Chuong 2 XSTK 23 24 26

Topic 36: Nowadays, it is true that many young people have a tendency tend to resign quit leave stop working at the company, or the corporation and they want to establish set up their own enterprise (DN), especially young people the young with high competence ability capacity and ambition aspiration in modern life. What are some causes and some solutions for this issue? What are causes of this problem? Causes: The problem of low salary or income could be a main reason cause leading to setting up their own company. This means that + workers have to suffer the pressure on their finance in daily life. They must pay for a wide range of costs such as accommodation, tuition fees, food, drink, etc. Thus, it could be a heavy financial burden on their family if they have no enough the budget to solve. Poor environment and conditions could make them decide to leave at the current company and begin establishing a new company. + they will feel uncomfortable and inconvenient to work in polluted environment or toxic substances which affect their health. + working in dangerous hazardous environment could trigger some serious diseases such as lung cancer, stroke, heart disease, depression, etc.

X



Chương 2 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

2.1 Khái niệm về biến ngẫu nhiên

Biến cố có thể biểu thị về mặt định tính và cũng có thể biểu thị về mặt định

lượng

Trong phần này ta chỉ xét những biến cố biểu thị về mặt định lượng tức là biến

cố biểu thị thành con số

Ví dụ 2.1.1 Xét phép thử T: “Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối và đồng chất”

Không gian mẫu của phép thử này là  S N,  Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp

trong một lần gieo Ta thấy rằng X là một đại lượng có tính ngẫu nhiên có thể nhận một

trong hai giá trị

X(N)=0, nếu đồng xu xuất hiện mặt ngửa với xác suất tương ứng P N     21X(S)=1, nếu đồng xu xuất hiện mặt sấp với xác suất tương ứng P S     12

Ta có thể minh họa bằng hình vẽ sau:

Qua ví dụ trên ta thấy, đại lượng X liên quan đến phép thử T, đặt tương ứng mỗi

phần tử của không gian mẫu của T với một và chỉ một số thực một cách ngẫu nhiên (ứng với một xác suất nào đó) Đại lượng X như thế được gọi là biến ngẫu nhiên hoặc đại lượng ngẫu nhiên

X  là một số thực được gọi là giá trị của biến ngẫu nhiên X Do đó tập giá

trị của biến ngẫu nhiên X là một tập con của tập số thực  được ký hiệu là Im X  

Biến cố này được xác định bởi biến ngẫu nhiên X nên nó còn được ký hiệu gọn

hơn theo biến ngẫu nhiên X

Nếu a, b là các số thực a b thì các biến cố và xác suất tương ứng của chúng

được ký hiệu như sau:

Biến cố Ký hiệu theo

biến ngẫu nhiên Xác suất của biến cố

Ký hiệu theo biến ngẫu nhiên





Ví dụ 2.1.1.1 Tung 1 đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp Tìm:

1 P X  2

2 P X  2

Giải

Không gian mẫu là ={ SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN}

Ứng với mỗi phần tử của không gian mẫu, ta có các giá trị tương ứng của X được cho trong bảng sau:

2.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên

 Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên chỉ nhận một số hữu hạn hoặc vô

hạn đếm được các giá trị Nói một cách khác, biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên dương

Ví dụ 2.1.2.1

 Gọi X là số chấm ở mặt trên của con súc sắc khi gieo một lần con súc sắc cân đối và đồng chất thì X có thể nhận các giá trị là: 1, 2, 3, 4, 5, 6 nên X là biến ngẫu nhiên rời rạc

 Gọi X là số lượng sinh viên đến canteen trong một ngày thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc

 Gọi X là số khách hàng đến tại một quầy giao dịch trong một khoảng thời gian thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc

 Gọi X là số lượng sinh viên đến thư viện trung bình trong một ngày thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc

 Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên nhận mọi giá trị trong khoảng

 a b nào đó trên trục số (a có thể là –, b có thể là +) Nói một cách khác, biến ;

ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên và thập phân

Ví dụ 2.1.2.2

 Gọi X là trọng lượng của trẻ sơ sinh thì X là biến ngẫu nhiên liên tục

 Gọi X là thu nhập của một hộ gia đình sống ở thành thị thì X là biến ngẫu nhiên liên tục

 Gọi X là kim ngạch xuất khẩu của một công ty trong ngành dệt may trong năm

2010 thì X là biến ngẫu nhiên liên tục

 Các biến ngẫu nhiên chỉ độ dài, diện tích, thể tích, thời gian,… là loại biến ngẫu nhiên gì?

p x P X x đặc trưng cho khả năng biến ngẫu nhiên X nhận giá trị đó

Hàm số p x P X x xác định trên tập các giá trị của biến ngẫu nhiên rời

rạc X được gọi là hàm (khối lượng) xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X

Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X chỉ có một số hữu hạn n các giá trị x x1, , ,2 x thì n

hàm (khối lượng) xác suất của nó có thể cho dưới dạng bảng gồm hai hàng:

 Hàng thứ 1 ghi các giá trị số đã sắp thứ tự của biến ngẫu nhiên

 Hàng thứ 2 ghi xác suất tương ứng

Thông thường, để biểu diễn cho biến ngẫu nhiên rời rạc, ta thường dùng bảng

phân phối xác suất

Ví dụ 2.2.1.1 Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp trong phép

thử tung 1 đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần Tìm hàm xác suất (bảng phân phối xác suất) của biến ngẫu nhiên X

p x

x x

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là:

Đồ thị của hàm xác suất này được biểu diễn như sau:

-0.05

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

x

y

1/8 3/8

Người ta cũng thường biểu diễn hàm xác suất bằng tổ chức đồ Đó là một biểu đồ

hình cột với các xác suất được biểu diễn bằng các diện tích

3818

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-0.05

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

x

y

1/8 3/8

 Có nhận xét gì về tổng các diện tích của các hình chữ nhật trong tổ chức đồ của hàm xác

suất p x ?  

Ví dụ 2.2.1.2

Một lô hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu

Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sản

phẩm chọn ra Tìm luật phân phối xác suất của X

515

 Giải ví dụ trên nhưng lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm và X là biến

ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm xấu có trong 4 sản phẩm chọn ra

2.2.2 Tính chất của hàm (khối lượng) xác suất

2.3 Hàm phân phối (xác suất) của biến ngẫu nhiên

Gọi X là biến ngẫu nhiên liên quan đến phép thử T Với mọi x   , ta nhận thấy

biến cố X x thay đổi nếu x thay đổi Do đó xác suất P X x cũng thay đổi theo,

tức là xác suất này phụ thuộc vào x, nó là một hàm của x và được gọi là hàm phân phối

(xác suất) của biến ngẫu nhiên X

Hàm phân phối (xác suất) của biến ngẫu nhiên X được dùng để mô tả (hoặc xác định) cho cả biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục

,

trong đó p x là hàm (khối lượng) xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X  i

Hàm phân phối (xác suất) của biến ngẫu nhiên rời rạc X xác định tổng các diện

tích của các hình chữ nhật được dựng trên mỗi cạnh x i  x

Ví dụ 2.3.1.1 Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp trong phép

thử tung 1 đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần Tìm hàm phân phối xác suất của X và vẽ

38

18

 

8

48

78

1 nên nó có hàm phân phối xác suất là:

x x

x

y

1/8 1/2 7/8

Ví dụ 2.3.1.2 Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất Gọi X là số chấm xuất hiện

1 Lập bảng phân phối xác suất của X

2 Tìm hàm phân phối xác suất của X và vẽ đồ thị

Giải:

1 Ta có Im(X)={1; 2; 3; 4; 5; 6}

Do con súc sắc cân đối và đồng chất nên

16

16

16

 

6

26

36

46

56

F x

x x x

 Tiếp tục tính để có hàm phân phối xác suất của X như trên

Đồ thị hàm F x được vẽ như sau:  

2.3.3 Tính xác suất từ hàm phân phối

Từ định nghĩa và tính chất của hàm phân phối, ta có thể tính các xác suất theo các công thức sau:

Ví dụ 2.3.3.2 Gieo lần lượt 2 con súc sắc vô tư và quan sát số nút xuất hiện ở mặt

trên của hai con súc sắc Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lớn nhất trong hai số xuất hiện, i.e với mọi (a,b) thuộc , X(a,b) = max (a,b)

P(X=x) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 Xác suất của biến cố {X  3}:

P(X  3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1 3 5 9

36  36  36  36 Xác suất của biến cố {2  X < 5}:

P(2  X < 5) = P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4) = 3 5 7 15

36  36  36  36

Ví dụ 2.3.3.3 Tung đồng thời 2 đồng tiền xu cân đối và đồng chất Gọi X là biến

ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp

1 Lập bảng phân phối xác suất của X

2 Tìm hàm phân phối xác suất của X

Giải:

1 Tập giá trị của X là Im(X)={0, 1, 2}

Gọi A ={đồng tiền thứ i xuất hiện mặt sấp}, i i 1, 2

trong đó F x  là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X thì f được gọi là hàm mật độ

(xác suất) của X, còn X được gọi là liên tục tuyệt đối

Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, tài liệu này chỉ khảo sát loại liên tục tuyệt đối nên

để đơn giản cách trình bày, chúng ta gọi chung là biến ngẫu nhiên liên tục

2.4.2 Tính chất

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối F và hàm mật độ f

Khi đó, với mọi số thực a và b thỏa a < b:

(i) f x F x'  tại những điểm f x liên tục  

và xác suất vẫn không thay đổi dù tại các điểm a và b có hoặc không có dấu bằng

Đồ thị hàm mật độ f của một biến ngẫu nhiên liên tục

Diện tích của vùng được tô đen trong hình là xác suất P(a  X  b)

2.5 Vectơ ngẫu nhiên n chiều (Biến ngẫu nhiên nhiều chiều)

Trong nhiều bài toán thực tế, khi nghiên cứu một đối tượng, chúng ta phải ghi nhận cùng một lúc nhiều đặc tính của đối tượng Chẳng hạn, khi quan tâm đến kích thước sản phẩm của một máy sản xuất, chúng ta phải để ý đến cả chiều dài, được biểu diễn bởi biến ngẫu nhiên X1, lẫn chiều rộng, được biểu diễn bởi biến ngẫu nhiên X2, của sản

phẩm đó Như vậy, kích thước của một sản phẩm được đặc trưng bởi một bộ hai biến

ngẫu nhiên (X1, X2 ), mà người ta gọi là một vectơ ngẫu nhiên Ở thí dụ này, véctơ

ngẫu nhiên có 2 thành phần nên được gọi là một véctơ ngẫu nhiên 2 chiều hoặc biến

ngẫu nhiên 2 chiều Một véctơ ngẫu nhiên có n thành phần được gọi là một véctơ ngẫu nhiên n chiều hoặc biến ngẫu nhiên n chiều

2.5.1 Định nghĩa

Giả sử X X1, 2, ,X là n biến ngẫu nhiên trên không gian mẫu  Một véctơ n

ngẫu nhiên n chiều (còn được gọi là biến ngẫu nhiên n chiều) X trên  là một hàm số

đi từ  vào  n

Ký hiệu: X:    n

  X   =X1    ,X2  , ,X n  

hay X =X X1, 2, ,X n

Các biến ngẫu nhiên X i i 1, ,n được gọi là các thành phần hay các tọa độ

của véctơ ngẫu nhiên X

Miền giá trị của X là Im(X) = Im(X1)  Im(X2)   Im(Xn)

Một véctơ ngẫu nhiên X được gọi là thuộc loại rời rạc hay liên tục tùy theo các

biến ngẫu nhiên thành phần của nó thuộc loại rời rạc hay liên tục

Để đơn giản cách viết, với mọi  1, , ,2  n

Từ nay, để đơn giản trong cách trình bày, giáo trình chỉ xét trường hợp biến ngẫu

nhiên hai chiều (X1, X2) Đối với trường hợp biến ngẫu nhiên n chiều (X1, X2, …, Xn),

chúng ta cũng có các kết quả tương tự

2.6 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.6.1 Kỳ vọng (Expectation) (Trung bình (Mean))

2.6.1.1 Định nghĩa

Kỳ vọng (hay vọng số) của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu E(X) (hoặc EX hoặc

M(X) hoặc  hoặc  ) là một số được xác định như sau: X

a) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc:

Giả sử X có bảng phân phối xác suất:

1 Tính điểm trung bình môn XSTK của lớp

2 Chọn ngẫu nhiên 1 SV trong lớp ra xem điểm thi Gọi X là điểm số của SV

này Lập bảng phân phối xác suất của X và tính kỳ vọng của X?

Nếu X là trọng lượng thì E(X) là trọng lượng trung bình

Nếu X là chiều cao thì E(X) là chiều cao trung bình

Nếu X là năng suất thì E(X) là năng suất trung bình

Ví dụ 2.6.1.1.2 Có một trò chơi như sau:

Tung đồng thời 3 con súc sắc Nếu xuất hiện 3 mặt nhất thì được 1 000đ, xuất hiện 2 mặt nhất được 500đ, xuất hiện 1 mặt nhất được 100đ, không xuất hiện mặt nhất nào thì không được gì cả Mỗi lần chơi đóng a đ Hỏi a là bao nhiêu để trò chơi công bằng

Giải

Gọi X là số tiền được, thua trong 1 ván

Ta có bảng phân phối xác suất của X là:

X –a 100–a 500–a 1 000–a

Tính chất 6: Nếu X, Y độc lập thì E (X.Y) = E (X).E (Y)

Tính chất 7: Cho X,Y là hai đại lượng ngẫu nhiên , ta có :

Gọi X là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X trong n phép thử này Theo

định nghĩa của xác suất theo quan điểm thống kê, với n đủ lớn, ta có:

Nếu xem x x1, 2, ,x là 1 hệ chất điểm tại đó có đặt các khối lượng tương ứng là n

: p p1, 2, , p thì kỳ vọng chính là trọng tâm của hệ chất điểm n

Ví dụ 2.6.1.3 E là cân nặng của trẻ sơ sinh, ta thực hiện 5 lần được:

2.6.2 Phương sai (Độ phân tán) (Variance)

 Chứng minh công thức tính phương sai trong thực tế

Đơn vị đo của phương sai bằng đơn vị đo của biến ngẫu nhiên X bình phương

a) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc:

Giả sử X có bảng phân phối xác suất:

b) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f x : (sinh viên tự đọc  

Tính chất 1: V(C) = 0; C : đại lượng ngẫu nhiên hằng

Tính chất 2: Nếu X,Y độc lập thì V(X + Y) = V(X) + V(Y)

Nếu phương sai càng lớn thì các giá trị của biến ngẫu nhiên càng phân tán

Nếu phương sai càng bé thì các giá trị của biến ngẫu nhiên càng tập trung quanh

kỳ vọng của nó

 Trong công nghiệp, phương sai biểu thị độ chính xác của các sản phẩm

 Trong chăn nuôi, phương sai biểu thị độ tăng trưởng đồng đều của các gia súc

 Trong trồng trọt, phương sai biểu thị mức độ ổn định của năng suất

2.6.3 Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)

2.6.3.1 Định nghĩa

Vì V(X) có cùng đơn vị với (X–)2 nên ta định nghĩa thêm đại lượng V X  

được gọi là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X và được ký hiệu là  X ,  , X

Độ lệch chuẩn có ý nghĩa giống phương sai

Ví dụ 2.6.3.3.1 Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất:

P 0,3 0,3 0,4 Tính độ lệch chuẩn của X

Giải

Theo ví dụ 2.6.2.1.1 ta có: V(X) = 0,69

Vậy:  X  V X   0, 69  0, 831

Ví dụ 2.6.3.3.2 (Trích Đề thi Kết thúc Học phần Khoá 13) Một kiện hàng chứa

8 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm xấu và 5 sản phẩm tốt Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng

ra 4 sản phẩm (không hoàn lại)

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất cho số sản phẩm xấu có trong 4 sản phẩm lấy

ra, và tính xác suất để trong đó có ít nhất 2 sản phẩm tốt

b) Đem 4 sản phẩm vừa lấy ra đi bán Biết rằng bán một sản phẩm tốt được lời 50 ngàn đồng, và bán một sản phẩm xấu bị lỗ 15 ngàn đồng Tính lợi nhuận thu được trung bình và độ lệch chuẩn của lợi nhuận khi bán 4 sản phẩm trên

Giải

a) Gọi X là BNN chỉ số sản phẩm xấu có trong 4 sản phẩm lấy ra

Không gian mẫu gồm 36 điểm đồng khả năng

(a) Bảng phân phối xác suất của X:

D( ) 1, 40408

X  X 

 Im(Y) = 0,1,2

Trong không gian mẫu, có 25 cặp không chứa mặt 1 nào; có 10 cặp chỉ chứa 1 mặt 1

và chỉ có 1 cặp chứa 2 mặt 1 Bảng phân phối xác suất của Y:

P(X = yk) 25/36 10/36 1/36 Với cách tính như trên, kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của Y lần lượt là:

(b) Luật phân phối xác suất của VTNN (X,Y):

Miền giá trị của (X,Y) là Im(X)  Im(Y) Xác suất:

Giải Nếu X là biến ngẫu nhiên chỉ số tiền có được sau mỗi lần tham gia trò chơi thì X có

miền giá trị  2300; 5000 và phân phối xác suất của X là:

P (X =  2300) = 7/10 và P (X = 5000) = 3/10

Kỳ vọng của X:

E(X) =  2300  7/10 + 5000  3/10 =  110

Vậy, nếu tham gia chơi nhiều lần, trung bình, mỗi lần chơi, người tham gia trò chơi

mất 110đ Do đó, không nên tham gia trò chơi này nhiều lần

Ví dụ 2.6.3.3.5 Một xạ thủ có 4 viên đạn Anh ta lần lượt bắn từng viên vào bia và sẽ ngừng bắn khi có một viên trúng bia; nếu không, anh ta sẽ bắn cho đến khi hết đạn Biết rằng xác suất bắn trúng bia ở mỗi lần bắn là 0,8 Đặt X biểu thị số đạn mà xạ thủ đã bắn Hãy tìm luật phân phối xác suất của X rồi tính kỳ vọng và phương sai của X

Mốt của đại lượng ngẫu nhiên X là giá trị tin chắc nhất của X, ký hiệu là modX

 Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì modX là giá trị x của X có xác suất i p lớn i nhất trong bảng phân phối xác suất

 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì modX là giá trị x của X ứng với điểm cực i đại của hàm mật độ xác suất

Trong thực tế có thể có một số biến ngẫu nhiên không có mốt hay có nhiều giá trị mốt

2.6.4.2 Các ví dụ

Ví dụ 2.6.4.2.1 Trong gia đình có 2 người con Gọi X là số con trai

X 0 1 2

P ¼ ½ ¼