phương pháp phần tử hữu hạn galerkin yếu cho hệ phương trình navier stokes

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 39Wednesday, June 12, 20246:55:58 PM6:55:58 PM39Wednesday, June 12, 20246:55:58 PM6:55:58 PM39Wednesday, June 12, 20246:55:58 PM6:55:58 PMPhuong phap phan tu huu han

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

39Wednesday, June 12, 20246:55:58 PM6:55:58 PM39Wednesday, June 12, 20246:55:58 PM6:55:58 PM39Wednesday, June 12, 20246:55:58 PM6:55:58 PM

Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier Stokes

Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier Stokes

Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier Stokes

39Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesWednesday, June 12, 2024

Trang 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn ho học TS Phạm Thị Thủy

Trang 3

Lờ cảm ơ

Luậnvănnàyđượchoànthànhdướisựhướngdẫncủ TS.PhạmThị Thủy Do đây là những iến thức há mới mẻ và hoảng thời gi n nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn hông tránh hỏi những s i sót.Tôi rất mong nhận được những ý iến đóng góp củ quý thầy cô và mọi người để luận

văn được hoàn thiện hơn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Thị Thủy đã trực tiếp gi o đề tài, hướng dẫn và giúp đỡ tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn B n chủ nhiệm Khoa Toán cùng các quý thầy cô đã qu n tâm, nhiệt tình giảng dạy trong suốt khóa học Tôi cũng xin cảm ơn gi đình, bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học và

hoàn thành luận văn Trân trọng cảm ơn!

Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier Stokes392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM

Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier Stokes39Wednesday, June 12, 20246:55:58 PM6:55:58 PM39Wednesday, June 12, 20246:55:58 PM6:55:58 PM39Wednesday, June 12, 20246:55:58 PM6:55:58 PM

Trang 4

Lờ cam đ a

Tôi xin c m đo n rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và hông trùng lặp với đề tài hác Tôi cũng xin c m đo n rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã đƣợc cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã đƣợc chỉ rõ nguồn gốc Nếu phát hiện bất ỳ sự gi n lận nào tôi xin chịu trách nhiệm về nội dung luận văn củ mình

Thái Nguyên, tháng 7 năm 2021

N ƣời viết luậ vă

Trang 5

Mục lục

LỜI CẢM ƠN………… ……… i

LỜI CAM ĐOAN………ii

MỤC LỤC……… iii

Lời nói đầu ………1

C ươ 1 Kiến thức chuẩn bị ……… …….… 3

1.1 Phương trình N vier – Sto es ……….… 3

C ươ 2 Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin cho hệ phương trình N vier – Sto es ……….14

2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu……… 14

2.1.1.Bài toán ……….……….14

2.1.2 Lưới phần tử hữu hạn Galerkin yếu ……… 14

2.2 Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm WG.……… … 16

2.3 Một số ví dụ………26

Kết luận……… ….… 30

Tài liệu tham khảo……….……… ………31

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier Stokes392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM

Trang 6

Lờ ó đầu

Hệ phương trình N vier-Stokes lần đầu tiên được nghiên cứu vào năm 1822 Từ đó đến nay, đã có nhiều công trình nghiên cứu về hệ phương trình này Muốn hiểu được hiện tượng chuyển động của dòng chảy chất lỏng và không khí tự nhiên, sóng dập s u đuôi con tàu chạy trên mặt nước, hiện tượng hỗn loạn của hông hí s u đuôi máy bay khi bay trên bầu trời chúng t đều phải tìm cách giải phương trình Navier – Stokes Do đó, việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính chính quy của nghiệm, đẳng thức năng lượng và đánh giá của nghiệm là rất cần thiết Việc tìm cách giải hệ phương trình N vier – Stokes đóng v i trò cực kỳ quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Gần đây có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu về hệ phương trình N vier-Sto es và đã đạt được những thành tựu quan trọng như T Buc m ster, Z Liang, A Giorgini, A Miranville, J Shuai, R Tem m,… Đặc biệt, phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu để nghiên cứu giải hệ phương trình N vier – Stokes được nhiều nhà khoa học quan tâm

Luận văn “Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương

trình Navier – Stokes ” nghiên cứu và trình bày phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho việc giải hệ phương trình N vier – Sto es trên các đ giác, đ diện

Luận văn được bố cục thành 2 chương cùng với lời nói đầu, ết luận và danh mục tài liệu tham khảo Trong đó, Chương 2 là nội dung chính của luận văn

C ươ 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các hái niệm và kết quả cơ sở cần thiết được sử dụng trong Chương 2

C ươ 2 Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình

Navier – Stokes

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier Stokes392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM

Trang 7

Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu, giới thiệu vi phân yếu và công thức WG cho phương trình N vier – Stokes Từ đó chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm WG Đặc biệt lấy được ước lượng sai số của xấp xỉ WG và trình bày một số thí nghiệm số để chứng minh cho hiệu quả của xấp xỉ WG Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier Stokes

Trang 8

C ươ 1 K ế t ức c uẩ bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày về phương trình N vier-Sto es, một số các hông gi n hàm và tính chất, một vài hái niệm hác để bổ trợ cho việc nghiên cứu chương 2 Tài liệu được trích dẫn từ [1], [3],[5], [6], [8], [11]

1.1 P ươ trì Nav er – Stokes

Cho  Rn là miền tổng quát, hông rỗng với biên là 

Cho u t x ,u t x u t x1   ,, 2 ,, ,u t xn ,là vận tốc củ chất lỏng tại điểm   t x,t x x, , , ,12 xn,t[0, ),T x và cho p t x , là áp suất củ chất lỏng tại  t, x và ngoại lực f t x ,f t x1   ,,f t x2 ,, ,f t xn ,.

Trong vật lý hiện đại chúng t giả sử rằng sự chuyển động củ dòng chảy được miêu tả bởi hệ phương trình

 

div0

      

 (1.1)

với t0,T,x, hệ phương trình này được gọi là hệ phương trình N vier – Sto es Phương trình đầu tiên mô tả sự cân bằng củ các lực theo định luật 2 Newton Điều iện div u 0 thể hiện dòng chảy là đồng nhất và hông nén được

Hằng số v > 0 được gọi là độ nhớt củ dòng chảy, nó phụ thuộc vào tính chất vật lý củ dòng chảy và luôn là hằng số cố định

Trang 9

Số hạng  22

     miêu tả lực m sát giữ các hạt nhỏ củ dòng chảy

 1, 2, , n

  là g r dien củ áp suất p Hệ phương trình N vier – Stokes là một hệ thống gồm n+1 phương trình đạo hàm riêng với n + 1 biến t x, , ,1 xnvà n + 1 hàm chư biết p u, , ,1 un.

Đề nghiên cứu hệ phương trình t thêm điều iện biên u 0

(1.2) Nếu   , điều này có nghĩ là u t x , 0với t 0,T và x T sẽ thêm điều iện b n đầu

u 0u0

(1.3) là vận tốc b n đầu tại thời điểm t = 0, điều này có nghĩ là

    

gọi là hệ Sto es hông dừng

0

u 

    

Trang 10

hv V

v trên Vh cho vv v0, b nhƣ s u 2 2 1  2

eeT TTe

dạng 3-tuyến tính ask .,., bởi chuẩn

Bổ đề 1.2 4 Cho  , ,v Vh và

Định nghĩa trong (1.11) Khi đó ta có

Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier Stokes392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM392412066:55:57 PM6:55:57 PM

Trang 11

  là một miền bất kì với n1 Trong lý thuyết hàm suy rộng, không gian tuyến tính C0  củ hàm trơn trên gọi là không gian thử nghiệm và C0  gọi là hàm thử nghiệm Ta nêu khái niệm về tính liên tục của phiếm hàm tuyến tính F:F  ,C0  Hàm F liên tục khi và chỉ khi với mỗi miền con G   ,G, tồn tại kN0 và CC F G,0 sao cho F C Ck G

hông đổi với mọi C0 

Không gian tuyến tính C0 ' của tất cả các phiếm hàm tuyến tính F C: 0  R,C0 

liên tục , đƣợc gọi là không gian hàm suy rộng trong  Ta sử dụng kí hiệu F F, F,

cho giá trị của F tại  và đôi hi viết F F, Mỗi hàm 1  

fL mang lại một hàm suy rộng theo định nghĩ

   (1.15) Phuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier StokesPhuong phap phan tu huu han Galerkin yeu cho he phuong trinh Navier Stokes

Trang 12

Ta kí hiệu hàm suy rộng là f,.f,. hoặc f Do đó t xác định f với hàm suy rộng của nó là f,. và có phép nhúng

 Thì đối với mỗi FC0 ', hàm suy rộng D F C0 ' đƣợc định nghĩ bằng cách đặt

Trang 13

với mọi C0  Giả sử 1  

fL và 1, ,nN0n Nếu D f chính quy 

tức là D f chính quy và là một hàm chứa trong q 

L Ta viết đơn giản (1.21) như s u

D f   Tương tự, q 

DfL với D như trong (1.19) nghĩ là Df chính quy và là một hàm chứa trong q 

Trang 14

F, F, :F1,1  Fm,m Định nghĩ của mỗi hàm tuyến tính liên tục trên 0  

C  có dạng này Do đó t gọi

fff định nghĩ hàm suy rộng này qua f Khi đó t có phép nhúng

Trang 15

với DD1, ,D  m, 1, ,mC0  m Tương tự,

D f Lq  m,1 q   nghĩ là 1, , q 

Trang 16

   '2

L C  (1.27) Tương tự, xác định mỗi 2  

uL  với u, :u,  ,C0. , ta được phép nhúng tự nhiên

L  C  (1.28) S u đó, t sẽ sử dụng phép chiếu trực giao

C  như s u: Với mỗi   '

FC  ta giả sử

 0 ,

1.3.2 Không gian Sobolev

Lý thuyết củ phương trình N vier – Stokes sẽ được xác định bằng cách sử dụng các hông gi n Sobolev bên dưới Ở đây n

  là miền tùy ý với n1

Giả sử kN và 1  q Thì không gian q

L Sobolev bậc k ,  Wk q 

được định nghĩ là hông gi n của mọi q 

uL sao cho  

Trang 17

Khi đó D u là hàm suy rộng chính quy được định nghĩ bởi một hàm biểu thị qua D u

qL L trở thành không gian Hilbert với tích vô hướng

Trang 18

C ươ 2

P ươ p p p ần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ p ươ trì Nav er – Stokes

Trong Chương 2, trình bày ết quả sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn

Galerkin yếu để chỉ ra sự tồn tại nghiệm và tính duy nhất cho hệ phương trình Navier – Stokes Các kiến thức dùng trong chương được trích dẫn từ các tài liệu [2],[4],[7],[9],[10]

2.1 P ươ p p p ần tử hữu hạn Galerkin yếu 2.1.1 Bài toán

u = 0 on , (2.3) với  là miền đ giác h y hối đ diện trong d2,3

, u là tốc độ, p là áp lực,  là độ dính của chất lỏng, f là ngoại lực,  22

2.1.2 Lưới phần tử hữu hạn Galerkin yếu

Cho Th là phân hoạch của miền chứ đ giác trong hông gi n 2 chiều hoặc một khối đ diện trong không gian 3 chiều thỏa mãn một tập các điều kiện trong [4] Kí hiệu h là tập các cạnh hoặc mặt phẳng trong Th và cho h0 h \

là tập cạnh trong hoặc mặt phẳng trong với mỗi kí hiệu là đường kính và định nghĩ lưới ích thước bởi Kí hiệu C là hằng số độc lập