Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số và giới hạn hàm số một biến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung

Đà Nẵng - 2023

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ20 2.1 Tìm giới hạn của dãy số với điều kiện ban đầu 20

2.2 Áp dụng nguyên lý Weierstrass 24

2.3 Sử dụng nguyên lý kẹp 27

2.4 Phương pháp xây dựng dãy phụ 31

2.5 Giới hạn của dãy có dạng un+1 = f (un) 35

2.6 Giới hạn của một tổng 41

2.7 Dãy số sinh bởi phương trình cho trước 43

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

3.1.5 Giới hạn vô định của hàm số lượng giác 53

3.1.6 Giới hạn vô định của hàm số mũ, logarit 55

3.2 Phương pháp sử dụng quy tắc L’hospital 56

3.3.1 Khai triển Taylor 57

3.3.2 Một số khai triển thường gặp 58

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giới hạn của một hàm số là khái niệm cơ bản nhất của giải tích Giải tích bắt đầu với các giới hạn, nhờ đó mà chúng ta có thể xác định các ý tưởng chính của giải tích như tính liên tục, đạo hàm và tích phân của một hàm số, sự hội tụ và phân kỳ của các dãy dựa trên giới hạn.

Louis Cauchy là nhà toán học đầu tiên sử dụng định nghĩa tương tự như định nghĩa epsilon - delta về một giới hạn mà chúng ta sử dụng ngày nay Năm 1821, ông đã đưa ra một khóa học giải tích bắt đầu với một định nghĩa hiện đại về giới hạn Trong các bài viết của mình, Cauchy đã sử dụng các giới hạn làm cơ sở cho các định nghĩa chính xác về tính liên tục, sự hội tụ, đạo hàm và tích phân Cauchy đã định nghĩa tích phân của bất kỳ hàm liên tục nào trên khoảng [a, b] là giới hạn của tổng diện tích các hình chữ nhật mỏng Ông đã cố gắng chứng minh rằng giới hạn này tồn tại cho tất cả các hàm liên tục trên khoảng [a, b] Định nghĩa của giới hạn do Cauchy đưa ra là nếu chúng ta muốn tất cả các giá trị nằm trong một vùng lân cận nhỏ nào đó xung quanh, chúng ta chỉ cần chọn một vùng lân cận đủ nhỏ cho các giá trị x xung quanh c và chứng minh rằng chúng ta có thể làm được điều này cho dù độ lớn có nhỏ đến đâu.

Giới hạn, một khái niệm điển hình cho tư tưởng tiên tiến của toán học, là một phần quan trọng của chương trình Toán phổ thông và trong các ngành đại số và giải tích toán học Giới hạn có một vị trí đặc biệt quan trọng trong toán học, không chỉ như là một đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng một vai trò như một công cụ đắc lực của giải tích nên việc hiểu được định nghĩa và giải được bài toán giới hạn vẫn là một khó khăn rất lớn đối với học sinh, sinh viên Nhất là trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp quốc gia, thi Olympic Toán quốc tế, thi Olympic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán về giới hạn dãy số và giới hạn hàm số được đề cập nhiều và đều

thuộc loại khó Vì thế, chủ đề về giới hạn ngày càng được quan tâm không chỉ bởi định nghĩa khá trừu tượng mà còn vì tính độc đáo của phương pháp và kỹ thuật giải chúng có yêu cầu cao về tư duy.

Với các lý do nêu trên, bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của TS Lê Hải Trung đã chọn đề tài nghiên cứu của luận văn thạc sĩ với tiêu đề: “Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số và giới hạn hàm số một biến” để nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này Mong rằng qua các phương pháp và bài toán minh hoạ về tính toán trình bày trong đề tài, người học sẽ nắm được kiến thức giới hạn một cách sâu sắc hơn, từ đó giải các bài toán một cách dễ dàng, nắm vững được phương pháp và phân dạng được từng loại bài tập, tránh được những sai lầm khi giải bài toán giới hạn.

3 Đối tượng nghiên cứu

• Nghiên cứu về lý thuyết cơ sở giới hạn của dãy số, hàm số một biến.

• Các kĩ thuật để tìm giới hạn của dãy số, hàm số một biến.

• Các sai lầm thường gặp khi giải toán giới hạn.

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về giới hạn dãy số, giới hạn hàm số một biến và một số sai lầm thường gặp.

5 Phương pháp nghiên cứu

• Tham khảo tài liệu, hệ thống lại một số kiến thức về giới hạn.

• Thu thập các sách, các bài báo khoa học của các tác giả đi trước liên quan đến các tính chất của giới hạn dãy số và giới hạn hàm số một biến.

• Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả đang nghiên cứu để hoàn chỉnh đề tài của mình của mình.

4 Cấu trúc của đề tài

Nội dung đề tài được trình bày trong ba chương Ngoài ra, đề tài có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Tài liệu tham khảo.

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của giới hạn dãy số và giới hạn hàm số một biến nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2, Chương 3.

Chương 2 trình bày về một số phương pháp tìm giới hạn dãy số.

Chương 3 trình bày về một số phương pháp tìm giới hạn hàm số một biến.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức về giới hạn dãy số và hàm số một biến Các khái niệm và các tính chất trong chương này được trình bày nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của chương sau.

1.1 Giới hạn dãy số

Định nghĩa 1.1.1 ([6]) Cho dãy số {xn} và số L Ta nói rằng {xn} hội tụ về L hay L là giới hạn của dãy số {xn}, nếu với mỗi ε > 0 bé tuỳ ý đều tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n ≥ N thì

Trong định nghĩa 1.1.1, số nguyên dươngN tất nhiên phụ thuộc vào ε Ta cũng thấy rằng bất đẳng thức n ≥ N có thể được thay thế bằng bất đẳng thức tương ứng, với n ≥ N khi và chỉ khi n > N − 1.

Với số L được cho và ε > 0, ta định nghĩa tập hợp tất cả các số z sao cho

|z − L| < ε được gọi là ε-lân cận của L Tập hợp này được biểu thị là Nε(L) Chú ý rằng bắt đẳng thức |xn− L| < ε cũng tương đương với:

L − ε < xn < L + ε.

Một dãy số được gọi là hội tụ nếu nó có giới hạn Một dãy được gọi là

phân kỳ nếu nó không hội tụ.

Ví dụ 1.1.2 Hãy chứng minh dãy

Chứng minh Giả sử rằng dãy (1.1) có giới hạn là a Khi đó với ε = 1, tồn tại số nguyên dương N sao cho với n > N ta có | xn− a |< ε = 1 Vì n > N

Chứng minh Gọi xn = a với mọi số tự nhiên n Với mọi ε > 0 ta luôn có

|xn− a| = |a − a| = 0 < ε với mọi số tự nhiên n Vậy ta có điều phải chứng minh.

1.2 Các tính chất của dãy hội tụ

Định lí 1.2.1 ([6]) Mỗi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.

Chứng minh Giả sử dãy số {xn} có hai giới hạn khác nhau là L1 và L2 Với

ε > 0, ta có {xn} tiến đến L1, nên tồn tại số nguyên dương N1 sao cho

Từ (1.2) suy ra |L1 − L2| < |L1 − L2| Điều này vô lý nên L1 = L2 Định nghĩa 1.2.2 ([6]) Một dãy số {xn} được gọi là bị chặn nếu tồn tại số M sao cho |xn| < M với mọi số tự nhiên n.

Định lí 1.2.3 ([6]) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.

Chứng minh Giả sử {xn} là một dãy hội tụ về L Với mỗi ε > 0 tồn tại một số nguyên dương N sao cho |xn− L| < ε, với mọi n ≥ N Ta có

|xn| − |L| ≤ |xn− L| < ε,

Chứng minh (1)Vì xn → a, yn → b nên với mọi ε > 0, tồn tại hai số nguyên dương N1, N2 sao cho

được gọi là dãy con của dãy {xn} Hiển nhiên dãy con của dãy (1.3) cũng là dãy con của dãy {xn} Ta chú ý rằng

kn ≥ n, ∀n ∈ N∗.

Thật vậy, k1 ≥ 1, cho nên k2 > 1, do đó k2 ≥ 2 (vì k2 là số tự nhiên) Một cách tổng quát giả sử ta đã chứng minh được kn ≥ n, ta nhận được

Chứng minh Giả sử dãy {xn} hội tụ về L Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho

|xn − L| < ε, ∀n ≥ N.

Mà {xkn} là dãy con của {xn} nên ta có:

|xkn − L| < ε, ∀kn ≥ N.

Do {kn} là dãy các chỉ số tăng nên kn ≥ kN ≥ N, với mọi n ≥ N.

Từ đó ta suy ra |xkn − L| < ε, ∀n ≥ N, định lí được chứng minh.

Bổ đề 1.2.8 ([6]) Giả sử {an} và {bn} là hai dãy số thực sao cho 0 ≤ an ≤ bn với mọi n Khi đó, nếu lim

Định lí 1.2.9 ([6]) Giả sử {an} , {bn} và {cn} là các dãy số sao cho

an ≤ bn ≤ cn với mọi n Nếu

Định nghĩa 1.2.10 ([6]) Một dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi m ≥ N và n ≥ N thì:

|xn− xm| < ε.

Hiển nhiên ε trong định nghĩa trên có thể được thay thế bởi cε với mọi

c > 0.

Định lí 1.2.11 ([6]) Một dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, tồn tại số nguyên dương N để cho:

Định lí 1.2.12 Mọi dãy Cauchy đều bị chặn.

Chứng minh Giả sử {xn} là dãy Cauchy và chọn ε > 0 Theo Định lí 1.2.11 tồn tại số nguyên dương N sao cho:

|xn− xN| < ε, ∀n ≥ N.

Định lí được chứng minh nếu ta thay giá trị L bằng xN.

Định lí 1.2.13 Nếu {xn} là một dãy Cauchy có dãy con hội tụ về L, khi đó dãy {xn} cũng hội tụ về L.

Chứng minh Giả sử {xkn} là dãy con hội tụ về L và chọn ε > 0 Khi đó tồn tại số nguyên dương N1 và N2 sao cho

Khi đó với mỗi n ≥ N, ta có n ≥ N1 và kn ≥ n ≥ N2 vì {kn} là một dãy các số nguyên dương tăng Do đó

|xn− L| = |xn− xkn + xkn − L| ≤ |xn − xkn| + |xkn − L| < 2ε,

vì vậy

n→∞xn = L.

Định lí 1.2.14 ([6]) Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy.

Chứng minh Giả sử {xn} là một dãy hội tụ đến L và thay xN bởi L trong phần chứng minh Định lí 1.2.11.

Định lí 1.2.15 ([6]) (Nguyên lý Weierstrass) Một dãy tăng và bị chặn trên hoặc giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.

Chứng minh Giả sử {an} là một dãy số thực đơn điệu tăng và bị chặn trên Do {an} là một tập con của R và bị chặn trên nên nó tồn tại một cận trên đúng là α = sup {an} ≥ an, với mọi n ∈ N.

Ta suy ra với ε > 0 bất kỳ thì α − ε không là cận trên đúng của {an} Do đó tồn tại n0 ∈ N sao cho

α − ε < an0 < α.

Mà với mọi n ≥ n0 thì an ≥ an0 (do {an} là một dãy đơn điệu tăng) nên ta suy ra tồn tại n0 sao cho với mọi n ≥ n0 thì:

α − ε < an0 ≤ an ≤ α < α + ε,

|an − α| < ε.

Điều này chứng tỏ dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên{an}hội tụ về sup {an} Chứng minh hoàn toàn tương tự với dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ về cận dưới đúng của nó.

Ví dụ 1.2.16 Cho dãy số {xn} được xác định như sau:

x1 = 1, x2 = 2, xn+2 = √

xn+1 +√

xn, ∀n ⩾ 1.

Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó Chứng minh Bằng quy nạp ta chứng minh:

Từ đó suy ra (1.4) đúng với mọi n Ta chứng minh dãy {xn} là dãy tăng.

do đó ta có xn+1 > 2 Vậy xn > 2, với mọi n ∈ N∗.

Tiếp theo ta chứng minh {xn} giảm theo phương pháp quy nạp Giả sử

2 < xn < xn−1 < < x1 = 52 Ta sẽ chứng minh

xn+1 < xn,

2 bị loại vì {xn} là dãy dương Vậy {xn} có giới hạn hữu hạn và lim

n→∞xn = 2.

Định lí 1.2.18 ([3]) (Định lí Stolz) Cho {un} , {vn} là các dãy số thỏa mãn hai điều kiện sau:

(1) {vn} là dãy số tăng và lim

vn+1−vn = a nên với mọi ε

dương cho trước, luôn tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n ⩾ n0 ta có:

Giả sử k là một số nguyên dương k > n0 sao cho vk+1 > 0, khi đó ta có

(a − ε) (vi+1 − vi) < ui+1 − ui < (a + ε) (vi+1 − vi) ; ∀i = n0, , k.

Lấy tổng theo vế các bất đẳng thức trên ta thu được

(2) Trong nhận xét trên nếu thay un = v1 + v2 + + vn thì định lí Stolz còn được phát biểu dưới dạng tương đương khác như sau và được gọi là

Lời giải Xét dãy {an} : an =

Định nghĩa 1.3.1 ([8]) Cho hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b), ta nói rằng f (x) có giới hạn là L (hữu hạn), khi x dần tới x0 (x0 ∈ [a, b]) nếu

với bất kì ε > 0 cho trước, tìm được δ > 0 sao cho khi 0 < |x − x0| < δ thì

Chứng minh Thật vậy, cho trước ε > 0, vì f (x) = C, ∀x, do đó với bất kì δ > 0 sao cho |x − x0| < δ, ta luôn có

Trên đây chúng ta đã định nghĩa giới hạn của hàm số f (x) khi x → x0, bây giờ ta xét trường hợp x → +∞ và x → −∞.

Định nghĩa 1.3.3 ([4]) Ta nói rằng hàm số f (x) có giới hạn là L khi x

dần tới dương vô cùng và viết là

Để thuận tiện trong việc giải các bài toán giới hạn thì từ giờ trở về sau ta thường sử dụng các kết quả đã nêu mà ít khi sử dụng định nghĩa Các dạng toán giới hạn được đề cập trong các chương sau sẽ tập trung vào việc giải quyết các bài toán giới hạn có dạng vô định và các bài toán có sử dụng các kiến thức đã được đề cập tại chương này.

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Chương này trình bày một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số như: tìm giới hạn của dãy với điều kiện ban đầu, phương pháp áp dụng nguyên lý Weierstrass, sử dụng nguyên lý kẹp, phương pháp xây dựng dãy phụ, cách tìm giới hạn của một tổng, dãy có dạng un+1 = f (un), dãy số sinh bởi phương trình.

2.1 Tìm giới hạn của dãy số với điều kiện ban đầu

Bài toán 2.1.1 Cho dãy {xn} được xác định:

Mặt khác, theo công thức tính tổng nsố hạng đầu của cấp số cộng và cấp

Bài toán 2.1.4 (VMO 2013) Cho hai dãy số thực dương {xn} , {yn} xác định hồi quy bởi x1 = 1, y1 = √

2 Từ các giá trị trên gợi ý cho ta đến các giá trị lượng giác Ta có

Ta chứng minh (2.3) bằng phương pháp quy nạp Hiển nhiên là (2.3) đúng với n = 1 Giả sử (2.3) đúng với k = 1, n Khi đó ta có:

Lời giải Ta chứng minh dãy{un} giảm và bị chặn dưới Để có được điều này trước hết ta chứng minh biểu thức un >

suy ra biểu thức trên đúng theo nguyên lý quy nạp Ta chứng minh dãy {un} giảm Ta có: un = −u 1

2 Từ đó un > un+1, ∀n, dẫn tới dãy {un} là dãy giảm Do vậy dãy {un} tồn tại giới hạn hữu hạn Đặt lim

Bài toán 2.2.2 Cho dãy {an} xác định bởi a1 = 12, và an+1 = (n+1)a2nn(an+1)·

Chứng minh rằng dãy {an} có giới hạn và tính giới hạn đó Lời giải Ta có an > 0, với mọi n ∈ N∗.

Chứng minh rằng dãy {un} có giới hạn và tính giới hạn đó Lời giải Trước hết ta nhận xét rằng un > 0, với mọi n.

Để chứng minh xn giảm bắt đầu từ số hạng thứ hai, ta chỉ cần chứng minh bằng quy nạp toán học:

Suy ra (n + 3) − nxn < 0 Vậy (2.5) đúng đến n + 1 Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta có (2.5) đúng với mọi n ⩾ 3.

Như vậy {xn} là dãy số giảm kể từ số hạng thứ hai Ngoài ra, theo (2.4), nó bị chặn dưới bởi 0 Suy ra, tồn tại giới hạn hữu hạn lim

Tính giới hạn của hai dãy đã cho.

Lời giải Ta chứng minh được bất đẳng thức

(a2 + 1)2 ⩽ 1

Bài toán 2.3.4 Cho dãy số {xn} : x0 = −2, xn = 1−

2 , ∀n ⩾ 1 Đặt

yn = 1 + x20
1 + x21
1 + x2n
, ∀n ⩾ 0.

Chứng minh rằng {yn} có giới hạn hữu hạn.

Lời giải Từ phương trình truy hồi của dãy suy ra xn ⩽ 12 và

2.4 Phương pháp xây dựng dãy phụ

Bài toán 2.4.1 Cho dãy số không âm {un} thỏa mãn

Thay vào giả thiết ta suy ra:

n→∞vn = 0 Tiếp theo ta chứng minh vn ⩾ un ⩾ 0

theo quy nạp Khẳng định đúng với n = 1, ta giả sử khẳng định đúng đến

Chứng minh dãy {un} có giới hạn và tìm giới hạn đó Lời giải Xét hai dãy {vn} và {zn} xác định bởi:

Bài toán 2.4.3 Cho dãy số {un} thoả: un + un+1 ⩾ 2un+2 và dãy {un} bị chặn Chứng minh rằng dãy {un} tồn tại giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Lời giải Xét dãy {vn} : vn = max {un, un+1}, ta có dãy {vn} bị chặn Từ

giả thiết ta suy ra:

2.5 Giới hạn của dãy có dạng un+1 = f (un)

Với dãy số {un} thoả mãn un+1 = f (un) ta thường dựa vào các tính chất sau:

Định nghĩa 2.5.1 ([3]) Cho hàm f : I → R Hàm số f được gọi là co trên

I, nếu tồn tại số thực k, 0 < k < 1 sao cho:

|f (x) − f (y)| ⩽ k|x − y|, ∀x ∈ I.

Định lí 2.5.2 ([3]) Nếu hàm f : I → R là một hàm co trên I Khi đó, dãy

{un} : un+1 = f (un) hội tụ đến x với x là nghiệm duy nhất của phương trình

f (x) = x.

Từ định lí trên, kết hợp với định lí Lagrange 2 ta có kết quả sau:

Định lí 2.5.3 ([3]) Cho dãy {un} : un+1 = f (un), với f là hàm xác định trên I Nếu |f′(x)| < 1, ∀x ∈ I thì dãy {un} hội tụ.

Bài toán 2.5.4 Dãy số {xn} thỏa mãn điều kiện 1 < x1 < 2 và:

2Định lí Lagrange [4] Cho hàm f (x) xác định trên khoảng đóng [a, b], khả vi trong khoảng mở (a, b),khi đó tồn tại một điểm c ∈ (a, b) sao cho :

f (b) − f (a)b − a = f

′(c).

Bài toán 2.5.5 Cho {xn} : x1 = 2014, xn+1 = π8 cos xn+ cos 2xn

2 + cos 3xn3
Chứng minh dãy {xn} có giới hạn hữu hạn.

Lời giải Xét hàm số f (x) = π8 cos x + cos 2x2 + cos 3x3
, x ∈ R ta có: f′(x) = π

8(sin x + sin 2x + sin 3x).

Mặt khác:

(sin x + sin 2x + sin 3x)2 = (2 sin 2x cos x + sin 2x)2 = 4(sin 2x cos x + cos x sin x)2

⩽ 4 sin22x + cos2x
sin2x + cos2x