phương pháp phần tử hữu hạn galerkin yếu cho hệ phương trình navier stokes

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 39Wednesday, June 12, 20246:55:58 PM6:55:58 PM39Wednesday, June 12, 20246:55:58 PM6:55:58 PM39Wednesday, June 12, 20246:55:58 PM6:55:58 PMPhuong phap phan tu huu han

Một số bổ đề

Bổ đề 1.2.1 Giả sử V h   v   v v 0 , b  : v 0 T    P T k     d , e     T , T T h  với

Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier Stokes

392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM

Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier Stokes Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier Stokes

39Wednesday, June 12, 20246:55:58 PM6:55:58 PM39Wednesday, June 12, 20246:55:58 PM6:55:58 PM39Wednesday, June 12, 20246:55:58 PM6:55:58 PM

39Wednesday, June 12, 20246:55:58 PM6:55:58 PM39Wednesday, June 12, 20246:55:58 PM6:55:58 PM39Wednesday, June 12, 20246:55:58 PM6:55:58 PM Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier Stokes

Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier Stokes Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier Stokes Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier Stokes

39Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesWednesday, June 12, 2024

Bổ đề 1.2.2 Toán tử chiếu Q h , Q h , và Q h thỏa mãn tính chất giao hoán sau

 w   Q v h  Q h    v , v [   H 1    ] d (1.6) w.  Q v h Q h   , vv  H div, (1.7) trong đó H div  ,   là không gian hàm vectơ bình phương khả tích và độ phân kỳ của nó luôn là bình phương khả tích

Bổ đề 1.2 3 Tồn tại hằng số dương B độc lập với h sao cho

Dễ thấy có BĐT s u ( xem [5]),   1 0 2 1   0 2

 (1.10) Định nghĩ một chuẩn hác v 1 trên V h cho v  v v 0 , b  nhƣ s u

Khi đó từ ( 1.9) và (1.10) suy ra,

Bổ đề s u đã đƣợc chứng minh trong [3], nó đƣ r một chặn trên cho dạng 3-tuyến tính a sk   ,., bởi chuẩn

1 Định nghĩa trong (1.11) Khi đó ta có

392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM

Không gian hàm suy rộng

Hàm suy rộng

Giả sử  R n là một miền bất kì với n1 Trong lý thuyết hàm suy rộng, không gian tuyến tính C 0    củ hàm trơn trên gọi là không gian thử nghiệm và   C 0     gọi là hàm thử nghiệm Ta nêu khái niệm về tính liên tục của phiếm hàm tuyến tính F :   F     ,  C 0     Hàm F liên tục khi và chỉ khi với mỗi miền con G     , G , tồn tại k  N 0 và C  C F G  ,   0 sao cho

F     C  C k   G hông đổi với mọi   C 0     Không gian tuyến tính C 0     ' của tất cả các phiếm hàm tuyến tính

F C : 0      R ,    C 0     liên tục , đƣợc gọi là không gian hàm suy rộng trong  Ta sử dụng kí hiệu

F      F ,     F ,    cho giá trị của F tại  và đôi hi viết F    F , Mỗi hàm f  L 1 loc    mang lại một hàm suy rộng theo định nghĩ

392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM

Ta kí hiệu hàm suy rộng là  f ,  f ,   hoặc f Do đó t xác định f với hàm suy rộng của nó là  f ,  và có phép nhúng

L loc   C   ( 1.16) Mỗi f  L 1 loc    gọi là một hàm suy rộng chính quy

Xét toán tử vi phân bất kỳ D   D 1  1 D n  n với     1 , ,  n   N 0 n Thì đối với mỗi F  C 0     ' , hàm suy rộng D F   C 0     ' đƣợc định nghĩ bằng cách đặt

    (1.17) Đặc biệt, với mỗi f  L 1 loc    , hàm suy rộng D f     D f  ,    C 0     ' đƣợc định nghĩ bởi

Nếu D f  chính quy thì tồn tại một hàm của L 1 loc    biểu thị qua D f  sao cho

   đối với mọi   C 0     Kí hiệu

D f   L 1 loc    (1.19) là D f  chính quy, coi nhƣ một hàm trong L 1 loc    Giả sử F  C 0     ' và

0 , k  N a   R là toán tử vi phân bất kỳ DF  C 0     ' đƣợc định nghĩ

392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM

Không gian L q

Giả sử   R n n ,  1 là một miền và 1    q Thì L q    là không gian Banach của tất cả các hàm thực Lebesgue đo đƣợc u đƣợc xác định trên  mà có chuẩn hữu hạn

Nếu q  2, L q     L 2    trở thành không gian Hilbert với tích vô hướng

392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM

Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu

Bài toán

(2.1) u = 0 in ,   (2.2) u = 0 on , (2.3) với  là miền đ giác h y hối đ diện trong  d  d  2,3  , u là tốc độ, p là áp lực,  là độ dính của chất lỏng, f là ngoại lực,   u  D 1 2   D u, 2 n 

T đi xây dựng phương pháp phần tử hữu hạn yếu WG cho phương trình Navier – Stokes.

Lưới phần tử hữu hạn Galerkin yếu

Cho T h là phân hoạch của miền chứ đ giác trong hông gi n 2 chiều hoặc một khối đ diện trong không gian 3 chiều thỏa mãn một tập các điều kiện trong [4] Kí hiệu  h là tập các cạnh hoặc mặt phẳng trong T h và cho  h 0   h \  là tập cạnh trong hoặc mặt phẳng trong với mỗi kí hiệu là đường kính và định nghĩ lưới ích thước bởi Kí hiệu C là hằng số độc lập

392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM

14 với lưới ích thước h trên lưới , t định nghĩ WG hông gi n phần tử hữu hạn cho vận tốc nhƣ s u

V h   v   v v 0 , b  : v 0 T    P T k     k , e     T , T T h  Ở đây kí hiệu hông gi n đ thức bậc không lớn hơn T nhấn mạnh rằng chỉ có các giá trị đơn lẻ định nghĩ trên mỗi cạnh Đối với áp suất, t định nghĩ hông gi n phần tử hữu hạn nhƣ s u

T định nghĩ đạo hàm yếu dùng để xác định bó WG nhƣ s u Với và , t định nghĩ gr dient hi đ thức duy nhất thỏa mãn phương trình s u:

W v T ,  r   v 0 , T  r  v T n b , ,  T  P k  1   T  d d  (2.4) và định nghĩ độ phân kì yếu hi đ thức duy nhất thỏa mãn

T T T v      v      v     v  ds , và giới thiệu một số dạng song tuyến tính nhƣ s u

392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM

Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm WG

Chúng ta nghiên cứu tính đúng đắn của bó WG yếu 1 Công cụ chính là định lí điểm cố định Leray – Sch uder Đầu tiên, ta giới thiệu tiêu chuẩn sau cho không gian phần tử hữu hạn WG và V h 0

Tiếp theo, ta trình bày một số bổ đề cần thiết đƣợc sử dụng trong chứng minh kết quả chính Cho Q h và Q h là 2 phép chiếu L 2 đị phương lên P k  1   T và

[P k  T ] d d  Phép chiếu L 2 , Q h của u đến không gian phần tử hữu hạn WG, V h đƣợc xác định bởi Q u h  Q u Q u 0 , b  với Q 0 là L 2 phép chiếu lên [ P T k   ] d và Q b là

Bổ đề 2.2.1 Với       0 , b  ,   v v 0 , b  và w   w , w 0 b  trong V h , ta có a sk ,w   , , w v    h  v w (2.9) trong đó  h là hằng số không phụ thuộc vào h

Chứng minh Từ phương trình (1.13) và (1.12) t có:

392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM

16 Ở đây hằng số N h phụ thuộc vào hằng số trong (1.12) và (1.13) Do đó, nó cũng độc lập với h

Bổ đề đƣợc chứng minh

Tiếp theo ta áp dụng định lí cố định Leray – Sch uder đến bó WG (2.6) và (2.7) và chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm Để kết thúc, ta giới thiệu không gian con tự do phân kì rời rạc D h của V h nhƣ s u

Khi đó công thức WG (2.6) và (2.7) có thể thành lập khi thỏa mãn u h  D h sao cho a u v   h ,   a sk ,   u u v h , , h     f v , , v   D h  2.10 

Cho F D : h  D h là một ánh xạ phi tuyến tính sao cho với mỗi

     là nghiệm củ phương trình tuyến tính sau a   u v h ,  a sk ,   h , u v h ,  f v ,  ,  v D h  2.11  Ánh xạ F rõ ràng là liên tục và do đó comp ct trên hông gi n hữu hạn chiều

D h Nếu  0 và  h thỏa mãn F    h   h Khi đó từ (2.11) ta có  a    h , v    a sk ,     h , h , v     f v , , v D  h  2.12 

Chọn v   h trong (2.12), ta có   a     h , h   a sk ,      h , h , h     f ,  h  , v D   h

392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM

Một số ví dụ

Cho     0,1 2 và thành phần chở f đƣợc chọn cho nghiệm giải tích là

Giả sử  1 Thuật toán Weak Galerkin (2.6) – (2.7) đƣợc thực hiện trên lưới đ giác và lưới tứ giác, xem hình 1

392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM

Hình 1: ( ) lưới đ giác với h = 1/20; (b) lưới hình chữ nhật với h = 1/20

Mô tả lỗi và kết quả hội tụ đƣợc báo cáo trong bảng 1 Ở đây k1, tức là phần tử WG tuyến tính đƣợc sử dụng Từ bảng này, ta thấy H 1  lỗi cho tốc độ và L 2 - lỗi cho áp lực hội tụ theo cáp O h   điều này khẳng định kết quả lý thuyết ( 2.35) Hơn nữa, L 2 - chuẩn cho tốc độ có tỉ lệ hội tụ O h   2 nhƣ mong muốn

Ví dụ 2.3.2 Cho     0,1 2 và thành phần chở f đƣợc chọn sao cho nghiệm giải tích là

Bảng 1: Ví dụ 1: lỗi và tỉ lệ hội tụ cho k = 1

1/h |||u h −Q h u||| Tỉ lệ ku 0 − Q 0 uk Tỉ lệ kp h − Q h pk Tỉ lệ

392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM

Định dạng
Số trang	37
Dung lượng	2,07 MB