ctd7 f71

BÀI 2PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨNHỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình ax by c  được biểu diễn bởi mộtđiểm.. Nghiệm x y ; được b

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1 Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x y, là hệ thức dạng: ax by c  , trong đó a b c, , là các số cho trước,



a 0hoặc b 0

Cho phương trình bậc nhất hai ẩn x y, : ax by c  Nếu ax0by0 c là khẳng định đúng thì cặp số

x y0 0

( ; ) được gọi là một nghiệm của phương trình ax by c 

Chú ý:

 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , mỗi nghiệm của phương trình ax by c  được biểu diễn bởi một

điểm Nghiệm x y ( ; ) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ x y0 0 ( ; ) 0 0

 Ta cũng áp dụng được quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân đã biết ở phương trình bậc nhất một ẩn để biến đổi phương trình bậc nhất hai ẩn

Nhận xét:

 Mỗi nghiệm của phương trình ax0y c a  0 được biểu diễn bởi điểm có tọa độ



c y y

a; 0 0  nằm trên đường thẳng d x1: c a Đường thẳng d1là đường thẳng đi qua điểm c

a trên

trục Ox và vuông góc với trục Ox

 Mỗi nghiệm của phương trình 0x by c b   0 được biểu diễn bởi điểm có tọa độ



c

a

b

b trên

trục Oy và vuông góc với trục Oy.

 Mỗi nghiệm của phương trình ax by c a   0;b0 được biểu diễn bởi điểm nằm trên đường

thẳng d y a xc

b b

b b.

2 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

 Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:   



a x b y c

a x b y c12 12 12  I , ở đó mỗi phương trình

a x b y c1 1 1 và a x b y c2  2  2đều là phương trình bậc nhất hai ẩn

 Nếu cặp số x y( ; ) là nghiệm của từng phương trình trong hệ 0 0  I thì cặp x y( ; ) được gọi là0 0 nghiệm của hệ  I

 Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó

CHỦ ĐỀ 1 NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC

NHẤT HAI ẨN

Bài 1. Trong các cặp số sau, cặp số nào là nghiệm của phương trình: x 3y5

5 0;

3

Lời giải

a) Thay x 2;y1 ta có: 2 3 1   5

Vậy 2; 1 là một nghiệm của phương trình đã cho. 

b) Thay x 5;y0 ta có:  5 3.0 5

Vậy 5;0 không là nghiệm của phương trình đã cho.

c) Thay x 0;y 5

3 ta có:

5

3

Vậy   

5

0;

3 là một nghiệm của phương trình đã cho.

Bài 2. Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số (x y =; ) ( )1;1 có phải là một nghiệm của hệ phương trình





x y

x y

Lời giải

Thay (x y =; ) ( )1;1 vào hệ phương trình:   



2.1 1 3 2.1 1 1 đúng

Vậy ( )1;1 là nghiệm của hệ phương trình

Bài 3. Trong các cặp số sau, cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình:   



x y

x y2 23

Lời giải

a) Thay x 1;y1 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

 

1 2 1 3

 

Suy ra cặp số 1; 1 là nghiệm của từng phương trình trong hệ 

Vậy 1; 1 là một nghiệm của hệ phương trình đã cho. 

b) Thay x 2;y0 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

2 2.0 3

2 0 2

Suy ra cặp số 2;0 không là nghiệm của phương trình thứ nhất trong hệ đã cho

Vậy 2;0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Bài 4. Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình

Lời giải

a) Giải phương trình: 4x y 1 1 

Ta có:  1  y4x1

Nếu cho x một giá trị bất kỳ thì cặp số x y;  trong đó y4x1, là một nghiệm của phương trình  1 Như vậy ta có tập nghiệm của phương trình  1 là: S x x; 4 1 / x R 

3 3

x

x y  y 

Nếu cho x một giá trị bất kì thì cặp số x y;  trong đó 2

x

y  , là một nghiệm của phương trình  2

3 3

x

Sx    x R 

Bài 5. Tìm nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình sau:

x+ y- =

Lời giải

Tìm nghiệm tổng quát

y

ì Î ïï

=-+ ïî

¡

x

ì Î ïï ï

ïïî

¡

Vậy nhiệm của phương trình x+2y- 3= là 0

y

ì Î ïï

íï =- + ïî

¡

x

ì Î ïï ïí

ïïî

¡

 Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình

x+ y- = Þ y=- x+

Bảng giá trị

2

A Bæ öç ÷

÷

Vẽ đồ thị

x

y

3

3/2

Nghiệm của phương trình x+2y- 3= là tập hợp các điểm 0 (x y; ) thuộc đường thẳng 1 3

y=- x+

Bài 6. Hãy tìm giá trị của để điểm A(1; 2- ) thuộc đường thẳng (m- 2)x- y+ + = m 3 0

Lời giải

Do điểm A(1; 2- ) thuộc đường thẳng (m- 2)x- y+ + = nên :m 3 0

(m- 2 1) - -( )2 + + =m 3 0

2m 3 0

3

2

m

2

m =- là giá trị cần tìm

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 7. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn? Nếu là phương trình bậc nhất hai ẩn thì hãy xác định các hệ số a b c, ,

x 0 3

y=- x+ 3

2 0

a) 2024x 2025y2026 b) 1 2 1

Bài 8. Trong các cặp số sau 12;1 ; 1;1 ; 2; 3 ; 1; 2         cặp số nào là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 2x 5y19

Lời giải

Ta có các cặp số: 12;1 ; 2; 3    là nghiệm của phương trình 2x 5y19

Còn các cặp số 1;1 ; 1; 2    không là nghiệm của phương trình 2x 5y19

Bài 9. Tìm tập nghiệm của những phương trình sau

a)

x y

x 

Lời giải

2

x R

x y











2

x

S x R y  

b) Ta có: x  y1

1

x R x

y x



 



1

x R x



 

 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  x0 /y x 1  x0 / yx1

c) Ta có: 1 2y 3 1 

x      t

3 3

y R

t y





 



2

t   y  y

Vậy khi đó phương trình (1) có nghiệm x y;  là:

3 , 2 1

3 2

y R y

x

y







 





Bài 10.Kiểm tra xem cặp số (-4; 5) là nghiệm của hệ phương trình nào trong các hệ phương trình sau

a) 2 3

x y

x y







b)

1

2

x y x









  



Lời giải

a) Thay x5;y5 vào 3x2y21 ta được: 1 4 2.5 21 (vô lý)

x y

x y







b) Tương tự ta có cặp số 4;5 là nghiệm của hệ phương trình

1

2

x y x









  



Bài 11.Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có là nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không

x y

x y





 b) 2;5 và 2 3 19

x y

x y







Lời giải

a) Thay x1;y2 vào hệ phương trình ta được:



Vậy cặp số 1;2 là nghiệm của hệ phương trình

b) Thay x2;y5 vào hệ phương trình ta được:

 

 

6 10 7







(vô lý)

x y

x y







Bài 12.Tìm các giá trị của tham số m để cặp số 2; 1  là nghiệm của phương trình mx 5y3m1

Lời giải

Để cặp số 2; 1  là nghiệm của phương trình mx 5y3m1 ta phải có:

 

2m 5 1 3m1 m6

Vậy m  là giá trị cần tìm.6

Bài 13.Trong mỗi trường hợp sau, hãy tìm giá trị của m để:

a) điểm M  1;3 thuộc đường thẳng mx2y4

b) điểm N1; 1  thuộc đường thẳng (m 2)x(3m1)y6m 2

c) điểm Q2;1 thuộc đường thẳng 2m1x3m1y4m 2

Lời giải

a) Điểm M  1;3 thuộc đồ thị hàm số mx2y4 khi m 1  2.3 4  m2

b) Điểm N1; 1  thuộc đồ thị hàm số (m 2)x(3m1)y6m 2 khi

1

8

m  m  m  m

c) Điểm Q2;1 thuộc đồ thị hàm số 2m1x3m1 y4m 2 khi

2m1 1 3  m1 1 4m 2 m1

Bài 14.Cho phương trình sau: 3x2y 9 m 1 Tìm m N để phương trình  1 có nghiệm nguyên dương

Lời giải

Ta có: m N  9 m9

9 2

3

y

x y  x 

3

y N  y  x    x

2

m

2

m

Vậy điều kiện cần tìm của m là: m 0;1;2; 4

CHỦ ĐỀ 2 LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 15. Lớp 9A giao cho An đi mua bánh và kẹo để tổ chức liên hoan An mua tất cả 15 hộp bánh và 5 túi kẹo với số tiền phải trả là 850 nghìn đồng Gọi x và y lần lượt là giá tiền (nghìn đồng) một hộp bánh

và giá một túi kẹo

a) Viết phương trình bậc nhất hai ẩn x y,

b) Hãy chỉ ra hai nghiệm của phương trình ở câu a?

Lời giải

a) giá tiền 1 hộp bánh là x (nghìn đồng) x 0

Giá tiền 1 túi kẹo là y(nghìn đồng) y 0

An mua tất cả 15 hộp bánh và 5 túi kẹo với số tiền phải trả là 850 nghìn đồng

15x5y850

3

y  x

với x 0 y170

Vậy cặp số  ;  170;0 , 0;170 

3

x y  

Bài 16. Bác An thuê nhà với giá 1500 000đồng/ tháng, bác phải trả tiền dịch vụ giới thiệu là 500 000

đồng (tiền dịch vụ chỉ trả một lần) Gọi x (tháng) là thời gian mà bác An thuê nhà, y (đồng) là tổng số tiền bác phải trả gồm tiền thuê nhà trong x (tháng) và tiền dịch vụ giới thiệu

a) Lập công thức tính y theo x

b) Tính tổng số tiền bác An phải trả sau khi thuê nhà 5 tháng

Lời giải

a) Lập công thức tính y theo x

Tổng số tiền thuê trong x(tháng) bác An phải trả là 15000000x(đồng)

Tổng số tiền bác phải trả bao gồm tiền thuê nhà trong x (tháng) và tiền dịch vụ giới thiệu là :

1500000 500000

Vậy công thức y theo x là y1500 000x500 000

b) Tính tổng số tiền bác An phải trả sau khi thuê nhà 5 tháng

Tổng số tiền bác An phải trả sau khi thuê nhà 5 tháng là :

1500000.5 500000 8000000

Bài 17. Bạn Minh Hiền dự định mua 2kgquả xoài và 2kgquả vải hết 100 000 đồng Thực tế, Minh

Hiền mua 3kg quả xoài và 1kg quả vải hết 90 000đồng Gọi x và y lần lượt là giá tiền (đồng) một kg

quả xoài và một kg quả vải mà bạn Minh Hiền đã mua

a) Viết hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x y,

b) Hãy kiểm tra cặp số 20000;30000 có phải là nghiệm của hệ phương trình ở câu a hay không? 

Lời giải

a) giá tiền của 1kg quả xoài là x (đồng)

Giá tiền của 1kg quả vải là y (đồng) x0,y0

Bạn Minh Hiền dự định mua 2kgquả xoài và 2kgquả vải hết 100 000 đồng

 

Thực tế, Minh Hiền mua 3kg quả xoài và 1kg quả vải hết 90 000đồng

 

x y

x y





 b) Thay x 20000, y 30000 vào hệ ta được

20000 30000 50 000

3.20000 30000 90000





Vậy cặp số 20000;30000 có phải là nghiệm của hệ phương trình.

Bài 18. Một tổ may gồm 47 công nhân cả nam và nữ được giao nhiệm vụ may 350 chiếc áo cho cổ động viên để cổ vũ đội tuyển U23 Việt Nam tại SEA GAME 31 Để hoàn thành nhiệm vụ, mỗi công nhân nam may 8 chiếc áo, mỗi công nhân nữ may 7 chiếc áo Gọi x và y lần lượt là số công nhân nam và nữ a) Viết hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x y,

b) Hãy kiểm tra cặp số 26; 20 có phải là nghiệm của hệ phương trình ở câu a hay không? 

Lời giải

a) số công nhân nam nữ lần lượt là x y, (người) x y, *, ;x y47

Vì tổ may gồm 47 công nhân x y 47 1 

Và mỗi công nhân nam may 8 chiếc áo, mỗi công nhân nữ may 7 chiếc áo, may được tổng cộng 350 chiếc áo nên ta có phương trình 8x7y350 2 

x y

x y







b) Thay x 26, y 20 vào hệ ta được 26 20 47

8.26 7.20 350





Vậy cặp số 26; 20 có phải là nghiệm của hệ phương trình.

Bài 19. Để chuẩn bị trao thưởng cho học sinh giỏi cuối năm học, trường THCS X cần mua 2000quyển

vở và 400 cây bút để làm phần thưởng Nhà trường dự tính để mua với giá niêm yết sẽ cần 18 triệu 400 nghìn đồng Vì mua với số lượng lớn nên đại lý bán quyết định giảm giá 5% cho mỗi quyển vở và 6% cho mỗi cây bút, vì thế nhà trường chỉ cần trả 17 triệu 456 nghìn đồng Gọi giá niêm yết của mỗi quyển

vở là x (đồng), mỗi cây bút là y (đồng).

a) Viết hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x y,

b) Hãy kiểm tra cặp số 8000;6000 có phải là nghiệm của hệ phương trình ở câu a hay không? 

Lời giải

a) giá niêm yết của mỗi quyển vở là x (đồng), mỗi cây bút là y (đồng)

x0,y0

Vì mua 2000quyển vở và 400 cây bút với giá niêm yết sẽ cần 18 triệu 400 nghìn đồng nên ta có phương trình 2000x400y18400 000 1 

Giá mỗi quyển vở sau khi giảm 5%là : 0,95 (x đồng)

Giá mỗi cây bút sau khi giảm 6% là 0,94 y (đồng)

Vì nhà trường chỉ cần trả 17 triệu 456 nghìn đồng nên ta có phương trình :

0,95.2000x0,94.400y17456000190x376y17456000(2)





 b) Thay x 8000, y 6000 vào hệ ta được

2000.8000 400.6000 18400000

1900.8000 376.6000 17456000





Vậy cặp số 8000;6000 có phải là nghiệm của hệ phương trình.

Bài 20. Một khu đất hình chữ nhật có chu vi là 280 người ta làm đường đi xung quanh rộng 2m nên diện tích phần còn lại để trồng vườn là 4256m2 Gọi chiều rộng khu vườn là x (m), chiều dài khu vườn là y

(m)

a) Viết hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x y,

b) Hãy kiểm tra cặp số 60;70 có phải là nghiệm của hệ phương trình ở câu a hay không? 

Lời giải

a) chiều rộng khu vườn là x (m)

chiều dài khu vườn là y (m)

Nửa chu vi là 280:2 =140 (m)

theo bài ra ta có Pt x y 140 (1)

Khi bớt chiều rộng đi 4 mlà x  4 (m)

khi bớt chiều dài đi 4 (m) là y  (m) ta có PT 4 x 4 y 4 4256

Theo bài ra ta có HPT :

140

x y







b) Thay x 60, y  vào hệ ta được 70

60 70 140





Vậy cặp số 60;70 có phải là nghiệm của hệ phương trình.