Ứng dụng bộ điêu khiển giảm bậc vào thiết kế cân bằng robot hai bánh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG I 7

TỔNG QUAN CHUNG VỂ GIẢM BẬC MÔ HÌNH 7

1.1 Giới thiệu về giảm bậc mô hình 7

1.2 Mô tả hệ thống tuyến tính có thời gian bất biến 9

1.3 Một số công cụ giảm bậc mô hình 9

1.4 Các phương pháp giảm bậc mô hình 17

1.4.1 Giảm bậc mô hình dựa trên các phương pháp Moment-Matchinh 17

1.4.2 Các phương pháp giảm bậc mô hình dựa trên việc phân tích giá trị suy biến (SVD) 20

1.4.3 Giảm mô hình cân bằng 21

1.4.4 Phương pháp cân bằng xấp xỉ 22

1.4.5 Phương pháp xấp xỉ nhiễu suy biến 22

1.4.6 Xấp xỉ hoá chuẩn Hankel 23

1.5 Vấn đề bảo tồn tính thụ động của mô hình giảm bậc 23

2.2.2.1 Hệ thống điều khiển cân bằng robot 33

2.2.2.2 Hệ thống điều khiển tiến lùi 36

2.3 Mô hình hoá robot hai bánh tự cân bằng 37

2.4 Kết luận chương II 40

CHƯƠNG III: THIẾT KẾ ĐIỀU KHIỂN ROBOT HAI BÁNH TỰ CÂN BẰNG .41

3.1 GIỚITHIỆUCHUNG 41

3.2 Hê thống điều khiển cân bằng robot theo phương pháp điều khiển bền vững

3.3.1 Phát biểu bài toán giảm bậc mô hình 45

3.3.2 Giảm bậc mô hình theo phương pháp cân bằng nội 46

3.3.3 Giảm bậc bộ điều khiển hệ thống điều khiển cân bằng theo phương pháp cân bằng 48

3.3.4 Sử dụng bộ điều khiển giảm bậc cho hệ thống điều khiển cân bằng robot 54

3.4 Kết quả thực nghiệm điều khiển trên mô hình robot hai bánh tự cân bằng 55

3.5 Kết luận chương III 57

MỞ ĐẦU

I Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ở trong và ngoài nước

Hơn 40 năm qua, đã có hàng trăm công trình nghiên cứu để giải quyết bài toán giảm bậc của mô hình bậc cao được công bố và đề xuất các phương pháp tiếp cận khác nhau Tuy nhiên, theo quan điểm của tác giả, đối với một mô hình bậc cao cho trước, các phương pháp đã đề xuất trên thực tế có thể phân loại theo 3 nhóm chính.

Nhóm phương pháp thứ nhất được đề xuất dựa trên cơ sở bảo toàn những giá trị riêng quan trọng của mô hình gốc bậc cao để xác định bậc của mô hình bậc thấp Và các tham số của mô hình bậc thấp được xác định sao cho trước tác động của tín hiệu tại đầu vào, đáp ứng của mô hình bậc thấp gần đúng với đáp ứng của mô hình gốc Những đề xuất sớm nhất về mô hình giảm bậc trong các công trình của Marshall [1] , Davison [2] trong năm 1966, của Mitra năm 1967 [3] và của Aoki năm 1968 [4] thuộc nhóm phương pháp thứ nhất này Nhưng, năm 1980 Hickin và Sinha [5] đã chứng tỏ rằng cả ba phương pháp đề xuất sớm nhất bởi Marshall, Davison và Mitra là những trường hợp riêng của phương pháp ghép hợp do Aoki đề xuất.

Nhóm phương pháp giảm bậc thứ hai được đề xuất trên cơ sở áp dụng tiêu chí tối ưu mà không quan tâm tới giá trị riêng quan trọng của mô hình gốc Năm 1967, Anderson đề xuất phương pháp hình học trên cơ sở của phép chiếu trực giao, mô hình bậc thấp từ đó được xác định là mô hình tối thiểu hóa tích phân bình phương các sai

số trong miền thời gian; nghĩa là bài toán L2 [6] Năm 1971, Sinha và Pilen đề xuất phương pháp trên cơ sở áp dụng tiêu chí tối thiểu tổng bình phương sai số giữa những

mẫu đáp ứng [7] Các tiêu chí tối ưu khác cũng được sử dụng như tiêu chí L2 áp dụng

đối với đáp ứng trong công trình của Wilson năm 1970 [8] , L2 áp dụng đối với trọng đáp ứng trong công trình của Sinha và Berezail năm 1971, phương pháp gradient

trong công trình của Bandlet và các tác giả khác năm 1973, L2 áp dụng với trọng đáp ứng trong miền ràng buộc về tính ổn định, tính đồng thời điều khiển và kiểm tra của

hệ trong công trình của Hyland và Bernstein năm 1985 [9], L2 áp dụng với tín hiệu

đầu vào trong công trình của Nath và San năm 1991 [10] Các phương pháp tìm mô hình tối ưu bậc thấp trong miền tần số được đề xuất trong công trình của Langholz và

Bishtritz năm 1978 [11], Elliott và Wolovich đề xuất quy trình tìm mô hình giảm bậc trong miền tần số năm 1980

Nhóm phương pháp giảm bậc thứ ba được đề xuất trên cơ sở chọn trùng khớp một số đặc tính khác ngoài những thuộc tính về đáp ứng Năm 1968, Chen và Shieh đã chứng tỏ rằng nếu phát triển một số hàm truyền của mô hình hệ bậc cao theo cách chia liên tục mẫu số cho tử số và làm tròn, thì dẫn tới một mô hình bậc thấp có đáp ứng đối với xung nhảy bậc bám sát được đáp ứng của mô hình gốc [12] Sự hấp dẫn chủ yếu của phương pháp này nằm ở chỗ tính toán đơn giản hơn so với các phương pháp thuộc các nhóm trước Thay vì sử dụng hàm truyền do Chen và Shieh đề xuất, phương pháp trùng khớp theo các thời điểm do Gibarillo và Lees đề xuất năm 1969 [13] là một phương pháp khá hay Nhưng, sau đó vào năm 1974, Samash đã chứng tỏ rằng phương pháp phát triển hàm truyền và phương pháp trùng khớp thời điểm là tương đương và chẳng qua là phương pháp lấy xấp xỉ khi tích phân gần đúng hàm theo chuỗi của Pade [14] Một hạn chế lớn của phương pháp gần đúng Pade là đôi khi các mô hình bậc thấp tìm được có thể không ổn định dù rằng mô hình gốc bậc cao ổn định Điều này dẫn đến việc phát triển phương pháp gần đúng Routh do Hutton và Friedlan đề xuất năm 1975 đối với mô hình có một đầu vào và một đầu ra [15] Một phiên bản giành cho hệ có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra được Sinha và các đồng tác giả khác phát triển năm 1982 [16] Một giải pháp nhằm đảm bảo tính ổn định của mô hình bậc thấp được đề xuất trên cơ sở kết hợp giữa phương pháp ghép hợp với phương pháp trùng khớp theo thời điểm do Hickin và Sinha đề xuất năm 1980 [12] Mô hình giảm bậc ổn định sử dụng phương pháp gần đúng theo chuỗi Chebyshev Pade do Bistritz và Lanholz đề xuất năm 1979 [17], nhưng phương pháp này xem ra khá phức tạp trong tính toán khi áp dụng vào thực tiễn.

Tuy nhiên, vẫn còn một số phương pháp đề xuất khác không thuộc bất kỳ một trong các nhóm kể trên Đáng quan tâm nhất là phương pháp nhiễu loạn được Sannuti và Kokotovic đề xuất năm 1969 [18] và phương pháp cân bằng ma trận (cân bằng nội) do Moore đề xuất năm 1981 [19].

II Tính cấp thiết

Trong việc giải các bài toán mô hình trước đây ta thường giải theo phương trình sai phân, tuy nhiên việc tính toán theo phương pháp này rất khó khăn Do đó trong đề tài này tính theo phương pháp không gian trang thái Việc giải theo không gian trạng thái gặp vấn đề là các ma trận phức tạp nên bài toán này được đặt ra để tìm biện pháp để giảm bớt việc tính toán, giảm số bít trên đường truyền, giảm thời gian thực mà vẫn đảm bảo độ chính xác yêu cầu trong quá trình điều khiển được ứng dụng trong Viễn thông và Điều khiển.

Đây là yếu tố rất quan trọng cho ngành Viễn thông và Điều khiển hiện nay.

III Mục tiêu

Tìm các ma trận trong việc chuyển bài toán sang không gian trạng thái có dạng đơn giản hơn thông qua một ma trận trung gian làm giảm khó khăn cho việc tính toán trong bài toán xử lý tín hiệu số-ứng dụng trong Viễn thông và Điều khiển.

Mục tiêu của đề tài là tìm được các ma trận khác có kích thước nhỏ hơn để thay thế các ma trận trong không gian trạng thái, sao cho khi ứng dụng ma trận này vào bài toán trong Viễn thông và Điều khiển vẫn đảm bảo độ chính xác Như vậy, số bít được truyền đi ít hơn hoặc các bài toán Điều khiển được giải quyết đơn giản hơn Điều này rất quan trọng vì nó giải quyết được vấn đề tiết kiệm đường truyền, tăng tốc độ xử lý trong miền thời gian thực và mở ra khả năng ứng dụng vào thực tiễn.

Là tài liệu hữu ích cho việc nghiên cứu, tham khảo của học viên cao học, sinh viên ngành Điện tử viễn thông, Điều khiển tự động.

IV Cách tiếp cận

Các mô hình giảm bậc trong xử lý hiệu số như: Phương pháp ghép hợp, phương pháp trùng khớp tại các thời điểm, phương pháp cân bằng nội.

Ứng dụng các mô hình giảm bậc.

V Phạm vi nghiên cứu trong lĩnh vực trong viễn thông và điều khiểnVI phương pháp nghiên cứu

Tìm ra phương pháp khác có hiệu quả trong việc tính toán.

VII Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Hệ động học, hệ thống tuyến tính, ổn định, có khả năng quan sát và điều khiển được.

VIII Nội dung nghiên cứu

- Các phương pháp giảm bậc mộ hình.

- Ứng dụng phương pháp giảm bậc mô hình cho đối tượng là viễn thông và điều khiển.

CHƯƠNG I

TỔNG QUAN CHUNG VỂ GIẢM BẬC MÔ HÌNH

2 Giới thiệu về giảm bậc mô hình

Các mô hình toán thu được từ các tiêu chuẩn mang tính lý thuyết liên quan đến hệ thống đã cho thường là một mô hình có bậc cao hơn Các hệ thống bậc cao sẽ khó phân tích và do đó việc thiết kế bộ điều khiển trở nên quá khó khăn Như vậy, rõ ràng là cần phải có các mô hình nhỏ hơn Các mô hình nhỏ hơn là các mô hình mô tả hành vi của hệ thống một cách tương đối chính xác, giảm thiểu được các yếu tố bất lợi của các chi tiết không cần thiết

Điều này cho phép mô hình hóa một số hiện tượng phức tạp trong một thời gian chấp nhận được Trước hết, các mô hình này nên nhỏ hơn so với mô hình ban đầu, có nghĩa là chúng đòi hỏi ít tính toán hơn và bản chất của chúng phải gần đúng nhất với mô hình gốc Tốt nhất là các mô hình nhỏ hơn được thúc đẩy về cả vật lý cũng như toán học, điều này làm cho mô hình giảm bậc trở nên hiệu quả và có thể lý giải được Các quá trình toán học chính để tìm ra các mô hình nhỏ hơn hình thành nên lĩnh vực

mà ta gọi là “giảm bậc mô hình (MOR: Model Order Reduction)” Lý do của tên

gọi này là vì mô hình được giảm kích thước bằng một kỹ thuật nào đó Mô hình được giả thiết là đã có thực tìm được từ các định luật vật lý và các giả thiết Đôi khi các phương pháp gọi một cách đơn giản là giảm bậc mô hình hóa, điều này có thể giải thích cho nhiệm vụ của mô hình hóa theo cách mô hình tìm được phải nhỏ hơn.

Trong nhiều trường hợp, hoàn toàn có thể giảm kích thước của mô hình Ta đã thấy rằng các định luật toán học của sự rời rạc hóa có thể dẫn tới các mô hình quá lớn và có nhiều chi tiết đối với độ chính xác yêu cầu Trong các ứng dụng, có thể cần đến một sai số nhỏ Sự linh hoạt này tạo ra một khoảng trống cho các xấp xỉ hóa nhỏ hơn và các phương pháp xử lý nhanh hơn Hơn thế nữa ta thường chỉ quan tâm đến các trạng thái đã biết của mô hình, ví dụ chỉ quan tâm đến đầu ra đầu vào đã biết trong khi đó mô hình chứa thông tin đầu vào không bị áp đặt Giảm bậc của mô hình cố gắng để thu được một cách nhanh chóng các đặc trưng quan trọng về cấu trúc Điều này có nghĩa là trong bước đầu của quá trình các thuộc tính cơ bản nhất của mô hình

gốc phải được thể hiện bằng xấp xỉ hóa nhỏ hơn Tuy nhiên, ở một thời điểm xác định quá trình giảm được dừng lại Tại điểm đó với mọi thuộc tính quan trọng cần thiết của mô hình gốc phải được giữ lại với độ chính xác nhất định.

Giảm mô hình trở nên quan trọng bởi vì các thuật toán giảm mô hình nhằm mục đích để tạo ra các hệ thống thấp chiều mà nắm bắt đặc điểm đáp ứng giống như các hệ thống ban đầu trong khi cho phép cải thiện đáng kể trong thời gian mô phỏng và kết quả là yêu cầu lưu trữ giảm đáng kể Nói cách khác, các kết quả giảm các mô hình thấp chiều biểu diễn các hệ thống ban đầu cho một dung sai lỗi nhất định theo quy định và bảo tồn các tính năng cần thiết.

Giảm bậc của hệ tuyến tính bất biến được đáp ứng trong hầu hết các lĩnh vực kỹ thuật điều khiển và tự động hóa, kỹ thuật điện - điện tử, lĩnh vực cơ khí, …; Việc sử dụng các mô hình giảm bậc cho các mô phỏng kiểm tra của các hệ phức tạp dễ dàng hơn nhiều so với việc sử dụng các mô hình đủ bậc Điều này là do thực tế rằng các hàm truyền bậc thấp có thể được phân tích một cách dễ dàng hơn Do đó, các thuật toán giảm bậc là các kỹ thuật tiêu chuẩn trong tập hợp các mạch tích hợp để phân tích, xấp xỉ và mô phỏng mô hình xuất phát từ việc kết nối lẫn nhau và phân tích cấu trúc điện từ

Các phương pháp giảm thông thường có giá trị về mặt lý thuyết đối với việc giảm bậc của các hệ MIMO tuyến tính tỷ lệ lớn trong miền tần số [20-23] Một số phương pháp tồn tại dựa trên các thuộc tính toàn cục của G(s) đã được đề xuất dưới dạng lý thuyết phương pháp miền tần số sử dụng khai triển hệ số liên tục của G(s) và các xấp xỉ hóa Pade kinh điển đã trở nên nổi tiếng vì tính đơn giản tính toán và đáp ứng được một số khoảng thời gian đầu Tuy nhiên tính ổn định của các mô hình đã giảm không đảm bảo, thậm trí khi cả hệ ban đầu là ổn định Hơn nữa, một số phương pháp tổng hợp đã được đề xuất bởi việc kết hợp thuật toán của hai phương pháp khác nhau [24-26] Thay vì có một số phương pháp giảm, không có phương pháp nào luôn luôn đưa ra được các kết quả thỏa mãn cho mọi hệ thống.

Giảm mô hình cho thấy các ứng dụng của nó trong một loạt các lĩnh vực như phản ứng hóa học, mô hình mờ, dự báo tăng sóng, xây dựng dân dụng, mô phỏng mạch, các bài toán thiết kế bộ điều khiển và rất nhiều các lĩnh vực khác nữa Đối với

luận văn này liên quan với các hệ thống LTI, là kết quả của một loạt các lĩnh vực trong điều khiển tự động và tự động hóa, đặc biệt là trong tính toán, thiết kế và mô phỏng hệ thống.

3 Mô tả hệ thống tuyến tính có thời gian bất biến

Cho hệ LTI  có thể biểu diễn bằng phương trình như sau:

và x t  ( ) n là trạng thái, u t  ( ) m là đầu vào, y t  ( ) p là đầu ra của  tại thời điểm t Ngoài ra, n là kích thước của hệ thống , m là số lượng đầu vào và p số lượng đầu ra Nếu E = I, hệ thống (1.1) được mô tả:

x (t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t)

Nếu m = p = 1 thì (1.1), (1.2) được gọi là hệ một đầu vào một đầu ra(SISO) và

nếu m> 1 và p> 1, nó là một hệ nhiều đầu vào nhiều đầu ra(MIMO).

Với một hệ thống LTI  trong (1.1), mối quan hệ giữa đầu vào-đầu ra của nó trong miền tần số được xác định bởi hàm truyền:

PC[t1, t2] : là vành các hàm liên tục từng đoạn trong khoảng thời gian [t1, t2] Rm là không gian véc tơ Eculid m chiều.

PCm[t1, t2] là không gian véc tơ m chiều của các mẩu hàm liên tục từng đoạn trong khoảng thời gian [t1, t2].

S là không gian con của Rn.

S là ký hiệu của phần bù trực giao của không gian con S.

U là ma trận cơ sở trực giao của S, với mỗi cột của U là một cơ sở trực chuẩn của S Ánh xạ M: Rk  Rn: chiếu từ không gian véc tơ Rk đến không gian véc tơ Rn – tương ứng sẽ xác định được một ma trận M của ánh xạ M có kích thước là (k x m) hay MRkxm – tập các ma trận số thực có kích thước (k x m).

Ker(M) là hạt nhân của ánh xạ M – là tập tất cả các phần tử của Rk có ảnh là Rn (tập rỗng), ker(M) là không gian con của Rk.

Ker(M) := {x  xRk, M(x) = }

Im(M) là ảnh của ánh xạ M – là tập tất cả các phần tử của Rn là ảnh của ít nhất một phần tử của Rk Im(M) là không gian con của Rn.

Im(M) := {y  yRn, xRk, M(x) = y} MT là ma trận chuyển vị của ma trận M

M chuẩn của một ma trận

MF : là chuẩn Eculid của ma trận M (hay chuẩn Frobenius) M2 : là phổ tiêu chuẩn – chuẩn bậc 2 của ma trận M

v chuẩn của một véctơ trong không gian Eculid Rn.

Giảm bậc mô hình bao gồm một sự cân bằng giữa bậc mô hình và mức độ mà các đặc tính của đối tượng được phản ánh trong mô hình Do tầm quan trọng của các đặc tính của đối tượng phụ thuộc rất nhiều vào ứng dụng của đối tượng, vì thế không thể có thuật toán giảm bậc chung Cách tốt nhất có thể hy vọng được là cho một bộ công cụ giảm bậc mô hình tốt và một số hướng dẫn sử dụng kèm theo.

4.2.1 Một số phương pháp sử dụng để giảm bậc mô hình

Trong phần này, chúng ta sẽ minh họa một cách phân tích thành phần chính có thể áp dụng cho bài toán giảm bậc mô hình trong trường hợp mô hình đủ bậc ổn định

tiệm cận Mục đích là để thể hiện ý tưởng về giảm bậc mô hình bằng cách đưa vào phép chiếu (ánh xạ) tín hiệu theo quan điểm lý thuyết thực hiện tối thiểu Các kết quả là khả quan nhưng chưa hoàn thiện; nghiên cứu trọng tương lai sẽ giúp hoàn chỉnh các quan điểm và hoàn thiện các công cụ.

Trong phần này một mô hình giảm bậc (AR, BR, CR) sẽ được đánh giá bằng ma trận đáp ứng xung của nó Sai số của ma trận đáp ứng xung

đặc trưng cho sai số Ta sẽ nói rằng một mô hình giảm bậc là “tốt” nếu thành phần chính lớn nhất của He(t) trong khoảng [0, ) là “nhỏ” so với thành phần chính nhỏ nhất của CeAtB, có nghĩa là nếu Quan điểm này bắt buộc phải có một giả thiết: Phép chiếu CeAtB có thể không hợp lý hoặc thành phần không (ví dụ: 2 hàng của C là giống hệt nhau) và chúng ta sẽ phải giả định rằng tình huống đó đã được sửa chữa bằng một phép chiếu lên không gian đầu ra kích thước tương xứng Để làm cho điều kiện (1.5) đơn giản hơn, chúng ta tiếp tục giả thiết rằng một phép chuyển đổi hệ tọa độ đầu ra có thể được áp dụng

4.2.1.1 Giảm bậc bằng cách khử hệ con

Lý thuyết thực hiện tối thiểu cho rằng có một mô hình bậc thấp chính xác khi và chỉ khi trong một số hệ tọa độ của mô hình đầy đủ bậc có thể được tổ chức như sau:

trong đó hệ thống con (AR ,BR , CR) có ma trận đáp ứng xung giống như mô hình đầy đủ bậc Điều này được minh họa trên hình 1.1

Hình 1.1: Phân chia mô hình hệ thống

Ý tưởng chính của việc giảm bậc mô hình ở đây là loại bỏ bất kỳ hệ con yếu nào ít đóng góp vào ma trận đáp ứng xung Nói cách khác, ta sẽ cố gắng tổ chức lại (sắp xếp lại) mô hình đủ bậc với một phép chuyển đổi tọa độ nội được minh hoạ trên hình 1.2 Điều này mặc nhiên xác định ý nghĩa của hệ thống con trội: nó là một trong những hệ thống con có ma trận đáp ứng xung gần (đã được đề cập ở phần đầu của đoạn này) với mô hình đầy đủ bậc.

Hình 1.2: Phân chia mô hình hệ thống thành hệ con trội và hệ con yếu

Ở đây chúng ta phải đối diện với lỗ hổng lý thuyết Ta không thể sử dụng định nghĩa tính trội này một cách trực tiếp được và thay vào đó, chúng tôi giới thiệu khái niệm tính trội nội, phần đã được trình bày trong phần 1.3.2.2 Tới cuối phần này, một

Hệ con không đóng góp vào ma

phỏng đoán sẽ được đưa ra liên quan đến mối quan hệ giữa khái niệm này và tính trội thực tế.

4.2.1.2 Tính trội nội

Hình 1.3: Tổ chức của mô hình hệ thống

Xét tổ chức của (A, B, C) được chỉ ra trong hình 1.3 Nói một cách đơn giản, tính trội nội của (AR ,BR , CR) có nghĩa là việc kiểm tra những tín hiệu bơm vào bao gồm d1, x1 nhằm đưa ra các thành phần tín hiệu mạnh hơn nhiều so với các kiểm tra tương ứng tại tập đầu ra thứ 2 d2, x2.

Rõ ràng, nếu tính trội nội liên quan đến tính trội thực tế, thì nó là bất biến dưới tác động của phép chuyển tọa độ của x1(t)T1x1(t),x2(t)T2x2(t), nhưng các đáp ứng để các kiểm tra lại thì không bất biến khi thực hiện các phép chuyển tọa độ đó Một lần nữa ý tưởng cân bằng có thể được sử dụng để giải quyết vấn đề này.

Trong dạng ma trận, chúng ta có thể biểu diễn mô hình với một biến đổi tùy ý

áp dụng tương tự cho Xˆ2(t),Yˆ2(t)(với V2, T2 thay cho V1, T1 ).

Qua cách diễn giải trên cho thấy ta có thể chọn T1 sao cho thành phần chính của

Định nghĩa 1.3.2.1: Mô hình (1.7) được gọi là “cân bằng đối với X1” nếu (1.8) đúng và “cân bằng đối với X2” nếu (1.9) đúng.

Nếu mô hình (A, B, C) trong hình 1 được chuyển thành (1.7) – mô hình cân bằng đối với cả X1, X2 thì chúng ta nói rằng (A, B, C) “đã được cân bằng đối với X1, X2” Tiếp theo ta đưa ra định nghĩa về tính trội nội như sau:

Định nghĩa 1.3.2.2: Hệ thống (AR ,BR , CR) là một hệ thống con có tính con trội nội nếu trong một số hệ tọa độ của mô hình đầy đủ bậc (A, B, C) có thể được tổ chức để cân bằng đối với X1, X2

Chứng minh: Đầu tiên, giả sử (A, B, C) là cân bằng nội và cho 1 = diag{1,2, , k}, 2 = diag{k+1, , n} Có thể dễ dàng xác định được rằng (A, B, C) là cân bằng đối với X1, X2 với ˆ 1 1, ˆ 2 2 Do vậy, nếu

Do đó, chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng tính trội nội có hệ quả là

Vì vậy QP 2Fˆ QP22F, việc chứng minh hoàn tất.

Kết quả của định đề 1.3.2.3 gợi ý một bước tự nhiên đầu tiên trong giảm bậc mô

hình là: tính toán mô hình cân bằng nội và kiểm tra các dạng bậc 2 Nếu điều kiện (1.8) là không thoả mãn thì không có hệ thống con có tính trội nội Nếu điều kiện (1.8) là thoả mãn, thì hệ thống con tương ứng với k biến trạng thái đầu tiên của mô hình là có tính trội nội, cân bằng nội và ổn định tiệm cận Hệ thống con này chính là hệ thống con ta thu được từ việc áp dụng tính toán theo lý thuyết thực hiện tối thiểu sử dụng (IK 0)T như là cơ sở tính toán cho Xco.

Ta trở lại với vấn đề tính trội và tính trội nội Một hệ thống con có tính trội nội có thể được kiểm tra tính trội bằng cách áp dụng phân tích các thành phần chính của ma trận sai lệch đáp ứng xung He(t) Một câu hỏi khá thú vị là có thể tồn tại hay

không một hệ thống con trội bậc k tương ứng với một hệ thống con có tính trội nội bậc k được hay không?

4.3 Các phương pháp giảm bậc mô hình

4.3.1 Giảm bậc mô hình dựa trên các phương pháp Moment-Matching

Trong phần này, công thức toán học của mô hình giảm dựa trên phương pháp moment-matching được giới thiệu Tiếp theo chúng ta sẽ khảo sát ngắn gọn các kỹ thuật hiện tại của dạng này Đối với việc nghiên cứu rộng rãi hơn các kỹ thuật, xem trong [25] và các tài liệu tham khảo trong đó.

Cơ sở toán học

Xem xét các hệ thống  LTI ban đầu như trong (1.1), mô hình giảm ˆnhư trong (1.11), và hàm truyền tương ứng trong (1.11) và (1.13) Đặt s  0 là điểm trong mặt Trong đó: ivà ˆ1 là những thời điểm của và ˆ tại s0 tương ứng Các phương pháp giảm mô hình dựa trên Moment-matching với mục đích xây dựng một mô hình giảm ˆ, với một số lượng phù hợp của hệ thống  ban đầu, tức là:

ˆ , i=1, ,l,

  đối với ln

Ngoài ra, những dự báo thấp chiều cho những kỹ thuật được xây dựng bằng cách sử dụng các phương pháp không gian con Krylov như Lanczos, Arnoldi và phương pháp không gian con Krylov hữu tỷ.

Các kỹ thuật hiện tại sử dụng trong giảm bậc mô hình

Ba phương thức không gian con Krylov khác nhau được trình bày đó là: Pad'e via Lanczos (PVL), thuật toán PRIMA(Passive Reduced-Order Interconnect Macromodeling Algorithm) và nội suy hữu tỷ đa điểm.

Padé via Lanczos (PVL)

PVL đã được đề xuất bởi Feldmann và Freund [27] vào năm 1995 Với một hệ thống LTI = (E, A, B, C, D), kỹ thuật này sử dụng các thủ tục song trực giao Lanczos để xây dựng hai ma trận chiếu mong muốn như sau:

VWT Từ khi các thủ tục song trực giao Lanczos là hai mặt, số lượng những thời điểm thích ứng giữa các mô hình ban đầu và mô hình giảm là hai lần kích thước của các mô hình giảm ˆ được chia cho số đầu vào, nghĩa là, l = 2k/m Tuy nhiên, sự ổn định

và tính thụ động của hệ thống giảm không đảm bảo Ngoài ra, từ việc xây dựng các phép chiếu thông qua các thủ tục Lanczos phụ thuộc vào điểm mở rộng quy định trước, phương pháp này là cục bộ trong tự nhiên Do đó, không tồn tại giới hạn lỗi toàn cục Năm 1999, Bai et al [28] đề xuất một số ước tính lỗi cho vấn đề giảm bớt Tuy nhiên, phân tích này là hạn chế đối với hệ thống SISO và ước lượng sai số phụ thuộc nhiều vào các điểm mở rộng và vào các đặc tính hệ thống.

Passive Reduced-Order Interconnect Macromodeling Algorithm(PRIMA)

PRIMA đã được đề xuất bởi Odabasioglu et al [29] vào năm 1998 Với một hệ thống LTI = (E, A, B, C, D), thuật toán sử dụng một khối giai thừa Arnoldi như là phương pháp cốt lõi của nó để xây dựng các ma trận chiếu mong muốn như sau:

   Chú ý rằng trong trường hợp này W=V Sau đó phép chiếu trực giao là VVT Một số thời điểm thích ứng là l=k/m.

Ngoài ra, hệ giảm được chứng minh là ổn định và thụ động Tuy nhiên, thuật toán này là chuyên dụng trong đó chỉ ứng dụng kết quả cho các hệ thống LTI từ một dạng phân tích sự biến đổi Ngoài ra, tương tự như PVL, phương pháp này là cục bộ bởi vì việc xây dựng phép chiếu thông qua các thủ tục Arnoldi phụ thuộc vào điểm mở rộng định trước Vì vậy, không tồn tại giới hạn lỗi toàn cục Trong năm 2005, trong luận án tiến sĩ, Heres [30] cung cấp một số xem xét trực quan để kiểm soát lỗi của PRIMA Tuy nhiên, ước lượng sai số phụ thuộc đáng kể trên điểm nội suy.

Multipoint Rational Interpolation

Các thuật toán nội suy hữu tỷ đa điểm để giảm mô hình đã được đề xuất bởi Grimme [31] vào năm 1997 và Skoogh [32] vào năm 1998 Phương pháp này sử dụng phương pháp không gian con Krylov hữu tỷ của Ruhe [33], mà là một sự tổng quát của phương pháp Arnoldi tiêu chuẩn Các phương pháp nội suy hữu tỷ đa điểm cung cấp sự linh hoạt trong việc chọn lựa một bộ q điểm nội suy khác nhau (q k m / ), và do đó làm tăng xấp xỉ hàm truyền trên một dải tần số rộng Hệ thống giảm phù hợp

với toàn bộ thời điểm l=k/m của hệ thống ban đầu tại các điểm nội suy Tuy nhiên,

những hạn chế của phương pháp này là cục bộ, và do đó không có giới hạn lỗi toàn cục và nó đòi hỏi một sự lựa chọn người dùng quy định các điểm nội suy, mà không tự động Ngoài ra, tính thụ động không được bảo đảm.

Tóm lại, các tính năng phổ biến của các phương pháp giảm mô hình dựa trên moment matching như sau: Đầu tiên, chúng được thiết kế để đưa ra các mô hình giảm bậc phù hợp với hệ thống ban đầu với một số thời điểm tại các điểm nội suy Thứ hai, họ tận dụng lợi thế của phép lặp Krylov và do đó là rất hiệu quả về độ phức tạp thời

gian tính toán Thứ ba, chúng là cục bộ trong tự nhiên, tùy thuộc vào các điểm nội suy theo quy định của người sử dụng, và do đó không tồn tại giới hạn lỗi toàn cục Trực giác, tính năng này ngụ ý rằng theo toán học thì kết quả xấp xỉ không chắc chắn để nói là tốt Heuristic đã đề xuất trong việc đánh giá lỗi Tuy nhiên, các đề xuất này thường phụ thuộc vào hệ thống và điểm nội suy.

Nhìn chung, chỉ một vài kỹ thuật thiết kế tốt đáp ứng được như PRIMA, còn hầu hết các phương pháp không bảo đảm sự ổn định và thụ động trong mô hình giảm.

4.3.2 Các phương pháp giảm bậc mô hình dựa trên việc phân tích giá trị suy

Trong phần này tác giả mô tả ngắn gọn các thuật toán được sử dụng dựa trên phép phân tích giá trị suy biến (SVD):

1 Giảm mô hình cân bằng 2 Giảm cân bằng xấp xỉ

3 Phương pháp nhiễu suy biến 4 Xấp xỉ hoá chuẩn Hankel

Bốn phương pháp này đều sử dụng toán tử suy biến Hankel (được định nghĩa dưới đây) của hệ thống  được xấp xỉ hoá.

Đặt P và Q là nghiệm xác định dương duy nhất của hàm Hermitian để AP + PAT + BBT = 0

ATQ + QA + CTC = 0

Giá trị suy biến Hankel i() của hệ thống  là căn bậc hai của giá trị riêng tích số PQ: i()i(PQ)

4.3.3 Giảm mô hình cân bằng

Đặt P=UUT và Q= LLT trong đó U và L là nửa trên và dưới các ma trận tam giác tương ứng Đặt UTL=ZSYT là phép phân tích giá trị suy biến (SVD) của UTL Một

S  với 2 là nhỏ; chúng tôi cũng phân vùng hệ thống cân bằng có dạng như sau:

Phương pháp cân bằng xấp xỉ giải phương trình Sylvester để thu được một hệ thống cân bằng giảm bậc tối đa mà không cần tính toán với bậc đầy đủ của hàm

 trong (2.2).

Trong trường hợp SISO (1 vào - 1 ra), các Grammian chéo X là nghiệm của phương trình Sylvester:

Trong trường hợp này X2 = PQ Trong trường hợp hệ MIMO (nhiều vào - nhiều ra), biểu thức (1.18) giải được trừ khi m=p Do đó, chúng tôi tiến hành bằng cách đưa hệ  vào hệ ˆ có cùng bậc, là ma trận vuông và đối xứng:

ˆX U  V với Uk và Vk là các giá trị quan trọng trong cột k của U, V tương ứng và k là khối kk quan trọng của ;

Ưu điểm của phương pháp cân bằng xấp xỉ là nó tính toán tương tác với 1 hệ gần như giảm cân bằng mà không cần tính tới việc trước tiên phải xét sự thực hiện cân bằng hệ thống có bậc đầy đủ, sau đó mới cắt giảm.

4.3.5 Phương pháp xấp xỉ nhiễu suy biến

Từ (1.1) có xấp xỉ nhiễu suy biến sau:

4.3.6 Xấp xỉ hoá chuẩn Hankel

Đặt  như trong (1.15) khi đó, tồn tại một hệ động học  để hệ    là thỏa

4.4 Vấn đề bảo tồn tính thụ động của mô hình giảm bậc

Như đã được định nghĩa, tính thụ động là một thuộc tính ước lượng của các hệ động học LTI trong mô phỏng mạch mà cần phải được bảo đảm trong mô hình giảm Như vậy, với một hệ thống LTI thụ động ban đầu bậc n định nghĩa trong (1.1)

Với k<<n, các phương pháp giảm mô hình cần phải đảm bảo rằng các đặc tính hệ thống đáp ứng như sự ổn định và thụ động được bảo tồn trong mô hình giảm, tức là ˆ phải được thụ động Điều này tương đương với yêu cầu đó, bởi định lý 1.3.2.3, hàm truyền ˆ ( )G s

của hệ thống giảm ˆ : -1k

G(s) = C(sI - A) B + D phải thực dương Về mặt toán học, ˆ ( )G s

phải đáp ứng 3 điều kiện đặc biệt sau:

1 G s có phần thực dương (Re(s)>0).ˆ ( ) 2 ˆG(s) = G(s), s Cˆ  

3 G sˆ( ) ( ( ))* 0 cho Re(s)>0 G sˆ 

Vấn đề này đã được nghiên cứu rộng rãi bởi một số nhà nghiên cứu như Ober [34], Kim [35], Feldmann và Freund [36], Bai [37,38], Odabasioglu [29], Freund [39,40], Knockaert và

Zutter [41], Bai và Freund [42,43], Gugercin và Antoulas [44], Antoulas [45], Sorensen [46], Faßbender và Benner [47] …v.v.

Hầu hết các phương pháp là xây dựng các mô hình giảm và sau đó chứng minh mô hình giảm đó đáp ứng ba điều kiện mong muốn trên Xem xét PRIMA, thuật toán đề xuất bởi al Odabasioglu và cộng sự [29] Lưu ý rằng PRIMA được đề xuất để làm việc với các hệ thống mạch điện được tạo ra bởi các phân tích sửa đổi (MNA) xây dựng trên lý thuyết mạch Để duy trì sự ổn định, thay vì sử dụng thuật toán Arnoldi khối cho mô hình giảm như trong mục 1.3, PRIMA rõ ràng làm giảm các thành phần của việc thực hiện không gian trạng thái của hệ thống  ban đầu, được biết đến như là ma trận dẫn và nạp Kết quả là, hệ thống giảm được chứng minh là ổn định và thụ động.

Thuật toán là rất hiệu quả trong việc tính toán phức tạp do việc sử dụng một khối thừa Arnoldi và do đó là thích hợp để giảm mô hình của các hệ thống trong thiết lập quy mô lớn Tuy nhiên, như đã đề cập trước đó, là một phương pháp moment-matching, PRIMA là cục bộ tự nhiên và do đó không có giới hạn lỗi toàn cục.

4.5 Kết luận chương

Trong chương này tác giả tập trung vào nghiên cứu hệ tuyến tính và các khái niệm cơ bản về giảm bậc mô hình Tác giả đã tập trung nghiên cứu các phương pháp giảm bậc mô hình của các tác giả trên thế giới và đã đưa ra phân tích một số phương pháp cơ bản nhất và hay được sử dụng nhất hiện nay Tác giả cũng đã phân tích các phương pháp này và đưa ra các ưu nhược điểm của nó Để làm rõ hơn về tính ưu việt của giảm bậc mô hình tác giả sẽ đưa ra ứng dụng cụ thể của nó được cụ thể hóa trong chương 3 Để thực hiện được ứng dụng của giảm bậc mô hình tác giả đã phân tích và thử nghiệm trên đối tượng là xe hai bánh tự cân bằng, và việc thiết kế đối tượng này được tác giả cụ thể hóa trong chương 2.

CHƯƠNG II

THIẾT KẾ ROBOT HAI BÁNH TỰ CÂN BẰNG4.6 Giới thiệu

Nghiên cứu về robot tự động (Autonomous robot) là một lĩnh vực nghiên cứu đang được phát triển mạnh trong những năm gần đây Một trong những khó khăn nhất của vấn đề nghiên cứu robot tự động là khả năng duy trì cân bằng ổn định trong những địa hình khác nhau Để giải quyết vấn đề này, các robot hầu hết có bánh xe rộng hoặc tối thiểu là ba điểm tiếp xúc so với mặt đất để duy trì sự cân bằng Tuy nhiên tăng kích thước hoặc số lượng bánh xe sẽ làm giảm hiệu quả của hệ thống điều khiển do tăng trọng lượng xe, tăng ma sát hoặc tăng lực kéo và tăng tổn hao năng lượng Robot hai bánh tự cân bằng là một hướng nghiên cứu sẽ giải quyết được nhược điểm Bởi robot hai bánh tự cân bằng chỉ sử dụng hai bánh xe nên giảm được cả trọng lượng và chiều rộng không gian Tuy nhiên vấn đề khó khăn cho robot là làm cách nào để robot có thể tự cân bằng trong những điều kiện làm việc khác nhau, đồng thời tải trọng mang theo có thể thay đổi

Chính vì sự hấp dẫn của robot hai bánh tự cân bằng đến từ cả vấn đề lý thuyết và thực tế nên nghiên cứu về robot hai bánh tự cân bằng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học.

Robot hai bánh tự cân bằng được chia làm hai loại: + Loại có hai bánh song song

+ Loại có hai bánh trước và sau

Trong đề tài này nhóm tác giả chỉ tập trung vào nghiên cứu loại có hai bánh trước sau.

Để tiếp cận dễ dàng hơn chúng ta sẽ đi tìm hiểu một số vấn đề cơ bản nhất trong lĩnh vực robot hai bánh và phương pháp để cân bằng chúng.

Nguyên lý cân bằng: Mô hình robot hai bánh được xây dựng dựa trên định luật

bảo toàn động lượng có cơ sở là: Nếu không có một mô men xoắn (mô men lực) bên ngoài nào tác động lên một đối tượng hay hệ thống (hoặc tổng mô men xoắn - mô men lực tác động vào một đối tượng bằng không) thì tổng mômen động lượng của đối

tượng đó sẽ được bảo toàn Robot hai bánh tự cân bằng trang bị một bánh đà và sử dụng bánh đà để duy trì cân bằng của robot Một động cơ tạo ra mô men xoắn cho bánh đà và do đó gây ra một mô men xoắn tương ứng tác động lên robot theo chiều ngược lại mô men này dùng để cân bằng với mô men do trọng lực của robot tạo ra Để điều khiển gia tốc của bành đà, ta sử dụng một động cơ một chiều DC với điện áp đặt lên động cơ là U, khi này ta đưa bài toán điều khiển cân bằng robot về bài toán điều khiển góc nghiêng của robot  (đầu ra) bằng cách điều khiển điện áp U (đầu vào) đặt lên động cơ DC Nhiệm vụ đặt ra là phải thiết kế một bộ điều khiển để giữ cho robot cân bằng tức là giữ cho góc  (đầu ra) bằng không.

4.7 Thiết kế robot hai bánh tự cân bằng4.7.1 Thiết kế phần cơ khí

Phần bánh sử dụng bánh xe đạp trẻ em Phần khung robot được xây dựng bằng vật liệu nhôm Bánh xe phía trước của robot được gắn cố định nên robot chỉ có thể đi thẳng, để tác giả chỉ tập trung cho bài toán điều khiển cân bằng robot.

Kích thước robot như sau:

Hình 2.1 Kích thước robot hai bánh tự cân bằng

4.7.1.1 Cơ cấu cân bằng

Tác giả thiết kế cơ cấu cân bằng bao gồm: Động cơ một chiều tạo mô men cho hệ thống, bánh đà với mô men quán tính lớn Khung đỡ động cơ và bánh đà Động cơ truyền mô men qua bánh đà thông qua một bạc nối với tỉ số chuyền i = 1.

Kích thước của bánh đà

- Đường kính ngoài Dn = 26 cm = 0,26 m; Đường kính trong Dt = 22cm= 0,22m

- Bề dầy vành bánh đà tn = 2,1 cm = 0,021m; Phần trong bánh đà tt = 0,5 cm = 0,005 m

Hình 2.2 Kích thước thiết kế của bánh đà

Mô men quán tính của bánh đà

- Bánh đà được làm bằng gang có khối lượng riêng  = 7850 kg/m3 - Khối lượng vành ngoài bánh đà  22

Bảng 2.1 Thông số động cơ điện một chiều

MPU-6050 module (3 trục góc + 3 trục gia tốc ) Chip: MPU-6050; Nguồn cấp: 3-5V

Chuẩn giao tiếp: I2C

Chip 16bit AD converter, 16-bit data Output

Độ phân giải vận tốc góc (): ± 250 500 1000 2000 °/s_tương đương

1°/s = 1.3,14/180 rad/s

Độ phân giải gia tốc góc: ± 2 ± 4 ± 8 ± 16g (g= 9,81 m/s2 là gia tốc trọng

Chuẩn giắc cắm 2.54mm

Hình 2.4 Cảm biến gia tốc Gyro GY-521 6DOF MPU6050

Module cảm biến 6 DoF (Degrees of Freedom - bậc tự do) bao gồm các cảm biến đo lường quán tính như cảm biến vận tốc góc 3 trục - gyroscope và cảm biến gia tốc 3 trục - accelerometer

- Cảm biến Gyroscopic, cho phép đo vận tốc góc nghiêng (Angular velocity), từ vận tốc góc nghiêng tích phân sẽ ra góc nghiêng, nhưng như thế sẽ có thành phần sai lệch gọi là "drift" là thành phần không mong muốn.

- Cảm biến Accelerometer để đo gia tốc góc nghiêng tĩnh, tuy nhiên tác động rất chậm và bị ảnh hưởng bởi gia tốc động.

Module cảm biến cho phép áp dụng mạnh mẽ vào việc điều khiển các thiết bị vận hành tự động như robot tự hành, UAVs (thiết bị bay không người lái) hoặc các hệ thống cân bằng như trong xử lý ảnh Các cảm biến trên module hỗ trợ giao tiếp I2C với tốc độ lên tới 400kb/s và hoạt động ở mức áp 3.3V Module được thiết kế tích hợp sẵn một IC ổn áp LDO 3.3V để ổn định điện áp cần thiết cho cảm biến hoạt động chính xác hơn.

Sơ đồ mạch cảm biến

Hình 2.5 Sơ đồ mạch cảm biến MPU - 6050

Cách xử lý tín hiệu cảm biến góc nghiêng

gsin gcos

Hình 2.6 Sơ đồ xác định góc nghiêng của cảm biến gia tốc

- Xác định góc nghiêng theo cảm biến gia tốc góc nghiêng tĩnh (accelerometer)

Hình 2.7 Sơ đồ nguyên lý hệ thống xử lý cảm biến góc nghiêng

Nguồn 5VDC, hai pha A,B

Đường kính trục 6mm; Đường kính vỏ ngoài 45mm Tốc độ 5.000.000 xung/phút.

4.7.1.4 Hệ thống điều khiển tiến lùi

Hệ thống sử dụng động cơ DC Động cơ này sẽ kéo robot chuyển động tiến lùi qua hệ thống truyền động xích có tỷ số truyền là 1:1