Chủ Đề 10 - Giải Nhanh Phương Trình Logarit.doc

Tài liệu toán lớp 12 , ôn thi đại học , ôn thi cấp tốc .Chọn lọc, Đầy đủ, ngắn gọn chi tiết dễ hiểu nhất . Đầy đủ cả cách giải tự luận và trắc nghiệm bấm máy casio

CHỦ ĐỀ 10: BÍ QUYẾT GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

A KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Khái niệm:

Nghiệm của phương trình f x  được kí hiệu là   0 x là giá trị sao cho 0 f x  Quy ước viết tắt 0 0 trong chủ đề: PT có nghĩa là phương trình

2 Tìm nghiệm bằng máy tính Casio Vinacal

Sử dụng chức năng CALC r hoặc chức năng SHIFT SOLVE qr

3 Tìm số nghiệm bằng máy tính Casio Vinacal

Sử dụng chức năng MODE 7 Ta hiểu nếu f a f b  thì phương trình có nghiệm thuộc     0 a b; 

4 Một số công thức Logarit thường gặp

log

(1) log log

log

log

(5) a

m

b a

b x

x

a



1 (2) log log (4) log

1

log

a

t a

a

x

n

a



B VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Đưa về cùng cơ số nếu đưa được các cơ số về một cơ số cơ bản 2, 3, 5

Ví dụ 1: ( THPT Lương Đắc Bằng – 2017)

Phương trình log4x12 2 log 2 4 xlog 48 x3 có hai nghiệm x x , khi đó 1, 2 x1 x2 là

Giải

Phương trình log4x12 2 log 2 4 xlog 48 x3 có TXĐ:D   4; 4 \  1

2

1

2

2

log x 1 2 log 4 x log 4 x

2 2

6

x

x







 TH2: x   1 0 4x 1

Khi đó phương trình đã cho tương đương với 16 x2 4x 4

2

1 2

2 2 6

2 2 6

2 6

x

x

  

 



 Chọn C

Chú ý:

loga x 2loga x và học sinh thường biến đổi sai lầm thành loga x2 2loga x sẽ bị thiếu mất một nghiệm x

Ví dụ 2: ( Đề minh họa THPT – 2018)

Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình 3 9 27 81

2 log log log log

3

A 82

80

Giải

Cách 1: Tự luận

Điều kiện: x 0

1

2

1

3

1

4

3

x

x







 Vậy PT (1) có hai nghiệm và tổng hai nghiệm là 9 1 82

 Chọn A

Cách 2: Casio và Vinacal

Dò 1 nghiệm bằng chức năng SHIFT SOLVE của máy tính Casio Vinacal

Ta thu được nghiệm thứ nhất là 9 Tiếp tục SHIFT SOLVE lần thứ 2 để tìm nghiệm thứ 2

Ta thu được nghiệm thứ hai là 0,1(1) Vậy tổng hai nghiệm là 9 0,1(1) 82

9

 Chọn A

Kinh nghiệm

Với 2 lần SHIFT SOLVE ta thường SOLVE FOR X là 2 và -2 thì sẽ thu được kết quả thuận lợi hơn.

Ví dụ 3:( THPT Kim Liên – 2018)

Tìm n biết

log x log x log x log n x log x luôn đúng với mọi x0,x1.

Giải

Điều kiện: 2 2 2

1 0

x

x x



 Với 0

1

x

x









 thì

log xlog xlog x log n x

2

log 2 log 2 log 2 log 2

log 2.2 2 2 465log 2 log 2 2.2 2 2 2

2 30

31

n

n

n

n









 Chọn C.

Bình luận

log

a

x

x

a

biện luận được thì phải chia trường hợp x = 1 hoặc x 1

Ví dụ 4: (Chuyên ĐHSP HN – 2018)

Tính nghiệm của phương trình  1 

1 5

log 6x 36x 2

  bằng

 Chọn B

Ví dụ 5: (Sở GD&ĐT Hải Dương – 2017)

Phương trình log 5 22 x 2

x

   có hai nghiệm x x Tính 1, 2 P x 1x2x x1 2

 Chọn A

Ví dụ 6: (THPT Chuyên Thái Nguyên – 2017)

log x m 1 log mx x 0 Tìm m để phương trình có nghiệm thực duy nhất

A m = 1 B 3

1

m m





 

 C -3 < m < 1 D m > 1

 Chọn D

Dạng 2: Đặt ẩn phụ nếu các số hạng chứa các thành phần giống nhau

Ví dụ 1: (Sở GD&ĐT Bình Phước – 2017)

Tìm nghiệm của phương trình 3 log 52 2 2log5x 2 2

x



A x log 52 B x 2 C x log 25 D x1,x2

Giải

Ta thấy

5 2

2

1 log 2

log 5 2

 nên nếu đặt log 52 x2 t thì log5x 22 1

t

 

Khi đó phương trình 3 2 2 3 2 0 1

2

t

t t





 Với t  1 log 52 x2 1 5x  2 2 5x0 (vô nghiệm)

Với 2 log 52 x 2 2 5x 2 4 5x 2 log 25

 Chọn C

Tổng kết

Nếu đặt tloga x thì logx a 1

t

 với 0x1

Ví dụ 8: (THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa – Lần 1 – 2017)

Giải phương trình    1 

log 2x 1 log 2x 2 1

A x log 32 và x log 52 B x1;x2

C x log 32 và log2 5

4

Giải

1

2

Lại thấy: 2x 1 2 2 2 x 1

log 2x 2 log 2 log 2x 1 1 log 2x 1

Đặt t log 22 x 1

  khi đó phương trình ban đầu

1

2 2

2 1 1

x

x x

t

t x







  

 



 Chọn D

Phân tích

Ta thấy cơ số 4 có thể đưa về cơ số 2 và 1

2x 2

 nên đặt ẩn phụ log (22 x 1)

Ví dụ 9: (Sở GD&ĐT Hải Dương – 2017)

Tìm m để phương trình log23x m log 3 x 9 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1

 Chọn C

Ví dụ 10: (Chuyên ĐHSP HN – 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình sau có

log x a log x    a 1 0

A a = 1 B a < -1 C Không tồn tại a D a < 1

 Chọn B

Dạng 3: Phương pháp Logarit hóa 2 vế

Ví dụ 11: (Sở GD&ĐT TP HCM – Cụm 8 – 2018)

Các nghiệm của phương trình log 2

2 x

x  có thuộc khoảng nào?

A 5; 3  B 4;1 C 1; 2 D 1;6

Giải

Điều kiện: x > 0 Logarit hóa 2 vế theo cơ số 3 ta được: log2

log x log 2 x

log x log log 2x log log 2 logx x 0

TH1: log3x 0 x1

3

1

log 2

Vậy các nghiệm của phương trình thuộc (-1;6)

 Chọn D

Bình luận

Logarit hóa 2 vế được thực hiện nếu xuất hiện số hạng dạng alogb x

Ví dụ 12: (THPT Chuyên Bắc Giang – Lần 1 – 2017)

Biết rằng phương trình  log 4 2  2  3

   có hai nghiệm x x x1, (2 1x2) Tính 2x1 x2

Giải

Điều kiện : x 2 0  x2

Logarit hóa 2 vế theo cơ số 2:  log 4 2  2  3

log x 2  x  log 4 x 2

log 4 x 2 log x 2 log 4 x 2  1

Nếu đặt t log 2x 2

cho dễ nhìn thì log 42 x 2 log 4 log2  2x 2  2 t

và log 42 x 23  2 3t

2 2

2

x

 



Vì 1 2 2 1 2 2.5 6 1

2

 Chọn D

Bình luận

Ta thấy  log 4 2  2

Dạng 4: Phương pháp phân tích nhân tử nếu phương trình có các số hạng uv u v, ,

Ví dụ 13: (Sở GD&ĐT Bà Rịa Vũng Tàu – Lần 1 – 2017)

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình log5xlog3x 1 log log3x 5x bằng

Giải

PT log x.log3 5x log3x log5x 1 0

log x log x 1 log x 1 0 log x 1 log x 1 0

3

log x 1 x3 3

5

log x 1 x5 5

Vậy tổng bình phương các nghiệm là: 3252 34

 Chọn B

Bình luận

Nếu coi ulog3x và vlog5x thì log log3x 5x uv  Chắc chắn dùng phân tích thành nhân tử.

Ví dụ 14: (Sở GD&ĐT Hải Phòng – Lần 2 – 2017)

Phương trình  2   2  2

ln x  x 1  ln 2x 1 x  x có tổng lập phương các nghiệm bằng

Giải

PT lnx2 x 1 ln 2 x21  2x21  x2 x 1

Xét hàm đại diện: f t lnt t với t đại diện cho x2  và x 1 2x 2 1

Vì

2 2

2

1

0 2

t x



 



Tính f t( ) 1 1 0

t

    trên miền 0;  f x 2 x 1f 2x21 có nghiệm duy nhất trên miền

0;  x2  x 1 2x2 1 x2 x 0 x0;x1

Vậy tổng lập phương các nghiệm là: 0313 1

 Chọn B

Bình luận

ln x  x 1 và hàm đa thức x2 x thì rõ ràng ta tách đối xứng.

Ví dụ 15 : (THPT Chuyên Lào Cai – Lần 1 – 2017)

Cho phương trình

2

2 3

x

   có tổng tất cả các nghiệm bằng

 Chọn A

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 (Sở GD&ĐT Bắc Giang - 2018) Tích các nghiệm của phương trình 3

log 3 log

1 log 9

x

x

x

x 

 bằng

Câu 2 (Sở GD&ĐT Bắc Giang - 2018) Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để

2

log x  2x5  mlogx x 2 5 có hai nghiệm phân biệt là nghiệm của bất phương trình

log x1  log x1 log 4

A 25; 6

4

4

4

4

Câu 3 (THPT Hàn Thuyên - 2018)

Tìm x để đẳng thức sau luôn đúng:  2   

log x  2x 3 log x1 log x 3

3

x

x

 







3

x x

 



 

Câu 4 (Chuyên Hưng Yên - 2018) Phương trình log2x 32log 3.log4 3x2 có bao nhiêu nghiệm?

A Vô nghiệm B 2 nghiệm C Vô số nghiệm D 1 nghiệm

Câu 5 (Sở GD&ĐT TP.HCM - 2018) Phương trình 5  1

5

1 log 10 log

5

x   có nghiệm x a Khi đó đường thẳng y = ax +1 đi qua điểm nào trong các điểm sau đây

A 4; 1  B 2;3 C 1; 14  D 3;5

Câu 6 (Sở GD&ĐT TPHCM - 2018) Cho log3alog4blog12clog13a b c   Hỏi log 144abc

thuộc tập hợp nào sau đây?

A 7 8 9; ;

8 9 10

2 3 4

5 6 7

Câu 7 (THPT Lương Đắc Bằng – Lần 1 - 2018)

Phương trình log4x12 2 log 2 4 xlog 48 x3 có hai nghiệm x x khi đó 1, ,2 x1 x2 là

Câu 8 (Đề Thi THPTQG - 2018) Tìm tập nghiệm S của phương trình log 23 x1 log3x1 1

Câu 9 (Sở GD – ĐT Tp Hồ Chí Minh – Cụm 5 - 2018) Gọi x x là nghiệm của phương trình1, ,2 2

3

log xlog log 27 4 0x   Tính giá trị của biểu thức Alogx1logx2

Câu 10 (Sở GD-ĐT Tp Hồ Chí Minh – Cụm 5 - 2018) Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho

3

log 2019 2 log 2019 3 log 2019 a  a  a  n log 2019 1008n a  2017 log 2019a

Câu 11 (THPT Lê Lợi – Lần 3 - 2018) Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình

4

log 3.2x1  x 1

Câu 12 (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 4 - 2018) Biết rằng phương trình

4 2

log log

3

x

  có hai nghiệm là a,b Khi đó a.b bằng

Câu 13 (Sở GD-ĐT Hải Dương - 2018) Tìm m để phương trình:log23 x m log 3 x 9 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1

Câu 14 (Sở GD-ĐT Tp Hồ Chí Minh – Cụm 8 - 2018) Tập nghiệm của phương trình

Câu 15 (Sở GD-ĐT Tp Hồ Chí Minh – Cum 8 - 2018) Tập nghiệm của phương trình

2

0

ln 1

x





 là

Câu 16 (Đề Minh Họa – Lần 3 – BGD - 2018) Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong 2017; 2017

để phương trình logmx 2logx1 có nghiệm duy nhất?

Câu 17 (Sở GD-ĐT Bình Phước - 2018) Cho phương trình  

3

2

x

  Nếu đặt 2

log

t x ta được phương trình nào sau đây?

A t214t 4 0 B t211 3 0t  C t214t 2 0 D t211t 2 0

Câu 18 (THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Lần 1 - 2018) Phương trình 3 log3x log 33 x 1 0

có tổng các nghiệm bằng:

Câu 19 (THPT TH Cao Nguyên – Lần 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình

2

log x 4log 3x  7 0 là

Câu 20 (THPT Chu Văn An – Lần 2 - 2018) Hỏi phương trình 2log cot3 x log cos2 x có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0; 2017 ?

A 1009 nghiệm B 1008 nghiệm C 2017 nghiệm D 2018 nghiệm

Câu 21 (THPT Thanh Chương – Lần 1 - 2018) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để

phương trình log 52 x 1 log 2.5 2 x 2

m

   có nghiệm thuộc khoảng 0;  

A 1;

4

 

4

  

  C  ;0  2; D 0; 2

Câu 22 (Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Lần 2 - 2018) Tìm tập hợp tất cả các tham số thực m để

phương trình sau có nghiệm thực trong đoạn 5;4

4

  :

3

m

C 7

3

1

2 0

3ln

dx





Câu 23 (Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Lần 2 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình log log3 2x   1

Câu 24 (THPT Chuyên Tuyên Quang – Lần 1 - 2018) Tìm giá trị của tham số m để phương trình

log x log x 1 2m 5 0 có nghiệm trên đoạn 1;3 3

 

Câu 25 (THPT Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1 - 2018) Cho a, b, x là các số thực dương Biết

3 log x2log alog b Tính x theo a và b

A x4a b B

4

a x b

b



Câu 26 (Chuyên Lê Qúy Đôn – Lần 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình

2log x log x3 m có đúng ba nghiệm thực phân biệt

Câu 27 (THPT Chuyên KHTN – Lần 2 - 2018) Số nghiệm thực của phương trình

2log x 3  2 log 3 2 x là

Câu 28 (THPT Chuyên KHTN – Lần 2 - 2018) Phương trình  3 

log x  2x log x1 có bao nhiêu nghiệm

Câu 29 (THPT Chuyên KHTN – Lần 1 - 2018)

Phương trình log log log2 x 4x 6xlog log2x 4 xlog log4 x 6xlog log2x 6x có tập nghiệm là

A  1 B 2; 4;6 C 1;12 D.1; 48 

Câu 30 (THPT Chuyên KHTN – Lần 1 – 2018) Nếu log log2 8 x log log8 2x thì log x bằng 2 2

Câu 31 (THPT Hà Huy Tập – Lần 2 - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

 2 2 1

2

4 log x  log x m  có nghiệm thuộc khoảng 0 0;1 

4

m   

4

m  

4

m    

Câu 32 (THPT Phú Xuyên A – Lần 1 - 2018) Tích các nghiệm của phương trình

25 log 125 logx x x  là 1

A 7

630

1 125

Câu 33 (Sở GD&ĐT Hải Phòng – Lần 2 -2018) Phương trình lnx2 x 1 ln 2 x2 1 x2 x có tổng bình phương các nghiệm bằng

Câu 34 (THPT Chuyên Lào Cai – Lần 1 - 2018) Cho phương trình

2

2 3

x

   có tổng tất cả các nghiệm bằng

Câu 35 (THPT Chuyên Bắc Giang – Lần 1 - 2018) Biết rằng phương trình

 log 4 2  2  3

   có hai nghiệm x x x1, (2 1x2) Tính 2x1 x2

Câu 36 (THPT Chuyên ĐH KHTN – Lần 1 - 2018) Tìm m để phương trình mln 1  x lnx m có nghiệm x 0;1

Câu 37 (TT Diệu Hiền – Tháng 10 – 2018) Hệ phương trình

6

x y





A 1;5 và  5;1 B 3;3 và  4; 2 C 4; 2 và  2; 4 D 2; 4 và  5;1

Câu 38 (TT BDVH 28 Lý Tự Trọng – Lần 1 - 2018) Tìm số nghiệm thực của phương trình

1

logx 2x 2x  3x1 3

Câu 39 (THPT Trần Hưng Đạo – Lần 1 – 2018) Kí hiệu x x là nghiệm của phương trình1, 2

2 4 log 243





 Tính giá trị của biểu thức M x x1 2

Câu 40 (THPT Cẩm Bình – Lần 1 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

log x log x 1 2m1 0 có hai nghiệm thuộc đoạn 1 3

;3 3

Câu 41 (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Lần 1 - 2018) Phương trình 1  3 

3 log 2x 1 log 4x 5 1

có tập nghiệm là tập nào sau đây ?

A 1; 2 B 3;1

9

3

Câu 42 (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Lần 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

log 25x log m x có nghiệm duy nhất

A 41

5

4

1 1 5

m m







 



D m 1

Câu 43 (THPT Công Nghiệp Hòa Bình – Lần 1 - 2018) Tìm m để phương trình

log x log x  3 m có hai nghiệm phân biệt x 1;8

A 2m3 B 2m6 C 2m3 D 3m6

Câu 44 (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình

log x  2x log x  2x2 là

Câu 45 (THPT Chuyên KHTN – Lần 3 - 2018) Tìm m để phương trình mln 1  x lnx m có nghiệm x 0;1

Câu 46 (THPT Chuyên KHTN – Lần 3 - 2018) Tìm tập nghiệm của bất phương trình

A 0;  B 0; 2 C 2;  D 2;   0

Câu 47 (Chuyên Lê Qúy Đôn – Lần 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình

2log x log x3 m có đúng ba nghiệm thực phân biệt

Câu 48 (THPT Chuyên Thái Bình – Lần 3 - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương

trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:  2  

3 log 1 x log x m  4  0



4

m

4

m



Câu 49 (Sở GD&ĐT Bắc Ninh – Lần 1 - 2018) Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình

2log x 3 log x 5 0

D BẢNG ĐÁP ÁN