Chuyên đề bài tập thủy tĩnh học và thủy động lực học

Trang 2 MỞ ĐẦUTrong chương trình Vật lý phổ thông nói chung và chương trình vật lý dành cho các lớp chuyên nói riêng thì các bài toán về cơ học chất lưu chiếm dung lượng thời gian và kiế

MÔN VẬT LÍ TÊN CHUYÊN ĐỀ: BÀI TẬP THỦY TĨNH HỌC VÀ THỦY ĐỘNG LỰC HỌC Trang1 MỞ ĐẦU Trong chương trình Vật lý phổ thông nói chung và chương trình vật lý dành cho các lớp chuyên nói riêng thì các bài toán về cơ học chất lưu chiếm dung lượng thời gian và kiến thức khá khiêm tốn so với các nội dung khác Một phần do cấu trúc chương trình chỉ giới hạn kiến thức ở một mức độ khá cơ bản, trong khi đây là một nội dung cũng tương đối phức tạp nếu nghiên cứu sâu Bên cạnh đó, hiện nay nội dung về Cơ học chất lưu đã được giảm tải theo chương trình của chung, do đó việc đầu tư đi sâu vào mảng kiến thức này càng hạn chế Tuy nhiên, với yêu cầu của công tác đào tạo học sinh chuyên Vật lý thì đây vẫn là mảng kiến thức rất cần được quan tâm, phát triển cho học sinh Để nghiên cứu sâu về cơ học chất lưu đòi hỏi khá nhiều về việc chuẩn bị kiến thức nền của Vật lý và đặc biệt là các công cụ toán học ở mức độ cao, vượt xa chương trình của phổ thông Các kiến thức được cung cấp trong các tài liệu giáo khoa, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi từ trước tới nay về cơ học chất lưu khá hạn chế, nhất là hệ thống các bài tập Trong tình hình đó, để đáp ứng nhu cầu công tác giảng dạy học sinh chuyên và bồi dưỡng đội tuyển HSGQG môn vật lý, chúng tôi mong muốn xây dựng được một hệ thống các bài tập về cơ học chất lưu phục vụ cho đối tượng học sinh chuyên và đội tuyển thi học sinh giỏi quốc gia môn Vật lí Bài tập về cơ học chất lưu cho học sinh phổ thông cũng bao gồm nhiều nhóm, tương ứng với các vùng kiến thức khác nhau Do điều kiện nên hiện tại chúng tôi chưa xây dựng được hệ thống đầy đủ các bài tập cho các nhóm kiến thức, trong chuyên đề này chúng tôi mới chỉ giới thiệu được một số bài tập cơ bản về tĩnh học và thủy động lực học chất lưu, cụ thể là xét đối với chất lỏng Đây cũng là hai nhóm kiến thức chính trong các nội dung về cơ học chất lỏng Nội dung chính của chuyên đề bao gồm 2 phần: Phần 1.Thủy tĩnh học: Gồm các bài tậpvề trạng thái tĩnh (không chảy), trạng thái cân bằng tương đối của chất lỏng; áp suất tĩnh và áp lực của chất lỏng; Phần 2:Thủy động lực học: Gồm các bài toán về chuyển động của chất lỏng lý tưởng Áp lực của dòng chất lỏng; Áp dụng các định luật về năng lượng, động lượng cho dòng chất lỏng;… Trong mỗi phần gồm các bài tập có lời giải và các đề bài tự luyện tập (có hướng dẫn hoặc đáp số) Do chủ trương xây dựng đề bài tập nên chúng tôi chỉ liệt kê các công thức cần thiết mà không trình bày sâu về lý thuyết cũng như tóm tắt lý thuyết tương ứng Mặc dù chúng tôi đã rất cố gắng, nhưng cũng không tránh khỏi các sai sót trong chuyên đề Rất mong được sự góp ý đóng góp của các đồng nghiệp cho chúng tôi Chúng tôi cũng mong muốn được cùng các đồng nghiệp xây dựng một hệ thống các bài tập có chất lượng tốt và phù hợp và hơn nữa là tạo bộ chuyên đề đầy đủ cả lý thuyết và bài tậpvề cơ học chất lỏng nói riêng và cho toàn bộ nội dung cơ học chất lưu nói chung giúp cho các thầy cô giáo và học sinh chuyên Vật lí có nguồn tài liệu tham khảo phù hợp, đáp ứng công tác đào tạo và bồi dưỡng học sinh giỏi Trang2 NỘI DUNG Phần I THỦY TĨNH HỌC Một số khái niệm và công thức: - Áp suất tuyệt đối: Áp suất gây ra bởi trọng lượng của chất lỏng và áp lực bên ngoài lên chất lỏng - Áp suất dư: Áp suất gây bởi trọng lượng của chất lỏng - Công thức tính áp suất tại một điểm trong lòng chất lỏng ở trạng thái tĩnh: p = p0 + γh trong đó: p0 là sáp suất tại mặt thoáng (thường là áp suất khí quyển) γ: trọng lượng riêng của chất lỏng h: chiều sâu từ mặt thoáng đến điểm tính áp suất - Định luật Pascal: Độ tăng áp suất tác dụng lên một chất lỏng đựng trong bình kín được truyền nguyên vẹn đến mọi điểm trong lòng chất lỏng Bài I.1 Xác định độ chênh áp suất giữa hai tâm của hai bình cầu A và B trong hình vẽ Biết các bình chứa nước và được nối với nhau bởi ống nối nhỏ chữ U, đoạn giữa ống chứa dầu ngăn cách nước 2 bình Biết chênh lệch độ cao hai tâm bình là h = 20cm, cột nước trong bình A là 65cm (tính từ tâm đến mặt phân cách nước – dầu); mực nước trong 2 ống nhỏ chênh lệch nhau h’= 10cm Biết dầu có tỉ trọng δ = γd/γn = 0,9 Trọng lượng riêng của nước là γn = 9810 N/m3 Hướng dẫn C h’ Lấy mốc tính độ cao từ mặt ngang qua A ta có áp suất tại các điểm B và D là: D hC hD pB = pD + γn(hD – h) pD= pC + γd(hC– hD) B Mặt khác: h pA = pC + γnhC AA nên: pA – pB = pC + γnhC – pC–γd(hC– hD) –γn(hD – h) = γn(hC+ h – hD) –γD(hC– hD) hay: Δp = pA – pB = γnh +(γn – γD) (hC– hD) Thay số ta được: Δp = 2060 N/m2 Trang3 Bài II.2 Xác định trọng lượng riêng của chất lỏng X trong hệ thống như hình vẽ Bình A chứa nước, bình B chứa dầu Đoạn ống nối A và B có phần cong lên chứa chất lỏng X không bị hòa tan vào nước và dầu Biết độ chênh áp suất tại hai điểm A và B là pA – pB = 1Kpa Trọng lượng riêng của nước và dầu lần lượt là γ1 = 9,81.103 N/m3, γ2 = 1,5γ1 Hướng dẫn Chất lỏng X Theo đề ta có: PA – PB = 1 kPa 1 =9,81.103 N/m3  2 = 1,5γ1 = 9,81.1,5 103 = 14,715N/m3 Xét tại các vị trí phân cách các chất lỏng C, D như hình vẽ PC = PA + 1 0,1 (1) PD = PC +  x 0,15 (2) PD = PB +  2 0,2 (3) (2)  PD - PC =  x 0,15  PB +  2 0,2 - PA - 1 0,1 =  x 0,15  -1000 + 14,715.103.0,2 – 0,1.9,81.103 =  x 0,15   x = 6413 N/m3 Bài 3:Áp lực của chất lỏng lên mặt phẳng Một cánh cống ngăn cách nước chảy qua một con kênh có dạng hình chữ nhật kích thước H×b×d = 3,5×4×0,08 (m) Cánh cống có trọng lượng riêng γc = 11,8 kN/m3 được đặt thẳng đứng khớp với rãnh ở thành và đáy kênh, hệ số ma sát tại rãnh là µ = 0,5 Biết mực nước ở hai bên cánh cống là h1 = 3,0m và h2 = 1,2m Trọng lượng riêng của nước là γ = 9810 N/m3 1 Xác định tổng áp lực của nước lên cánh cống? 2 Tính lực nâng ban đầu để kéo cánh cống lên? B Hướng dẫn h1 N D A M h2 1 Cách 1:Tính trực tiếp Ta có áp suất của nước tại độ sâu h là: p = p0 + H C E Trang4 γh Xét phần cống tại vị trí ở độ sâu h so với mặt thoáng, có kích thước dh×b×d, với dh≪h1 Áp lực của nước lên phần tử cống này là dF(1) có hướng vuông góc với bề mặt cống, có độ lớn: dF = p.dS = (p0 + γh).(b.dh) Các lực dF này có hướng như nhau nên áp lực tổng cộng của nước tác dụng lên cánh cống từ mặt thoáng cho đến độ sâu h là: h h 12 F   dF  b( p0   h)dh   bh 2 0 0 Áp dụng cho nước từ 2 phía ta được: F1  1  bh12  1 9810.4.32  176, 6.103 N , F1 hướng từ trái sang phải (theo hình 2 2 vẽ) F2  1  bh22  1 9810.4.1, 22  28,3.103 N , F2 hướng từ phải sang trái và ngược 2 2 hướng F1 Vậy áp lực tổng cộng của nước từ cả hai phía tác dụng lên cánh cống là: F = F1 – F2 = 148,3.103 N F hướng từ trái qua phải, cùng hướng F1 Cách 2: Dùng giản đồ lực Do áp suất tăng theo độ sâu nên áp lực tác dụng lên cánh cống cũng thay đổi theo Tuy nhiên sự phụ thuộc này là bậc nhất nên có thể xác định áp lực F bằng cách dựng giản đồ áp lực lên cánh cống từ cả hai phía theo một tỉ xích nào đó - Biểu đồ lực từ phía trái được biểu diễn bởi tam giác ABC, còn từ phía phỉa bởi tam giác CDE Biểu đồ tổng áp lực bằng hiệu của hai tam giác ABC và CDE và bằng hình thang MNBC Cạnh AC biểu diễn áp lực tại sát đáy từ bên trái và bằng γh1 Cạnh CE biểu diễn áp lực tại sát đáy từ bên phải và bằng γh2 Số đo diện tích các hình cho biết áp lực tác dụng và chú ý bề rộng của cánh cống là b ta có: F1  b.S ABC  1  h12.b  176, 6kN , 2 F1 hướng vuông góc với cánh cống từ bên trái và qua trọng tâm tam giác ABC F2  b.S CDE  1  h22.b  28,3kN 2 F2 hướng vuông góc với cánh cống từ bên phải và qua trọng tâm tam giác CDE Tổng áp lực từ cả hai phía là: F  b.SMNBC  b h1  h2 ( h1   h2 )  1  b(h12  h22 )  148,3kN 2 2 F có hướng của F1 và đi qua trọng trọng tâm của hình thang MNBC (1)Trong chuyên đề này, các đại lượng véc-tơ được in đậm Trang5 Với cả hai cách tính ở trên đều cho ta một kết quả Chúng ta có thể khái quát việc tính áp lực của chất lỏng lên một thành phẳng, diện tích S theo công thức sau đây: F = pc.S = γhcS Trong đó: pc – áp suất dư tại khối tâm của mặt chịu lực hc – độ sâu của trọng tâm mặt chịu lực S – diện tích của mặt chịu lực γ – trọng lượng riêng của mặt chịu lực + Vị trí của tâm áp lực D được xác định theo cách sau: hD  hC  IC hC S Trong đó hC, hD là độ sâu của khối tâm mặt S và của tâm tác dụng của áp lực D IC là mô men quán tính của diện tích S đối với trục ngang qua khối tâm của S 2 Tính lực nâng ban đầu Để nâng được cánh cống cần tác dụng lực T sao cho thắng được lực ma sát và trọng lực tác dụng lên cánh cống: T = P + fms Ở đây áp lực của nước làm cánh cống bị ép vào rãnh, do đó ta có: fms = µ.F = 0,5.148,3 = 74,15 kN Trọng lượng của cánh cống: P = γc.(Hbd) = 13,2 kN Lực nâng cần thiết: T = 87,35 kN Bài 4.Áp lực của chất lỏng lên mặt cong Một bình có dạng một phần tư khối trụ, bán kính R, chiều dài L được đặt cố định nằm ngang như hình vẽ Khối trụ được nối với một ống thẳng đứng, trong khối trụ chứa đầy nước và mực nước trong ống có độ cao H Trọng lượng riêng của nước là γ Tính tổng áp lực của nước lên mặt khối trụ? Hướng dẫn Khối chứa đầy nước và kín do vậy áp lực gây bởi cột nước trong đoạn ống thẳng sẽ được truyền H V đến mọi điểm trong trụ Xét phần tử mặt trụ dS ở độ cao h so với đáy và dF bán kính hợp với trục z góc α dFz Ta có: dS = LRdα dFx Áp suất dư gây bởi nước tại vị trí của dS là: h α p = γ(H – h) = γ(H – Rcosα) Trang6 Áp lực tác dụng lên phần tử dS là dF có: - độ lớn: dF = pdS = γLR(H – Rcosα)dα - hướng vuông theo bán kính, vuông góc với dS Phân tích áp lực dFthành hai thành phần nằm ngang dFx và dFz thì: dFx = dF.sinα = γLR(H – Rcosα)sinα.dα = γLRH.sinα.dα – γLR2cosαsinα.dα dFz = dF.cosα = γLR(H – Rcosα)cosα.dα= γLRH.cosα.dα – γLR2cos2α.dα Tổng áp lực theo phương ngang là:  /2 12 R 2 Fx   ( LRH sin  LR sin cos)d   LRH   LR   (H  )LR 2 2 0 2 2  /2 1 2  R 4 4 Fz   ( LRH cos  LR cos )d   LRH   R L   (H  )LR 0 Áp lực tổng cộng là:  R 2   R 2 F  Fx2  Fz2   RL  H     H    2  4  Áp lực F này có hướng hợp với phương ngang góc β có: tan   Fz  H   R / 4 Fx H  R / 2 Nhận xét: Từ biểu thức tính các lực thành phần Fx và Fz ở trên ta thấy: + Fx   (H  R )LR   hcSx với: 2 Sx = LR chính là hình chiếu của mặt trụ lên phương song song với Ox, tức là chiếu lên mặt vuông góc với Ox hc = (H – R/2) là độ sâu trung bình của mặt cong hình trụ hay độ sâu của khối tâm Cx của hình chiếu Sx 1  1 2 + Fz   LRH   R L    LRH   R L   V với:2 4  4   1 2 V   LRH   R L  là thể tích của khối chất lỏng hình trụ thẳng đứng, mặt  4  trên là mặt thoáng, mặt dưới là mặt chịu áp lực Một cách tổng quát, bằng cách chứng minh tương tự như trên đối với các mặt cong bất kỳ, ta có: + Áp lực tổng cộng F gồm hai thành phần: Fx = γhcSx ; Fz = γV Nếu chất lỏng nằm “phía trên” mặt cong thì V mang dấu “+”, nếu chất lỏng ở “phía dưới” mặt cong thì V mang dấu “ –“; trục Oz thẳng đứng hướng lên , + Áp lực tổng cộng là: F  Fx2  Fz2 Trang7 Các công thức tính áp lực lên mặt phẳng và mặt cong ở hai bài tập trên sẽ được áp dụng trực tiếp trong các bài toán sau đây h A H A’ E Bài 5:Áp lực gây bởi chất lỏng có trọng lượng riêng thay đổi Một đường hầm có dạng nửa hình trụ tròn, bán kính R = 2m, nằm dưới đáy biển sâu H = C D 25m Từ mặt thoáng đến mặt AA’ ở độ sâu h1 = 20m, trọng lượng riêng của nước thay đổi theo theo độ sâu h theo quy luật:   o  h  với γo = 10000N/m3 1 0, 02   h1  Từ mặt AA’ đến đáy biển trọng lượng riêng của nước biển coi là không đổi Tính áp suất dư gây bởi nước biển tại các điểm C, D, E và lực do nước biển tác dụng lên 1m chiều dài đường hầm Hướng dẫn - Áp suất dư trên măt AA’: h1 h1 h1  h  pA   dp   dh  0  1 0,02  dh 1,01. 0h1 0 h1  0 0 - Áp suất tại E: pE  pA   A (H  h1  R)  1, 01. 0h1 1, 02. 0 (H  h1  R)  2,326105 N / m2 - Áp suất tại D và C là: pC  pD  pA   A (H  h1)  1, 01. 0h1 1, 02. 0 (H  h1)  2,53105 N / m2 - Áp lực lên 1m chiều dài của hầm: Theo phương ngang, do tính đối xứng nên áp lực tổng cộng tác dụng lên hầm bằng không (nhưng vẫn có tác dụng ép thành hầm vào !) Theo phương thẳng đứng, áp dụng bài 4 ta có: Do bên trên AA’ trọng lượng riêng của nước thay đổi, còn phía dưới mặt AA’ thì không đổi nên ta áp dụng cách tính áp suất lên mặt cong gây bởi từng lớp nước Fz  pA.Sz   A.V , trong đó: Sz = (2R×l) là hình chiếu của mặt trụ trên phương ngang   R2   R2 V  2R 1 h2    1  2R(H  h1)  2  2 là thể tích khối nước phía trên đoạn hầm l và nằm dưới AA’, có mặt đáy dưới là phần mặt đường hầm trụ dài l = 1m.Vậy: Trang8   R2  Fz  pA.2R.l   A. 2R.(H  h1)    2 Thay số vào ta có: Fz = 9,479×105 N Fz có hướng xuống dưới và đi qua trục của trụ Bài 6 Trên hai con lăn gỗ hình trụ có các đường kính D và d, cùng chiều dài L, ta đặt một tấm gỗ rộng b, trọng lượng G sao cho phần thừa 2 đầu đều là c (hình vẽ) Cần phải đặt tải trọng phụ P ở vị trí nào để giữa cho tấm gỗ nằm ngang Hai con lăn không thấm nước và nổi trên mặt nước Trọng lượng riêng của nước là γ, của gỗ là γ1 F2 P F1 Hướng dẫn cx y c Khi tấm gỗ ở vị trí nằm ngang thì khoảng cách h từ mặt thoáng h đến tấm gỗ sẽ không thay đổi d G D Thể tích phần nằm trong nước của các con lăn là: V1  L.S1  L. R2  R2arccos R  h  (R  h) 2Rh  h 2  (1)  R  V2  L.S2  L. r2  r2arccos r  h  (r h) 2rh  h 2  (2)r Lực đẩy Acsimet tác dụng lên các con lăn: FA1 = γV1 ; FA2 = γV2 (3) Từ phương trình cân bằng cho các con lăn ta được các phản lực của con lăn lên tấm gỗ là F1 và F2 có: F1 = FA1 – P1 = FA1 – γ1.πLR2 ; F2 = FA2 – P2 = FA2 – γ1.πLr2 (4) Phương trình cân bằng mô-men đối với điểm tiếp xúc A của tấm gỗ và con lăn nhỏ: L  (5) F1.(x  y)  G.  c   P.x  0 2  Ta có: y = (L – x – 2c) do đó ta được: x  (L  2c)(2F1  G) (6) 2P Từ phương trình cân bằng lực theo phương thẳng đứng ta có: F1 + F2 – P – G = 0 (7) Từ các phương trình và công thức trên ta thu được: Trang9  (  1)(R2  r2 )   R2arccos R  h R  r2arccos r  h r  (R  h) 2Rh  h2  (r h) 2rh  h 2   P  G (8) L Với các bán kính R = D/2, r = d/2, các dữ kiện về G, P, L và γ cho trước ta có thể tính được h từ (8) Từ đó thay vào (1), (3), (4) ta tính được F1 Biết F1, thay vào (6) ta được x Bài 7 Người ta đậy một lỗ tròn ở đáy bể chứa bằng 4R quả cầu trọng lượng P, bán kính R mực nước trong bình là 4R, tâm cầu ở cách đáy bình khoảng R/2 Tính lực cần thiết để nâng quả cầu lên R R/2 Hướng dẫn - Để nâng quả cầu lên cần tác dụng lực F tối thiểu bằng tổng trọng lượng quả cầu và áp lực của nước lên nó: F = P + Fz a’ c’ d’ b’ Ở đây lực của nước tác dụng theo phương ngang triệt tiêu nhau, chỉ còn lực theo phương thẳng đứng Oz là Fz 4R e Để tìm Fz ta chia phần mặt cầu trong nước a b R/2 thành 2 phần bằng mặt cắt qua tâm Áp dụng cách tính áp lực ở bài 4 ta có: R Fz = γ(V1 - V2) = γV c d với: f V1 = Vaba’b’ – Vaeb V2 = Vaba’b’ + Vacdb –Vcdc’d’ = Vaba’b’ + Vafb – Vcfd –Vcdc’d’ V = V1 – V2 = Vaba’b’ – Vaeb - Vaba’b’ + Vafb – Vcfd – Vcdc’d’ = -Vcầu + Vcfd + Vcdc’d’ =  4  R3  1  h2 (3R  h)    2 2 4 3 5 R3 3 15 R3  R2  R  4R    R   3 R  3 3 4 3 24 8   => Fz  15  R3 8 Vậy lực nâng là: F  P  15  R3 8 Bài 8.Cân bằng tương đối của chất lỏng (Tĩnh tương đối) Trang10 “cân bằng” trên mặt thoáng Xét trong hệ quy chiếu gắn với bình thì nó chịu thêm tác dụng của lực quán tính Fqt = -Δm.a Từ điều kiện cân bằng của phần tử Δm ta có: tan  a g Mặt khác: tan  H  h  H  h  ab b/2 2g H  b  a 2 2 - Áp lực nước lên mặt sau: Fs   Hb   h   2 2  2g   b  a 2 - Áp lực nước lên mặt trước: Ft   h   2  2g  với a tính theo (*) Trang13 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Một van hình nón bằng thép có chiều cao h, trọng lượng riêng γ = 76,44kN/m3dùng để đậy một lỗ tròn ở đáy bể nước Biết đường kính đáy của van là D = 0,4h, đáy van ở cao hơn lỗ là h/3; mực nước trong bể có độ cao 5h; trọng lượng riêng của nước là γn Tính lực cần tác dụng để nâng van lên? Đáp số: F = 5,581.h3 kN Bài 2 Dùng một cánh cống dạng bản phẳng có thể quay quanh bản lề O nằm ngang, với OA = L = 3m, bề rộng của cánh là b = 1m, trọng lượng Q = 747N Đối trọng P = 6000N Tính độ sâu h của nước để cánh cống cân bằng với góc nghiêng α = 600 Bỏ qua ma sát và khối lượng cáp nối, ròng rọc Đáp số: h = 2m Bài 3 Van hình trụ khuyết có thể quay xung quanh trục nằm ngang Trọng tâm A của van nằm trên đường bán kính tạo góc 450 teo phương ngang và các trục quay khoảng OA = r/5 Biết bán kính van r = 40cm, chiều dài van là b = 100cm; trọng lượng riêng của nước γ = 104 N/m3 Xác định trọng lượng G của van để van cân bằng ở trạng thái hình vẽ Đáp số: G = G  5br2  3,7103 N 3cos Bài 4 Tính áp lực của riêng chất lỏng lên câc nắp AB và CE của một bình hình trụ tròn chứa đầy chất lỏng có trọng lượng riêng γ Bình quay đều quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc ω Kích thước bình như cho trên hình Đáp số: FAB  2 D4 ; FCE  FAB   D2 H 64g 4 Bài 5 Một xe chở dầu chuyển động theo phương ngang với vận tốc v = 36km/h thì hãm phanh chuyển động chậm dần đều và chạy thêm được 100m thì dừng hẳn Trang14 Thùng dầu dạng hình trụ có đường kính D = 2m, dài 2l = 8m, phần dầu trên miệng thùng cao h = 0,3m so với thành trên của thùng dầu Trọng lượng riêng của dầu là γ = 9810N/m3 Xác định áp lực của dầu lên đáy trước của thùng dầu khi hãm phanh Đáp số: F = 46,205×103 N Bài 6 Người ta chắn con kênh hình chữ nhật bề rộng L T = 7m bằng một cánh cửa có dạng một cung trụ Biết O mực nước phía trước cống h1= 4,80m, ở phía sau nó h A là h2 = 2m Cống có bán kính r = 7,5m, có trục quay G nằm ngang kênh, ở độ cao h = 1m so với mặt thoáng h1 của nước Bỏ qua ma sát; Trọng lượng của cánh cống h2 là P = 119 kN Hãy xác định: P B 1 Áp lực của nước từ mỗi phía lên cánh cống và tổng áp lục lên cánh cống 2 Lực nâng tối thiểu để mở cánh cống Biết lực nâng được tác dụng vào mép cống A Trọng tâm của cánh cống tại G nằm trên phân giác của góc AOB, cách trục quay 0,75r Đáp số: F1 = 978 kN; F2 = 189 kN; F = 791 kN; T = 78,5 kN Bài 7 Bình có dạng hình nón cụt chứa nước đến một h nửa chiều cao và quay quanh trục thẳng đứng với α vận tốc góc không đổi ω Bình có đường kính đáy a, chiều cao H = a = 0,6m và góc nghiêng thành bên là α = 45o 1 Tính tốc độ quay cực nmax đại đảm bảo nước ω không bị trào ra ngoài 2 Tính tốc độ quay nhỏ nhất nminđể nước tràn hết ra ngoài Đáp số: nmax = 30,5 v/ph; nmin = 54,6 v/ph Bài 8 z r0 ω HC Bình hình trụ có bán kính r0 chứa chất lỏng ở trạng thái tĩnh đến độ cao H Bình quay quanh trục r’ thẳng đứng song song với trục của bình với vận tốc góc ω không đổi và cách trục của bình trụ khoảng HN h r’ Xác định áp suất tại mỗi điểm trong chất lỏng? Hmin Tìm phương trình mặt thoáng và giao của mặt O O’ x thoáng với thành bình? Tính tổng áp lực của chất y lỏng lên đáy bình Biết chất lỏng có trọng lượng riêng ρ Trang15  2 2 2 Đáp số:Áp suất tại M(x,y,z): p  po  (x  y )   (Hmin  z) ; 2g  2 2 2 Phương trình mặt thoáng: (x  y )  g(z  Hmin ) 2 là đường ellip nghiêng góc α so với phương ngang có tan  HN  HC 2ro    2r2 2 Áp lực tại điểm trên mặt đáy: F   r   Hmin  d 2 0  2g  Với r  r '.cos r '2 cos2   ro2 Trang16 Phần II THỦY ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG Các công thức, phương trình cơ bản đối với chất lỏng lí tưởng chảy ổn định: 1 Phương trình Becnuli với chất lỏng lí tưởng, có khối lượng riêng ρ không đổi: v12 v22  gz1  p1     gz2  p2   2 2 2 Phương trình Becnuli đối với chuyển động tương đối.(2) Trong hệ quy chiếu quay với vận tốc góc không đổi, khi có dòng chảy ổn định thì: v12 u12 v22 u22  gz1  p1       gz2  p2     22 22 Trong đó: v1, v2: là vận tốc chảy tương đối của chất lỏng tại các mặt cát 1, 2 của ống dòng u1, u2: vận tốc kéo theo tại các mặt cắt 3 Phương trình liên tục cho lưu lượng chất lỏng Q trong ống: v1  S2 hay : Q  const v2 S1 Bài II.1 Một ống pilot dùng để đo vận tốc không khí Độ chênh lệch cột nước trong ống do áp suất là h = 4mm Xác định vận tốc khí Biết khối lượng riêng của khí là 1.2kg/m3 Xem không khí là lưu chất không nén được Hướng dẫn Ta có: Phương trình Becnuli cho đường dòng qua hai điểm A và B Z P A + A  VA2  Z P B + B  VB2  2g  2g VA2  PB   PA     Z B     Z A   2g       Chất lưu trong hai ống đo áp ở trạng thái tĩnh, áp dụng phương trình thuỷ tĩnh ta có: Z A  PA  Z M  PM (PN = PM + γnc.h)   2Công thức cho trường hợp này xem như được học trong phần lí thuyết Trang17 Z B  PB  Z N  PN  Z N  PM   nc h     PB   PA   nc  nc   Z B     Z A    h  h  h( 1)         nc  3  9810   VA  2gh 1  2.9,81.4.10  1  8,08m / s   11,772  Bài II.2 Một chiếc xe đang chạy lấy nước từ một cái mương nhỏ bằng một ống có đường kính 10cm và đưa nước lên độ cao H = 3m tốc độ của xe là V=65Km/h Tính tốc độ tối đa và lưu lượng nước chảy ra khỏi ống Có nhận xét gì về độ sâu đặt ống h H phải lớn hơn bao nhiêu để nước không chạy ra khỏi ống? Khi đó ống hoạt động theo nguyên tắc gì? Hướng dẫn Tính tốc độ tối đa mà lưu lượng nước chảy ra khỏi ống P1 V12 P2 V22 z1    z2    2g  2g V1  V  65.1000  18, 06(m / s) 3600 Z1 = 0;Z2 = h+H+d P1du   (h  d ) P2du  0 2; V12 d V2 2 2 d 2   H    V1  2g(H  ) V2 2g 2 2g 2  V2  V12  2g(H  d ) 2 Nhận xét V2 không phụ thuộc h (độ sâu ống) V2=16,314(m/s) d 3 3 2 Q  V2.S  16,314.  0,128(m / s)  128(dm / s)  128(lít / s) 4 Khi nước không chảy ra khỏi ống:  V2  V12  2g(H  d )  0 2  V12  2g(H  d )  0 2 H  V12  d  16,57(m) 2g 2 Trang18 Ống hoạt động theo nguyên tắc ống Pito Bài II.3 Một ống hình chữ L có đoạn AB = l nằm ngang, tiết diện bên trong là S; đoạn BC có tiết diện nhỏ đặt thẳng đứng, đầu C nhúng ngập trong nước chứa trong một bình lớn Khối lượng riêng cuả nước là n; mặt thoáng của nước trong bình là khí quyển có  áp suất pa, khối lượng riêng là a Ban đầu ống AB B A thông với khí quyển, sau đó người ta bịt kín đầu A và cho ống quay với vận tốc góc không đổi  h (không lớn) quanh trục thẳng đứng đi qua đoạn C BC Coi khí quyển là lí tưởng, nhiệt độ không đổi T; mật độ khí quyển không thay đổi theo độ cao; bỏ qua hiện tượng mao dẫn và ma sát 1 Khối lượng riêng của khí trong ống AB thay đổi như thế nào dọc theo chiều dài của ống? 2 Tính chiều cao cột chất lỏng dâng lên trong ống thẳng đứng Hướng dẫn a Khi ống quay, do hiệu ứng li tâm nên mật độ và do đó áp suất khí trong ống thay đổi dọc theo chiều dài AB Xét đoạn ống dx ở vị trí cách trục quay x Áp suất tại các vị trí x và (x + dx) tương ứng là p và (p + dp); khối lượng riêng của khí tương ứng là  và  + d Khi trạng thái cân bằng của khí trong ống được thiết lập ta có: ( p  dp)  p S  2xSdx  dp  2x (1) dx Với giả thiết khí là lí tưởng, áp dụng phương trình Clapayron-Menddeleeep ta có liên hệ: pV  m RT M với M là khối lượng mol của khí quyển ( 29g/mol), R là hằng số khí lí tưởng  m  pM hay :   pM  d   M dp (2) V RT RT RT Thay (1) vào ta có: d   M2 xdx (3)  RT Đặt 0 là khối lượng riêng của khí tại B (x = 0), lấy tích phân 2 vế của (3) ta được:    M 2 2 M2 2  x2 M2 ln    x    0 exp  x   0e với    0  2RT  2RT  2RT Trang19 Do đoạn BC có tiết diện nhỏ nên bỏ qua ảnh hưởng của nó đến sự thay đổi của mật độ khí Ban đầu ống thông với khí quyển nên khối lượng khí chứa trong ống là: m  alS Mặt khác, khi bịt kín đầu B thì khối lượng khí là không đổi và có thế tính theo: l m  0 Sdx l  x2 l  x2  0  e Sdx  aSL  0  e dx  aL 0 0 Với giá trị của T  300K,  1rad/s, R 8,31 thì ta có: ex2  1  x2   2x4   1  x2 2! l  x2 l2  l2   0  e dx  0  (1  x )dx  0l 1  0 0  3  l2   l2  1  l2  (4)  0 1   aL  0  1  a  1  a  3  3  3 Vậy khối lượng riêng của khí trong ống thay đổi dọc theo chiều dài l của ống theo:  x2  l2  x2  M2l2   M2 2    0e  a 1 e  a 1  exp  x   3  6RT   2RT  2 Để tính chiều cao cột chất lỏng dâng lên trong đoạn BC, ta xét áp suất tại điểm ở ngang mặt thoáng của nước trong bình Tại điểm này thì áp suất là: pC  p0  ngh  pa , trong đó p0 là áp suất của khí trong ống tại B (x = 0) Do nhiệt độ là như nhau tại mọi vị trí và không đổi nên sự phụ thuộc của áp suất khí vào vị trí trong ống cũng giống như sự phụ thuộc của khối lượng riêng (2) Từ (4) ta có:  l2   M2l2   M2l2  p0  pa 1   pa 1   pC  pa 1   n gh  pa  3   6RT   6RT   h  M2l2 pa  2l2 a 6RT n g 6g n Bài II.4 O’ 1 1 ω Một ống tròn gấp khúc đường kính d = 20mm, một đầu nhúng ngập trong nước, đầu còn lại trong không khí và nằm h cách trục quay thẳng đứng OO’ là R = 40cm, cách mặt thoáng R của chậu bên ngoài là H Ống quay đều quanh trục OO’ với vận tốc góc không đổi ω Trọng lượng riêng của nước γ = d 9810 N/m3 2 2 1 Xác định ω sao cho chất lỏng trong ống ở trạng thái tĩnh tương đối trong ống (không chảy) với độ cao của nước O trong ống là h so với bên ngoài chậu.Áp dụng tính ω0 với H = Trang20 100cm