Đang tải... (xem toàn văn)
Trần Đức Dũng Trang 3 Mở đầuPhương trình Diophantine là một dạng phương trình đại số tuyếntính hoặc phi tuyến tính mà mục tiêu là tìm các số nguyên làm chophương trình đó thoả mãn.. Đư
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VŨ TRUNG HIẾU Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Đức Dũng THÁI NGUYÊN - 2024 Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Lý thuyết chia hết 6 1.1.1 Quan hệ chia hết 6 1.1.2 Số nguyên tố và hợp số 7 1.1.3 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất 8 1.2 Lý thuyết đồng dư 10 1.2.1 Định nghĩa đồng dư thức 11 1.2.2 Một số tính chất của đồng dư thức 11 1.3 Phương trình Diophantine và số nguyên tố Mersenne 13 1.3.1 Phương trình Diophantine 13 1.3.2 Số nguyên tố Mersenne 16 2 Về phương trình Diophantine dạng M xp + (Mq ± 1)y = z2 19 2.1 Phương trình Diophantine dạng M xp + (Mq + 1)y = z2 19 2.2 Phương trình Diophantine dạng M xp + (Mp − 1)y = z2 24 2.3 Phương trình Diophantine dạng (Mpq)x + (Mpq + 1)y = z2 29 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 33 1 Mở đầu Phương trình Diophantine là một dạng phương trình đại số tuyến tính hoặc phi tuyến tính mà mục tiêu là tìm các số nguyên làm cho phương trình đó thoả mãn Phương trình này được đặt tên theo nhà toán học Diophantus, một nhà toán học Hy Lạp sống vào thế kỷ thứ 3 và thứ 4 Được biết đến nhiều nhất qua tác phẩm "Arithmetica", Diophantus tập trung nghiên cứu về việc giải các bài toán liên quan đến các số nguyên Một phương trình Diophantine có dạng chung như sau: P (x1, x2, , xn) = 0 ở đây, x1, x2, , xn là các biến và P là đa thức nhiều biến với hệ số nguyên Mục tiêu là tìm tất cả các bộ số nguyên (x1, x2, , xn) là nghiệm cho phương trình trên Phương trình Diophantine thường xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học máy tính, như trong lý thuyết số, mã hóa, và lý thuyết đồ thị Việc giải phương trình Diophantine có thể đặt ra những thách thức toán học đáng kể và đôi khi không có lời giải tổng quát cho mọi trường hợp Phương trình Diophantine thường đặt ra những thách thức toán học do tính chất đặc biệt của các số nguyên Mặc dù có những trường hợp dễ dàng giải được, nhưng tổng quát hóa quy trình giải phương trình Diophantine là một vấn đề phức tạp và thường đòi hỏi sự sáng tạo trong việc áp dụng các phương pháp đại số và số học Một số phương trình Diophantine nổi tiếng bao gồm: 2 Phương trình Diophantine tuyến tính: a1x1 + a2x2 + + anxn = b, với bộ hệ số (a1; a2; ; an; b) là các số nguyên Phương trình Pell: x2 ± Dy2 = 1 với D không phải là số chính phương và x, y là những số nguyên Phương trình Fermat: xn + yn = zn, với x, y là những số nguyên và n là số tự nhiên, phương trình này được đặt ra bởi Pierre de Fermat và tạo nên một trong những bài toán nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học Phương trình Thue - Mahler: F (x, y) = pz11 pkzk trong đó F là đa thức thuần nhất với hệ số nguyên và p1, , pk là các số nguyên tố cố định (ẩn là x, y, z1, , zk và có giá trị nguyên với zi ≥ 0) Phương trình Ramanujan - Nagell tổng quát: x2 + D = pn, trong đó D là số nguyên cố định, p là số nguyên tố cố định, ẩn là x, n là số nguyên dương Các nghiên cứu về phương trình Diophantine không chỉ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của số nguyên mà còn có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ lý thuyết số đến lý thuyết đồ thị và máy tính Việc tìm hiểu về nghiệm phương trình Diophantine cũng thường liên quan đến sự phát triển của các phương pháp toán học mới và nâng cao kiến thức về tính toán Trong suốt chiều dài lịch sử, phương trình Diophantine cũng có sự đóng góp của nhiều nhà toán học lớn như: Euclid, Euler, Lagrange, Gauss, Một dạng phương trình Diophantine được rất nhiều các nhà toán học quan tâm có dạng ax + by = z2, trong số đó có các phương trình liên quan đến số nguyên tố Mersenne Các phương trình chủ yếu được nghiên cứu là a hoặc b là số nguyên tố Mersenne, trong đó nổi bật là các trường hợp xét M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31 (ba số nguyên tố Mersenne đầu tiên) Chẳng hạn với M2 = 3, B Sroyang ([10]) chứng minh được nghiệm của phương trình 2x + 3y = z2 là (0, 1, 2), (3, 0, 3) và (4, 2, 5) Asthana và 3 Singh ([2]) chứng minh được nghiệm của phương trình 3x + 13y = z2 chỉ có 4 bộ nghiệm không âm là (1, 0, 2), (1, 1, 4), (3, 2, 14) và (5, 1, 6) Rabago ([9]) chứng minh bộ ba (4, 1, 10), (1, 0, 2) là các nghiệm duy nhất của phương trình 3x + 19y = z2 và bộ ba (2, 1, 10), (1, 0, 2) là các nghiệm duy nhất của phương trình 3x + 91y = z2 Luận văn nghiên cứu về ba phương trình Diophantine Phương trình thứ nhất có dạng Mpx + (Mq + 1)y = z2, trong đó Mp, Mq là các số nguyên tố Mersenne và x, y là số nguyên không âm Phương trình thứ hai có dạng Mpx + (Mp − 1)y = z2, trong đó Mp là các số nguyên tố Mersenne và x, y là số nguyên không âm Phương trình thứ ba có dạng (Mpq)x + (Mpq + 1)y = z2, trong đó x, y, z, p, q là số nguyên không âm và Mpq = pq − 1 với q > 1, loại trừ trường hợp khi cả p và y đều là số nguyên dương lẻ Luận văn dự kiến chia thành 2 chương, gồm những nội dung sau: Chương 1, luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết chia hết, đồng dư, phương trình Diophantine Chương 2, luận văn trình bày phương trình Diophantine dạng M xp + (Mq ± 1)y = z2 và (Mpq)x + (Mpq + 1)y = z2, trong đó Mp, Mq là các số nguyên tố Mersenne và x, y là số nguyên không âm và mở rộng về phương trình dạng (Mpq)x + (Mpq + 1)y = z2, trong đó x, y, z, p, q là số nguyên không âm và Mpq = pq − 1 với q > 1, loại trừ trường hợp khi cả p và y 4 đều là số nguyên dương lẻ Nội dung chính của chương được tham khảo chủ yếu từ tài liệu ([5]), ([6]), ([7]) 5 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Trần Đức Dũng Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Thầy đã hướng dẫn hiệu quả và truyền cho em những kinh nghiệm nghiên cứu trong quá trình em học tập và hoàn thiện luận văn này Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình em học tập ở trường Tác giả Vũ Trung Hiếu 6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản phục vụ cho việc nghiên cứu ở chương sau, đó là các khái niệm và tính chất của lý thuyết chia hết, lý thuyết đồng dư 1.1 Lý thuyết chia hết 1.1.1 Quan hệ chia hết Định nghĩa 1.1.1 Cho hai số nguyên a, b ∈ Z, b̸ = 0 Số nguyên a gọi là chia hết cho số nguyên b hay b chia hết a nếu tồn tại q ∈ Z thỏa mãn a = b.q Ký hiệu: a chia hết cho b là a b; b chia hết a là b | a Khi a = b.q thì b được gọi là một ước của a Sau đây ta có tính chất cơ bản về quan hệ chia hết 1 Số nguyên a là ước của 1 (ước của đơn vị) khi và chỉ khi a = 1 hoặc a = −1 2 a | a, ∀a ∈ Z, a̸ = 0 3 Nếu a | b và b | c thì a | c, ∀a, b, c ∈ Z, b̸ = 0 n 5 Nếu a | bi với a, bi ∈ Z, i = 1, , n thì a | bixi; xi ∈ Z i=1 7 6 Nếu a | b và b | a thì a = b hoặc a = −b với a, b ∈ Z, a, b̸ = 0 Định lý 1.1.2 (Phép chia có dư) Với mỗi cặp số nguyên a, b ∈ Z, b̸ = 0, tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q, r ∈ Z sao cho a = bq + r và 0 ≤ r < | b | 1.1.2 Số nguyên tố và hợp số Định nghĩa 1.1.3 Số tự nhiên p > 1 chỉ có hai ước tự nhiên là một và chính nó được gọi là số nguyên tố Số tự nhiên q > 1 có ước số dương khác một và chính nó được gọi là một hợp số Ví dụ: Các số 2, 11, 37, 41, là số nguyên tố Số 4, 6, 10, 100, là hợp số Định lý 1.1.4 Mỗi số nguyên dương lớn hơn một đều có ước nguyên tố Chứng minh Giả sử a là một số tự nhiên lớn hơn 1 và p > 1 là ước nhỏ nhất của a Ta có p là số nguyên tố Thật vậy, nếu p không là số nguyên tố thì vì p > 1, nên p phải là hợp số, nghĩa là có một số tự nhiên p1 là ước của p và 1 < p1 < p Từ đó ta có p1 là ước của a, mà 1 < p1 < p mâu thuẫn với giả thiết p là ước nhỏ nhất lớn hơn 1 của a □ Định lý 1.1.5 (Định lý Euclid) Tồn tại vô hạn số nguyên tố Chứng minh Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p1 = 2, p2, , pn Ta thấy rằng số tự nhiên a = p1p2 pn + 1 > 1 nên a có ước nguyên tố, ước đó phải là một số nguyên tố pi nào đó (1 ≤ i ≤ n) Khi ấy pi là ước của a và là ước của p1.p2 pn nên pi là ước của a − p1 pn hay pi là ước của 1 Điều này là vô lý Suy ra có vô số số nguyên tố □ Trong sự phân tích số a > 1 thành tích những thừa số nguyên tố có thể xảy ra nhiều thừa số lặp lại Gọi p1, p2, , pk là các thừa số nguyên 8 tố đôi môt khác nhau của a và αi (1 ≤ i ≤ k) là số các nhân tử cùng là pi trong sự phân tích a thành thừa số nguyên tố, ta có a = p1α1p2α2 pkαk Sự phân tích như vậy gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của a Định lý 1.1.6 (Định lý cơ bản của số học) Cho n > 1 là số nguyên dương Khi đó n luôn có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng n = p1α1p2α2 pkαk, trong đó αi, k (i = 1, , k) là các số tự nhiên và pi là các số nguyên tố thỏa mãn 1 < p1 < < pk 1.1.3 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất Cho a, b là các số nguyên không đồng thời bằng không, khi đó tập hợp các ước chung của a và b là hữu hạn Định nghĩa 1.1.7 Ước chung lớn nhất của a, b là số nguyên lớn nhất trong tập các ước chung của a, b Ký hiệu (a, b) là ước chung lớn nhất của a và b Định nghĩa 1.1.8 a) Các số nguyên a1, , an được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu (a1, a2, , an) = 1 Ví dụ: 6, 7, 12 là nguyên tố cùng nhau vì (6, 7, 12) = 1 b) Các số nguyên a1, a2, , an được gọi là nguyên tố sánh đôi hay đôi một nguyên tố cùng nhau nếu hai số bất kỳ trong chúng nguyên tố cùng nhau Ví dụ: Các số 2, 3, 31 là nguyên tố sánh đôi Định lý 1.1.9 Luôn tồn tại ước chung lớn nhất của các số nguyên a1, a2, , an cho trước