Nghiên cứu chế tạo và phân tích đặc trung vật liệu nano au định hướng ứng dụng trong chẩn đoán hình ct

Trần Đức Dũng Trang 3 Mở đầuPhương trình Diophantine là một dạng phương trình đại số tuyếntính hoặc phi tuyến tính mà mục tiêu là tìm các số nguyên làm chophương trình đó thoả mãn.. Đư

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

VŨ TRUNG HIẾU

Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Trần Đức Dũng

THÁI NGUYÊN - 2024

Mở đầu 1

1.1 Lý thuyết chia hết 6

1.1.1 Quan hệ chia hết 6

1.1.2 Số nguyên tố và hợp số 7

1.1.3 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất 8

1.2 Lý thuyết đồng dư 10

1.2.1 Định nghĩa đồng dư thức 11

1.2.2 Một số tính chất của đồng dư thức 11

1.3 Phương trình Diophantine và số nguyên tố Mersenne 13

1.3.1 Phương trình Diophantine 13

1.3.2 Số nguyên tố Mersenne 16

2 Về phương trình Diophantine dạng M p x + (M q± 1)y = z2 19 2.1 Phương trình Diophantine dạng M p x + (M q + 1)y = z2 19

2.2 Phương trình Diophantine dạng M p x + (M p− 1)y = z2 24

2.3 Phương trình Diophantine dạng (M pq)x + (M pq + 1)y = z2 29

Mở đầu

Phương trình Diophantine là một dạng phương trình đại số tuyếntính hoặc phi tuyến tính mà mục tiêu là tìm các số nguyên làm chophương trình đó thoả mãn Phương trình này được đặt tên theo nhà toánhọc Diophantus, một nhà toán học Hy Lạp sống vào thế kỷ thứ 3 và thứ

4 Được biết đến nhiều nhất qua tác phẩm "Arithmetica", Diophantustập trung nghiên cứu về việc giải các bài toán liên quan đến các sốnguyên

Một phương trình Diophantine có dạng chung như sau:

P (x1, x2, , x n) = 0

ở đây, x1, x2, , x n là các biến và P là đa thức nhiều biến với hệ số nguyên Mục tiêu là tìm tất cả các bộ số nguyên (x1, x2, , x n) là nghiệm chophương trình trên Phương trình Diophantine thường xuất hiện trongnhiều lĩnh vực của toán học và khoa học máy tính, như trong lý thuyết

số, mã hóa, và lý thuyết đồ thị Việc giải phương trình Diophantine cóthể đặt ra những thách thức toán học đáng kể và đôi khi không có lờigiải tổng quát cho mọi trường hợp

Phương trình Diophantine thường đặt ra những thách thức toánhọc do tính chất đặc biệt của các số nguyên Mặc dù có những trườnghợp dễ dàng giải được, nhưng tổng quát hóa quy trình giải phương trìnhDiophantine là một vấn đề phức tạp và thường đòi hỏi sự sáng tạo trongviệc áp dụng các phương pháp đại số và số học

Một số phương trình Diophantine nổi tiếng bao gồm:

Phương trình Diophantine tuyến tính: a1x1+ a2x2+ + a n x n = b, với bộ hệ số (a1; a2; ; a n ; b) là các số nguyên.

Phương trình Pell: x2 ± Dy2 = 1 với D không phải là số chính phương và x, y là những số nguyên.

Phương trình Fermat: x n + y n = z n , với x, y là những số nguyên

và n là số tự nhiên, phương trình này được đặt ra bởi Pierre de Fermat

và tạo nên một trong những bài toán nổi tiếng nhất trong lịch sử toánhọc

Phương trình Thue - Mahler: F (x, y) = p z1

1 p z k

k trong đó F là đa thức thuần nhất với hệ số nguyên và p1, , p k là các số nguyên tố cố

định (ẩn là x, y, z1, , z k và có giá trị nguyên với z i ≥ 0)

Phương trình Ramanujan - Nagell tổng quát: x2 + D = p n, trong

đó D là số nguyên cố định, p là số nguyên tố cố định, ẩn là x, n là số

nguyên dương

Các nghiên cứu về phương trình Diophantine không chỉ giúp chúng

ta hiểu rõ hơn về tính chất của số nguyên mà còn có ứng dụng trongnhiều lĩnh vực khác nhau, từ lý thuyết số đến lý thuyết đồ thị và máytính Việc tìm hiểu về nghiệm phương trình Diophantine cũng thườngliên quan đến sự phát triển của các phương pháp toán học mới và nângcao kiến thức về tính toán Trong suốt chiều dài lịch sử, phương trìnhDiophantine cũng có sự đóng góp của nhiều nhà toán học lớn như: Euclid,Euler, Lagrange, Gauss,

Một dạng phương trình Diophantine được rất nhiều các nhà toán

học quan tâm có dạng a x + b y = z2, trong số đó có các phương trình liênquan đến số nguyên tố Mersenne Các phương trình chủ yếu được nghiên

cứu là a hoặc b là số nguyên tố Mersenne, trong đó nổi bật là các trường hợp xét M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31 (ba số nguyên tố Mersenne đầu tiên)

Chẳng hạn với M2 = 3, B Sroyang ([10]) chứng minh được nghiệm củaphương trình 2x + 3y = z2 là (0, 1, 2), (3, 0, 3) và (4, 2, 5) Asthana và

Singh ([2]) chứng minh được nghiệm của phương trình 3x + 13y = z2chỉ có 4 bộ nghiệm không âm là (1, 0, 2), (1, 1, 4), (3, 2, 14) và (5, 1, 6) Rabago ([9]) chứng minh bộ ba (4, 1, 10), (1, 0, 2) là các nghiệm duy

nhất của phương trình 3x + 19y = z2 và bộ ba (2, 1, 10), (1, 0, 2) là các

nghiệm duy nhất của phương trình 3x+ 91y = z2

Luận văn nghiên cứu về ba phương trình Diophantine Phươngtrình thứ nhất có dạng

Chương 2, luận văn trình bày phương trình Diophantine dạng M p x+

đều là số nguyên dương lẻ Nội dung chính của chương được tham khảochủ yếu từ tài liệu ([5]), ([6]), ([7]).

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đạihọc Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Trần Đức Dũng

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Thầy đã hướng dẫn hiệu quả

và truyền cho em những kinh nghiệm nghiên cứu trong quá trình em họctập và hoàn thiện luận văn này

Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy vàtạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình em học tập ở trường

-Tác giả

Vũ Trung Hiếu

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản phục

vụ cho việc nghiên cứu ở chương sau, đó là các khái niệm và tính chấtcủa lý thuyết chia hết, lý thuyết đồng dư

1.1 Lý thuyết chia hết

1.1.1 Quan hệ chia hết

Định nghĩa 1.1.1 Cho hai số nguyên a, b ∈ Z, b ̸= 0 Số nguyên a gọi

là chia hết cho số nguyên b hay b chia hết a nếu tồn tại q ∈ Z thỏa mãn

a = b.q.

Ký hiệu: a chia hết cho b là a b; b chia hết a là b | a.

Khi a = b.q thì b được gọi là một ước của a.

Sau đây ta có tính chất cơ bản về quan hệ chia hết

1 Số nguyên a là ước của 1 (ước của đơn vị) khi và chỉ khi a = 1 hoặc

6 Nếu a | b và b | a thì a = b hoặc a = −b với a, b ∈ Z, a, b ̸= 0.

Định lý 1.1.2 (Phép chia có dư)

Với mỗi cặp số nguyên a, b ∈ Z, b ̸= 0, tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q, r ∈ Z sao cho a = bq + r và 0 ≤ r < | b |.

1.1.2 Số nguyên tố và hợp số

Định nghĩa 1.1.3 Số tự nhiên p > 1 chỉ có hai ước tự nhiên là một và

chính nó được gọi là số nguyên tố Số tự nhiên q > 1 có ước số dương khác một và chính nó được gọi là một hợp số.

Ví dụ: Các số 2, 11, 37, 41, là số nguyên tố Số 4, 6, 10, 100, là hợp

số

Định lý 1.1.4 Mỗi số nguyên dương lớn hơn một đều có ước nguyên

tố.

Chứng minh Giả sử a là một số tự nhiên lớn hơn 1 và p > 1 là ước nhỏ

nhất của a Ta có p là số nguyên tố Thật vậy, nếu p không là số nguyên

tố thì vì p > 1, nên p phải là hợp số, nghĩa là có một số tự nhiên p1 là

ước của p và 1 < p1 < p Từ đó ta có p1 là ước của a, mà 1 < p1 < p

mâu thuẫn với giả thiết p là ước nhỏ nhất lớn hơn 1 của a. □

Định lý 1.1.5 (Định lý Euclid) Tồn tại vô hạn số nguyên tố.

Chứng minh Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p1 = 2, p2, , p n Ta

thấy rằng số tự nhiên a = p1p2 p n + 1 > 1 nên a có ước nguyên tố, ước

đó phải là một số nguyên tố p i nào đó (1 ≤ i ≤ n) Khi ấy p i là ước của

a và là ước của p1.p2 p n nên p i là ước của a − p1 p n hay p i là ước của

Trong sự phân tích số a > 1 thành tích những thừa số nguyên tố

có thể xảy ra nhiều thừa số lặp lại Gọi p1, p2, , p k là các thừa số nguyên

tố đôi môt khác nhau của a và α i (1 ≤ i ≤ k) là số các nhân tử cùng là

p i trong sự phân tích a thành thừa số nguyên tố, ta có

số tự nhiên và p i là các số nguyên tố thỏa mãn 1 < p1 < < p k

1.1.3 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất

Cho a, b là các số nguyên không đồng thời bằng không, khi đó tập hợp các ước chung của a và b là hữu hạn.

Định nghĩa 1.1.7 Ước chung lớn nhất của a, b là số nguyên lớn nhất

trong tập các ước chung của a, b.

Ký hiệu (a, b) là ước chung lớn nhất của a và b.

Ví dụ: Các số 2, 3, 31 là nguyên tố sánh đôi.

Định lý 1.1.9 Luôn tồn tại ước chung lớn nhất của các số nguyên

a1, a2, , a n cho trước.

Định lý 1.1.10.

a) Nếu d = (a1, a2, , a n ) thì tồn tại các số nguyên u1, u2, , u n sao cho

d = a1u1 + a2u2 + + a n u n b) Điều kiện cần và đủ để a1, a2, , a n nguyên tố cùng nhau là tồn tại các

số nguyên u1, u2, , u n sao cho

Định lý 1.1.12 (Thuật toán Euclid)

Cho a, b ∈ Z, b > 0 Thực hiện liên tiếp phép chia có dư, ta có:

a = bq0 + r1 với 0 < r1 < b

b = r1q1 + r2 với 0 < r2 < r1

r1 = r2q2 + r3 với 0 < r3 < r2

r n−2 = r n−1 q n−1 + r n với 0 < r n < r n−1

r n−1 = r n q n với q n > 1 Khi đó (a, b) = r n

d , ,

a n

d ) = 1.

d) Nếu b | ac và (a, b) = 1 thì b | c.

e) Nếu (a, b) = 1 thì (ac, b) = (c, b), với mọi c ∈ Z.

f) Nếu (a, b) = (a, c) = 1 thì (a, bc) = 1.

Định nghĩa 1.1.14 Cho các số a1, , a n ∈ Z \ {0} Số nguyên m được gọi là bội chung nhỏ nhất của a1, , a n nếu m chia hết cho tất cả các

số a i với i = 1, 2, , n và m là ước của mọi bội chung của a1, , a n Ký

hiệu [a1, , a n]

Định lý 1.1.15 Luôn tồn tại bội chung nhỏ nhất của các số nguyên

khác không a1, , a n cho trước.

1.2 Lý thuyết đồng dư

Đồng dư là một phương pháp có tính chất bổ trợ về mặt kĩ thuật

để giải quyết vấn đề chia hết trong vành số nguyên Với phương phápđồng dư, ta sẽ nghiên cứu quan hệ chia hết giữa các số nguyên về phươngdiện số dư trong phép chia chúng cho một số tự nhiên

1.2.1 Định nghĩa đồng dư thức

Định nghĩa 1.2.1 Cho số nguyên dương m Hai số nguyên a, b được

gọi là đồng dư với nhau theo môđun m nếu hiệu a − b chia hết cho m Nếu a đồng dư với b theo môđun m thì ta viết a ≡ b ( mod m) và gọi đó

2 Nếu a ≡ b + c (mod m) thì a − c ≡ b (mod m).

3 Nếu a ≡ b (mod m) thì a + km ≡ b (mod m).

Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên tùy ý thì a p ≡ p ( mod

p) Nếu (a, p) = 1 thì a p−1 ≡ 1 (mod p).

Định lý 1.2.4 Nếu m là số nguyên dương và (a, m) = 1 thì a φ(m) ≡

1 (mod m) (ở đây φ(m) là các số nguyên dương nhỏ hơn m và nguyên

tố cùng nhau với m).

Định lý 1.2.5 Giả sử r và s là các số nguyên dương và nguyên tố cùng

nhau, a và b là hai số nguyên tùy ý Khi đó tồn tại một số nguyên n sao cho n ≡ a (mod r) và n ≡ b (mod s) Ngoài ra, n được xác định một cách duy nhất.

Định nghĩa 1.2.6 Cho số nguyên tố p Một số nguyên a được gọi

là thặng dư bậc hai môđun p nếu tồn tại số nguyên x sao cho x2 ≡

a (mod p) Ngược lại, q được gọi là bất thặng dư bậc hai môđun p.

Ví dụ 1.2.7 Để xác định các số nguyên là thặng dư bậc hai của 13, ta

tính bình phương của các số nguyên 1, 2, , 12.

Bổ đề 1.2.8 Cho p là số nguyên tố lẻ và a là số nguyên tố cùng nhau

với p Khi đó, đồng dư thức x2 ≡ a ( mod p) hoặc không có nghiệm, hoặc

có đúng hai nghiệm không đồng dư theo môđun p.

Bổ đề trên dẫn ta đến định lý sau

Định lý 1.2.9 Nếu p là một số nguyên tố lẻ thì có đúng p − 1

2 thặng

dư bậc hai của p và p − 1

2 bất thặng dư bậc hai của p trong tập S =

{1, 2, , p − 1}.

1.3 Phương trình Diophantine và số nguyên tố

Mersenne

1.3.1 Phương trình Diophantine

Phương trình Diophantine được nghiên cứu từ thế kỉ 3 và là mộttrong những chủ đề sâu sắc của Lý thuyết số Trong phần này, ta sẽ đềcập đến khái niệm và một số kết quả của phương trình Diophantine

Định nghĩa 1.3.1 Phương trình Diophantine là phương trình có dạng

f (x1, , x n) = 0 (∗)

với f là một hàm n biến x1, , x n và n ≥ 2 Trong trường hợp f là một

đa thức với hệ số nguyên thì ta nói phương trình (∗) là một phương

trình Diophantine đại số Bộ số (x01, , x0n) ∈ Zn thỏa mãn (∗) được gọi

là nghiệm của phương trình (∗)

Ví dụ 1.3.2 Phương trình 2x5 + 9x + 2024 = 0 là phương trình

Dio-phantine một ẩn

Định nghĩa 1.3.3 Phương trình Diophantine tuyến tính là phương

trình có dạng

trong đó a, b, c là các số nguyên; a2 + b2 ̸= 0 Giải phương trình

Dio-phantine (1.1) tức là tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn (1.1).

Định lý 1.3.4 Giả sử a, b là các số nguyên, d là ước chung lớn nhất

của a và b.

i) Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.1) có nghiệm nguyên là d là ước của c.

ii) Nếu c d thì phương trình có vô số nghiệm Hơn nữa, nếu x = x0, y =

y0 là một nghiệm nào đó của phương trình thì mọi nghiệm của phương trình có dạng

Điều kiện đủ Giả sử d = (a, b) và d|c Ta có a = da1, b = db1, c = dc1

trong đó (a1, b1) = 1 Phương trình (1.1) tương đương với a1x + b1y = c1

Xét a1 số {b1k} với k = 0, 1, 2, , a1 − 1 Vì (a1, b1) = 1 nên các số này

khi chia cho a1 sẽ cho ta các số dư khác nhau Vậy tại k0, 0 ≤ k0 ≤ a1− 1

sao cho b1k0 = c1(mod a1) Điều này có nghĩa là

trong đó a1, a2, , a n và c là các số nguyên cho trước, n ≥ 2.

Đối với bất kỳ bất kỳ phương trình nào, câu hỏi đầu tiên là, trongnhững tình huống nào của hệ số, ta có thể khẳng định về tính tồn tạinghiệm của nó Về sự tồn tại nghiệm của phương trình Diophantine bậc

nhất n ẩn này ta có định lý sau.

Định lý 1.3.5 Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.4) có nghiệm là

(a1, a2, , a n )|c.

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên Ta sẽ chứng minh điều kiện

đủ bằng phương pháp quy nạp Với n = 2 điều khẳng định là đúng do định lý 1.3.4 Giả sử định lý đúng với n − 1, ta chứng minh nó đúng với

n Ký hiệu

b i = a i

d , c1 =

c d

ở đó d = (a1, a2, , a n) Phương trình (1.4) tương đương với

b1x1 + b2x2 + + b n x n = c1 (1.5)

trong đó (b1, b2, , b n ) = 1 Đặt b = (b1, b2, , b n−1 ) Ta có (b, b n) = 1

Theo định lý 1.3.4 tồn tại số nguyên l n và k sao cho:

Một số kết quả sau đây về phương trình Diophantine được sử dụngtrong chương sau.

Định lý 1.3.6 (Định lý Mihailescu) ([8])

Bộ bốn số (3, 2, 2, 3) là nghiệm duy nhất của phương trình Diophantine

a x − b y = 1, trong đó a, b, x và y là các số nguyên với min{a, b, x, y} > 1.

Bổ đề 1.3.7 ([4]) Phương trình 4 x+ 3y = z2 chỉ có hai nghiệm nguyên không âm (x, y, z) là (0, 1, 2) và (2, 2, 5).

Bổ đề 1.3.8 ([1]) Phương trình 2 x + 1 = z2 chỉ có duy nhất nghiệm nguyên không âm (x, z) là (3, 3).

Hiện nay, bằng sự trợ giúp của các công cụ máy tính hiện đại, đã

có đến 51 số nguyên tố Mersenne được tìm ra

Bổ đề 1.3.11 Tất cả các số nguyên tố Mersenne đều đồng dư với 3

theo môđun 4.

Chứng minh Vì một số nguyên tố Mersenne có dạng 2 p −1, suy ra p ≥ 2.

Do đó, 2p ≡ 0 (mod 4) Suy ra 2p− 1 ≡ −1 (mod 4) hoặc 3 (mod 4) □

Bổ đề 1.3.12 Với tất cả các số nguyên tố Mersenne M > 3, đồng dư

M ≡ 7 (mod 8) luôn đúng.

Chứng minh Từ M > 3, ta có 2 p − 1 > 3 Từ đó suy ra p > 2 và do đó,

2p ≡ 0 (mod 8) Kết quả này dẫn đến M = 2 p − 1 ≡ −1 (mod 8) tương

Định lý 1.3.13 Nếu n > 1 là số tự nhiên thì M n không thể là lũy thừa bậc m của một số tự nhiên với m là số tự nhiên lớn hơn 1.

Chứng minh Giả sử rằng 2 n − 1 = k m với k và m > 1 là các số tự nhiên Vì n > 1 nên k lẻ Nếu m chẵn thì k m có dạng 8t + 1 suy ra

k m + 1 = 2(4t + 1) Nhưng vì n > 1, k m + 1 = 2n chia hết cho 4 suy ra

mâu thuẫn Vậy m lẻ và 2 n = k m + 1 = (k + 1)(k m−1 − k m−2 + − k + 1),

nhân tử thứ hai là tổng của lẻ hạng tử lẻ nên nó là số lẻ, mà nó lại làước của 2n nên phải bằng 1 Do đó 2n = k + 1 và m = 1, mâu thuẫn.

Định nghĩa 1.3.16 Cho p là một số nguyên tố lẻ và (a, p) = 1 Nếu

phương trình đồng dư bậc hai z2 ≡ a ( mod p) có một nghiệm, thì a được gọi là một thặng dư bậc hai của p Ngược lại, a được gọi là một số không phải là thặng dư bậc hai của p.

Bổ đề 1.3.17 (Tiêu chuẩn của Euler)

Cho p là một số nguyên tố lẻ và (a, p) = 1 Khi đó, a là một thặng dư bậc hai của p nếu và chỉ nếu a p−12 ≡ 1 (mod p).