Ứng dụng bộ điêu khiển giảm bậc vào thiết kế cân bằng robot hai bánh

Vàcác tham số của mô hình bậc thấp được xác định sao cho trước tác động của tín hiệutại đầu vào, đáp ứng của mô hình bậc thấp gần đúng với đáp ứng của mô hình gốc.Những đề xuất sớm nhất

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG I 7

TỔNG QUAN CHUNG VỂ GIẢM BẬC MÔ HÌNH 7

1.1 Giới thiệu về giảm bậc mô hình 7

1.2 Mô tả hệ thống tuyến tính có thời gian bất biến 9

1.3 Một số công cụ giảm bậc mô hình 9

1.3.1 Một số ký hiệu toán học 9

1.3.2 Một số phương pháp sử dụng để giảm bậc mô hình 11

1.3.2.1 Giảm bậc bằng cách khử hệ con 12

1.3.2.2 Tính trội nội 13

1.3.2.3 Tính trội nội và các dạng bậc 2 15

1.4 Các phương pháp giảm bậc mô hình 17

1.4.1 Giảm bậc mô hình dựa trên các phương pháp Moment-Matchinh 17

1.4.2 Các phương pháp giảm bậc mô hình dựa trên việc phân tích giá trị suy biến (SVD) 20

1.4.3 Giảm mô hình cân bằng 21

1.4.4 Phương pháp cân bằng xấp xỉ 22

1.4.5 Phương pháp xấp xỉ nhiễu suy biến 22

1.4.6 Xấp xỉ hoá chuẩn Hankel 23

1.5 Vấn đề bảo tồn tính thụ động của mô hình giảm bậc 23

1.6 Kết luận chương 24

CHƯƠNG II: THIẾT KẾ ROBOT HAI BÁNH TỰ CÂN BẰNG 25

2.1 Giới thiệu 25

2.2 Thiết kế robot hai bánh tự cân bằng 26

2.2.1 Thiết kế phần cơ khí 26

2.2.1.1 Cơ cấu cân bằng 26

2.2.1.2 Cảm biến góc nghiêng 28

2.2.1.3 Cảm biến tốc độ 31

2.2.1.4 Hệ thống điều khiển tiến lùi 32

2.2.2 Thiết kế phần điện 32

2.2.2.1 Hệ thống điều khiển cân bằng robot 33

2.2.2.2 Hệ thống điều khiển tiến lùi 36

2.3 Mô hình hoá robot hai bánh tự cân bằng 37

2.4 Kết luận chương II 40

CHƯƠNG III: THIẾT KẾ ĐIỀU KHIỂN ROBOT HAI BÁNH TỰ CÂN BẰNG .41

3.1 GIỚI THIỆU CHUNG 41

3.2 Hê thống điều khiển cân bằng robot theo phương pháp điều khiển bền vững định dạng vòng H∞ 42

3.2.1 Điều khiển định dạng vòng H∞ 42

3.2.2 Thiết kế bộ điều khiển định dạng vòng H∞ ĐỦ BẬC 44

3.2.2.1 Lựa chọn hàm định dạng 44

3.2.2.2 Kết quả mô phỏng 44

3.3 Ứng dụng giảm bậc mô hình giảm bậc bộ điều khiển bền vững định dạng vòng H∞ 45

3.3.1 Phát biểu bài toán giảm bậc mô hình 45

3.3.2 Giảm bậc mô hình theo phương pháp cân bằng nội 46

3.3.3 Giảm bậc bộ điều khiển hệ thống điều khiển cân bằng theo phương pháp cân bằng 48

3.3.4 Sử dụng bộ điều khiển giảm bậc cho hệ thống điều khiển cân bằng robot 54

3.4 Kết quả thực nghiệm điều khiển trên mô hình robot hai bánh tự cân bằng 55

3.5 Kết luận chương III 57

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 58

A KÊT LUÂN 58

B KIÊN NGHI 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

MỞ ĐẦU

I Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ở trong và ngoài nước

Hơn 40 năm qua, đã có hàng trăm công trình nghiên cứu để giải quyết bài toángiảm bậc của mô hình bậc cao được công bố và đề xuất các phương pháp tiếp cậnkhác nhau Tuy nhiên, theo quan điểm của tác giả, đối với một mô hình bậc cao chotrước, các phương pháp đã đề xuất trên thực tế có thể phân loại theo 3 nhóm chính.Nhóm phương pháp thứ nhất được đề xuất dựa trên cơ sở bảo toàn những giá trịriêng quan trọng của mô hình gốc bậc cao để xác định bậc của mô hình bậc thấp Vàcác tham số của mô hình bậc thấp được xác định sao cho trước tác động của tín hiệutại đầu vào, đáp ứng của mô hình bậc thấp gần đúng với đáp ứng của mô hình gốc.Những đề xuất sớm nhất về mô hình giảm bậc trong các công trình của Marshall [1] ,Davison [2] trong năm 1966, của Mitra năm 1967 [3] và của Aoki năm 1968 [4]thuộc nhóm phương pháp thứ nhất này Nhưng, năm 1980 Hickin và Sinha [5] đãchứng tỏ rằng cả ba phương pháp đề xuất sớm nhất bởi Marshall, Davison và Mitra lànhững trường hợp riêng của phương pháp ghép hợp do Aoki đề xuất

Nhóm phương pháp giảm bậc thứ hai được đề xuất trên cơ sở áp dụng tiêu chí tối

ưu mà không quan tâm tới giá trị riêng quan trọng của mô hình gốc Năm 1967,Anderson đề xuất phương pháp hình học trên cơ sở của phép chiếu trực giao, mô hìnhbậc thấp từ đó được xác định là mô hình tối thiểu hóa tích phân bình phương các sai

số trong miền thời gian; nghĩa là bài toán L2 [6] Năm 1971, Sinha và Pilen đề xuấtphương pháp trên cơ sở áp dụng tiêu chí tối thiểu tổng bình phương sai số giữa những

mẫu đáp ứng [7] Các tiêu chí tối ưu khác cũng được sử dụng như tiêu chí L2 áp dụng

đối với đáp ứng trong công trình của Wilson năm 1970 [8] , L2 áp dụng đối với trọngđáp ứng trong công trình của Sinha và Berezail năm 1971, phương pháp gradient

trong công trình của Bandlet và các tác giả khác năm 1973, L2 áp dụng với trọng đápứng trong miền ràng buộc về tính ổn định, tính đồng thời điều khiển và kiểm tra của

hệ trong công trình của Hyland và Bernstein năm 1985 [9], L 2 áp dụng với tín hiệu

đầu vào trong công trình của Nath và San năm 1991 [10] Các phương pháp tìm môhình tối ưu bậc thấp trong miền tần số được đề xuất trong công trình của Langholz và

Bishtritz năm 1978 [11], Elliott và Wolovich đề xuất quy trình tìm mô hình giảm bậctrong miền tần số năm 1980

Nhóm phương pháp giảm bậc thứ ba được đề xuất trên cơ sở chọn trùng khớpmột số đặc tính khác ngoài những thuộc tính về đáp ứng Năm 1968, Chen và Shieh

đã chứng tỏ rằng nếu phát triển một số hàm truyền của mô hình hệ bậc cao theo cáchchia liên tục mẫu số cho tử số và làm tròn, thì dẫn tới một mô hình bậc thấp có đápứng đối với xung nhảy bậc bám sát được đáp ứng của mô hình gốc [12] Sự hấp dẫnchủ yếu của phương pháp này nằm ở chỗ tính toán đơn giản hơn so với các phươngpháp thuộc các nhóm trước Thay vì sử dụng hàm truyền do Chen và Shieh đề xuất,phương pháp trùng khớp theo các thời điểm do Gibarillo và Lees đề xuất năm 1969[13] là một phương pháp khá hay Nhưng, sau đó vào năm 1974, Samash đã chứng tỏrằng phương pháp phát triển hàm truyền và phương pháp trùng khớp thời điểm làtương đương và chẳng qua là phương pháp lấy xấp xỉ khi tích phân gần đúng hàmtheo chuỗi của Pade [14] Một hạn chế lớn của phương pháp gần đúng Pade là đôi khicác mô hình bậc thấp tìm được có thể không ổn định dù rằng mô hình gốc bậc cao ổnđịnh Điều này dẫn đến việc phát triển phương pháp gần đúng Routh do Hutton vàFriedlan đề xuất năm 1975 đối với mô hình có một đầu vào và một đầu ra [15] Mộtphiên bản giành cho hệ có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra được Sinha và các đồng tácgiả khác phát triển năm 1982 [16] Một giải pháp nhằm đảm bảo tính ổn định của môhình bậc thấp được đề xuất trên cơ sở kết hợp giữa phương pháp ghép hợp vớiphương pháp trùng khớp theo thời điểm do Hickin và Sinha đề xuất năm 1980 [12]

Mô hình giảm bậc ổn định sử dụng phương pháp gần đúng theo chuỗi ChebyshevPade do Bistritz và Lanholz đề xuất năm 1979 [17], nhưng phương pháp này xem rakhá phức tạp trong tính toán khi áp dụng vào thực tiễn

Tuy nhiên, vẫn còn một số phương pháp đề xuất khác không thuộc bất kỳ mộttrong các nhóm kể trên Đáng quan tâm nhất là phương pháp nhiễu loạn được Sannuti

và Kokotovic đề xuất năm 1969 [18] và phương pháp cân bằng ma trận (cân bằngnội) do Moore đề xuất năm 1981 [19]

II Tính cấp thiết

Trong việc giải các bài toán mô hình trước đây ta thường giải theo phương trìnhsai phân, tuy nhiên việc tính toán theo phương pháp này rất khó khăn Do đó trong đềtài này tính theo phương pháp không gian trang thái Việc giải theo không gian trạngthái gặp vấn đề là các ma trận phức tạp nên bài toán này được đặt ra để tìm biện pháp

để giảm bớt việc tính toán, giảm số bít trên đường truyền, giảm thời gian thực mà vẫnđảm bảo độ chính xác yêu cầu trong quá trình điều khiển được ứng dụng trong Viễnthông và Điều khiển

Đây là yếu tố rất quan trọng cho ngành Viễn thông và Điều khiển hiện nay

III Mục tiêu

Tìm các ma trận trong việc chuyển bài toán sang không gian trạng thái có dạngđơn giản hơn thông qua một ma trận trung gian làm giảm khó khăn cho việc tính toántrong bài toán xử lý tín hiệu số-ứng dụng trong Viễn thông và Điều khiển

Mục tiêu của đề tài là tìm được các ma trận khác có kích thước nhỏ hơn để thaythế các ma trận trong không gian trạng thái, sao cho khi ứng dụng ma trận này vào bàitoán trong Viễn thông và Điều khiển vẫn đảm bảo độ chính xác Như vậy, số bít đượctruyền đi ít hơn hoặc các bài toán Điều khiển được giải quyết đơn giản hơn Điều nàyrất quan trọng vì nó giải quyết được vấn đề tiết kiệm đường truyền, tăng tốc độ xử lýtrong miền thời gian thực và mở ra khả năng ứng dụng vào thực tiễn

Là tài liệu hữu ích cho việc nghiên cứu, tham khảo của học viên cao học, sinhviên ngành Điện tử viễn thông, Điều khiển tự động

IV Cách tiếp cận

Các mô hình giảm bậc trong xử lý hiệu số như: Phương pháp ghép hợp, phươngpháp trùng khớp tại các thời điểm, phương pháp cân bằng nội

Ứng dụng các mô hình giảm bậc

V Phạm vi nghiên cứu trong lĩnh vực trong viễn thông và điều khiển

VI phương pháp nghiên cứu

Tìm ra phương pháp khác có hiệu quả trong việc tính toán

VII Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Hệ động học, hệ thống tuyến tính, ổn định, có khả năng quan sát và điều khiển được

VIII Nội dung nghiên cứu

- Các phương pháp giảm bậc mộ hình

- Ứng dụng phương pháp giảm bậc mô hình cho đối tượng là viễn thông và điều khiển

CHƯƠNG I TỔNG QUAN CHUNG VỂ GIẢM BẬC MÔ HÌNH

2 Giới thiệu về giảm bậc mô hình

Các mô hình toán thu được từ các tiêu chuẩn mang tính lý thuyết liên quan đến

hệ thống đã cho thường là một mô hình có bậc cao hơn Các hệ thống bậc cao sẽ khóphân tích và do đó việc thiết kế bộ điều khiển trở nên quá khó khăn Như vậy, rõ ràng

là cần phải có các mô hình nhỏ hơn Các mô hình nhỏ hơn là các mô hình mô tả hành

vi của hệ thống một cách tương đối chính xác, giảm thiểu được các yếu tố bất lợi củacác chi tiết không cần thiết

Điều này cho phép mô hình hóa một số hiện tượng phức tạp trong một thời gianchấp nhận được Trước hết, các mô hình này nên nhỏ hơn so với mô hình ban đầu, cónghĩa là chúng đòi hỏi ít tính toán hơn và bản chất của chúng phải gần đúng nhất với

mô hình gốc Tốt nhất là các mô hình nhỏ hơn được thúc đẩy về cả vật lý cũng nhưtoán học, điều này làm cho mô hình giảm bậc trở nên hiệu quả và có thể lý giải được.Các quá trình toán học chính để tìm ra các mô hình nhỏ hơn hình thành nên lĩnh vực

mà ta gọi là “giảm bậc mô hình (MOR: Model Order Reduction)” Lý do của tên

gọi này là vì mô hình được giảm kích thước bằng một kỹ thuật nào đó Mô hình đượcgiả thiết là đã có thực tìm được từ các định luật vật lý và các giả thiết Đôi khi cácphương pháp gọi một cách đơn giản là giảm bậc mô hình hóa, điều này có thể giảithích cho nhiệm vụ của mô hình hóa theo cách mô hình tìm được phải nhỏ hơn

Trong nhiều trường hợp, hoàn toàn có thể giảm kích thước của mô hình Ta đãthấy rằng các định luật toán học của sự rời rạc hóa có thể dẫn tới các mô hình quá lớn

và có nhiều chi tiết đối với độ chính xác yêu cầu Trong các ứng dụng, có thể cần đếnmột sai số nhỏ Sự linh hoạt này tạo ra một khoảng trống cho các xấp xỉ hóa nhỏ hơn

và các phương pháp xử lý nhanh hơn Hơn thế nữa ta thường chỉ quan tâm đến cáctrạng thái đã biết của mô hình, ví dụ chỉ quan tâm đến đầu ra đầu vào đã biết trongkhi đó mô hình chứa thông tin đầu vào không bị áp đặt Giảm bậc của mô hình cốgắng để thu được một cách nhanh chóng các đặc trưng quan trọng về cấu trúc Điềunày có nghĩa là trong bước đầu của quá trình các thuộc tính cơ bản nhất của mô hình

gốc phải được thể hiện bằng xấp xỉ hóa nhỏ hơn Tuy nhiên, ở một thời điểm xác địnhquá trình giảm được dừng lại Tại điểm đó với mọi thuộc tính quan trọng cần thiếtcủa mô hình gốc phải được giữ lại với độ chính xác nhất định.

Giảm mô hình trở nên quan trọng bởi vì các thuật toán giảm mô hình nhằm mụcđích để tạo ra các hệ thống thấp chiều mà nắm bắt đặc điểm đáp ứng giống như các

hệ thống ban đầu trong khi cho phép cải thiện đáng kể trong thời gian mô phỏng vàkết quả là yêu cầu lưu trữ giảm đáng kể Nói cách khác, các kết quả giảm các mô hìnhthấp chiều biểu diễn các hệ thống ban đầu cho một dung sai lỗi nhất định theo quyđịnh và bảo tồn các tính năng cần thiết

Giảm bậc của hệ tuyến tính bất biến được đáp ứng trong hầu hết các lĩnh vực kỹthuật điều khiển và tự động hóa, kỹ thuật điện - điện tử, lĩnh vực cơ khí, …; Việc sửdụng các mô hình giảm bậc cho các mô phỏng kiểm tra của các hệ phức tạp dễ dànghơn nhiều so với việc sử dụng các mô hình đủ bậc Điều này là do thực tế rằng cáchàm truyền bậc thấp có thể được phân tích một cách dễ dàng hơn Do đó, các thuậttoán giảm bậc là các kỹ thuật tiêu chuẩn trong tập hợp các mạch tích hợp để phântích, xấp xỉ và mô phỏng mô hình xuất phát từ việc kết nối lẫn nhau và phân tích cấutrúc điện từ

Các phương pháp giảm thông thường có giá trị về mặt lý thuyết đối với việcgiảm bậc của các hệ MIMO tuyến tính tỷ lệ lớn trong miền tần số [20-23] Một sốphương pháp tồn tại dựa trên các thuộc tính toàn cục của G(s) đã được đề xuất dướidạng lý thuyết phương pháp miền tần số sử dụng khai triển hệ số liên tục của G(s) vàcác xấp xỉ hóa Pade kinh điển đã trở nên nổi tiếng vì tính đơn giản tính toán và đápứng được một số khoảng thời gian đầu Tuy nhiên tính ổn định của các mô hình đãgiảm không đảm bảo, thậm trí khi cả hệ ban đầu là ổn định Hơn nữa, một số phươngpháp tổng hợp đã được đề xuất bởi việc kết hợp thuật toán của hai phương pháp khácnhau [24-26] Thay vì có một số phương pháp giảm, không có phương pháp nào luônluôn đưa ra được các kết quả thỏa mãn cho mọi hệ thống

Giảm mô hình cho thấy các ứng dụng của nó trong một loạt các lĩnh vực nhưphản ứng hóa học, mô hình mờ, dự báo tăng sóng, xây dựng dân dụng, mô phỏngmạch, các bài toán thiết kế bộ điều khiển và rất nhiều các lĩnh vực khác nữa Đối với

luận văn này liên quan với các hệ thống LTI, là kết quả của một loạt các lĩnh vựctrong điều khiển tự động và tự động hóa, đặc biệt là trong tính toán, thiết kế và môphỏng hệ thống.

3 Mô tả hệ thống tuyến tính có thời gian bất biến

Cho hệ LTI  có thể biểu diễn bằng phương trình như sau:

E x (t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)

và x t  ( ) n là trạng thái, u t  ( ) m là đầu vào, y t  ( ) p là đầu ra của  tại thời điểm

t Ngoài ra, n là kích thước của hệ thống , m là số lượng đầu vào và p số lượng đầu

ra Nếu E = I, hệ thống (1.1) được mô tả:

x (t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)



(1.2)

Nếu m = p = 1 thì (1.1), (1.2) được gọi là hệ một đầu vào một đầu ra(SISO) và

nếu m> 1 và p> 1, nó là một hệ nhiều đầu vào nhiều đầu ra(MIMO)

Với một hệ thống LTI  trong (1.1), mối quan hệ giữa đầu vào-đầu ra của nótrong miền tần số được xác định bởi hàm truyền:

PC[t1, t2] : là vành các hàm liên tục từng đoạn trong khoảng thời gian [t1, t2]

Rm là không gian véc tơ Eculid m chiều

PCm[t1, t2] là không gian véc tơ m chiều của các mẩu hàm liên tục từng đoạntrong khoảng thời gian [t1, t2].

S là không gian con của Rn

S là ký hiệu của phần bù trực giao của không gian con S

U là ma trận cơ sở trực giao của S, với mỗi cột của U là một cơ sở trực chuẩn của S.Ánh xạ M: Rk  Rn: chiếu từ không gian véc tơ Rk đến không gian véc tơ Rn –tương ứng sẽ xác định được một ma trận M của ánh xạ M có kích thước là (k x m)hay MRkxm – tập các ma trận số thực có kích thước (k x m)

Ker(M) là hạt nhân của ánh xạ M – là tập tất cả các phần tử của Rk có ảnh là

Rn (tập rỗng), ker(M) là không gian con của Rk

MF : là chuẩn Eculid của ma trận M (hay chuẩn Frobenius)

M2 : là phổ tiêu chuẩn – chuẩn bậc 2 của ma trận M

v chuẩn của một véctơ trong không gian Eculid Rn

Giảm bậc mô hình bao gồm một sự cân bằng giữa bậc mô hình và mức độ màcác đặc tính của đối tượng được phản ánh trong mô hình Do tầm quan trọng của cácđặc tính của đối tượng phụ thuộc rất nhiều vào ứng dụng của đối tượng, vì thế khôngthể có thuật toán giảm bậc chung Cách tốt nhất có thể hy vọng được là cho một bộcông cụ giảm bậc mô hình tốt và một số hướng dẫn sử dụng kèm theo

4.2.1 Một số phương pháp sử dụng để giảm bậc mô hình

Trong phần này, chúng ta sẽ minh họa một cách phân tích thành phần chính cóthể áp dụng cho bài toán giảm bậc mô hình trong trường hợp mô hình đủ bậc ổn định

tiệm cận Mục đích là để thể hiện ý tưởng về giảm bậc mô hình bằng cách đưa vàophép chiếu (ánh xạ) tín hiệu theo quan điểm lý thuyết thực hiện tối thiểu Các kết quả

là khả quan nhưng chưa hoàn thiện; nghiên cứu trọng tương lai sẽ giúp hoàn chỉnhcác quan điểm và hoàn thiện các công cụ

Trong phần này một mô hình giảm bậc (AR, BR, CR) sẽ được đánh giá bằng matrận đáp ứng xung của nó Sai số của ma trận đáp ứng xung

R t A R

2 / 1

0

2 / 1

) ( ) (

t H t

e e

T

(1.5)Quan điểm này bắt buộc phải có một giả thiết: Phép chiếu CeAtB có thể khônghợp lý hoặc thành phần không (ví dụ: 2 hàng của C là giống hệt nhau) và chúng ta sẽphải giả định rằng tình huống đó đã được sửa chữa bằng một phép chiếu lên khônggian đầu ra kích thước tương xứng Để làm cho điều kiện (1.5) đơn giản hơn, chúng

ta tiếp tục giả thiết rằng một phép chuyển đổi hệ tọa độ đầu ra có thể được áp dụngnhư sau:





0

dt C e BB

Ce At T A T t T

trong trường hợp này (1.5) có thể được thay thế bằng

1 )

( ) (

2 / 1 2 0







dt t H t

e

4.2.1.1 Giảm bậc bằng cách khử hệ con

Lý thuyết thực hiện tối thiểu cho rằng có một mô hình bậc thấp chính xác khi vàchỉ khi trong một số hệ tọa độ của mô hình đầy đủ bậc có thể được tổ chức như sau:

2 2

1 22 21

11 2

1

) (

) (

x

x C C t y

t B

B x

x A A

A A x

x

R

R R



trong đó hệ thống con (AR ,BR , CR) có ma trận đáp ứng xung giống như mô hình đầy

đủ bậc Điều này được minh họa trên hình 1.1

Hình 1.1: Phân chia mô hình hệ thống

Ý tưởng chính của việc giảm bậc mô hình ở đây là loại bỏ bất kỳ hệ con yếu nào

ít đóng góp vào ma trận đáp ứng xung Nói cách khác, ta sẽ cố gắng tổ chức lại (sắpxếp lại) mô hình đủ bậc với một phép chuyển đổi tọa độ nội được minh hoạ trên hình1.2 Điều này mặc nhiên xác định ý nghĩa của hệ thống con trội: nó là một trongnhững hệ thống con có ma trận đáp ứng xung gần (đã được đề cập ở phần đầu củađoạn này) với mô hình đầy đủ bậc

Hình 1.2: Phân chia mô hình hệ thống thành hệ con trội và hệ con yếu

Ở đây chúng ta phải đối diện với lỗ hổng lý thuyết Ta không thể sử dụng địnhnghĩa tính trội này một cách trực tiếp được và thay vào đó, chúng tôi giới thiệu kháiniệm tính trội nội, phần đã được trình bày trong phần 1.3.2.2 Tới cuối phần này, một

Hệ con không đóng góp vào ma trận đáp ứng xung

Mô hình bậc thấp thu được bằng cách cắt đứt các liên kết

Ar, Br, Cr

Hệ con yếu

Hệ con trội

Ar, Br,

Cr

phỏng đoán sẽ được đưa ra liên quan đến mối quan hệ giữa khái niệm này và tính trộithực tế.

Trong dạng ma trận, chúng ta có thể biểu diễn mô hình với một biến đổi tùy ý

) ( )

( ), ( )

2 1

2

1 2

1 1 2

1 2 22

1 2 1 21

1 2

2 11

1 1 1

1 1 2

1

ˆ

ˆ )

(

) ( ˆ

0 ) (

ˆ 0 ) ( ˆ

ˆ ˆ

ˆ

x

x T C T C t

y

t d I t d

I t B T

B T x

x T A T T A T

T A T T A T x

x

R

k n

k R

1

k I

T

T t dt T V W V T X

ˆ

1 0

1 2 1 1 1

áp dụng tương tự cho Xˆ2(t),Yˆ2(t)(với V2, T2 thay cho V1, T1 )

Qua cách diễn giải trên cho thấy ta có thể chọn T1 sao cho thành phần chính của

1 1 0

(1.8)Tương tự, T2 có thể được chọn sao cho

2 2 0

2 2 0

Định nghĩa 1.3.2.2: Hệ thống (AR ,BR , CR) là một hệ thống con có tính con trộinội nếu trong một số hệ tọa độ của mô hình đầy đủ bậc (A, B, C) có thể được tổ chức

để cân bằng đối với X1, X2

F F

i

i

1

4 1

2 1

) ( ˆ )

(

2

1 2

t x P P t x

)()

(ˆ

)(ˆ

2

1 2

Q

Q t

x

t x

Do đó, chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng tính trội nội có hệ quả là

P

P dt e B B

T t

A T t

Q

Q dt e C C

T t

A T t

2 2

2 2

2

1 2 1

1 2 1

2

ˆ ˆ

Q Q

P P

Q Q

P P

T T

T T

2 2 2

1 1 1

1 1

Vì vậy QP 2F  ˆ QP22 F, việc chứng minh hoàn tất

Kết quả của định đề 1.3.2.3 gợi ý một bước tự nhiên đầu tiên trong giảm bậc mô

hình là: tính toán mô hình cân bằng nội và kiểm tra các dạng bậc 2 Nếu điều kiện(1.8) là không thoả mãn thì không có hệ thống con có tính trội nội Nếu điều kiện(1.8) là thoả mãn, thì hệ thống con tương ứng với k biến trạng thái đầu tiên của môhình là có tính trội nội, cân bằng nội và ổn định tiệm cận Hệ thống con này chính là

hệ thống con ta thu được từ việc áp dụng tính toán theo lý thuyết thực hiện tối thiểu

sử dụng (IK 0)T như là cơ sở tính toán cho Xco

Ta trở lại với vấn đề tính trội và tính trội nội Một hệ thống con có tính trội nội

có thể được kiểm tra tính trội bằng cách áp dụng phân tích các thành phần chính của

ma trận sai lệch đáp ứng xung He(t) Một câu hỏi khá thú vị là có thể tồn tại hay

không một hệ thống con trội bậc k tương ứng với một hệ thống con có tính trội nộibậc k được hay không?

4.3 Các phương pháp giảm bậc mô hình

4.3.1 Giảm bậc mô hình dựa trên các phương pháp Moment-Matching

Trong phần này, công thức toán học của mô hình giảm dựa trên phương phápmoment-matching được giới thiệu Tiếp theo chúng ta sẽ khảo sát ngắn gọn các kỹthuật hiện tại của dạng này Đối với việc nghiên cứu rộng rãi hơn các kỹ thuật, xemtrong [25] và các tài liệu tham khảo trong đó

Cơ sở toán học

Xem xét các hệ thống  LTI ban đầu như trong (1.1), mô hình giảm ˆnhư trong(1.11), và hàm truyền tương ứng trong (1.11) và (1.13) Đặt s  0 là điểm trong mặtphẳng phức

ˆ , i=1, ,l,

i i

  đối với ln

Ngoài ra, những dự báo thấp chiều cho những kỹ thuật được xây dựng bằng cách

sử dụng các phương pháp không gian con Krylov như Lanczos, Arnoldi và phươngpháp không gian con Krylov hữu tỷ

Các kỹ thuật hiện tại sử dụng trong giảm bậc mô hình

Ba phương thức không gian con Krylov khác nhau được trình bày đó là: Pad'evia Lanczos (PVL), thuật toán PRIMA(Passive Reduced-Order InterconnectMacromodeling Algorithm) và nội suy hữu tỷ đa điểm

Padé via Lanczos (PVL)

PVL đã được đề xuất bởi Feldmann và Freund [27] vào năm 1995 Với một hệthống LTI = (E, A, B, C, D), kỹ thuật này sử dụng các thủ tục song trực giaoLanczos để xây dựng hai ma trận chiếu mong muốn như sau:

VWT Từ khi các thủ tục song trực giao Lanczos là hai mặt, số lượng những thời điểmthích ứng giữa các mô hình ban đầu và mô hình giảm là hai lần kích thước của các

mô hình giảm ˆ được chia cho số đầu vào, nghĩa là, l = 2k/m Tuy nhiên, sự ổn định

và tính thụ động của hệ thống giảm không đảm bảo Ngoài ra, từ việc xây dựng cácphép chiếu thông qua các thủ tục Lanczos phụ thuộc vào điểm mở rộng quy địnhtrước, phương pháp này là cục bộ trong tự nhiên Do đó, không tồn tại giới hạn lỗitoàn cục Năm 1999, Bai et al [28] đề xuất một số ước tính lỗi cho vấn đề giảm bớt.Tuy nhiên, phân tích này là hạn chế đối với hệ thống SISO và ước lượng sai số phụthuộc nhiều vào các điểm mở rộng và vào các đặc tính hệ thống

Passive Reduced-Order Interconnect Macromodeling Algorithm (PRIMA)

PRIMA đã được đề xuất bởi Odabasioglu et al [29] vào năm 1998 Với một hệthống LTI = (E, A, B, C, D), thuật toán sử dụng một khối giai thừa Arnoldi như làphương pháp cốt lõi của nó để xây dựng các ma trận chiếu mong muốn như sau:

Ngoài ra, hệ giảm được chứng minh là ổn định và thụ động Tuy nhiên, thuật toán này

là chuyên dụng trong đó chỉ ứng dụng kết quả cho các hệ thống LTI từ một dạngphân tích sự biến đổi Ngoài ra, tương tự như PVL, phương pháp này là cục bộ bởi vìviệc xây dựng phép chiếu thông qua các thủ tục Arnoldi phụ thuộc vào điểm mở rộngđịnh trước Vì vậy, không tồn tại giới hạn lỗi toàn cục Trong năm 2005, trong luận

án tiến sĩ, Heres [30] cung cấp một số xem xét trực quan để kiểm soát lỗi củaPRIMA Tuy nhiên, ước lượng sai số phụ thuộc đáng kể trên điểm nội suy

Multipoint Rational Interpolation

Các thuật toán nội suy hữu tỷ đa điểm để giảm mô hình đã được đề xuất bởiGrimme [31] vào năm 1997 và Skoogh [32] vào năm 1998 Phương pháp này sử dụngphương pháp không gian con Krylov hữu tỷ của Ruhe [33], mà là một sự tổng quátcủa phương pháp Arnoldi tiêu chuẩn Các phương pháp nội suy hữu tỷ đa điểm cungcấp sự linh hoạt trong việc chọn lựa một bộ q điểm nội suy khác nhau (q k m / ), và

do đó làm tăng xấp xỉ hàm truyền trên một dải tần số rộng Hệ thống giảm phù hợp

với toàn bộ thời điểm l=k/m của hệ thống ban đầu tại các điểm nội suy Tuy nhiên,

những hạn chế của phương pháp này là cục bộ, và do đó không có giới hạn lỗi toàncục và nó đòi hỏi một sự lựa chọn người dùng quy định các điểm nội suy, mà không

tự động Ngoài ra, tính thụ động không được bảo đảm

Tóm lại, các tính năng phổ biến của các phương pháp giảm mô hình dựa trênmoment matching như sau: Đầu tiên, chúng được thiết kế để đưa ra các mô hình giảmbậc phù hợp với hệ thống ban đầu với một số thời điểm tại các điểm nội suy Thứ hai,

họ tận dụng lợi thế của phép lặp Krylov và do đó là rất hiệu quả về độ phức tạp thời

gian tính toán Thứ ba, chúng là cục bộ trong tự nhiên, tùy thuộc vào các điểm nộisuy theo quy định của người sử dụng, và do đó không tồn tại giới hạn lỗi toàn cục.Trực giác, tính năng này ngụ ý rằng theo toán học thì kết quả xấp xỉ không chắc chắn

để nói là tốt Heuristic đã đề xuất trong việc đánh giá lỗi Tuy nhiên, các đề xuất nàythường phụ thuộc vào hệ thống và điểm nội suy

Nhìn chung, chỉ một vài kỹ thuật thiết kế tốt đáp ứng được như PRIMA, còn hầuhết các phương pháp không bảo đảm sự ổn định và thụ động trong mô hình giảm

4.3.2 Các phương pháp giảm bậc mô hình dựa trên việc phân tích giá trị suy

3 Phương pháp nhiễu suy biến

4 Xấp xỉ hoá chuẩn Hankel

Bốn phương pháp này đều sử dụng toán tử suy biến Hankel (được định nghĩadưới đây) của hệ thống  được xấp xỉ hoá

Đặt P và Q là nghiệm xác định dương duy nhất của hàm Hermitian để

AP + PAT + BBT = 0

ATQ + QA + CTC = 0

Giá trị suy biến Hankel i( ) của hệ thống  là căn bậc hai của giá trịriêng tích số PQ: i(  )  i(PQ)

4.3.3 Giảm mô hình cân bằng

Đặt P=UUT và Q= LLT trong đó U và L là nửa trên và dưới các ma trận tam giáctương ứng Đặt UTL=ZSYT là phép phân tích giá trị suy biến (SVD) của UTL Một

1 1 T 2 1

b b

T b

b    , A S SA C T C b 0

b b

T

Trong đó:

1 b b b b

1 b b

Trong trường hợp SISO (1 vào - 1 ra), các Grammian chéo X là nghiệm củaphương trình Sylvester:

được là:

k k k k k k

k

W A Z W B CZ

4.3.5 Phương pháp xấp xỉ nhiễu suy biến

Từ (1.1) có xấp xỉ nhiễu suy biến sau:

4.3.6 Xấp xỉ hoá chuẩn Hankel

Đặt  như trong (1.15) khi đó, tồn tại một hệ động học  để hệ    là thỏamãn, và  ~   1  )



k

 ~ có các điểm cực ổn định k một cách chính xác Phân tích 

thành phần ổn định và phần không ổn định:       Khi đó là một xấp xỉhoá chuẩn Hankel tối ưu bậc k của hệ  Chuẩn H của sai số hệ thống thoả mãn(1.18)

4.4 Vấn đề bảo tồn tính thụ động của mô hình giảm bậc

Như đã được định nghĩa, tính thụ động là một thuộc tính ước lượng của các hệđộng học LTI trong mô phỏng mạch mà cần phải được bảo đảm trong mô hình giảm.Như vậy, với một hệ thống LTI thụ động ban đầu bậc n định nghĩa trong (1.1)

E x Ax(t)+Bu(t)y=Cx(t)+Du(t)

của hệ thống giảm ˆ : -1

k

G(s) = C(sI - A) B + D phải thực dương Về mặt toán học, ˆ ( )G s

phải đáp ứng 3 điều kiện đặc biệt sau:

Zutter [41], Bai và Freund [42,43], Gugercin và Antoulas [44], Antoulas [45], Sorensen [46],Faßbender và Benner [47] …v.v.

Hầu hết các phương pháp là xây dựng các mô hình giảm và sau đó chứng minh mô hìnhgiảm đó đáp ứng ba điều kiện mong muốn trên Xem xét PRIMA, thuật toán đề xuất bởi alOdabasioglu và cộng sự [29] Lưu ý rằng PRIMA được đề xuất để làm việc với các hệ thốngmạch điện được tạo ra bởi các phân tích sửa đổi (MNA) xây dựng trên lý thuyết mạch Đểduy trì sự ổn định, thay vì sử dụng thuật toán Arnoldi khối cho mô hình giảm như trong mục1.3, PRIMA rõ ràng làm giảm các thành phần của việc thực hiện không gian trạng thái của

hệ thống  ban đầu, được biết đến như là ma trận dẫn và nạp Kết quả là, hệ thống giảmđược chứng minh là ổn định và thụ động

Thuật toán là rất hiệu quả trong việc tính toán phức tạp do việc sử dụng một khối thừaArnoldi và do đó là thích hợp để giảm mô hình của các hệ thống trong thiết lập quy mô lớn.Tuy nhiên, như đã đề cập trước đó, là một phương pháp moment-matching, PRIMA là cục

bộ tự nhiên và do đó không có giới hạn lỗi toàn cục

4.5 Kết luận chương

Trong chương này tác giả tập trung vào nghiên cứu hệ tuyến tính và các khái niệm cơbản về giảm bậc mô hình Tác giả đã tập trung nghiên cứu các phương pháp giảm bậc môhình của các tác giả trên thế giới và đã đưa ra phân tích một số phương pháp cơ bản nhất vàhay được sử dụng nhất hiện nay Tác giả cũng đã phân tích các phương pháp này và đưa racác ưu nhược điểm của nó Để làm rõ hơn về tính ưu việt của giảm bậc mô hình tác giả sẽđưa ra ứng dụng cụ thể của nó được cụ thể hóa trong chương 3 Để thực hiện được ứng dụngcủa giảm bậc mô hình tác giả đã phân tích và thử nghiệm trên đối tượng là xe hai bánh tựcân bằng, và việc thiết kế đối tượng này được tác giả cụ thể hóa trong chương 2

CHƯƠNG II THIẾT KẾ ROBOT HAI BÁNH TỰ CÂN BẰNG 4.6 Giới thiệu

Nghiên cứu về robot tự động (Autonomous robot) là một lĩnh vực nghiên cứuđang được phát triển mạnh trong những năm gần đây Một trong những khó khănnhất của vấn đề nghiên cứu robot tự động là khả năng duy trì cân bằng ổn định trongnhững địa hình khác nhau Để giải quyết vấn đề này, các robot hầu hết có bánh xerộng hoặc tối thiểu là ba điểm tiếp xúc so với mặt đất để duy trì sự cân bằng Tuynhiên tăng kích thước hoặc số lượng bánh xe sẽ làm giảm hiệu quả của hệ thống điềukhiển do tăng trọng lượng xe, tăng ma sát hoặc tăng lực kéo và tăng tổn hao nănglượng Robot hai bánh tự cân bằng là một hướng nghiên cứu sẽ giải quyết đượcnhược điểm Bởi robot hai bánh tự cân bằng chỉ sử dụng hai bánh xe nên giảm được

cả trọng lượng và chiều rộng không gian Tuy nhiên vấn đề khó khăn cho robot là làmcách nào để robot có thể tự cân bằng trong những điều kiện làm việc khác nhau, đồngthời tải trọng mang theo có thể thay đổi

Chính vì sự hấp dẫn của robot hai bánh tự cân bằng đến từ cả vấn đề lý thuyết vàthực tế nên nghiên cứu về robot hai bánh tự cân bằng đã thu hút được sự quan tâmcủa nhiều nhà khoa học

Robot hai bánh tự cân bằng được chia làm hai loại:

+ Loại có hai bánh song song+ Loại có hai bánh trước và sau Trong đề tài này nhóm tác giả chỉ tập trung vào nghiên cứu loại có hai bánhtrước sau

Để tiếp cận dễ dàng hơn chúng ta sẽ đi tìm hiểu một số vấn đề cơ bản nhấttrong lĩnh vực robot hai bánh và phương pháp để cân bằng chúng

Nguyên lý cân bằng: Mô hình robot hai bánh được xây dựng dựa trên định luật

bảo toàn động lượng có cơ sở là: Nếu không có một mô men xoắn (mô men lực) bênngoài nào tác động lên một đối tượng hay hệ thống (hoặc tổng mô men xoắn - mômen lực tác động vào một đối tượng bằng không) thì tổng mômen động lượng của đối

tượng đó sẽ được bảo toàn Robot hai bánh tự cân bằng trang bị một bánh đà và sửdụng bánh đà để duy trì cân bằng của robot Một động cơ tạo ra mô men xoắn chobánh đà và do đó gây ra một mô men xoắn tương ứng tác động lên robot theo chiềungược lại mô men này dùng để cân bằng với mô men do trọng lực của robot tạo ra.

Để điều khiển gia tốc của bành đà, ta sử dụng một động cơ một chiều DC với điện ápđặt lên động cơ là U, khi này ta đưa bài toán điều khiển cân bằng robot về bài toánđiều khiển góc nghiêng của robot  (đầu ra) bằng cách điều khiển điện áp U (đầu vào)đặt lên động cơ DC Nhiệm vụ đặt ra là phải thiết kế một bộ điều khiển để giữ chorobot cân bằng tức là giữ cho góc  (đầu ra) bằng không

4.7 Thiết kế robot hai bánh tự cân bằng

4.7.1 Thiết kế phần cơ khí

Phần bánh sử dụng bánh xe đạp trẻ em Phần khung robot được xây dựng bằngvật liệu nhôm Bánh xe phía trước của robot được gắn cố định nên robot chỉ có thể đithẳng, để tác giả chỉ tập trung cho bài toán điều khiển cân bằng robot

Kích thước robot như sau:

Hình 2.1 Kích thước robot hai bánh tự cân bằng

4.7.1.1 Cơ cấu cân bằng

Tác giả thiết kế cơ cấu cân bằng bao gồm: Động cơ một chiều tạo mô men cho

hệ thống, bánh đà với mô men quán tính lớn Khung đỡ động cơ và bánh đà Động cơtruyền mô men qua bánh đà thông qua một bạc nối với tỉ số chuyền i = 1

Kích thước của bánh đà

- Đường kính ngoài Dn = 26 cm = 0,26 m; Đường kính trong Dt = 22cm= 0,22m

- Bề dầy vành bánh đà tn = 2,1 cm = 0,021m; Phần trong bánh đà tt = 0,5 cm =0,005 m

Hình 2.2 Kích thước thiết kế của bánh đà

Mô men quán tính của bánh đà

- Bánh đà được làm bằng gang có khối lượng riêng  = 7850 kg/m3

- Khối lượng vành ngoài bánh đà  2 2

D t

2 cm

Bảng 2.1 Thông số động cơ điện một chiều

MPU-6050 module (3 trục góc + 3 trục gia tốc )

Chip: MPU-6050; Nguồn cấp: 3-5V

Chuẩn giao tiếp: I2C

Chip 16bit AD converter, 16-bit data Output

Độ phân giải vận tốc góc (): ± 250 500 1000 2000 °/s_tương đương

1°/s = 1.3,14/180 rad/s

Độ phân giải gia tốc góc: ± 2 ± 4 ± 8 ± 16g (g= 9,81 m/s2 là gia tốc trọng

trường)

Chuẩn giắc cắm 2.54mm

Hình 2.4 Cảm biến gia tốc Gyro GY-521 6DOF MPU6050

Module cảm biến 6 DoF (Degrees of Freedom - bậc tự do) bao gồm các cảm biến

đo lường quán tính như cảm biến vận tốc góc 3 trục - gyroscope và cảm biến gia tốc 3trục - accelerometer

- Cảm biến Gyroscopic, cho phép đo vận tốc góc nghiêng (Angular velocity), từvận tốc góc nghiêng tích phân sẽ ra góc nghiêng, nhưng như thế sẽ có thànhphần sai lệch gọi là "drift" là thành phần không mong muốn

- Cảm biến Accelerometer để đo gia tốc góc nghiêng tĩnh, tuy nhiên tác động rấtchậm và bị ảnh hưởng bởi gia tốc động

Module cảm biến cho phép áp dụng mạnh mẽ vào việc điều khiển các thiết bịvận hành tự động như robot tự hành, UAVs (thiết bị bay không người lái) hoặc các hệthống cân bằng như trong xử lý ảnh Các cảm biến trên module hỗ trợ giao tiếp I2Cvới tốc độ lên tới 400kb/s và hoạt động ở mức áp 3.3V Module được thiết kế tíchhợp sẵn một IC ổn áp LDO 3.3V để ổn định điện áp cần thiết cho cảm biến hoạt độngchính xác hơn

Sơ đồ mạch cảm biến

Hình 2.5 Sơ đồ mạch cảm biến MPU - 6050

Cách xử lý tín hiệu cảm biến góc nghiêng

gsin

gcos

Hình 2.6 Sơ đồ xác định góc nghiêng của cảm biến gia tốc

- Xác định góc nghiêng theo cảm biến gia tốc góc nghiêng tĩnh (accelerometer)

Hình 2.7 Sơ đồ nguyên lý hệ thống xử lý cảm biến góc nghiêng

Nguồn 5VDC, hai pha A,B

Đường kính trục 6mm; Đường kính vỏ ngoài 45mm

Tốc độ 5.000.000 xung/phút

4.7.1.4 Hệ thống điều khiển tiến lùi

Hệ thống sử dụng động cơ DC Động cơ này sẽ kéo robot chuyển động tiến lùiqua hệ thống truyền động xích có tỷ số truyền là 1:1