Lời nói đầu 32.2 Các toán tử trong tập mờ bức tranh... ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh3.1 Một số lớp toán tử t-chuẩn và t-đối chuẩn... Zadeh, đã có nhiều nhóm nghiên cứu tham gia và có n
Tập mờ
Định nghĩa
Cho tậpX 6=∅ Tập A đuợc gọi là tập mờ trên không gian nền X nếu A được xác định bởi hàm: à A :X −→[0,1] x7−→à A (x).
Ta gọi à A là hàm thuộc, vàà A (x) làđộ thuộc của x vào tập mờ A.
Nếuà A (x) = 0 thỡ x được gọi là khụng thuộc A Ngược lại, nếuà A (x) = 1 thỡ x được gọi làhoàn toàn thuộc A. ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh
Hình 1.1: Biểu diễn tập mờ bằng biểu đồ và bằng hàm thuộc
Ví dụ 1.1 ChoA={Những người trung tuổi} Giả sử độ tuổi của Đạt là 55 tuổi và Nhân là 20 tuổi Khi đú, ta cú thể đỏnh giỏ Đạt cú độ thuộcà A (Đạt) = 0.8cũnà A (Nhõn) = 0.0.Điều này thể hiện rằng Đạt có độ thuộc vào trung tuổi lớn còn Nhân không phải người trung tuổi.
Toán tử trên tập mờ
So với tập cổ điển, pháp tuyển và phép hội không còn giới hạn giá trị logic ở 0 và 1 nên người ta cần biểu diễn phép tuyển và phép hội qua lần lượt hai toán tử là t-chuẩn và t-đối chuẩn như sau. Định nghĩa 1.1 T : [0,1] 2 →[0,1]được gọi là một t-chuẩn (t-norm)khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau:
Sau đây là một số ví dụ về số t-chuẩn:
(ii) Xét T(T(x, y), z) = min{min{x, y}, z} = min{x,min{y, z}} = T(x, T(y, z)) với z ∈[0,1].
Xét T(x, y) = min{x, y} ≤min{u, v}=T(u, v). ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh (iv) Xét T(1, x) = min{1, x}=x.
Vậy T(x, y) là một t-chuẩn, còn được gọi là t-chuẩn min, ký hiệu T M (x, y).
Một số t-chuẩn thông dụng khác:
x y= 1 y x= 1 min(x, y) các trường hợp còn lại
Hình 1.2: Biểu diễn củaTM, TP, TL Định nghĩa 1.2 S : [0,1] 2 → [0,1] được gọi là một t-đối chuẩn (t-conorm) khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau:
Sau đây là một số ví dụ về t-đối chuẩn:
• S(x, y) = max{x, y} là một t-đối chuẩn.
(ii) Xét S(S(x, y), z) = max{max{x, y}, z} = max{x,max{y, z}} = S(x, S(y, z)) với z ∈[0,1].
Vậy,S(x, y)là một t-đối chuẩn, còn được gọi là t-đối chuẩn max, ký hiệu S M (x, y). Một số t-đối chuẩn thông dụng khác:
x y= 0 y x= 0 max(x, y) các trường hợp còn lại
Hình 1.3: Biểu diễn củaS M , S P , S L ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh Định nghĩa 1.3 T-chuẩn được gọi là liên tục nếu T(x, y)là hàm liên tục trên [0,1] 2 Tương tự, T-đối chuẩn được gọi làliên tục nếu S(x, y) là hàm liên tục trên [0,1] 2 Định nghĩa 1.4 T-chuẩn được gọi là Archimedean nếu với mọix∈(0,1), T liên tục và thỏa mãn T(x, x)< x.
Tương tự, T-đối chuẩn được gọi làArchimedean nếu với mọi x∈(0,1), S liên tục và thỏa mãn S(x, x)> x. Định nghĩa 1.5 T-chuẩn được gọi là chặt nếu T liên tục và đơn điệu chặt.
T-chuẩn được gọi làlũy linh nếu T liên tục và với mỗi x∈(0,1) đều là phần tử lũy linh của T.
Ví dụ 1.2 Sau đây là một số t-chuẩn chặt và lũy linh:
T(x, y) = xy λ+ (1−λ)(x+y−xy), λ≥1 T-chuẩn lũy linh
T(x, y) = ( 1 a (x+y−1 + (a−1)xy)∨0, a∈(0,1] Định nghĩa 1.6 T-đối chuẩn được gọi là chặt nếu S liên tục và đơn điệu chặt.
T-đối chuẩn được gọi làlũy linh nếu S liên tục và với mỗi x ∈ (0,1) đều là phần tử lũy linh của S.
Ví dụ 1.3 Sau đây là một số t-đối chuẩn chặt và lũy linh:
Mệnh đề 1.1 Mọi t-chuẩn chặt hoặc lũy linh đều là t-chuẩn Archimedean.
Chứng minh Vì T là t-chuẩn chặt, với mọi x, y ∈(0,1), x < y xét:
Hoặc nếuT là t-chuẩn lũy linh, thì ta có tồn tạin∈N\ {0} sao cho:
Mặt khác ta cóT (n) (x, x) = T(T (n−1) (x, x), x)< T(1, x) = T(x,1)⇒T n−1 (x, x)< x. Tiếp tục như vậy ta thu đượcT(x, x)< x hay T là t-chuẩn Archimedean. b Phủ định Định nghĩa 1.7 Cho n : [0,1]→[0,1] là hàm không tăng Hàm n được gọi là hàm phủ định nếu n thoả mãn:
Một số ví dụ về hàm phủ định:
(i) Cho x≤y Xétn(y) = 1−y≤1−x=n(x)⇒n là hàm không tăng.
Vậy n là một phủ định, còn được gọi là phủ định chuẩn.
Một số phủ định thông dụng khác:
0 các trường hợp còn lại ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh
Hình 1.4: Biểu diễn hình học của một số phép phủ định Định nghĩa 1.8 Phép phủ định được gọi là có tính cuộn nếu thỏa mãn n(n(a)) = a với mọia∈[0,1].
Có thể dễ dàng thấy phủ định chuẩn, Sugeno và Yager là những phép phủ định có tính cuộn.
Tập mờ trực cảm
Định nghĩa
Cho không gian nềnX 6=∅ Tập mờ trực cảm (Intuitionistic Fuzzy Set - IFS) có dạng:
• à A (x): độ thuộc của x vào tập A.
• ν A (x): độ không thuộc của x vào tập A.
• 1−àA(x)−νA(x): độ lưỡng lự của xvào tập A. Định nghĩa 1.9 Tập L ∗ được định nghĩa như sau:
Với haiphần tử đơn vị 1 L ∗ = (1,0),0 L ∗ = (0,1).
Và vớix, y ∈L ∗ , định nghĩa quan hệ thứ tự ≤L ∗ : x≤ L ∗ y⇔(x 1 ≤y 1 )∧(x 2 ≥y 2 ) Nếux, y không so sánh được với nhau, ta ký hiệu xk L ∗ y.
Hình 1.5: Biểu diễn x trên tập L ∗ ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh
Các toán tử trên tập mờ trực cảm
Định nghĩa 1.10 Cho hàm không tăngN :L ∗ →L ∗ N được gọi là hàm phủ định trực cảm nếu thỏa mãn:
NếuN(N(x)) = x thì ta gọi N là phủ định mờ trực cảm có tính cuộn.
Ví dụ 1.4 N S (x) = (x 2 , x 1 ) là một phủ định mờ trực cảm có tính cuộn và được gọi là phủ định chuẩn.
Cho x≤ L ∗ y, ta cần chứng minhN S (y)≤ L ∗ N S (x).
⇒ N S (y)≤ L ∗ N S (x). Định nghĩa 1.11 Cho ánh xạ T : (L ∗ ) 2 →L ∗ T được gọi làt-chuẩn mờ trực cảm nếu thỏa mãn:
(iv) T(1 L ∗ , x) =x, ∀x∈L ∗ Định nghĩa 1.12 Cho ánh xạ S : (L ∗ ) 2 → L ∗ T được gọi là t-đối chuẩn mờ trực cảm nếu thỏa mãn:
Ví dụ 1.5 Một vài ví dụ về T-chuẩn mờ bức tranh và T-đối chuẩn mờ bức tranh:
4 S(x, y) = (x 1 y 1 , x 2 +y 2 −x 2 y 2 ). Định nghĩa 1.13 T-chuẩn mờ trực cảm được gọi là biểu diễn được nếu tồn tại t 1 (x, y), s 2 (x, y)lần lượt là t-chuẩn mờ, t-đối chuẩn mờ trên [0,1] mà:
Tương tự như vậy, t-đối chuẩn mờ trực cảm được gọi là biểu diễn được nếu tồn tại t 1 (x, y), s 2 (x, y)lần lượt là t-chuẩn mờ, t-đối chuẩn mờ trên [0,1] mà:
Tập mờ bức tranh và một số bộ ba
Giới thiệu về tập mờ bức tranh
Định nghĩa 2.1 Cho X 6=∅là tập nền, tập mờ bức tranh (Picture Fuzzy Set - PFS) A được định nghĩa:
• ηA(x): độ trung lập của x vào A.
• ν A (x): độ không thuộc của x vào A.
• 1−(à A (x) +η A (x) +ν A (x)): độ từ chối đỏnh giỏ củax vào A. Định nghĩa 2.2 Để dễ làm việc hơn với tập mờ bức tranh, ta định nghĩa tập D ∗ như sau:
Với phần tử đơn vị1 D ∗ = (1,0,0)và 0 D ∗ = (0,0,1).
Với x, y ∈D ∗ , ta định nghĩa một quan hệ thứ tự ≤ 1 : x≤ 1 y⇔ ((x 1 < y 1 )∧(x 3 ≥y 3 ))
Nếu x và y không có quan hệ ≤ 1 với nhau, tức không thoả mãn đồng thời x ≤ 1 y và y≤ 1 x, ta gọix và y không so sánh được, ký hiệu xk≤ 1y.
Theo [5],ta có (D ∗ ,≤ 1 )là một dàn đầy đủ.
Vậy từ giờ, khi làm việc với tập mờ bức tranh, ta sẽ làm việc trên tậpD ∗
Quy ước: Để tiện cho việc chứng minh sau này, ta quy ước như sau:
1 Với quan hệ thứ tự ≤ 1 , xét ba tập sau:
B 3 ={(x, y)∈(D ∗ ) 2 |(x 1 =y 1 )∧(x 2 ≤y 2 )∧(x 3 =y 3 )}. ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh
2 S 1 (x, y), S 2 (x, y), S 3 (x, y) lần lượt là thành phần thứ nhất, hai và ba của S(x, y).
3 Tương tự, T 1 (x, y), T 2 (x, y), T 3 (x, y) lần lượt là thành phần thứ nhất, hai và ba của
Các toán tử trong tập mờ bức tranh
Phép phủ định
Định nghĩa 2.3 Một ánh xạ không tăng N : D ∗ → D ∗ được gọi là một phép phủ định nếu thoả mãn:
• N(1 D ∗ ) = 0 D ∗ Định nghĩa 2.4 Nếu phép phủ địnhN thoả mãn N(N(x)) = xvới∀x∈D ∗ thìN được gọi là phép phủ định cuộn.
Ví dụ 2.1 Ta có hai phép phủ định thường được dùng:
N S (x) = (x 3 , x 4 , x 1 )với x 4 = 1−(x 1 +x 2 +x 3 ) (phủ định chuẩn) Trong đó,N S (x) là một phủ định cuộn.
Lấy tùy ý x, y ∈D ∗ , x≤ 1 y, ta cầm chứng minh N 0 (y)≤ 1 N 0 (x).
Vậy N 0 (x)là một phủ định.
Tuy nhiên, N 0 (N 0 (x)) = (x 1 ,0, x 3 ) 6= x với mọi x ∈ D ∗ nên N 0 (x) không phải là một phủ định cuộn.
(ii) Tương tự (i), ta chứng minh được rằng N S (x)là một phủ định.
Xét NS(NS(x)) = NS(x3,1−x1−x2 −x3, x1) = (x1, x2, x3) = x với mọi x ∈ D ∗
Do đó, N S (x)là một phủ định cuộn.
T-chuẩn
Hình 2.2: Minh họa I(x) trên tập D ∗ Nhận thấy, tậpI(x) khi chiếu xuống tập mờ trực cảm sẽ chính là một điểm của tập mờ trực cảm. ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh Định nghĩa 2.6 Cho ánh xạ T :D ∗2 →D ∗ , T được gọi là t-chuẩn nếu với∀x, y, z ∈D ∗ thoả mãn:
Ví dụ 2.2 (Một số t-chuẩn:).
Chứng minh Ta chứng minh T inf (x, y)là một t-chuẩn mờ bức tranh.
(ii) Với mọi x, y, z ∈D ∗ , xét các trường hợp sau:
• TH1: , x, y, z so sánh được với nhau.
Không giảm tổng quát, giả sử y≤ 1 z, x≤ 1 y, x≤ 1 z.
T inf (x, T inf (y, z)) = min{x, y, z}=T inf (T inf (x, y), z).
• TH2: x, y, z không so sánh được với nhau.
• TH3: x so sánh được với y, z;y, z không so sánh được với nhau.
Dow:= (y 1 ∧z 1 ,1−(y 1 ∧z 1 )−(y 3 ∨z 3 ), y 3 ∨z 3 )là infimum củay, z nênx≤ 1 w. Vậy T inf (x, T inf (y, z)) =x= inf{inf{x, y}, z}=T inf (T inf (x, y), z).
Nếu y≤ 1 x, z ≤ 1 y: ⇒inf{y, z} ≤ 1 y≤ 1 z ⇒T inf (x,inf{y, z}) = inf{y, z}. Xét T inf (T inf (x, y), z) =T inf (y, z) = inf{y, z}.
• TH4: x không so sánh được với y, z; y, z so sánh được với nhau.
Không mất tổng quát, giả sử y≤z Xét:
Mặc khác, T inf (x, y)≤ 1 y≤ 1 z ⇒T inf (T inf (x, y), z) = T inf (x, y).
Vậy, T inf (x, T inf (y, z)) = T inf (T inf (x, y), z).
• TH1: Với x, y;x, z so sánh được với nhau Dễ dàng thấy khi đó:
• TH2: Với x, y;x, z không so sánh được với nhau Khi đó ta có:
T inf (x, z) = (x 1 ∧z 1 ,1−(x 1 ∧z 1 )−(x 3 ∧z 3 ), x 3 ∨z 3 ) ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh y 1 < z 1 , y 3 ≥z 3
(iv) Ta có: T inf (1 D ∗ , x) = min{1 D ∗ , x}=x∈I(x).
Vậy Tinf(x, y) là một t-chuẩn mờ bức tranh.
T-đối chuẩn
Định nghĩa 2.7 Cho ánh xạ S:D ∗ 2 →D ∗ ,S được gọi làt-đối chuẩn nếu với ∀x, y, z ∈
Ví dụ 2.3 (Một số t-đối chuẩn:).
Chứng minh Ta chứng minh S sup (x, y) là một t-đối chuẩn mờ bức tranh.
(ii) Với mọi x, y, z ∈D ∗ , xét các trường hợp sau:
• TH1: , x, y, z so sánh được với nhau.
Không giảm tổng quát, giả sử y≤ 1 z, x≤ 1 y, x≤ 1 z.
S sup (x, S sup (y, z)) = max{x, y, z}=S sup (S sup (x, y), z).
• TH2: x, y, z không so sánh được với nhau.
• TH3: x so sánh được với y, z;y, z không so sánh được với nhau.
Do k := (y1 ∨ z1,0, y3 ∧ z3) là supremum của y, z nên k ≤1 x Vậy
S sup (x, S sup (y, z)) =x= sup{sup{x, y}, z}=S sup (S sup (x, y), z).
Nếu x≤1 y, x≤1 z:⇒x≤1 y≤1 sup{y, z} ⇒Ssup(x,sup{y, z}) = sup{y, z}.Xét S sup (S sup (x, y), z) = S sup (y, z) = sup{y, z}. ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh
• TH4: x không so sánh được với y, z; y, z so sánh được với nhau.
Không mất tổng quát, giả sử z ≤y Xét:
Mặc khác, z ≤ 1 y≤ 1 S sup (x, y)⇒S sup (S sup (x, y), z) = S sup (x, y).
Vậy, S sup (x, S sup (y, z)) =S sup (S sup (x, y), z).
• TH1: Với x, y;x, z so sánh được với nhau Dễ dàng thấy khi đó:
• TH2: Với x, y;x, z không so sánh được với nhau Khi đó ta có:
(iv) Ta có: S sup (0 D ∗ , x) = max{0 D ∗ , x}=x∈I(x).
Vậy S sup (x, y) là một t-đối chuẩn mờ bức tranh.
Bộ ba De Morgan
Định nghĩa
ChoT, S lần lượt là t-chuẩn, t-đối chuẩn mờ bức tranh.N là phủ định mờ bức tranh Khi đó, một bộ ba(T, N, S) được gọi là bộ ba De Morgan nếu chúng thoả mãn:
Khi đó, T và S được gọi là đối ngẫu qua N.
Mệnh đề 2.1 Cho N là phủ định mờ bức tranh có tính cuộn Khi đó, hai mệnh đề sau tương đương với nhau:
Hệ quả 2.1 Với N có tính cuộn, chỉ cần kiểm tra một trong hai điều kiện De Morgan. ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh
Một số bộ ba De Morgan
Sau đây là một số cặp T-chuẩn, T-đối chuẩn kết hợp với N S (x) để thành các bộ ba De Morgan.
(x 1 ∧y 1 ,1−(x 1 ∧y 1 )−(x 3 ∧y 3 ), x 3 ∨y 3 ) khi xk ≤ 1 y x∧y trường hợp khác
(x1∨y1,0, x3∧y3) khi xk≤ 1y x∨y trường hợp khác
Kiểm tra các bộ ba De Morgan
Lược đồ kiểm tra
• Bước 1: Kiểm tra T(x, y), S(x, y) là t-chuẩn, t-đối chuẩn, N(x)là phủ định.
• Bước 2: Kiểm tra có thỏa mãn điều kiện De Morgan không.
Kiểm tra
Vì ta đã chứng minh N S (x) là một phủ định có tính cuộn ở Ví dụ 2.1, nên trong phần này, ta sẽ lược bớt phần chứng minh phủ định và chỉ cần phải chứng minh một trong hai điều kiện De Morgan.
(x 1 ∧y 1 ,1−(x 1 ∧y 1 )−(x 3 ∧y 3 ), x 3 ∨y 3 ) khi xk≤ 1 y x∧y trường hợp khác
1 Kiểm tra T(x, y) là t-chuẩn, S(x, y) là t-đối chuẩn: Đã chứng minh trong Ví dụ 2.2, Ví dụ 2.3.
2 Kiểm tra điều kiện De Morgan
• TH2: Không giảm tổng quát, giả sửx≤ 1 y ⇒N S (y)≤ 1 N S (x) Xét:
Vậy (Tinf, NS, Ssup)là một bộ ba De Morgan.
T min (x, y) = (x 1 ∧y 1 , x 2 ∧y 2 , x 3 ∨y 3 ) minS(x, y) = (x 1 ∨y 1 ,1−(x 2 ∧y 2 )−(x 3 ∨y 3 )−(x 4 ∨y 4 ), x 3 ∧y 3 ) ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh
• Do bao gồm các hàm min, max nên dễ thấy, T(x, y) =T(y, x) với mọix, y ∈D ∗
min{x 1 , y 1 }= min{x 1 , z 1 } max{x 3 , y 3 }= max{x 3 , z 3 } min{x 2 , y 2 }= min{x 2 , z 2 }
Vậy,T(x, y)là một t-chuẩn mờ bức tranh.
2 Kiểm tra S(x, y) là t-đối chuẩn:
max{x 1 , y 1 }= max{x 1 , z 1 } min{x 3 , y 3 }= min{x 3 , z 3 } Xét y 2 ≤z 2 ⇒y 4 ≥z 4 ⇒ −max{x 4 , y 4 } ≤ −max{x 4 , z 4 }
• XétS(0D ∗ , x) = (max{0, x1},1−max{0, x1} −min{1, x3} −min 0, x4,min{0, x3}) (x 1 ,1−x 1 −x 3 , x 3 )∈I(x).
Vậy,S(x, y)là một t-chuẩn mờ bức tranh.
3 Kiểm tra điều kiện De Morgan ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh Xét
Vậy (T, S, N S ) là một bộ ba De Morgan.
• Dễ dàng thấy T(x, y) =T(y, x) với mọix, y ∈D ∗
Vậy, T(x, y)là một t-chuẩn mờ bức tranh.
2 Kiểm tra S(x, y) là t-đối chuẩn: Đầu tiên ta viết lại:
• Sau khi viết lại, dễ dàng nhận thấy S(x, y) = S(y, x) với mọix, y ∈D ∗
Dễ dàng thấy S 3 (x, S(y, z)) =S 3 (S(x, y)z), suy ra S(x, S(y, z)) =S(S(x, y), z). ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh
Vậy S(x, y) là một t-đối chuẩn mờ bức tranh.
3 Kiểm tra điều kiện De Morgan
Vậy (T, N S , S) là bộ ba De Morgan.
• Do min,max có tính kết hợp, ta có:
Vậy T(x, y)≤ 1 T(x, z). ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh
Vậy T(x, y) là một t-chuẩn mờ bức tranh.
2 Kiểm tra S(x, y) là t-đối chuẩn:
Một cách tương tự, ta cũng suy raS 1 (x, S(x, y)) = S 1 (S(x, y), z)vàS 1 (x, S(x, y)) S 1 (S(x, y), z).
• Ta có: S(0 D ∗ , x) =S((0,0,1), x) = (x 1 ,1−x 1 −x 3 , x 3 )∈I(x) với mọix∈D ∗ Vậy S(x, y) là một t-đối chuẩn mờ bức tranh.
3 Kiểm tra điều kiện De Morgan
Do đó, (T, N S , S) là một bộ ba De Morgan.
Một số lớp các toán tử và bộ ba De Morgan mới trong logic mờ bức tranh
Một số lớp toán tử t-chuẩn và t-đối chuẩn
Lớp t-chuẩn, t-đối chuẩn biểu diễn được
Định nghĩa 3.1 Một t-chuẩn T(x, y)/t-đối chuẩn S(x, y)mờ bức tranh được gọi là biểu diễn được khi và chỉ khi tồn tại t 1 , t 2 là hai t-chuẩn và s 3 là t-đối chuẩn trên [0,1] mà với mọix, y ∈D ∗
0≤t 1 (x 1 , y 1 ) +t 2 (x 2 , y 2 ) +s 3 (x 3 , y 3 )≤1 , ∀x, y ∈D ∗ Định nghĩa 3.2 Một t-chuẩn mờ bức tranh được gọi là Archimedean khi và chỉ khi
∀x∈D ∗ r{0 D ∗ ,1 D ∗ }, T(x, x)< 1 x Định nghĩa 3.3 Một t-đối chuẩn mờ bức tranh được gọi là Archimedean khi và chỉ khi
∀x∈D ∗ r{0 D ∗ ,1 D ∗ }, S(x, x)> 1 x Định nghĩa 3.4 Một t-chuẩn mờ bức tranh được gọi là lũy linh khi và chỉ khi
Một t-đối chuẩn mờ bức tranh được gọi là chặt khi và chỉ khi
∀x, y ∈D ∗ r{0 D ∗ }, T(x, y)6= 0 D ∗ Định nghĩa 3.5 Một t-đối chuẩn mờ bức tranh được gọi là lũy linh khi và chỉ khi
Một t-đối chuẩn mờ bức tranh được gọi là chặt khi và chỉ khi
Khi đó, dễ thấy T ∗ ∩T ∗∗ =∅ và S ∗ ∩S ∗∗ =∅.
Mệnh đề 3.2 Với t 1 , t 2 , s 3 là Archimedean, với mọi x, y ∈D ∗ , ta có:
Chứng minh Với mọi x, y ∈ D ∗ r {0 D ∗ ,1 D ∗ } có t 1 (x 1 , y 1 ), t 2 (x 2 , y 2 ), s 3 (x 3 , y 3 ) là Archimedean nênt 1 (x 1 , x 1 )> x 1 , t 2 (x 2 , x 2 )> x 2 , s 3 (x 3 , x 3 )< x 3
Do đó, T(x, x)1 xhay T(x, y), S(x, y)là Archimedean.
Các lớp con của toán tử t-chuẩn, t-đối chuẩn biểu diễn được
Nhận xét: Từ lớp t-chuẩn/t-đối chuẩn mờ bức tranh biểu diễn được, kết hợp với các t-chuẩn/t-đối chuẩn mờ chặt, lũy linh từ Chương 1, ta có thể phân lớp các toán tử này ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh thành nhiều lớp con.
Trong [5], Bùi Công Cường và nhóm nghiên cứu của mình đã công bố 31 cặp T-chuẩn, T-đối chuẩn được phân loại thành nhiều lớp khác nhau dựa trên tính chặt/lũy linh của t 1 , t 2 , s 3 Một số các cặp T-chuẩn, T-đối chuẩn đó được trình bày sau đây:
• Lớp t-chuẩn chặt-chặt-chặt ∆ sss
• Lớp t-chuẩn lũy linh-lũy linh-lũy linh ∆ nnn
• Lớp t-chuẩn lũy linh-lũy linh-chặt ∆ nns
• Lớp t-chuẩn chặt-lũy linh-chặt ∆ sns
• Lớp t-chuẩn lũy linh-chặt-chặt ∆nss
Mệnh đề 3.3 Không tồn tại lớp t-chuẩn biểu diễn được T(x, y) (t 1 (x 1 , y 1 ), t 2 (x 2 , y 2 ), s 3 (x 3 , y 3 )) trong đó s 3 là t-đối chuẩn lũy linh và t 1 hoặc t 2 là t-chuẩn chặt.
Do s 3 (x, y) là lũy linh, tức tồn tại x 3 , y 3 ∈(0,1)sao cho s 3 (x 3 , y 3 ) = 1 Hơn nữa, t 1 (x, y) vàt 2 (x, y)là chặt, hay t 1 (x, y), t 2 (x, y)>0 với mọix, y ∈[0,1].
Suy ra t 1 (x 1 , y 1 ) +t 1 (x 2 , y 2 ) +s 3 (x 3 , y 3 )>1, trái với giả thiết T(x, y) là t-chuẩn mờ bức tranh.
• Lớp t-đối chuẩn chặt-chặt-chặt ∇ sss
• Lớp t-đối chuẩn lũy linh-lũy linh-lũy linh ∇ nnn
S 4 (x, y) = (1∧(x a 1 +y 1 a ) 1 a ,((x 2 +y 2 −1)(1 +λ 1 )−λ 1 x 2 y 2 )∨0,((x 3 +y 3 −1)(1 + λ 2 )−λ 2 x 3 y 3 )∨0), λ 1 , λ 2 ∈[0,+∞), a ≥1 ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh
• Lớp t-đối chuẩn chặt-lũy linh-lũy linh ∇ snn
• Lớp t-đối chuẩn chặt-lũy linh-chặt ∇ sns
• Lớp t-đối chuẩn chặt-chặt-lũy linh ∇ssn
Mệnh đề 3.4 Không tồn tại lớp t-đối chuẩn biểu diễn được S(x, y) (s 3 (x 1 , y 1 ), t 1 (x 2 , y 2 ), t 2 (x 3 , y 3 )) trong đós 3 là t-đối chuẩn lũy linh vàt 1 hoặct 2 là t-chuẩn chặt.
Chứng minh Tương tự mệnh đề 3.9
Mệnh đề 3.5 Với N 0 = (x 3 ,0, x 1 ), ta có một số bộ ba De Morgan như sau:
Vậy (T3, N0, S3) là một bộ ba De Morgan.
Vậy (T 4 , N 0 , S 4 ) là một bộ ba De Morgan. ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh
Một số lớp toán tử phủ định
Lớp phủ định α
Mệnh đề 3.6 Cho α∈[0,1], khi đó, N α (x) = (x 3 , αx 4 , x 1 ) là một phủ định trên D ∗
Lấy tùy ý x, y ∈D ∗ , x≤ 1 y, ta cần chứng minhN α (y)≤ 1 N α (x).
Vậy,N α (x) là một phủ định trên D ∗
Lớp phủ định ϕ
Mệnh đề 3.8 Cho ϕ(a) : [0,1−x 1 −x 3 ]→[0,1]là một song ánh, không giảm. n(x) : [0,1]→[0,1] là một phủ định cuộn mờ.
Khi đó, phủ định n¯ =ϕ −1 ◦n◦ϕ là một phủ định cuộn trên [0,1−x 1 −x 3 ].
Chứng minh Ta có n(x) =¯ ϕ −1 (n(ϕ(x))) Xét: ¯ n(0) =ϕ −1 (n(ϕ(0))) =ϕ −1 (n(0)) =ϕ −1 (0) = 1−x 1 −x 3 ¯ n(1−x 1 −x 3 ) =ϕ −1 (n(ϕ(1−x 1 −x 3 ))) =ϕ −1 (n(1)) =ϕ −1 (0) = 0.
Lấy tùy ý x, y ∈[0,1−x 1 −x 3 ], x≤y Ta cần chứng minh n(x)¯ ≥n(y).¯
Thật vậy, vì ϕlà hàm không giảm nên ϕ − 1cũng là hàm không giảm. x≤y ⇒ϕ(x)≤ϕ(y)⇒n(ϕ(x))≥n(ϕ(y))⇒ϕ −1 (n(ϕ(x))) ≥ϕ −1 (n(ϕ(y)))
Vậy,n(x)¯ là một phủ định cuộn mờ trên[0,1−x1−x3].
Mệnh đề 3.9 Cho n(x) : [0,¯ 1−x 1 −x 3 ]→[0,1−x 1 −x 3 ] là một phủ định cuộn mờ. Khi đó, N(x) = (x 3 ,n(x¯ 2 ), x 1 ) là một phủ định cuộn mờ bức tranh.
Lấy tùy ý x, y ∈D ∗ , x≤ 1 y Ta cần chứng minh N(y)≤N(y).
Vậy,N(x)là một phủ định cuộn mờ bức tranh. ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh
Hệ quả 3.1 Dựa vào lớp phủ định ϕ, ta có thể sử dụng nhiều lớp phủ định cuộn mờ, kết hợp vớiϕ để tạo ra các phủ định mờ bức tranh có tính cuộn mới.
Ví dụ 3.1 Một số hàmϕ ϕ 1 (x 2 ) x 2
Một số phủ định cuộn mờ bức tranh thuộc lớp ϕ
• Dựa trên phủ định mờ chuẩn n(a) = 1−a
• Dựa trên phủ định mờ Sugeno n(a) = 1−a
• Dựa trên phủ định mờ Yager n(a) = (1−a p ) 1 p , với p > 0
Mở rộng lớp phủ định ϕ
Mệnh đề 3.10 Cho n là một phủ định mờ, n(x) : [0,¯ 1−x 1 −x 3 ]→ [0,1−x 1 −x 3 ] là một phủ định cuộn mờ vàα ∈[0,1].
Nˆ α 3 (x) = (1−n(x3), α¯n(x2), n(1−x1)), ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh
Nˆ α 4 (x) = (1−n(x 3 ), α¯n(x 2 ),1−n(x 1 )) là các phủ định mờ bức tranh.
Chứng minh Ta chứng minh Nˆ α 1 (x) = (n(1−x 3 ), α¯n(x 2 ),1−n(x 1 )).
Lấy tùy ý x≤ 1 y, ta cần chứng minhNˆ α 1 (y)≤ 1 Nˆ α 1 (x)
Vậy, N α 1 (x)là một phủ định mờ bức tranh.
Với N α 2 (x), N α 3 (x), N α 4 (x), chứng minh tương tự.
(i) Nếu n là phủ định mờ có tính cuộn và α= 1 thì Nˆ 1 i (x), i= 1,2,3,4 là phủ định mờ bức tranh cuộn.
Vậy Nˆ α 3 (x)là một phủ định cuộn.
= (x 3 ,0, x 1 ) =N 0 (x). ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Nguyễn Huy Anh
Xây dựng một số bộ ba De Morgan mới
Định lý 3.1 Cho N là phủ định cuộn mờ bức tranh.
(i) Cho T là một t-chuẩn mờ bức tranh Khi đó, toán tử S được định nghĩa:
S(x, y) = N(T(N(x), N(y))) là một t-đối chuẩn mờ bức tranh và(T, N, S) là một bộ ba De Morgan mờ bức tranh. (ii) Cho S là một t-đối chuẩn mờ bức tranh Khi đó, toán tử T được định nghĩa:
T(x, y) = N(S(N(x), N(y))) là một t-chuẩn mờ bức tranh và (T, N, S) là một bộ ba De Morgan mờ bức tranh.
Chứng minh Ta chứng minh (i).
=N(T(T(N(x), N(y)), N(z))) (do T có tính kết hợp)
Mặt khác, S(x, y) là một t-đối chuẩn và N(z) ≤ 1 N(y) suy ra T(N(x), N(z)) ≤ 1
Do T là một t-chuẩn nên có y := T(N(x),1 D ∗ ) ∈ I(N(x)), vậy có thể biểu diễn y = (pr 1 N(x), y 2 , pr 3 N(x))
Theo [6], x 1 =pr 1 N(y), x 3 =pr 3 N(y) do đó N(y)∈I(x).
Chú thích: pr 1 (x) = x 1 , pr 3 (x) = x 3 lần lượt là hình chiếu của x lên các không gian tương ứng.
Từ S(x, y) = N(T(N(x), N(y))), và N là phủ định cuộn mờ bức tranh, dễ thấy N(S(x, y)) =T(N(x), N(y)), hay chính là điều kiện De Morgan.
Hệ quả 3.2 Từ định lý 3.1, kết hợp với họ phủ định cuộn mờ bức tranhϕ, ta có thể xây dựng các bộ ba De Morgan từ các t-chuẩn mờ bức tranh đã có.
Vậy (T 1 , N 1 , S 1 )là một bộ ba De Morgan mờ bức tranh.
Tương tự, ta có thể xây dựng từ N2(x) = (x3,p 3
Và (T 1 , N 2 , S 2 ) là một bộ ba De Morgan mờ bức tranh mới.
• Qua việc thực hiện đồ án tốt nghiệp, em đã đạt được một số kết quả sau:
1 Hiểu được lý thuyết cơ bản của tập mờ và tập mờ bức tranh, một số toán tử chính.
2 Xác định, chứng minh một số bộ ba De Morgan.
3 Xây dựng một phương pháp để tạo nên các toán tử phủ định mới, có tính cuộn.
Từ đó dễ dàng xây dựng nên các bộ ba De Morgan sau này.
4 Các phủ định cuộn mờ bức tranh và các t-chuẩn, t-đối chuẩn xây dựng được có thể áp dụng trong phép kéo theo bức tranh.
5 Phần chương 3 đã được thầy Bùi Công Cường chấp thuận có trong báo cáo gửi đại hội toán học toàn quốc lần thứ 9, năm 2018.
• Ngoài ra, đồ án tốt nghiệp cũng còn một số hạn chế như sau:
1 Lý thuyết xây dựng được hiện còn hạn chế về mặt ứng dụng.
2 Việc sử dụng các bộ ba De Morgan này trong suy diễn còn khá cồng kềnh, chưa có bài toán cụ thể để áp dụng.
Do thời gian và kinh nghiệm hạn chế, báo cáo này không thể tránh khỏi sai sót Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu từ thầy cô giáo và các bạn.
Một số cặp T-chuẩn, T-đối chuẩn trong tập mờ:
7 T(x, y) = π 2 arccos(min(1,cos( π 2 x) + cos( π 2 y)) (Mizumoto)S(x, y) = π 2 arccos(min(1,sin( π 2 x) + sin( π 2 y))
