Kinh Tế - Quản Lý - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Kinh tế TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KÉ TOÁN MỘT SỐ ÚNG DỤNG TRONG KINH TẾ CỦA BỘ LỌC KALMAN SOME ECONOMIC APPLICATIONS OF KALMAN FILTER Ngày nhận bài Ngày nhận kết quả phản biện Ngày duyệt đăng 28.1.2022 04.4.2022 28.4.2022 ThS. Đặng Thị Kiêm Hồng - ThS. Huỳnh Thị Thanh Ri Trường Đại học Tài chính - Kế toán TÓM TẮT Bài viết giới thiệu các phần mở rộng khác nhau cho bộ lọc Kalman tuyến tính đirợc phát triển đầu tiên của Kalman (I960) thông qua các ví dụ về việc sử dụng chúng trong kinh tế học. Đầu tiên là mô hình hồi quy tuyến tính có thời gian thay đổi phân tích những yếu tổ ảnh hưởng đến nhu cầu dự trữ quốc tế, mô hình chuyên mạch Markov, bộ lọc Kalman với các sai số tương quan trong định giá phí bảo hiểm rủi ro tỷ giá hối đoái, bộ lọc Kalman mở rộng với một số thành phần không quan sát được và mô hình biến động ngẫu nhiên trong Kinh tế lượng. Từ khoá: Bộ lọc Kalman tuyến tính, ứng dụng bộ lọc Kalman trong kinh tế. ABSTRACT The article introduces various extensions to the linear Kalmanfilterfirst developed by Kalman (1960) through examples of their use in economics. The first is linear regression model with variable time analyzing factors affecting international reserve demand, Markov switching model, Kalman filter with correlation errors in premium pricing, exchange rate risk, extended Kalman filter with some unobserved components and random volatility model in econometrics. Keywords: Linear Kalman filter, Kalman filter application in economics. 1. Bộ lọc Kalman tuyến tính Gọi Zt e JT là (các) giá trị quan sát cho biến z và gọi X'''' e Rm là vectơ của (các) biến không quan sát trong thực tế. Mối quan hệ giữa z và X được giả định là đã biết và được mô tả bằng phương trình: Zt=H''''tXt+vt - (1.1) trong đó Ht đã biết, H''''t là ma trận chuyển vị của ma trận Ht, V'''' là nhiễu trắng Gauss với E V, .v'''' = Rtôts trong đó ỏts là Kronecker delta, bằng 1 nếu t = s và bằng 0 nếu t s . Xt được giả sử phát triển theo phương trình chuyển động: xM=F,xl + wt (1.2) trong đó wt là nhiễu trắng Gauss với Ew(.w'''' = Qff. . Các giả thiết bổ sung là vt và Mị là độc lập, trạng thái ban đầu Xo là một biến ngẫu nhiên Gauss có giá trị trung bình z j - A’0 = Xo và Var \z = So độc lập với vt và Mị .Bộ lọc Kalman đưa ra một thuật toán để xác định các ước lượng XttJ = E X, Z(J và X1t = E Xt z, với ma trận hiệp phương sai tương ứng và Nó bao gồm các phương trình dự đoán sau: ^»+iỊf — Ft F,''''+G,Ổ,G,'''' (1.3) (1.4) 98 ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-KÉ TOÁN và các phương trình cập nhật: K,=F,Ĩ.^H,h;ĩ.^H,+R,X (1.5) -ỳ,, = + s,„., H, (h; H, + ,)■'''' (z, - (1.6) =s,,.,-r,,.,«,(«;2:,,.l H,+,)■'''' (1.7) Để hiểu rõ hơn về bộ lọc Kalman tuyến tính, bạn đọc có thể tham khảo trong 1.. 2. ứng dụng kinh tế của bộ lọc Kalman -19 Bộ lọc Kalman được sử dụng để ước tính các tham số trong mô hình tự hồi quy bậc p và trung bình trượt bậc q, kí hiệu là ARMA(p,q), có dạng y = ỏ + aỴ , + a Y +... + aỴ + £ + Be + ... + J3 £t 1 t-1 2 t-2 p t-p t '''' 1 t-1 ''''q t-q trong đó ổ là hằng số, £t là nhiễu trắng. Nó cũng có thể được sử dụng để ước tính các tham số thay đổi theo thời gian trong hồi quy tuyến tính và để có được ước lượng hợp lý tối đa của một mô hình không gian trạng thái. Một ứng dụng khác của bộ lọc là thu được các ước lượng tuyến tính tổng quát (GLS) cho mô hình Yt = P''''Xt + Ut, trong đó sai số ngẫu nhiên Ut là Gauss ARMA(p, q) với các tham số đã biết. Phần này thảo luận về một số các mô hình kinh tế đã được ước lượng bằng cách sử dụng bộ lọc Kalman tuyến tính hoặc các phần mở rộng của nó. 2.1. Các tham số thay đổi theo thòi gian trong hồi quy tuyến tính: Nhu cầu dự trữ quốc tế Mô hình hồi quy cổ điển, Yt = p''''Xt + Ut trong đó Ut là nhiễu trắng, giả định rằng mối quan hệ giữa các biến giải thích X và biến phụ thuộc Y không đổi trong suốt thời gian ước tính. Khi giả định này là không hợp lý (ví dụ, trong khi nghiên cứu các mối quan hệ kinh tế vĩ mô đối với các quốc gia đã tiến hành cải cách cơ cấu trong thời gian lấy mẫu chẳng hạn như Ấn Độ năm 1991 và các nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa trước đó), và mô hình được chỉ định là một với tham số P'''' thay đối theo thời gian, bộ lọc Kalman có thể được sử dụng để ước lượng các tham số. Một ví dụ về cách tiếp cận này là nghiên cứu của Bahmani-Oskooee và Brown (2004)2-l giả định những thay đổi cấu trúc trong nhu cầu dự trữ quốc tế trong những năm 1970. Nhu cầu dự trữ (Rt) của một quốc gia được xác định như một hàm của nhập khẩu thực tế (Mt), thước đo tính thay đổi của cán cân thanh toán (VRt) và xu hướng nhập khẩu trung bình (mt ), nghĩa là log Rt=Pữ + A logM, + p2 log VRt + ?3 log mt + £t (2.1) Hệ số (s = 0,3) được giả định tuân theo một bước đi ngẫu nhiên. Sự không ổn định của Ps lần đầu tiên được chứng minh (và sau đó là ước tính của các tham số thay đổi theo thời gian thu được bằng cách sử dụng Bộ lọc Kalman) bằng cách ước tính hồi quy cuộn (Rolling regression). Vì cùng một cỡ mẫu, thời gian bắt đầu của chu kỳ mẫu được dịch chuyển để nhiều lần ước tính yt = p''''xt + ut , sửa lỗi tương quan nối tiếp trong lỗi. Dữ liệu hàng quý cho 19 quốc gia OECD được sử dụng, trong giai đoạn 1959-1994. vấn đề với đặc điểm kỹ thuật này là nó bỏ qua phía cung cấp và lấy số lượng cân bằng làm nhu cầu thực tế. Một vấn đề khác ở đây (và với tất cả các mô hình tham số thay đổi theo thời gian) là để hệ thống được xác định thì Ps được giả định là một bước đi ngẫu nhiên. Điều này có nghĩa biến phụ thuộc là không cố định (vi nó là sự kết hợp tuyến tính của p''''s ) và làm mất hiệu lực các kiểm định t và F thông thường. 2.2. Thay đổi chế độ lập mô hình: Mô hình chuyển mạch Markov Một số biến số kinh tế vĩ mô và tài chính có thể được mô hình hóa một cách hợp lý để có các đặc 99 TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KÉ TOÁN tính thống kê và động lực học khác nhau tùy thuộc vào trạng thái của bản chất và xác suất chuyển từ một trạng thái của bản chất khác được xác định rõ ràng và không đối. Ví dụ: sự tồn tại của các cú sốc đối với lợi nhuận cổ phiếu có thể khác trong thời gian bùng nổ so với trong thời kỳ suy thoái. Chúng có the được lập mô hình bằng mô hình Chuyến mạch Markov (Markov Switching model) nếu chúng tôi giả định rằng sự chuyển đổi giữa bùng nổ và suy thoái được điều chỉnh bởi một chuỗi Markov (và cách khác có thể được lập mô hình bằng cách sử dụng các mô hình biến động ngẫu nhiên được thảo luận trong phần 2.5 dưới đây). Cách tiếp cận Chuyển mạch Markov cũng có thể được áp dụng để mở rộng hoặc bổ sung cho một số mô hình khác. Ví dụ, trong các mô hình tham số thay đổi theo thời gian được thảo luận ở trên, người ta có thể thêm cấu trúc Markov vào sự thay đổi của các tham số hoặc thêm phương sai thay đổi Chuyển mạch Markov trong thuật ngữ sai số, để kết hợp sự không chắc chắn thay đổi do ngẫu nhiên trong tương lai những cú sốc. Ví dụ, trong các mô hình thành phần không được quan sát (xem phần 2.4 bên dưới), GDP được phân tách thành các thành phần xu hướng và chu kỳ, thành phần xu hướng của GDP có thế được mô hình hóa như một bước đi ngẫu nhiên có khuynh hướng, trong đó phần sau phát triển theo một chuỗi Markov. Mô hình của Chuyển mạch Markov có thể được đặt ở dạng không gian trạng thái và có thể được ước tính sử dụng lọc Kalman. Các mô hình như vậy có thể được viết là: z, = HslXl+Asỵ,+vl (2.2) X^fiS.+F^+G^, (2.3) J7ìíX 0 Ĩ1'''' ~N „ , 7 ’ (2.4) W Ll°Jl0 M trong đó các chỉ số dưới St cho biết một số phần tử của ma trận liên quan có thể phụ thuộc vào trạng thái. Trạng thái St = là trạng thái không được quan sát, biến Markov có giá trị rời rạc, với các xác suất được cho bời: '''' Pn P12 - Pim'''' P1\ P22 P2M J?\M P2M J M trong đó Pij = ps, = j\s,{ = z với P1. = 1 với mọi i. Mục đích ở đây là tính toán các ước " ý=i. , tính của X'''' dựa trên thông tin được đặt tại t -1 , , có điều kiện St nhận giá trị j và 5,J nhận giá trị i. Khi mà các tham số của mô hình đã biết, bộ lọc Kalman sửa đổi như sau: (2-5) >4.,-z,-w;x’.,-4r (2.7) (2.8) (2.9) trong đó, X‘J ^là dự đoán của X'''' dựa trên thông tin có được tại thời điểm t — 1 và trạng thái trước 100 ĐẠI HỌC TÀI CHỈNH - KÉ TOÁN đó Stị = i , nghĩa là riịtỵ = z - Z^J và D^x là phương sai có điều kiện của dự báo sai số ỰẶJ Tuy nhiên quy trình trên hầu như không thể thực hiện được vì số lượng trường họp sẽ nhân lên gấp M với mỗi lần lặp. Để xử lý điều này, Kim và Nelson (1999)7-l sử dụng quy trình sau đây, là một sửa đổi đối với quy trình được đề xuất bởi Harrison và Stevens (1976)í5-l. Ý tưởng là thu gọn MxM kết quả thành M kết quả ở mồi giai đoạn. Mặc dù các kết quả sau xác định là các giá trị gần đúng, nhưng chúng rất quan trọng đế tạo ra quy trình sử dụng trong thực tế. y = ^''''1'''' P(S,=ỹW (2.10) (2.11) Xác suất trong các phương trình trên thu được thông qua Bộ lọc Hamilton về cơ bản liên quan đến các quy tắc dự đoán và cập nhật cũng được sử dụng trong bộ lọc Kalman. Bộ lọc Hamilton cho mật độ có điều kiện của Zz và f (z, VPÍ1) cho tất cả t. Chúng có thể được sử dụng để tối ưu hóa hàm khả năng ghi nhật ký gần đúng: r = tln((Z,T,,)) (2.12) =1 liên quan đến các tham số cơ bản bằng cách sử dụng quy trình tối ưu hóa phi tuyến tính, quy trình này hoàn thành mô tả của thủ tục ước lượng cho trường hợp các tham số không được biết đến. 2.3. Bộ lọc Kalman vói các sai số tưong quan: Phí bảo hiểm rủi ro tỷ giá hối đoái Bộ lọc Kalman được mô tả tron...
Trang 1TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KÉ TOÁN
MỘT SỐ ÚNG DỤNG TRONG KINH TẾ CỦA BỘ LỌC KALMAN
SOME ECONOMIC APPLICATIONS OF KALMAN FILTER Ngày nhận bài
Ngày nhận kết quả phản biện
Ngày duyệt đăng
28.1.2022 04.4.2022 28.4.2022
ThS Đặng Thị Kiêm Hồng - ThS Huỳnh Thị Thanh Ri
Trường Đại học Tài chính - Kế toán
TÓM TẮT
Bài viết giới thiệu các phần mở rộng khác nhau cho bộ lọc Kalman tuyến tính đirợc phát triển đầu
tiên của Kalman (I960) thông qua các ví dụ về việc sử dụng chúng trong kinh tế học Đầu tiên là mô hình hồi quy tuyến tính có thời gian thay đổi phân tích những yếu tổ ảnh hưởng đến nhu cầu dự trữ quốc
tế, mô hình chuyên mạch Markov, bộ lọc Kalman với các sai số tương quan trong định giá phí bảo hiểm rủi ro tỷ giá hối đoái, bộ lọc Kalman mở rộng với một số thành phần không quan sát được và mô hình
biến động ngẫu nhiên trong Kinh tế lượng.
Từ khoá: Bộ lọc Kalman tuyến tính, ứng dụng bộ lọc Kalman trong kinh tế.
ABSTRACT
The article introduces various extensions to the linear Kalmanfilter first developed by Kalman (1960) through examples of their use in economics The first is linear regression model with variable time analyzing factors affecting international reserve demand, Markov switching model, Kalman filter with correlation errors in premium pricing, exchange rate risk, extended Kalman filter with some unobserved components and random volatility model in econometrics.
Keywords: Linear Kalman filter, Kalman filter application in economics.
1 Bộ lọc Kalman tuyến tính
GọiZ t e JT là(các) giá trịquan sátcho biến z và gọi X'eRm làvectơ của (các) biến không quan
sát trong thựctế Mối quan hệ giữaz và Xđượcgiả định là đã biếtvàđượcmôtả bằng phươngtrình:
trong đó H t đã biết, H't là matrận chuyển vị củama trận H t, V' lànhiễu trắng Gauss với E [ V, v'] = Rtôts
trong đó ỏts là Kronecker delta, bằng 1 nếu t = s và bằng0nếu t s Xt được giảsửphát triển
theo phương trình chuyển động:
trong đó wt là nhiễu trắng GaussvớiE[w(.w'] = Qff
Cácgiả thiết bổ sunglà vtvàMị làđộclập, trạngthái banđầu X o là một biếnngẫunhiênGauss
có giátrị trung bình |z j] - A’[%0]= Xo và Var \z = So độclập với t và Mị Bộ
lọcKalmanđưa ra mộtthuật toán đểxácđịnh các ước lượng Xtt = E [ X, |Z(_J vàX 1t = E [ X t|z, ]
vớimatrận hiệp phương sai tươngứng và Nó bao gồm cácphương trình dựđoán sau:
(1.3)
(1.4)
Trang 2và các phương trình cập nhật:
K,=F,Ĩ.^H,[ h ; ĩ ^H,+R,X (1.5)
-ỳ,!, = + s,„., H,( h ; H, + *,)■'(z,- (1.6)
=s,|,.,-r,|,.,«,(«;2:,|,.lH,+*,)■' (1.7)
Để hiểu rõ hơn vềbộ lọc Kalmantuyến tính, bạn đọc cóthể thamkhảotrong[1.]
2 ứng dụng kinh tế của bộ lọc Kalman -! 19
Bộ lọc Kalman được sử dụng để ước tínhcác tham số trongmô hình tự hồi quy bậc p và trung bình trượt bậc q, kí hiệu là ARMA(p,q),có dạng
y t = ỏ + aỴ1 t-1 , + a2 t-2 Y + + aỴ p t-p t + £ '+ 1Be t-1 + + 'q t-q J3 £
trong đó ổ là hằngsố, £t là nhiễu trắng Nó cũngcó thểđượcsử dụng để ước tínhcác tham số thay
đổi theo thời gian trong hồi quy tuyến tính và để có được ước lượng hợp lýtối đacủamột mô hình
không gian trạngthái Một ứng dụng kháccủa bộ lọclàthuđược các ướclượng tuyếntính tổng quát (GLS) cho mô hình Yt = P'X t + U t, trong đó sai số ngẫu nhiên Ut là Gauss ARMA(p, q) với các
tham số đã biết Phần này thảoluận về một sốcác môhình kinh tế đã được ướclượng bằngcáchsử dụng bộ lọcKalman tuyến tính hoặc các phầnmởrộng của nó
2.1 Các tham số thay đổi theo thòi gian trong hồi quy tuyến tính: Nhu cầu dự trữ quốc tế
Mô hìnhhồi quycổ điển, Yt = p'Xt + Ut trong đó U t lànhiễutrắng, giả địnhrằng mối quan hệ
giữa các biến giải thích X vàbiến phụthuộc Y không đổitrongsuốt thời gian ước tính Khi giả địnhnày là khônghợp lý (ví dụ, trong khi nghiêncứu các mối quanhệ kinh tếvĩ mô đối với các quốc
gia đãtiếnhành cải cách cơ cấu trong thời gian lấy mẫu chẳng hạn nhưẤnĐộnăm 1991 và các nước
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa trướcđó), và môhìnhđược chỉ định là một với tham sốP' thay đốitheo thờigian, bộ lọcKalman có thể đượcsử dụng đểước lượngcác tham số.Một ví dụ về cách tiếpcận
này là nghiêncứu của Bahmani-Oskooee và Brown(2004)[2-lgiả định những thayđổi cấu trúc trong nhu cầu dựtrữ quốctế trongnhữngnăm 1970.Nhu cầu dự trữ (Rt)của một quốc giađược xác định như một hàm củanhập khẩu thực tế(Mt), thước đo tính thay đổi của cáncân thanh toán(VR t) và
xu hướng nhậpkhẩu trung bình (mt ), nghĩa là
log Rt =Pữ + A logM,+p2log VR t + /?3logm t + £ t (2.1)
Hệ số (s =0,3) được giảđịnhtuân theo một bước đi ngẫu nhiên Sự không ổn định của Ps lần
đầu tiên được chứng minh (và sau đólà ước tínhcủacácthamsố thay đổi theo thời gian thu được
bằngcách sử dụng Bộ lọc Kalman) bằng cách ước tính hồi quy cuộn (Rolling regression) Vì cùng
một cỡ mẫu, thời gian bắt đầu của chukỳmẫu được dịch chuyển để nhiềulầnước tính y t = p'x t + ut
, sửa lỗi tương quannối tiếp trong lỗi Dữ liệu hàng quý cho 19 quốc giaOECDđược sửdụng, trong
giaiđoạn 1959-1994 vấn đề với đặc điểmkỹ thuật này là nó bỏ qua phía cungcấpvà lấy số lượng cân bằng làm nhu cầu thực tế Một vấn đề khác ởđây (và với tất cả các mô hìnhtham số thay đổi theo
thời gian) là để hệthống được xác định thì Ps được giảđịnhlà một bước đi ngẫunhiên Điềunàycó
nghĩa biến phụ thuộc là không cố định (vi nó làsự kết hợp tuyếntínhcủa p's )vàlàmmất hiệu lực các kiểmđịnht và F thông thường
2.2 Thay đổi chế độ lập mô hình: Mô hình chuyển mạch Markov
Mộtsố biến số kinh tế vĩmô và tài chính có thể đượcmôhình hóa một cáchhợp lý để cócác đặc
Trang 3TẠP CHÍ KHOA HỌCTÀICHÍNHKÉ TOÁN
tính thống kêvà động lực học khácnhau tùythuộc vào trạng thái của bản chất và xác suất chuyểntừ
một trạng thái của bản chất khác được xác định rõ ràng và không đối.Ví dụ: sự tồn tại của các cú sốc
đối vớilợinhuận cổ phiếucóthể khác trong thời gianbùng nổ so với trong thời kỳsuy thoái Chúng
cótheđược lậpmô hình bằng mô hình Chuyến mạch Markov (Markov Switching model) nếu chúng
tôi giảđịnhrằngsựchuyển đổigiữa bùng nổ và suy thoáiđượcđiềuchỉnhbởimộtchuỗi Markov (và cáchkháccó thểđượclậpmôhình bằngcách sử dụngcácmô hìnhbiếnđộngngẫu nhiên được thảo luận trong phần 2.5 dưới đây)
Cách tiếp cận Chuyển mạch Markov cũng có thểđược áp dụng đểmở rộng hoặc bổsungcho một
số mô hình khác Ví dụ, trongcác mô hìnhtham sốthay đổi theo thời gianđược thảo luận ở trên, ngườitacóthể thêm cấu trúc Markov vàosự thay đổi của các thamsố hoặc thêm phương saithay đổi Chuyển mạch Markov trongthuật ngữ sai số,để kết hợp sự không chắc chắn thayđổi dongẫu nhiên trong tương lai những cúsốc Ví dụ, trongcác mô hình thành phần không được quansát (xem phần 2.4 bêndưới), GDP được phân táchthành cácthành phần xu hướng và chu kỳ, thành phần xuhướng
của GDPcóthếđược mô hìnhhóanhư một bướcđi ngẫunhiêncó khuynh hướng, trong đó phần sau
pháttriển theo một chuỗi Markov Môhình của Chuyểnmạch Markov cóthể được đặt ở dạngkhông
gian trạng thái vàcóthểđượcướctínhsử dụng lọc Kalman.Các mô hìnhnhưvậy có thểđược viết là:
J7<>ìíX 0 Ĩ1
W Ll°Jl0 M trong đó các chỉsốdưới S t chobiết một số phần tử của matrận liên quancóthểphụ thuộc vào trạng thái Trạng thái S t = là trạng thái không được quan sát, biến Markov có giátrị rời rạc, với cácxác suất được cho bời:
' Pn P12 - P im ' _ P1\ P22 ••• P2M
J?\M P2M ••• J
M
trong đó Pij = p[s, =j\s,_ { =z] với P1 = 1 với mọi i Mục đíchở đây làtính toán các ước
tínhcủa X' dựatrên thông tin được đặt tại t-1 , , có điều kiện S t nhận giátrị j và 5,_J nhận
giá trịi. Khi mà các tham số của mô hình đã biết, bộ lọcKalman sửa đổi như sau:
(2-5)
(2.8)
(2.9) trongđó, X‘J ^làdự đoán của X' ! dựa trênthông tin có được tạithời điểm t —1 và trạng thái trước
Trang 4ĐẠIHỌCTÀICHỈNH - KÉ TOÁN
đó S t _ị = i ,nghĩa là riị t _ ỵ = z/ - Z^_J và D^_x là phương sai có điềukiện của dựbáo sai số ỰẶ_J Tuy nhiên quy trình trênhầunhư không thể thựchiệnđược vì sốlượng trường họpsẽnhânlên gấp
M với mỗi lần lặp Để xử lýđiều này, Kim và Nelson (1999)[7-l sử dụng quy trình sau đây, là một sửa đổi đốivớiquy trình đượcđềxuất bởiHarrison và Stevens (1976)í5-l Ý tưởng là thugọn MxM kết
quảthành Mkếtquả ở mồi giaiđoạn Mặc dùcác kếtquảsau xác định là cácgiátrị gần đúng, nhưng chúng rất quan trọng đế tạo ra quytrìnhsử dụng trong thực tế
y/ =
^'1'
(2.11)
Xác suất trong các phương trìnhtrênthu được thông qua Bộ lọc Hamilton về cơbản liên quanđến
các quy tắc dựđoánvà cập nhậtcũngđượcsử dụng trong bộ lọcKalman Bộ lọc Hamilton cho mật
độ có điều kiệncủa Zz và f (z, |VPÍ_1) cho tất cả t Chúng có thểđược sử dụng để tối ưuhóa hàm khả năng ghi nhật ký gần đúng:
/=1 liên quan đếncác tham số cơ bảnbằngcáchsử dụng quy trình tối ưu hóaphi tuyến tính, quy trình này hoànthànhmô tả của thủtụcước lượng cho trường hợp cáctham số khôngđược biết đến
2.3 Bộ lọc Kalman vói các sai số tưong quan: Phí bảo hiểm rủi ro tỷ giá hối đoái
Bộ lọc Kalman đượcmô tảtrong phần 1 giảđịnhrằng các lồi trong các phương trình đolường và
chuyển tiếp không tương quanvới nhau Giảđịnhnày sẽ thấtbại trong các tình huống mà cúsốc đối
với yếu tố thứ ba gâyrabiến động trong cảbiến quan sát và biếnkhông quan sátđangđượcxemxét
Ví dụ về điều này cóthể được tìmthấytrên thị trườngtỷ giáhối đoái, nơi thông tinmới khiếntỷ giá
giao ngay tăng vọt cũng có thể gây ra rủiro phí bảohiểm thay đổi Ví dụvề thông tin mới này bao
gồm các cúsốc đối với cung tiền và lãi suất, chuyển đổichế độtiền tệ, thoái thác nợ của quốc gia
hoặc đã công bố thay đổi về khả năng chuyển đổi của tiền tệ Cheung(1993)131 sử dụng thuậttoán lọc Kalman chomôhình không giantrạng tháiđược cho bởi:
V,
~1t ' r/+i
P,=ỘP t _ ỵ+ a,
~ iidN , v
Ã2
(2.13) (2.14)
(2.15)
trong đó iid biểu thị“phân phối độclập và giốnghệt nhau”
Vì thế,
Trang 5TẠP CHÍ KHOA HỌCTÀICHÍNHKẺ TOÁN
trong đó P' là phần bùrủi ro không thể quan sátđược, D t làsaisố của dự đoán từ sử dụng tỷ giá kỳ hạn làm dự báo trước một kỳ về tỷgiá giao ngay, F' và S' là tỷ giá hối đoái kỳ hạn vàtỷ giágiao
ngay trước một khoảng thời giantương ứng Thuật toán lọc cho vấn đề này như sau
,=(•’ s,|, +e 2 - c 2 ịz,-, > «0' 2ịCK,
(2.19)
(2.20)
(2.23)
Bộ lọc được khởi tạo bằng cách sử dụng phươngsai và giátrị trung bình vô điều kiện của phần
bù rủi ro Uớc tính khảnăng tối đacủa cáctham số, , Q 2 ,c^ thu đượcbằng cáchđiều chỉnh đầu tiên một mô hình ARMA với lỗi dự đoán D t Chuỗiphần bùrủi ro thu được như vậyđược sử dụng để kiểm tra tínhhợplệ của ba công thức lý thuyết vềphần bù rủi ro dựatrên môhình định giá tài sản của Lucas(1982)
2.4 Bộ lọc Kalman mở rộng: Mô hình thành phần không quan sát được
Bộ lọc Kalman mở rộng chỉ đơngiảnlà bộ lọc Kalman tiêu chuẩn được áp dụng choxấp xỉcủa Taylor bậc một về một mô hình không giantrạng tháiphi tuyến tính xung quanh ước tínhcuốicùng của nó.Ví dụ, kỹ thuật này có thểđượcsử dụng để phân tích xu hướngvàcác thành phần chukỳ của
GDP khi các thamsốcũng được phép thay đổi theo thờigian Ozbek và Ozale (2005)181ướctínhtỷlệ phân tách đối với GDP Thổ NhĩKỳ từ năm 1988đến năm 2003 Mô hìnhnhư sau: GDPtạithờiđiểm
t, Y t, được công nhận là bao gồm thànhphần xu hướng Tt vàthànhphần chu kỳ C t. Thành phần chu kỳ được giảđịnh tuântheomô hình tự hồi quy bậc2 (AR(2)), quá trình mà bản thân các tham
số là các bướcđi ngẫu nhiên độc lập Cácthànhphần xu hướngđược mô hìnhhóanhư một cuộc dạo chơi ngẫu nhiên, giúp nắmbắt tác độngcủa những thayđổi chínhsách cực đoan trongcác nền kinh
tế đang chuyển đổi đối với con đường tăngtrưởng ở trạng tháiổn định, nghĩalà
C = riA-i+ 72^-2+e, (2.24)
/2., =r2,(-I+íZ2,I (2.26)
trongđócác số hạnglỗi được giả địnhiddvới trung bình bằng không và phương saikhông đổi Sự hiện diện của các tham số thay đổitheo thời gian cùng với trạngthái không xácđịnh các biếngiới
thiệu trong các mô hìnhtuyến tính có thểđược xửlýbằng cách sửdụng bộ lọc Kalmanmở rộng
2.5 Bộ lọc Kalman trong Kỉnh tế lượng tài chính: Mô hình biến động ngẫu nhiên
Dừ liệutàichính đãđược quansát thấy có những quy định nhất định trongthống kê các thuộc tính, bao gồm phân phối leptokurtic, phânnhóm biến động (nhóm các giaiđoạn biếnđộngcao và thấp),
hiệu ứng đòn bẩy (biếnđộngcaohơn khi giágiảm vàbiến độngthấphơntrong thời kỳ bùng nổ thị
Trang 6ĐẠIHỌC TÀICHÍNH- KÉ TOÁN
trường chứng khoán) và sựbiến động dai dẳng Cáctài liệu kinhtế lượngtài chính sinhra cácmô
hình kinh tế lượng nhằmtìm cách nắm bắt nhiều sựkiện cách điệu này củadữ liệu
Cách tiếpcận phổbiến nhất sử dụng mô hình GARCH (Generalized autoregressiveconditional
heteroskedasticity model),trong đó phưong sai được công nhận là một hàm tuyến tínhcủa các quan
sáttrong quá khứ bình phương và các phương sai Một cách tiếpcận khác làmôhình biến động ngẫu
nhiên (SV), lần đầu tiên được đưa ra bởi Taylor (1986), trong đó nhật ký củasựbiến động được mô hình hóa dưới dạng tuyến tính,quytrình AR ngẫu nhiên không được quansát Mô hình ARSV(l) lập
môhình chot = 1,2, ,T là:
trong đó y t là lợinhuận quan sátđược tại thời điểm t, ơ, là độbiến động tương ứng, E' là iidngẫu
nhiên với giátrị trung bình là 0và phương sai đã biết Ơ2C và ơ là một thamsố tỷ lệđược giớithiệu
đểgiữ (2.14) không đổi Phương trinh (2.14)nắm bắtphân cụmbiến động vànếu £t và ĩỉt+1 được
phép tương quanâm thì mô hình có thể nắm bắt đượchiệuứngđòn bẩy.Mô hìnhkhông phảilà được
xác định nếu phương sai (hoặc log)củabiến động trong tương lai, là0 Quá trình y, là một sự khác biệtmartingan và đứng yên khi 1^1< 1 Một sốcách ước tính cácthamsốcủa mô hình đã được
đề xuất Một là để tuyến tính hóa (2.12) bàngcáchbình phương nó rồi lấy log và có được các công
cụ ước tính dựa trên log(y,2) Phương pháp này được gọi làQuasi-Maximum Likelihood(QML)và đượcđề xuất độc lập bởi Nelson (1988) và Harveycùngcộng sự (1994)161.Tuyên tínhhóa (2.12), chúng tôi thu được
log(y(2 = // + v£ (2.32)
trong đó /7 = log(ơ.2) + E(log(f,2)), h, =log(ơf) và ệ' = log(£2)-E(log(f,2)) Ở đây h, là quá
trinh ngẫu nhiên khôngquansát được Điêunày cùng với (2.30) là ở dạngkhônggiantrạng thái quen thuộc củabộ lọc Kalman Tuy nhiên,bằng cách sửdụng bộ lọc trựctiếpở đây sẽ chỉ manglạicác
công cụ ước tính bình phương tối thiểutuyến tính,thay vicáccông cụ ước tính bình phươngtrung
bình tối thiểu Harvey vàcộng sự (1994)I6-1 đề xuất xử lý ệ nhưthể nó là chuẩn vàước tính hàm
QML của log(y2) được đưarabởi(bỏ qua các hàng số):
logz.[log(y2)|ớ] = -|ịlogQí 2-33)
trong đó V' =log(y2) -log(ỷ,2 ) là lỗi dự đoán trước mộtbước của log(y2) vàQ, là trung bình bình phương lỗi tương ứng.Lưu ý rằng bộ lọcKalman đưa ra các ướctính về v t và Q,, tức là, cungcấp mộtthuậttoán để tínhtoán hàmkhả năng xảyratối đa.Trongmô hình được đưa ra bởi (1.3) đến (1.7),
v( = X' - Xn ! và ( H't H t+R^ Tương ứng,chúng tacóthể nhận được phương trình
xác định V, và Q, trong bối cảnh của mô hình hiện tại Hàm khả năng được tối đa hóa bằng cách sử
dụngcác phương pháp số để thu được các ướctính của d = ơ2 ơỉ] Thủtục này cungcấp cho
các ước lượng của ht nhất quán và tiệm cận binh thường, nhưng vẫn khônghiệu quả nhưhàm mật
độ đượcsử dụnglà một sựgần đúng
Mặc dù phương pháp QML được thào luận ở trên dựa trên log(y2),ở đó làcác phương pháp
ước tính khác của môhình ARSV(l) dựa trên thuộc tính thống kê củachính y, Thường được sử
Trang 7TẠP CHÍ KHOA HỌCTÀICHÍNH KÉ TOÁN
dụng nhất là côngcụ ước tính thời điểmtheo phưcmg pháp tức thời tổng quát (GMM), ước lượng
theo phương pháp khả năngxảy ra tốiđa (ML)và ước lượng dựa trên mộtmô hình phụ trợ Các công cụ ước tính ML sửdụngcác kỹ thuật tronglấymẫuquantrọng và ChuỗiMonte Carlo Markov (MCMC) đưara và không sử dụng bộ lọc Kalman trong việc triếnkhai chúng Các phương pháp
GMM không mang lại ước tính về các biến động tài sản cơ sở ơ, và chúng cóthểthu được bằng
cách sử dụng Bộ lọc Kalman
3 Tóm tắt
Bộ lọc Kalmanlà một côngcụ mạnh mẽ vàđã đượcđiều chỉnh chonhiều ứng dụngkinh tế về
cơ bản nó là một thủ tục bình phương nhỏnhất (Gauss Markov) vàdođó cung cấp cho các côngcụ
ướclượngtrung bình bìnhphương tối thiểu, với giả định tính chuẩn mực Ngaycả khi giả định tính
chuẩn là giảm xuống, bộ lọc Kalmangiảmthiểu bất kỳ hàm mất đốixứngnào,kểcả hàm có đường gấp khúc Nókhông chỉ được sửdụngtrực tiếp trong các bài toán kinh tế mà có thể đượcbiểudiễn dưới dạng không gian trạngthái, nóđược sử dụngnhưmột phầncơbảncủa mộtsố kỹ thuậtước tính khác, như quytrìnhước lượng khảnănggần như tối đa vàước lượngcác mô hình chuyển mạch
Markov Bàiviết đãphần nào giới thiệu được mộtsố mô hìnhước lượngtrong kinh tế đãứng dụng
bộ lọc Kalman tuyến tính hoặc một số mở rộngcủa nó
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Đặng ThịKiêm Hồng,Bộ lọc Kalman tuyến tính, TạpchíKhoahọc Tài chínhKế toán,số 23, trang 97-104
2 Bahmani, Osokee and FordBrown (2004), Kalman Filter Approach to Estimate the Demand for International Reserves, Applied Economics, 36(15), 1655-1668
3 Cheung, Yin-Wong (1993), Exchange Rate Risk Premiums,Journalof International Moneyand Finance,
12, 182-194
4 D Simon,OptimalState Estimation:Kalman,H-infinity, and NonlinearApproaches, John Wiley & Sons, 2006
5 Harrison, P.J and C.F Stevens (1976), Bayesian Forecasting Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 38,205-247
6 Harvey, A.C., Ruiz, E and N.G Shephard (1994), Multivariate StochasticVarianceModels Review of Economic Studies,61, 247-264
7 Kim,C-JandCharles R Nelson (1999), State-SpaceModels with RegimeSwitching: Classicaland Gibbs
Sampling Approaches with Applications, MIT Press
8 Ozbek, L andUmit Ozale (2005),Employing theExtended Kalman Filter in Measuring theOutput Gap, Journal of Economic Dynamics and Control, 29, 1611-22
9 Pasricha, Gumain Kaur (2006),Kalman Filterand its EconomicApplications, MPRA Paper No 22734