NGHIÊN CỨU MỘT SỐ HÀM TOÁN HỌC ĐẶC THÙ ÁP DỤNG TRONG VẬT LÝ

Kỹ Thuật - Công Nghệ - Kỹ thuật - Kinh tế TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA LÝ-HÓA-SINH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Đề tài: NGHIÊN CỨU MỘT SỐ HÀM TOÁN HỌC ĐẶC THÙ ÁP DỤNG TRONG VẬT LÝ Sinh viên thực hiện: LÊ THỊ NHƯ THẢO MSSV: 2111010249 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ KHÓA: 2011- 2015 Cán bộ hướng dẫn T.S NGUYỄN THỊ THANH TÂM MSCB:……… Quảng Nam, tháng 4 năm 2015 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu , các thầy cô giáo đã quan tâm, giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và rèn luyện tại trường Đại học Quảng Nam. Đặc biệt là cô giáo T.S Nguyễn Thị Thanh Tâm, người đã tận tình hướng dẫn, luôn động viên và đôn đốc để tôi hoàn thành bài khóa luận của mình. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn Quảng Nam, ngày tháng năm 2015 Sinh viên thực hiện Lê Thị Như Thảo LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan bài khóa luận này do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của T.S Nguyễn Thị Thanh Tâm. Nội dung trong bài khóa luận là trung thực, khách quan và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào. Quảng Nam, ngày tháng năm 2015 Sinh viên thực hiện Lê Thị Như Thảo DANH MỤC HÌNH VẼ Hình Nội dung Trang Hình 1.1 Sơ đồ mô tả mối quan hệ giữa Toán họ c và Vật lý học. 3 Hình1.2.1.1. Các hàm Gamma  x với x là số thực 5 Hình 1.2.1.2 Các giá trị tuyệt đối của hàm Gamma ( , ) ( ) ( )f x y z x iy     trên mặt phẳng phức 7 Hình1.2.1.3. Đường biểu diễn hàm 1 ( )x 8 Hình 1.2.1.4 Đồ thị của hàm Gamma  Γ n 1 . 9 Hình1.2.2. 5 Đồ thị mô tả các hàm ln ( )x 15 Hình1.2.1.6. Đường biểu diễn hàm 1 1 ( ) ( 1)x x     15 Hình 1.2.2.1 Đồ thị Biểu diễn hàm Delta Diracbở i một đoạn thẳngcó mũi tên ở đầu 17 Hình 1.2.2.2 Hàm bước đơn vị Heaverside 19 Hình 1.2.2.3 Đồ thị mô tả hàm  0 0 0 1 ( ) ( ) ( ( )k x x H x x H x x          20 Hình 1.2.3.1 Đường biểu diễn hàm Zeta Reimann 26 Hình 1.2.3.2 Đồ thị mô tả hàm 1 ξ 2 it       28 Hình 1.2.4.1 Đồ thị các hàm Besse loại 1 0 1 2 ( ), ( ), ( )J x J x J x 33 Hình 1.2.4.2 Đồ thị các hàm Bessel loại 2 0 1 2 ( ), ( ), ( )Y x Y x Y x 36 DANH MỤC BẢNG Bảng Nội dung Trang Bảng1.2.2.1 Biểu diễn hàm Delta Dirac trong các hệ tọa độ cong. 22 MỤC LỤC Phần 1. MỞ ĐẦU 1.1.Lý do chọn đề tài: ............................................................................................. 1 1.2.Mục tiêu của đề tài: .......................................................................................... 1 1.3.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:................................................................... 1 1.4.Phương pháp nghiên cứu:................................................................................. 2 1.5.Lịch sử nghiên cứu: .......................................................................................... 2 1.6.Đóng góp của đề tài: ........................................................................................ 2 1.7.Cấu trúc đề tài: ................................................................................................. 3 Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1: LÝ THUYẾT VỀ MỘT SỐ HÀM TOÁN HỌC ĐẶC THÙ ÁP DỤNG TRONG VẬT LÝ 1.1Mối quan hệ giữa toán học và vật lý học .......................................................... 3 1.2Một số hàm toán học đặc thù thường được áp dụng trong vật lý ..................... 4 1.2.1 Hàm Gamma ................................................................................................. 4 1.2.1.1Định nghĩa ................................................................................................... 4 1.2.1.2 Hàm Gamma trong mặt phẳng phức: ....................................................... 7 1.2.1.3 Tính chất của hàm Gamma ....................................................................... 8 1.2.2 Hàm Delta Dirac ......................................................................................... 16 1.2.2.1 Định nghĩa hàm Delta Dirac ................................................................... 16 1.2.2.2 Hàm bước Haverside .............................................................................. 19 1.2.2.3 Tính chất đạo hàm của hàm Delta Dirac ................................................ 20 1.2.2.4 Biểu diễn hàm Delta Dirac trong các trục tọa độ ................................... 22 1.2.2.5 Dạng lượng giác của hàm Delta Dirac ................................................... 23 1.2.3 Hàm Zeta Reiman: ...................................................................................... 23 1.2.3.1 Định nghĩa .............................................................................................. 24 1.2.3.2 Tính chất ................................................................................................. 25 1.2.4 Hàm Bessel.................................................................................................. 30 1.2.4.1 Phương trình Bessel: ................................................................................ 30 1.2.4.2 Hàm Bessel loại 1..................................................................................... 30 1.2.4.3 Hàm Bessel loại 2..................................................................................... 34 1.2.4.4 Các công thức truy toán đối với hàm Bessel : ......................................... 36 TIỂU KẾT CHƯƠNG 1....................................................................................... 39 Chương 2: MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG 2.1 Bài tập áp dụng hàm Gamma : ....................................................................... 40 2.1Bài tập áp dụng hàm Delta Dirac: ................................................................... 45 2.3Bài tập áp dụng hàm Bessel. ........................................................................... 50 TIỂU KẾT CHƯƠNG 2....................................................................................... 59 Phần 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1.Kết luận: ............................................................................................................ 60 2.Kiến nghị: .......................................................................................................... 60 Phần 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO Phần 5. PHỤ LỤC 1 Phần 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài: Vật lý học là một ngành khoa học chuyên nghiên cứu về các hiện tượng tự nhiên trong đời sống. Tính chất cơ bản của vật lý học là tính thực nghiệm. Nhưng, muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý học một cách chính xác, ta phải dùng phương pháp toán học. Phương pháp này đã được áp dụng từ lâu, nhưng từ thế kỷ XIX, khi nhiệt động lực học và điện động lực học được xây dựng, nó mới được phát triển mạnh mẽ cả về bề rộng lẫn bề sâu, hiệu lực nghiên cứu của nó cũng lớn lên, bao hàm toàn bộ Vật lý lý thuyết. Như vậy, Vật lý lý thuyết có nội dung là vật lý và phương pháp toán học. Hiện nay, bộ môn này đang được rất nhiều bạn đọc yêu thích Vật lý và đặc biệt là sinh viên chuyên ngành quan tâm. Nó là một phần không thể thiếu của Vật lý học. Sinh viên sau khi học xong Vật lý đại cương, sẽ được tiếp xúc và học tập với các học phần của Vật lý lý thuyết như: Nhiệt động lực học, Vật lý thống kê, Cơ học lượng tử, Vật lý chất rắn…. Để học tốt các môn này sinh viên cần nắm vững các kiến thức toán học . Trong các giáo trình chuyên ngành đều có phần trình bày ngắn gọn các phép toán đó. Đặc biệt một số hàm toán học đặc thù như hàm Gamma, Zeta Reimann, Delta Dirac,…được sử dụng rất nhiều và là phần không thể thiếu trong các môn vật lý chuyên ngành. Việc tìm hiểu và xây dựng thành một đề tài chi tiết giúp người học dễ dàng hơn trong việc học tập và nghiên cứu. Chính vì những lý do đó nên tôi chọn đề tài: “Nghiên cứu một số hàm toán học đặc thù áp dụng trong vật lý” để làm đề tài khóa luận cho mình. 1.2. Mục tiêu của đề tài: - Nghiên cứu được một số hàm toán học đặc thù được áp dụng trong vật lý. - Áp dụng một số hàm toán học đặc thù để giải được một số bài tập vật lý phức tạp. 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng: Một số hàm toán học đặc thù đã và đang áp dụng trong Vật lý - Phạm vi nghiên cứu: Một số môn học như: Phương pháp toán lý, Cơ học lượng tử, Nhiệt động lực học và vật lý thống kê, Vật lý chất rắn,… 2 1.4. Phương pháp nghiên cứu: - Đọc, tham khảo tài liệu. - Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn. 1.5. Lịch sử nghiên cứu: Qua tìm hiểu, một số sách đã trình bày các hàm toán học nhưng còn tóm lược, phần lớn chưa đi sâu vào nghiên cứu các hàm mà chỉ nêu kết quả để áp dụng trong Vật lý. Đồng thời, khi tham khảo một số luận văn nghiên cứu trước đó, nhận thấy chưa có công trình nào nghiên cứu về đề tài: “Một số hàm toán học đặc thù áp dụng trong Vật lý”. Do đó tôi đã chọn đề tài này làm đề tài khóa luận tốt nghiệp cho mình. 1.6. Đóng góp của đề tài: Tìm hiểu một số hàm toán học đặc thù áp dụng trong Vật lý giúp cho sinh viên hiểu sâu sắc hơn về mối quan hệ giữ Toán học với Vật lý học và áp dụng một cách dễ dàng để giải các bài tập liên quan. Đồng thời, có thể hệ thống hóa được phần nào kiến thức về vật lý lý thuyết trong trường đại học, góp phần tạo điều kiện cho sinh viên sử dụng một cách có hiệu quả một số hàm toán học cơ bản trong vật lý. 1.7. Cấu trúc đề tài: Phần 1. MỞ ĐẦU Phần 2.NỘI DUNG Chương 1: LÝ THUYẾT VỀ MỘT SỐ HÀM TOÁN HỌC ĐẶC THÙ ÁP DỤNG TRONG VẬT LÝ Chương 2:MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG. Phần 3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Phần 4 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phần 5.PHỤ LỤC 3 Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1: LÝ THUYẾT VỀ MỘT SỐ HÀM TOÁN HỌC ĐẶC THÙ ÁP DỤNG TRONG VẬT LÝ 1.1 Mối quan hệ giữa toán học và vật lý học Toán học là ngôn ngữ để miêu tả một cách gọn gàng và logic thứ bậc trong tự nhiên, đặcbiệt là các định luật của vậtlý.Điều này được chú ý và ủng hộ bởi Pythagoras, Plato, Galileo, và Newton. Các lý thuyết vật lý sử dụng ngôn ngữ toán học để nhận được những công thức chính xác miêu tả các đại lượng vật lý, thu được những nghiệm chính xác hay những giá trị ước lượng và tiên đoán những hệ quả. Những kết quả thí nghiệm hay thực nghiệm của vật lý đều biểu hiện bằng giá trị số. Những công nghệ dựa trên toán học và máy tính, như khoa học tính toán đã đưa ngành vật lý tính toán trở thành lĩnh vực nhiều triển vọng. Sự khác biệt giữa toán học và vật lý học đôi khi không rõ ràng, đặc biệt trong ngành toán lý. Hình 1.1 Sơ đồ mô tả mối quan hệ giữa Toán học và Vật lý học. Bản thể luận là một lý thuyết tiên quyết cho Vật lý học, nhưng không phải cho Toán học. Điều đó có nghĩa là vật lý hoàn toàn chỉ mô tả thế giới thực tại, trong khi toán học phát triển đưa ra nhiều ngành trừu tượng, thậm chí vượt khỏi phạm vi thế giới thực. Do vậy những phát biểu vật lý mang tính tổng hợp, trong khi các phát biểu Toán học mang tính phân tích. Toán học chứa những tiên đề và giả thuyết, trong khi Vật lý học dựa trên những định luật, các nguyên lý cơ bản và công cụ Toán học. Các phát biểu toán học chỉ cần thỏa mãn về mặt logic, trong khi các tiên đoán của phát biểu vật lý phải phù hợp với dữ liệu quan sát và thực nghiệm. Sự khác biệt giữa hai khoa học là rõ ràng, nhưng không phải lúc nào cũng vậy. Ví dụ, ngành vật lý toán áp dụng các công cụ toán học vào vật lý. Phương pháp nghiên cứu của nó bằng toán học, nhưng các đối tượng quan tâm thuộc về 4 vật lý học. Vấn đề trong ngành này bắt đầu bằng "mô hình hóa toán học một hệ vật lý" và "miêu tả các định luật vật lý bằng toán học". Mỗi phát biểu toán học cho mỗi lời giải thường khó tìm được ý nghĩa vật lý trong đó. Lời giải toán học cuối cùng phải thể hiện ý nghĩa vật lý một cách dễ hiểu hơn bởi nó là điều mà người giải đang tìm. 1.2 Một số hàm toán học đặc thù thường được áp dụng trong vật lý 1.2.1 Hàm Gamma 1.2.1.1 Định nghĩa Trong toán học, hàm Gamma (kí hiệu Γ) là hàm siêu việt, được mở rộng từ hàm giai thừa xác định với mọi số tự nhiên n theo công thức   . 1 2.1n n n   . Hàm giai thừa   f n n thỏa mãn hai điều kiện    1f n nf n  và  1 1f  . Ta mở rộng hàm giai thừa thành hàm Gamma với biến số phức thỏa mãn hai điều kiện trên. Hàm Gamma được định nghĩa cho tất cả các số phức, ngoại trừ các số nguyên âm và số không cho bởi biểu thức:       t n nn lim t t 1 (t 2) t n t         (1.2.1.1) Ngoài ra, hàm Gamma còn được định nghĩa cho tích số vô hạn, do Euler và Weierstrass định nghĩa độc lập với nhau, có giá trị cho tất cả các số phức t , trừ các số nguyên âm.  Công thức Weierstrass       t t n n 1 1 1 nn 1 n lim tt t 1 t n t 1 n t                   1 1 t 1 n t t n n e t e t              (1.2.1.2) Trong đó 0,577216    là hằng số Euler – Mascheroni. 5 Ta có thể chứng minh định nghĩa (1.2.1.1) và (1.2.1.2) tương đương :    ln 1 1 1 2 ( )1 lim lim 1 lim 1 ( ) n n t t n zn n n k k t t t z n t t t n t e t n n k k                               1 1 1 ln 2 1 lim 1 tn t t n n n n k t t e e e k                   1 1 1 2 1 lim 1 tnt n n n k t t e e k                   1 1 t n t n k t te e n              1 1 1 tt n n k e t t e t n                Công thức Euler: Đối với những số phức mà phần thực là số nguyên dương, được xác định thông qua chuỗi số nguyên không hội tụ :   1 0 t x t x e d x       (1.2.1.3) Hàm này được mở rộng bằng cách tiếp tục lấy tích phân trên tất cả các số phức, ngoại trừ các số nguyên âm, đường cong hàm phân hình gọi là hàm Gamma (hình 1.2.1.1). Hình 1.2.1.1. Các hàm Gamma  x với x là số thực. Hàm Gamma có thể xem như là một đáp án của phép nội suy. Nó là thành phần của các hàm xác suất khác nhau, và như vậy, nó có thể áp dụng trong các lĩnh vực xác suất và thống kê, cũng như tổ hợp. 6 Kí hiệu  t được đặt bởi Lagendre. Nếu phần thực của số phức t dương   Re 0t  thì đồng nghĩa với   1 0 t x t x e dx       hội tụ tuyệt đối, và được biết đến như tích phân Euler loại 2. Để tính tích phân trên ta tính tích phân sau: 1 0 1 n n t n x I x dx n         Đổi biến số: x u x un dx ndu n      Thay vào n I ta được :   1 1 0 1t t nI n u u du    Ta sẽ chứng minh:     1 1 0 1 khi Re( ) 0 1 ( ) n t n u u du t t t t n        Tích phân từng phần ta có:       1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 n t n nt tu u n u u du u u du t t        Nếu Re( ) 0t  thì 0 lim 0 t u u   Suy ra:     1 1 1 1 0 0 1 1 n nt t n u u du u u du t           1 1 1 2 1 0 0 1 1 1 1 n nt t n u u du u u du t                                  1 1 2 1 0 0 1 1 1 1 1 ( ) t n t n u u du u du t n t n t n              Cuối cùng ta được:     1 1 0 1 1 ( ) n t n u u du t t t n       Do đó:   1 0 1 1 ( ) nn t t n x n n x dx I n t t t n            Mặt khác: 1 1 0 0 lim 1 n n t x t n x x dx e x dt n               7 Từ (1.2.1.2) ta đã có:        lim 1 2 t n n n t t t t t n        Suy ra:   1 0 lim x t n n t I e x dx         Tham số của hàm Gamma được đưa ra trong giới hạn của đa thức tổng quát Laguerre       0 t n t n L x t x t n       hội tụ khi Re(t) < 12 Với:      ( ) t t n t x x n n nt t n d d d L x L x e e x dx dx dx         1.2.1.2 Hàm Gamma trong mặt phẳng phức: Các giá trị của  t (với )t x iy  cho một biến dương tăng rất dễ dàng; nó tăng một cách nhanh chóng, nhanh hơn nhiều so với một hàm mũ. Khi t   , độ lớn của hàm Gamma được cho bởi công thức Stirling  1 ~ 2 t t t t e          (1.2.1.4) Dấu có nghĩa là cả hai vế đều hội tụ đến 1 Hình 1.2.1.2 Các giá trị tuyệt đối của hàm Gamma ( , ) ( ) ( )f x y z x iy     trên mặt phẳng phức 8 Đối với các giá trị của t không dương thì phức tạp hơn. Chuỗi Euler không hội tụ khi t ≤ 0 nhưng hàm vẫn được định nghĩa trong nửa mặt phẳng phức dương, tích phân liên tục được nửa mặt phẳng phức âm. Ta thấy rằng, việc lấy tích phân liên tục là sử dụng chuỗi Euler cho đối số dương và mở rộng lên miền đối số âm bằng cách áp dụng một cách lặp đi lặp lại công thức:        1 1 t n t t t t n         (1.2.1.5) Chọn n sao cho t n dương. Các đối số trong các mẫu số là số không khi t bằng bất kỳ số nguyên 0, -1, -2,…Như vậy, hàm Gamma không được định nghĩa tại các điểm đó; nó là một hàm phân hình tại các số nguyên không dương. Hàm Gamma luôn khác không, mặc dù nó gần như bằng không khi t   . Trong thực tế không có số phức nào mà   0t  , và do đó các hàm Gamma nghịch đảo 1 ( )t là một hàm nguyên, với số không tại 0, 1, 2,t     Hình 1.2.1.3. Đường biểu diễn hàm 1 ( )x 1.2.1.3 Tính chất của hàm Gamma a.    1t t t    với mọi 0, 1, 2,t      1 1  Với mọi t m N :    1 1 m m m     Chứng minh : 9 Từ (1.2.1.1)ta có :       1 n Γ 1 lim 1 ( 2) 1 t n n t t t t n               n lim . 1 ( 2) ( 1) t n n tn t t t t n t n              n Γ lim Γ . ( 1) tn t t t t n       (1.2.1.6)   n Γ 1 lim lim 1 1.2 ( 1) ( 1) n n n n n n         (1.2.1.7) Từ hai biểu thức trên với mọi t m  N ta có :           1 ( 1) 1 1 2 1m m m m m m m m m              1 2 1 m m m m     Hay :  1 m m m     N (1.2.1.8) Hình 1.2.1.4Đồ thị của hàm ( ) ( 1)f n n   b. Một tính chất đơn giản nhưng hữu ích, có thể được nhìn thấy từ định nghĩa giới hạn là: ( ) ( ) ( ) ( )t t t t       c. Một phương trình hàm quan trọng khác cho hàm Gamma là công thức phản ánh của Euler:       1 0, 1. 2, sin t t t t            (1.2.1.9) 10 Từ (1.2.1.2) ta có :         1 2 2 1 1 1 1 . 1 . 1 n t tn n t tn n k k t t t te e t e e t t Г t Г t n n n                                             Theo (1.2.1.6)  1 ( )Г t tГ t    Do đó :     2 2 1 1 1 1 n t t Г t Г t n            Để chứng minh công thức (1.2.1.9) ta sẽ chứng minh : 2 2 1 sin 1 n t t t n             Ta khai triển Fourier hàm số   cosy t t  trong  – ;   với   Z . Vì  y t là hàm chẵn, do đó ta có : 0 0 2 2sin 0, cosnb a tdt             0 0 2 1 cos( )cos( ) cos cosna t nt dt n t n t dt                   sin sin1 n n n n                    sin sin cos cos sin cos 1 sin n n n n               3sin sin cos sin cos 1 sin n n n n                 sin sin 1 sin1 1 1 n n n n n n n                                 2 2 2 1 sin n na n           2 2 2 1 1 cos2sin 1 cos 2 n n n t n                    11 Thay ,t x    vào công thức trên và chia hai vế cho sin  ta được :   2 2 2 1 1 cos2 1 cot 2 n n n x x x n                 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 3 x x x x x               2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 cos 1 2 3 x x x x x x                  2 2 2 2 2 2 0 0 1 2 1 1 1 cos 1 2 3 t t x dx x dx x x x x                         Vì rằng : 0 sin lim x x x     Do đó tích phân vế trái : 0 0 0 1 cos 1 1 π cos 1 cos sin sin t t t x x t dx dx dx x x x x x                                  0 1 sin 1 sin 1 sin ln ln ln ln t x t t x t t                 Tích phân của vế phải : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 1 1 1 1 2 2 1 2 3 1 2 t t x x x dx dx x x x x x                             2 2 0 1 1 ln t n n x       2 2 2 1 1 ln ln n n t n         1 2 2 1 ln 1 n t n            Vậy : 2 2 2 2 1 1 sin sin ln ln 1 1 n n t t t t t n t n                           Từ đó ta nhận được (1.2.1.9). d. Từ (1.2.1.9) ta suy ra :       sin 0 ( 1 )t t t N t        Như vậy  t   với mọi 0, 1, 2,t     Ta có thể chứng minh được công thức: 12   1 1 1 3 , , , 2 2 cos 2 2 t t t t                        (1.2.1.10) bằng cách thay t (với mọi 1 3 , , 2 2 t     ) bởi 1 2 t  vào công thức (1.2.1.9) ta nhận được : 1 1 1 1 1 12 2 2 2 cos sin 2 Г t Г t Г t Г t t t                                            Giá trị được biết đến nhiều nhất tại một đối số bán nguyên là: 1 2         Theo (1.2.1.6)  1 ( )Г t tГ t    Thay 1 2 t  vào công thức (1.2.1.9) ta nhận được 2 1 2 Г        . Hơn nữa 1 0 2 Г       Do đó : 1 2 0 1 2 x Г e x dx            e. Đối với các giá trị số nguyên không âm của t ta có:     1 2 2 1 1 2 2 4 2t t t t t t t t t                            (1.2.1.11)     1 ( 4) ( 2) 12 2 2 1 2 t t t t t t t t                       (1.2.1.12) trong đó t biểu thị giai thừa kép và khi t=0 thì t =1 và ( ) n n k k n k       Với ∀ t  , với mọi n  . Áp dụng liên tiếp công thức (1.2.1.6) sẽ có : ( 1) ( )( 1)( 2)...( 1) ( 1)t n t n t n t n n n            13 Thay 1 2 k  suy ra:  2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 t t t t t                                     Trong đó:  2 1 1.3.5 (2 1)t t    Thay t vào (1.2.1.10) ta có:   1 1 2 2 cos 1 t t t t                      Áp dụng kết quả (1.2.1.11) ta thu được :         1 1 ( 2) ( 2) 12 2 1 2 1 1 1 2 t t t t Г t ttt                       Từ (1.2.1.8) và (1.2.1.11) ta xác định được công thức trùng lặp:    1 21 2 2 2 t t t t           Công thức trên là trường hợp đặc biệt của định lý nhân.   1 1 1 2 2 0 2 mm mz k k t m mt m               (1.2.1.13) f. Một giới hạn cho xấp xỉ tiệm cận là: ( ) lim 1 ( ) ( ) n n R n n          Các đạo hàm của hàm Gamma dược mô tả trong giới hạn của hàm polygamma. Ví dụ: 0''''( ) ( ) ( )z z z    (1.2.1.14) 0 ( )z  là hàm polygamma được xác định:     1 1 1 0 0 ( 1) ( 1) ln 1 1 m zt z m m m m t t e t z dt tdt e t              Đối với số nguyên dương t, đạo hàm của hàm Gamma được tính như sau: 14 '''' 1 1 ( ) t k t t k             (1.2.1.15) với 0,577216    là hằng số Euler – Mascheroni Đối với Re( 0)x  , đạo hàm thứ n của hàm Gamma là :    1 1 1 0 0 0 ln n n n nx t x t t x n n n d d d t e x dt e x dt x e x dx dx dx dx                Hơn nữa, hàm Gamma cũng là công thức mở rộng Laurent:         1 1 1 1 k k k z z k        đúng cho 1 1z   (1.2.1.16) Định lý Bohr-Mollerup nói rằng trong tất cả các hàm lũy thừa mở rộng với số thực dương thì chỉ có hàm Gamma là hàm log-lồi, có nghĩa là logarit tự nhiên lồi trên trục thực dương. Hàm log( ) là công thức làm cho một số tính chất nội tại của các hàm rõ ràng hơn, nổi bật là chuỗi Taylor của log( ) : 2 ( ) ln (1 ) ( ) 1 k k k Г z z z z k            Với ( )k  là hàm Zeta Reimann tại k. Vì vậy, sử dụng tính chất sau :     0 ξ 1 s t t dt s s e t     Chúng ta có thể biểu diễn cho hàm log( ) nguyên : 0 1 ln (1 ) ( 1) zt t e zt z z t e              0 1 ln (1 ) 1 zt t t e ze z Г z dt t e            (1.2.1.17) Logarit của hàm Gamma có loạt mở rộng Fourier sau đây: 15       1 1 1 1 sin 2 .ln ln ln 2 1 ln ln sin 2 2 n nx n Г x x x x n                       0 1x  (1.2.1.18) Hình 1.2.1.5 Đồ thị mô tả hàm ln ( )x g. Một kí hiệu được Gauss thay thế và đôi khi được sử dụng là hàm Pi trong giới hạn của hàm Gamma là: 0 ( ) ( 1) ( ) t z z z z z e t dt           (1.2.1.19) Để   n n  với mọi số nguyên n không âm sử dụng hàm Pi, ta có :       1 sin sin ( ) z z z z c z        với sin c là một hàm sơ cấp cơ bản. Trong định lý nhân ta nhận được công thức :   1 1 2 2 1 1 2 m zz z z m m z m m m                            (1.2.1.20) Chúng ta thấy :     1 x z    là một hàm nguyên, xác định cho mỗi số phức, giống như hàm Gamma đảo. Hàm ( )z cũng như Г(z) đều không có số không. 16 Hình 1.2.1.6. Đường biểu diễn hàm 1 1 ( ) ( 1)x x     1.2.2 Hàm Delta Dirac 1.2.2.1 Định nghĩa hàm Delta Dirac Để mô tả những khái niệm vật lý được trừu tượng hóa, thí dụ mật độ vật chất của chất điểm,người ta dùng hàm Delta. Hàm Delta được kí hiệu bằng chữ δ. Đây không phải là một hàm theo nghĩa thông thường, mà là hàm suy rộng. Hàm Delta được xác định không phải bằng cách đo giá trị của nó ứng với tất cả các giá trị của đối số, mà bằng quy tắc lấy tích phân. Theo tích phân từng phần ta có: ( ) 0 b n a x x dx   Khi f(x) là một hàm khả tích và giới nội, ta có: ( ) ( ) (0)f x x dx f     (1.2.2.1) Nếu lấy đối số của hàm δ là (x – c) thì công thức tông quát là: ( ) ( ) ( )f x x c dx f c      (1.2.2.2) Thật vậy, bằng định nghĩa hàm Delta Dirac ta có thể viết:     ε ε 0 f x δ x c dx lim δ f (x)dx             17     c c ε ε 0 x c ε 1 lim θ.f x dx f x dx θ.f (x)dx εc                Dùng định lý giá trị trung bình trong tích phân, chọn 0< θ 0:       1 x 1 f x δ αx dx f δ x dx f (0) α α α                  nếu ߙ< 0:       1 x 1 f x δ αx dx f δ x dx f (0) α α α                   Vậy có thể viết:    δ x δ x  (1.2.2.6) Ta xét tích phân sau và tính theo công thức (1.2.2.1):      f x xδ x dx f 0 . Vậy có thể viết :  xδ x 0 19 Trong không gian 2 hoặc ba chiều ta cũng có các hàm Delta Dirac:    2 0 0 1I x x y y dxdy            (1.2.2.7)      3 0 0 0 1I x x y y z z dxdydz                 (1.2.2.8) 1.2.2.2 Hàm bước Haverside Hàm bước Heaveiside là hàm suy rộng được định nghĩa như sau:   1 (x 0) H x 0 (x 0)      (1.2.2.9) (hàm bằng đơn vị khi đối số là hàm dương, hàm bằng không khi đối số là hàm âm) Hình 1.2.2.2 Hàm bước đơn vị Heaverside Hàm bước đơn vị Heaviside dùng để định nghĩa hàm xung:       0 0 0 1 x x H x x H x x              (1.2.2.10) là hàm có độ cao 1  trong khoảng 0 x và 0 x  , và bằng không ở các vị trí khác. Hàm delta Dirac hay hàm xung đơn vị được định nghĩa:    0 0 0 limx x x x         (1.2.2.11) Hàm Delta Dirac là đạo hàm của hàm Heaviside:     0 0 dH x x x x dx     0( )H x x 1 0 0x x 20 Hình 1.2.2.3 Hàm số  0 0 0 1 ( ) ( ) ( ( )k x x H x x H x x          Thật vậy, điều này được suy ra trực tiếp từ định nghĩa đạo hàm:           0 0'''' 0 0 0 0 lim H x x H x xdH x x H x x x x dx                  Tích phân hàm Delta Dirac được:     0 0 0 0 )0 ( ( ) x x x x x dx H x x x x            (1.2.2.12) 1.2.2.3 Tính chất đạo hàm của hàm Delta Dirac 0( )k x x   0 0x x0x  0( ( ))H x x   0 0x x0x  0( )H x x 0 0x x0x  21 Hàm Delta Dirac cũng có tính chất đạo hàm. Có thể xác định đạo hàm theo x của hàm Delta và kí hiệu là  δ'''' x . Khi tính tích phân có chứa  δ'''' x ta dùng phương pháp phân đoạn và ta chú ý rằng  δ x 0 nếu x 0 . Đạo hàm này được tính theo vai trò phiếm hàm của nó. Từ (1.2.2.1) ta có: ( ) ( ) ( )f x x c dx f c             '''' '''' δ (x)f x dx f'''' x δ x dx f 0             (1.2.2.13) Tổng quát:        (n)n n 1 (n) δ (x)f x dx f'''' x δ x dx 1 f (0)                Như vậy, ta có:   '''' xδ (x) δ x  (1.2.2.14) Công thức này cũng có thể thử lại như sau:            '''' d f x xδ x dx f x δ x δ x f x x dx a dx                      '''' δ x f x f x x dx f x δ x dx      Như vậy:     '''' 0 0 ( )x x f x dx f x          '''''''' '''''''' 0 0 ( )x x f x dx f x         '''''''''''' '''''''''''' 0 0 ( )x x f x dx f x       …………………………………    ( )( ) ( ) 0 0 ( ) 1 ( ) nn n x x f x dx f x       Giả sử g là hàm đều và có không điểm tại x  . Khi đó:      '''' '''' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) f f x g x dx f x g x dx g           Như vậy:   '''' ( ) ( ) ( ) x g x g       22 Tổng quát hóa, nếu hàm g là đều và có p không điểm i  thì   0, 1,2, , i g i p     Khi đó:       '''' 1 ( ) p i i i x g x g         (1.2.2.15) Người ta thường dùng biểu thức thể hiện tính đầy đủ hoặc tính trực chuẩn của hệ hàm riêng nào đó để biểu diễn hàm Delta Dirac. Từ hệ hàm riêng đầy đủ, trực chuẩn bằng kí hiệu Kronecker  ( )n x  , ta sẽ có biểu diễn:       n n n x y x y      (1.2.2.16) (xem phụ lục 2) 1.2.2.4 Biểu diễn hàm Delta Dirac trong các trục tọa độ Hàm Delta Dirac có thể biểu diễn trong các hệ trục tọa độ khác nhau: Chuyển sang tọa độ cực: cos (0 2 , 0 ) sin x r r y r            dxdy rdrd   Thì 2 I sẽ có dạng:     2 2 0 0 00 I A r r rdrd            Vì vậy khi chuyển sang hệ tọa độ cực thì hàm    0 0 x x y y    chuyển thành hàm:    0 0 r r r     Khi có tính chất đối xứng đối với biến thì hàm    0 0 x x y y    biến thành hàm:   0 2 r r r    Bảng 1.2.2.1 Biểu diễn hàm Delta Dirac trong các hệ tọa độ cong. Tọa độ trụ  , ,r z       0 0 0 r r z z r        Tọa độ trụ  , ,r z  có tính đối xứng theo .    0 0 2 r r z z r      23 Tọa độ cầu  , ,r        0 0 0 2 r r r            Tọa độ cầu  , ,r   có tính đối xứng theo     0 0 2 2 sin r r r         Tọa độ cầu  , ,r   có tính đối xứng theo  và theo  .   0 2 4 r r r    1.2.2.5 Dạng lượng giác của hàm Delta Dirac Có thể chứng minh rằng  x  tương đương với giới hạn sau:   L Lx lim πx x     (1.2.2.17) Hàm Delta có thể khai triển Fourier:     1 1 δ x ~ cos x cos 2x cos 3x 2π π     Thay công thức Euler cos 2 ikx ikx e e kx    vào biểu thức trên ta được:    ikx 2ix 1ix ix 2ix k 1 1 δ x ~ e e e 1 e e 2π 2π              Từ đó ta có thể viết một cách tổng quát dạng lượng giác của hàm  x  như sau:   ikx 1 δ x e dx 2π       hay   ikx 1 δ k e dk 2π       (1.2.2.18) Hàm Delta Dirac ba chiều được xác định như sau:        δ r δ x δ y δ z  Hàm ấy cũng có tính chất tương tự như hàm Delta một chiều, nhưng được mở rộng trong không gian ba chiều. Tương tự như (1.2.2.1) ta có:    f r δ(r)dV f 0   (1.2.2.19) Và tương tự như (1.2.2.18) ta có:   3 ikr 1 δ r e dr 2π           1.2.3 Hàm Zeta Reimann: 24 1.2.3.1 Định nghĩa Hàm Zeta Reiman là một hàm đặc biệt quan trọng trong Toán học và Vật lý, nảy sinh trong việc xác định tích phân và nó có liên quan sâu sắc đến kết quả các định lý số nguyên tố. Đó là một trong những thành tựu đã được khám phá, ước đoán các nguyên tắc cơ bản (giả thuyết Reimann). Hàm Zeta Reimain ξ(s) được định nghĩa dựa trên mặt phẳng phức với một mặt phẳng biến thiên, quy ước là s (thường được thay thế z) Hàm Zeta Reiman (kí hiệu  ξ s ) xác định đối với số phức s có phần thực lớn hơn 1 bới chuỗi vô hạn hội tụ tuyệt đối được định nghĩa đầy đủ:   s 1 u 0 1 u ξ s du Γ(s) e 1     (1.2.3.1) Trong đó, Γ(s) là hàm Gamma. Nếu s là một số nguyên n thì ta có thể đồng nhất thức: s 1 u n 1 u n 1 ku ku n 1 u u k 0 k 0 u e u e u e e u e 1 1 e                    (1.2.3.2) Nhưng s 1 ku n 1 u k 10 0 u du e u du e 1            (1.2.3.3) Khi tính toán  ξ s , chọn y ku vì vậy dy kdu và biểu thức bị chặn thì ta thu được :       n 1 ku n 1 y k 1 k 10 0 1 1 y dy ξ n e u du e Γ n Γ n k k                        y n 1 n 0 1 1 1 e y dy Γ n kk         (1.2.3.4) Γ(n) là hàm Gamma :   y n 1 0 Γ n e y dy      Cuối cùng kết hợp các biểu thức trong (1.2.3.4) với hàm Γ(n) , ta có thể khử nhân tố   1 Γ n và cho ta một biểu thức chính xác nhất về hàm Zeta Reimann:   n k 1 1 ξ n k     (1.2.3.5) 25 Hàm Zeta Reimann cũng có thể được định nghĩa trong bội số nguyên:   π 1 1 i 1 i π 0 0 i 1 i dx ξ n 1 x          (1.2.3.6) 1.2.3.2 Tính chất a. Hàm Zeta Reimann  ξ s có tính phi tầm thường tại 1s  , tại đó làm giảm đi sự phân kỳ của chuỗi hàm điều hòa. Hàm Zeta Reimann đã thỏa mãn sự phản xạ phương trình hàm số:         s 1 ξ 1 s 2 2π cos sπ Γ s ξ s 2          (1.2.3.7) Công thức này cho số thực s và được xác định bởi Euler. Sự đối xứng của phương trình hàm được cho bởi:       1 2 21 1 2 2 s s s s s s                      (1.2.3.8) công thức này được chứng minh bởi Reimann cho mọi số phức s. Trên đây đã định nghĩa hàm Zeta  ξ s với số phức s it   cho Re(s)>1. Tuy nhiên,  ξ s có giải tích mở rộng cho toàn bộ mặt phẳng phức, ngoại trừ điểm 1s  . Đặt biệt, khi 1s  ,  ξ s theo đó:   1 1 lim ξ s s 1s      Với 0, 577...   là hằng số Euler-Mascheroni. Tiếp tục biểu diễn giải tích cho Re(s) > 0, ta có:     1 1 1 2,4, 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 n s s s s s s n n n k kn n n kk                      (1.2.3.9) nên khi viết tiếp trong giới hạn của  ξ s ta trực tiếp nhận được:       1 1 1 ξ s 2 ξ s n s s n n       Từ đó:     1 1 1 s 1 1 ξ s 1 2 s n n n         (1.2.3.10) 26 Ở đây, tổng vế phải chính là hàm Zeta đảo. Với công thức định nghĩa   ξ s cho một nửa mặt phẳng bên phải Re(s) > 0, phương trình (1.2.3.9) cũng có thể sử dụng để tiếp tục để lấy tích phân đến khi hết mặt phẳng. Toàn bộ chuỗi hàm Zeta Reimann hội tụ (  ξ s có thể mở rộng thành một hàm giải tích trên cả mặt phẳng phức ngoại trừ tại điểm 1s  ) là:       n k s 1 s n 1 0 0 n1 1 ξ s 1 k 1 k1 2 2n k                  (1.2.3.11) trong đó n k       là hệ số nhị thức. Công thức này liên quan đến sự biến đổi ngẫu nhiên và có thể được xuất phát từ việc biến đổi chuỗi Euler với 0n  để có phương trình (1.2.3.10) Mối quan hệ trên toàn bộ chuỗi hội tụ này được biết đến như sau:       n 1 s n 0 0 k n1 1 ξ s 1 k 1 ks 1 n 1 k                 (1.2.3.12) Mở rộng ( )s  gần về 1s  ta nhận được:       n n n 0 11 γ s 1 s 1 n n s         (1.2.3.13) n γ 0,577  được gọi là hằng số Stieltjes. b. Hàm Zeta Reimann cũng có thể được định nghĩa trong mặt phẳng phức trên toàn bộ tích phân đường.     1 1 ξ 2 1 s u s u s du i e         Š (1.2.3.14) Với mọi 1s  , đường lấy tích phân được minh họa ở hình dưới. Hình 1.2.3.1. Đường biểu diễn hàm Zeta Reimann 27 Hàm zeta Riemann  ξ s là hàm với đối số s là một số phức bất kỳ khác 1, và giá trị của hàm cũng là giá trị phức.Không điểm của  ξ s có hai loại khác nhau. Một loại được gọi là “điểm không tầm thường ’’ xuất hiện ở tại tất cả các số nguyên âm chẵn 2, 4, 6,s      , và một loại được gọi là “điểm không phi tầm thường” được xác định: s it   (1.2.3.15) σ là phần thực, t là số thực và i là đơn vị ảo Cho s trong miền giới hạn 0 1   . Giả thuyết Reimann thừa nhận tất cả các không điểm phi tầm thường trong hàm Zeta Reimann  ξ s đều có phần thực 1 Re( ) 2 s    , đường này gọi là “đường giới hạn” . Điều này hiện nay được biết đến đúng cho 9 250 10 nghiệm đầu tiên. Nếu 0 < Re(s)