Độ phức tạp:

Chứng minh cho trường hợp tệ nhất: 1

for j = 2 to n do

x A[j];

i j – 1;

while i > 0 and A[i] > x do

A[i+1] A[i]

i i-1;

A[i + 1] x;

Tổng lại:

c) Bubble Sort

Ý tưởng: Nếu cứ hai phần tử nghịch thế thì chúng ta sẽ đổi chỗ để không còn nghịch thế, hay nói cách khác các phần tử nhỏ hơn sẽ "trồi lên trên" Các phần tử lớn hơn sẽ

"chìm xuống dưới"

Mã giả:

Thuật toán Bubble Sort(A, n)

Input: Mảng A có n phần tử

Output: Mảng A xếp theo thứ tự tăng dần (nhẹ nổi lên)

for (i 0 to n – 2) do

for (j n – 1 to i + 1) do

if (A[j –1] > A[j]) then A[j –1] A[j]

Output A;

Độ phức tạp:

Chứng minh cho trường hợp tệ nhất:

1 Thomas H Cormen Charles E Leiserson Ronald L Rivest Clifford Stein Introduction to Algorithms Third

Dòng Độ phức tạp

for (i 0 to n – 2) do

for (j n – 1 to i + 1) do

if ( A[j – 1 ] > A[j] )

A[k] A[i];

Tổng lại:

d) Interchange Sort

Ý tưởng: Tìm các cặp nghịch thế và hoán vị chúng để giảm nghịch thế, xuất phát

từ phần tử đầu tiên của dãy

Mã giả:

Thuật toán Interchange Sort(A, n)

Input: Mảng A có n phần tử

Output: Mảng A được sắp xếp tăng dần

for (i 0 to n – 2) do

for (j i + 1 to n – 1) do

if (A[i] > A[j]) then A[i] A[j];

output A;

Độ phức tạp:

Chứng minh cho trường hợp tệ nhất:

for (i 0 to n – 2) do

for (j i + 1 to n – 1 ) do

if ( A[i ] > A[j] )

A[i] A[i];

Tổng lại:

e) Quick Sort

Ý tưởng: Lấy 1 phần tử ở giữa mảng (gọi phần tử đó là X) sau đó chia ra làm 2

dữ liệu (bên trái X và bên phải X) Nếu phần tử nhỏ hơn X thì sắp xếp bên trái, còn lớn hơn

X thì sắp xếp bên phải

Mã giả:

Thuật toán Quick Sort(A, left, right)

Input: Mảng A có các phần tử từ left đến right

Output: Mảng A xếp theo thứ tự từ left đến right

Chọn phần tử X;

i left; j right;

while (i < j) do

while(A[i] < X) do i i + 1;

while(A[j] > X) do j j – 1;

if (i < j) then

A[i] A[j];

i i + 1;

j j –1;

if (j > left) then Quick Sort(A, left, j);

if (i < right) then Quick Sort(A, i + 1, right);

Output A;

Độ phức tạp:

Ta chứng minh độ phức tạp bằng các hệ thức dệ quy dựa trên ý tưởng: từ mảng n, thông qua thao tác Partition (phân chia) để đưa phần tử X đã chọn đến 1 vị trí mà trước vị trí đó là mảng có n phần tử, sau vị trí đó là mảng n phần tử:1 2

Trường hợp tệ nhất là mảng đã được sắp xếp rồi:

f) Merge Sort

Ý tưởng: Mảng A nếu ta chia thành hai phần bằng nhau, nếu ta sắp xếp hai phần

rồi trộn hai nửa lại ta có được thứ tự toàn phần

Mã giả:

Thuật toán Merge Sort (A, left, right)

Input: Mảng A có các phần tử ở vị trí từ left đến right

Output: Mảng A xếp theo thứ tự từ left đến right

if (left < right) then

mid (left + right) / 2

Merge Sort(A, left, mid);

Merge Sort(A, mid + 1, right)

Trộn A[left, mid] và A[mid + 1, right] thành A[left, right]

Output A;

Độ phức tạp như nhau trong cả 3 trường hợp và bằng

Ta chứng minh dựa trên hệ thức đệ quy sau:

(i là số lần cưa đôi mảng)

Sẽ đến lúc tức

Từ đó

g) Heap Sort

Ý tưởng: Ta thấy rằng trong selection sort, cứ mỗi vòng lặp ta phải tìm phần tử nhỏ nhất trong số các phần tử còn lại Trong quá trình tìm kiếm ta không tận dụng được các thông tin của lần trước đó Một cách tiếp cận khác là ta sẽ làm sao lưu trữ thông tin các lần tìm kiếm trước đó để có thể sử dụng sau này

Mã giả:

Thuật toán Heap Sort(A, n)

Input: Mảng A có n phần tử

Output: Mảng A được sắp xếp tăng dần

Create Heap(A, n); // Mảng A là heap max

for (i n – 1 to 1) do

A[0] A[k];

Insert Heap (A, 0, i – 1); //Mảng A chứa heap

Output A;

Độ phức tạp ở 3 trường hợp đều như nhau và bằng

Thật vậy, Ở thao tác tạo Heap từ mảng A mất thời gian là có (n-1) lần chèn Heap vào mà ở mỗi lần chèn Heap mất thời gian là (điều này tương tự với thao tác Partition phân chia ở thuật toán MergeSort, nó mất lần cưa đôi mảng), tóm lại :

III Nghiên cứu các thuật toán Search

a) Linear Search

Ý tưởng: Duyệt phần tử đầu tiên cho đến phần tử cuối cùng để tìm phần tử thỏa điều kiện cần tìm

Mã giả:

Thuật toán Linear Search (A, n, key)

Input: Mảng A có n phần tử và điều kiện key

Output: Vị trí phần tử cần tìm, hoặc –1 nếu không tìm thấy

for (i 0 to n – 1) do

if (A[i] thỏa mãn điều kiện key) output i;

else output –1;

Nhận xét: Thuật toán có thể áp dụng trên mọi tiêu chuẩn tìm kiếm cũng như mọi dữ liệu Tuy nhiên chi phí cao (tỉ lệ với )

b) Binary Search

Ý tưởng: Phân hoạch làm 2 phần, 1 phần chắc chắn không có, phần còn lại nếu

có sẽ tồn tại Quá trình tìm kiếm không gian sẽ bị thu hẹp, nên việc tìm kiếm sẽ nhanh chóng Điều kiện phần tử phải có quan hệ thứ tự nào đó

Mã giả:

Thuật toán Binary Search (A, n, key)

Input: Mảng A có n phần tử và điều kiện key

Output: Vị trí phần tử cần tìm, hoặc –1 nếu không tìm thấy

left 0; right n 1;

while (left right) do

mid (left + right) / 2;

if (A[mid] thỏa key) then output mid;

if (A[mid] thỏa key ở bên trái) then right mid 1;

if (A[mid] thỏa key ở bên phải) then left mid + 1;

Không thỏa while thì output 1;

Nhận xét: Thuật toán có chi phí thấp (tỉ lệ ) Tuy nhiên, thuật toán không tổng quát, không thể áp dụng trên mọi tiêu chuẩn tìm kiếm cũng như mọi dữ liệu Dữ liệu bắt buộc phải có quan hệ thứ tự toàn phần và việc tìm kiếm dữ liệu phải theo quan hệ thứ tự này

BIỂU ĐỒ SO SÁNH THỜI GIAN CHẠY

Ở đây, ta có 3 biểu đồ, ứng với các tình trạng dữ liệu: ngẫu nhiên (Random), sắp xếp tăng (Sorted), giảm dần (Reversed)

Hình 1 Biểu đồ cho dữ liệu ngẫu nhiên

Nhận xét: Với lượng dữ liệu nhỏ đến vừa (1000 đến 10000) các thuật toán không tỏ ra quá

khác biệt trong tốc độ xử lí, nhưng khi dữ liệu tăng mạnh thì dễ thấy các thuật toán đơn giản như Bubble, Interchange kém hiệu quả, Heap Sort xử lí tốt nhất

Hình 2 Biểu đồ cho dữ liệu sắp xếp tăng

Nhận xét: Ngoại trừ Merge, Heap hay Selection sort gần như không khác biệt Khi kích

thước dữ liệu tăng mạnh thì đã có sự chênh lệch: cụ thể mảng sắp xếp tăng khiến cho Quick Sort rơi vào trường hợp tệ nhất nhưng vẫn mạnh hơn Bubble và Selection sort, Bubble sort tuy đã rơi vào trường hợp tốt nhất nhưng tốc độ vẫn chậm càng chứng tỏ đây là thuật toán kém hiệu quả

Hình 2 Biểu đồ cho dữ liệu sắp xếp giảm

Nhận xét: Sắp xếp giảm khiến cho Bubble, Interchange mất rất nhiều thời gian xử lí, Heap

và Merge ở cả 3 trường hợp đều cho thấy sự ổn định hơn Quick sort, chứng tỏ cấu trúc cây là một cấu trúc hiệu quả khi làm việc với dữ liệu mảng

MỨC ĐỘ HOÀN THÀNH VÀ TỰ ĐÁNH GIÁ

Chứng minh độ phức tạp hoàn chỉnh, tuy nhiên trình bày ý tưởng các thuật toán chưa thực sự cụ thể, đánh giá hoàn thành 80%

Trình bày mã giả, cài đặt các thuật toán, (cùng thực hiện) đo thời gian chạy của các thuật toán Sort, vẽ biểu đồ thời gian chạy, làm khung báo

cáo