Chuyên đề bài tập thủy tĩnh học và thủy động lực học

Trang 2 MỞ ĐẦUTrong chương trình Vật lý phổ thông nói chung và chương trình vật lý dành cho các lớp chuyên nói riêng thì các bài toán về cơ học chất lưu chiếm dung lượng thời gian và kiế

MÔN VẬT LÍ

TÊN CHUYÊN ĐỀ:

BÀI TẬP THỦY TĨNH HỌC VÀ THỦY ĐỘNG LỰC HỌC

MỞ ĐẦU

Trong chương trình Vật lý phổ thông nói chung và chương trình vật lý dành cho các lớp chuyên nói riêng thì các bài toán về cơ học chất lưu chiếm dung lượng thời gian và kiến thức khá khiêm tốn so với các nội dung khác Một phần

do cấu trúc chương trình chỉ giới hạn kiến thức ở một mức độ khá cơ bản, trong khi đây là một nội dung cũng tương đối phức tạp nếu nghiên cứu sâu Bên cạnh

đó, hiện nay nội dung về Cơ học chất lưu đã được giảm tải theo chương trình của chung, do đó việc đầu tư đi sâu vào mảng kiến thức này càng hạn chế Tuy nhiên, với yêu cầu của công tác đào tạo học sinh chuyên Vật lý thì đây vẫn là mảng kiến thức rất cần được quan tâm, phát triển cho học sinh

Để nghiên cứu sâu về cơ học chất lưu đòi hỏi khá nhiều về việc chuẩn bị kiến thức nền của Vật lý và đặc biệt là các công cụ toán học ở mức độ cao, vượt xa chương trình của phổ thông Các kiến thức được cung cấp trong các tài liệu giáo khoa, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi từ trước tới nay về cơ học chất lưu khá hạn chế, nhất là hệ thống các bài tập Trong tình hình đó, để đáp ứng nhu cầu công tác giảng dạy học sinh chuyên và bồi dưỡng đội tuyển HSGQG môn vật lý, chúng tôi mong muốn xây dựng được một hệ thống các bài tập về cơ học chất lưu phục

vụ cho đối tượng học sinh chuyên và đội tuyển thi học sinh giỏi quốc gia môn Vật

lí Bài tập về cơ học chất lưu cho học sinh phổ thông cũng bao gồm nhiều nhóm, tương ứng với các vùng kiến thức khác nhau Do điều kiện nên hiện tại chúng tôi chưa xây dựng được hệ thống đầy đủ các bài tập cho các nhóm kiến thức, trong chuyên đề này chúng tôi mới chỉ giới thiệu được một số bài tập cơ bản về tĩnh học và thủy động lực học chất lưu, cụ thể là xét đối với chất lỏng Đây cũng là hai nhóm kiến thức chính trong các nội dung về cơ học chất lỏng

Nội dung chính của chuyên đề bao gồm 2 phần:

Phần 1.Thủy tĩnh học: Gồm các bài tậpvề trạng thái tĩnh (không chảy), trạng

thái cân bằng tương đối của chất lỏng; áp suất tĩnh và áp lực của chất lỏng;

Phần 2:Thủy động lực học: Gồm các bài toán về chuyển động của chất lỏng

lý tưởng Áp lực của dòng chất lỏng; Áp dụng các định luật về năng lượng, động lượng cho dòng chất lỏng;…

Trong mỗi phần gồm các bài tập có lời giải và các đề bài tự luyện tập (có hướng dẫn hoặc đáp số) Do chủ trương xây dựng đề bài tập nên chúng tôi chỉ liệt kê các công thức cần thiết mà không trình bày sâu về lý thuyết cũng như tóm tắt lý thuyết tương ứng

Mặc dù chúng tôi đã rất cố gắng, nhưng cũng không tránh khỏi các sai sót trong chuyên đề Rất mong được sự góp ý đóng góp của các đồng nghiệp cho chúng tôi Chúng tôi cũng mong muốn được cùng các đồng nghiệp xây dựng một

hệ thống các bài tập có chất lượng tốt và phù hợp và hơn nữa là tạo bộ chuyên

đề đầy đủ cả lý thuyết và bài tậpvề cơ học chất lỏng nói riêng và cho toàn bộ nội dung cơ học chất lưu nói chung giúp cho các thầy cô giáo và học sinh chuyên Vật

lí có nguồn tài liệu tham khảo phù hợp, đáp ứng công tác đào tạo và bồi dưỡng học sinh giỏi

NỘI DUNG

Phần I

THỦY TĨNH HỌC

Một số khái niệm và công thức:

- Áp suất tuyệt đối: Áp suất gây ra bởi trọng lượng của chất lỏng và áp lực bên ngoài lên chất lỏng

- Áp suất dư: Áp suất gây bởi trọng lượng của chất lỏng

- Công thức tính áp suất tại một điểm trong lòng chất lỏng ở trạng thái tĩnh:

p = p0 + γh trong đó: p0 là sáp suất tại mặt thoáng (thường là áp suất khí quyển)

γ: trọng lượng riêng của chất lỏng

h: chiều sâu từ mặt thoáng đến điểm tính áp suất

δ = γd/γn = 0,9 Trọng lượng riêng của nước là γn = 9810 N/m3

Bài II.2

Xác định trọng lượng riêng của chất lỏng X trong hệ thống như hình vẽ Bình

A chứa nước, bình B chứa dầu Đoạn ống nối A và B có phần cong lên chứa chất lỏng X không bị hòa tan vào nước và dầu Biết độ chênh áp suất tại hai điểm A và

Bài 3:Áp lực của chất lỏng lên mặt phẳng

Một cánh cống ngăn cách nước chảy qua một con kênh có dạng hình chữ

nhật kích thước H×b×d = 3,5×4×0,08 (m) Cánh cống có trọng lượng riêng γc = 11,8 kN/m3 được đặt thẳng đứng khớp với rãnh ở thành và đáy kênh, hệ số ma

sát tại rãnh là µ = 0,5 Biết mực nước ở hai bên cánh cống là h1 = 3,0m và h2 = 1,2m Trọng lượng riêng của nước là γ = 9810 N/m3

1 Xác định tổng áp lực của nước lên cánh cống?

2 Tính lực nâng ban đầu để kéo cánh cống lên?

Hướng dẫn

1 Cách 1:Tính trực tiếp

Ta có áp suất của nước tại độ sâu h là: p = p 0 +

γh

Xét phần cống tại vị trí ở độ sâu h so với mặt

thoáng, có kích thước dh×b×d, với dh≪h1 Áp lực

H h 1 N

h 2

B

D Chất lỏng X

của nước lên phần tử cống này là dF(1) có hướng vuông góc với bề mặt cống, có

độ lớn:

dF = p.dS = (p 0 + γh).(b.dh)

Các lực dF này có hướng như nhau nên áp lực tổng cộng của nước tác dụng

lên cánh cống từ mặt thoáng cho đến độ sâu h là:

2 0

- Biểu đồ lực từ phía trái được biểu diễn bởi tam giác ABC, còn từ phía phỉa bởi tam giác CDE Biểu đồ tổng áp lực bằng hiệu của hai tam giác ABC và CDE và bằng hình thang MNBC

Cạnh AC biểu diễn áp lực tại sát đáy từ bên trái và bằng γh1

Cạnh CE biểu diễn áp lực tại sát đáy từ bên phải và bằng γh2

Số đo diện tích các hình cho biết áp lực tác dụng và chú ý bề rộng của cánh

Với cả hai cách tính ở trên đều cho ta một kết quả Chúng ta có thể khái quát việc tính áp lực của chất lỏng lên một thành phẳng, diện tích S theo công thức sau đây:

Trong đó: pc – áp suất dư tại khối tâm của mặt chịu lực

hc – độ sâu của trọng tâm mặt chịu lực

S – diện tích của mặt chịu lực

γ – trọng lượng riêng của mặt chịu lực

+ Vị trí của tâm áp lực D được xác định theo cách sau:

Trong đó hC, hD là độ sâu của khối tâm mặt S và của tâm tác dụng của áp lực D

IC là mô men quán tính của diện tích S đối với trục ngang qua khối tâm của S

2 Tính lực nâng ban đầu

Để nâng được cánh cống cần tác dụng lực T sao cho thắng được lực ma sát và

Bài 4.Áp lực của chất lỏng lên mặt cong

Một bình có dạng một phần tư khối trụ, bán kính R, chiều dài L được đặt cố định nằm ngang như hình vẽ Khối trụ được nối với một ống thẳng đứng, trong khối trụ chứa đầy nước và mực nước trong ống có

độ cao H Trọng lượng riêng của nước là γ Tính

tổng áp lực của nước lên mặt khối trụ?

Hướng dẫn

Khối chứa đầy nước và kín do vậy áp lực gây

bởi cột nước trong đoạn ống thẳng sẽ được truyền

đến mọi điểm trong trụ

Xét phần tử mặt trụ dS ở độ cao h so với đáy và

Áp lực tác dụng lên phần tử dS là dF có:

- độ lớn: dF = pdS = γLR(H – Rcosα)dα

- hướng vuông theo bán kính, vuông góc với dS

Phân tích áp lực dFthành hai thành phần nằm ngang dFx và dFz thì:

dFx = dF.sinα = γLR(H – Rcosα)sinα.dα

= γLRH.sinα.dα – γLR 2 cosαsinα.dα

dFz = dF.cosα = γLR(H – Rcosα)cosα.dα= γLRH.cosα.dα – γLR 2cos2 α.dα

Tổng áp lực theo phương ngang là:

/ 2

z x

V LRH  R L

 là thể tích của khối chất lỏng hình trụ thẳng đứng, mặt trên là mặt thoáng, mặt dưới là mặt chịu áp lực

Một cách tổng quát, bằng cách chứng minh tương tự như trên đối với các mặt cong bất kỳ, ta có:

+ Áp lực tổng cộng F gồm hai thành phần: Fx = γhcSx ; Fz = γV

Nếu chất lỏng nằm “phía trên” mặt cong thì V mang dấu “+”, nếu chất lỏng ở

“phía dưới” mặt cong thì V mang dấu “ –“; trục Oz thẳng đứng hướng lên ,

+ Áp lực tổng cộng là: 2 2

x z

F F F

Các công thức tính áp lực lên mặt phẳng và mặt cong ở hai bài tập trên sẽ được áp dụng trực tiếp trong các bài toán sau

đây

Bài 5:Áp lực gây bởi chất lỏng có trọng

lượng riêng thay đổi

Một đường hầm có dạng nửa hình trụ tròn,

bán kính R = 2m, nằm dưới đáy biển sâu H =

25m Từ mặt thoáng đến mặt AA’ ở độ sâu h1 =

20m, trọng lượng riêng của nước thay đổi theo theo độ sâu h theo quy luật:

1 0, 02

1

o

h h

  với γo = 10000N/m3

Từ mặt AA’ đến đáy biển trọng lượng riêng của nước biển coi là không đổi Tính áp suất dư gây bởi nước biển tại các điểm C, D, E và lực do nước biển tác dụng lên 1m chiều dài đường hầm

- Áp lực lên 1m chiều dài của hầm:

Theo phương ngang, do tính đối xứng nên áp lực tổng cộng tác dụng lên hầm bằng không (nhưng vẫn có tác dụng ép thành hầm vào !)

Theo phương thẳng đứng, áp dụng bài 4 ta có:

Do bên trên AA’ trọng lượng riêng của nước thay đổi, còn phía dưới mặt AA’ thì không đổi nên ta áp dụng cách tính áp suất lên mặt cong gây bởi từng lớp nước

2 1

gỗ là γ1

Hướng dẫn

Khi tấm gỗ ở vị trí nằm ngang

thì khoảng cách h từ mặt thoáng

đến tấm gỗ sẽ không thay đổi

Thể tích phần nằm trong nước của

2 2 2 2 2 2 1

Người ta đậy một lỗ tròn ở đáy bể chứa bằng

quả cầu trọng lượng P, bán kính R mực nước

trong bình là 4R, tâm cầu ở cách đáy bình khoảng

R/2 Tính lực cần thiết để nâng quả cầu lên

Hướng dẫn

- Để nâng quả cầu lên cần tác dụng lực F tối thiểu bằng tổng trọng lượng quả cầu

và áp lực của nước lên nó:

F = P + Fz

Ở đây lực của nước tác dụng theo phương

ngang triệt tiêu nhau, chỉ còn lực theo phương

V1 = Vaba’b’ – Vaeb

V2 = Vaba’b’ + Vacdb –Vcdc’d’ = Vaba’b’ + Vafb – Vcfd –Vcdc’d’

V = V1 – V2 = Vaba’b’ – Vaeb - Vaba’b’ + Vafb – Vcfd – Vcdc’d’ = -Vcầu + Vcfd + Vcdc’d’

Một bình hình trụ tròn đậy kín có chiều cao

H và đường kính D chứa chất lỏng có khối lượng

riêng ρ đến 3/4 chiều cao của bình Cho bình

quay đều quanh trục thẳng đứng của nó với vận

tốc góc ω Tính ω sao cho mặt thoáng chất lỏng

vừa chạm đến đáy bình

Hướng dẫn

- Bài toán xác định phương trình mặt thoáng

của chất lỏng là khá quen thuộc, (bạn đọc có thể

tự giải hoặc tham khảo SGK chuyên) Ở trạng thái

cân bằng tương đối, mặt thoáng có dạng là một

Với z0 là vị trí thấp nhất của mặt thoáng

Tại một điểm trong lòng chất lỏng, áp suất được biểu diễn dưới dạng:

H và được đổ đầy nước Cho bình quay quanh trục thẳng

đứng Oz của nón với vận tốc góc ω Tính ω, biết rằng mặt

thoáng của nước tiếp xúc với mặt bên của nón dọc theo

đường tròn ở đáy nón Tính thể tích nước đã trào ra ngoài

- Phương trình mặt thoáng:

2 2 0

Theo điều kiện bài ra thì: mặt thoáng tiếp xúc với mặt

bên tại đường tròn đáy nên:

- Thể tích nước trào ra:

Đáy của paraboloid ở độ cao z0 so với đỉnh nón Ta có:

đáy vuông b×b chứa nước đến độ cao

h Bình có khối lượng m1 được nối với

trọng vật m2 bằng dây nối nhẹ, không

giãn qua ròng rọc lí tưởng Hệ số ma

sát giữa đáy bình và mặt sàn là µ; nước

có trọng lượng riêng γ

1 Tìm chiều cao H của bình để khi

bình chuyển động thì nước không bị

về phía sau với góc nghiêng α khi ổn định

Ta xét một phần tử nước Δm trên mặt thoáng ở vị trí bất kỳ Do nước là ổn định nên phần tử này không di chuyển trên mặt thoáng, nói cách khác nó đứng

“cân bằng” trên mặt thoáng Xét trong hệ quy chiếu gắn với bình thì nó chịu thêm

tác dụng của lực quán tính Fqt = -Δm.a

Từ điều kiện cân bằng của phần tử Δm ta có: tan a

BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1

Một van hình nón bằng thép có chiều cao h, trọng

lượng riêng γ = 76,44kN/m3dùng để đậy một lỗ tròn ở

đáy bể nước Biết đường kính đáy của van là D = 0,4h,

đáy van ở cao hơn lỗ là h/3; mực nước trong bể có độ

cao 5h; trọng lượng riêng của nước là γn Tính lực cần tác

dụng để nâng van lên?

Đáp số: F = 5,581.h3 kN

Bài 2

Dùng một cánh cống dạng bản phẳng có thể quay

quanh bản lề O nằm ngang, với OA = L = 3m, bề rộng

của cánh là b = 1m, trọng lượng Q = 747N Đối trọng P =

6000N Tính độ sâu h của nước để cánh cống cân bằng

với góc nghiêng α = 600 Bỏ qua ma sát và khối lượng

cáp nối, ròng rọc

Đáp số: h = 2m

Bài 3

Van hình trụ khuyết có thể quay xung quanh trục

nằm ngang Trọng tâm A của van nằm trên đường bán

kính tạo góc 450 teo phương ngang và các trục quay

khoảng OA = r/5 Biết bán kính van r = 40cm, chiều dài

van là b = 100cm; trọng lượng riêng của nước γ = 104

N/m3 Xác định trọng lượng G của van để van cân bằng ở

trạng thái hình vẽ

Đáp số: G = 5 2 3

3, 7 103cos

Tính áp lực của riêng chất lỏng lên câc nắp AB và CE

của một bình hình trụ tròn chứa đầy chất lỏng có trọng

lượng riêng γ Bình quay đều quanh trục thẳng đứng

với vận tốc góc ω Kích thước bình như cho trên hình

Một xe chở dầu chuyển động theo phương ngang

với vận tốc v = 36km/h thì hãm phanh chuyển động

chậm dần đều và chạy thêm được 100m thì dừng hẳn

Thùng dầu dạng hình trụ có đường kính D = 2m, dài 2l = 8m, phần dầu trên

miệng thùng cao h = 0,3m so với thành trên của thùng dầu Trọng lượng riêng của dầu là γ = 9810N/m3 Xác định áp lực của dầu lên đáy trước của thùng dầu khi hãm phanh

Đáp số: F = 46,205×103 N

Bài 6

Người ta chắn con kênh hình chữ nhật bề rộng L

= 7m bằng một cánh cửa có dạng một cung trụ Biết

mực nước phía trước cống h1= 4,80m, ở phía sau nó

là h2 = 2m Cống có bán kính r = 7,5m, có trục quay

nằm ngang kênh, ở độ cao h = 1m so với mặt thoáng

của nước Bỏ qua ma sát; Trọng lượng của cánh cống

Đáp số: F1 = 978 kN; F2 = 189 kN; F = 791 kN; T = 78,5 kN

Bài 7

Bình có dạng hình nón cụt chứa nước đến một

nửa chiều cao và quay quanh trục thẳng đứng với

vận tốc góc không đổi ω Bình có đường kính đáy a,

chiều cao H = a = 0,6m và góc nghiêng thành bên là α

= 45o

1 Tính tốc độ quay cực nmax đại đảm bảo nước

không bị trào ra ngoài

2 Tính tốc độ quay nhỏ nhất nminđể nước tràn hết ra ngoài

Đáp số: nmax = 30,5 v/ph; nmin = 54,6 v/ph

Bài 8

Bình hình trụ có bán kính r0 chứa chất lỏng ở

trạng thái tĩnh đến độ cao H Bình quay quanh trục

thẳng đứng song song với trục của bình với vận tốc

góc ω không đổi và cách trục của bình trụ khoảng

r’ Xác định áp suất tại mỗi điểm trong chất lỏng?

Tìm phương trình mặt thoáng và giao của mặt

thoáng với thành bình? Tính tổng áp lực của chất

lỏng lên đáy bình Biết chất lỏng có trọng lượng

Đáp số:Áp suất tại M(x,y,z): 2 2 2

Phần II

THỦY ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

Các công thức, phương trình cơ bản đối với chất lỏng lí tưởng chảy ổn định:

1 Phương trình Becnuli với chất lỏng lí tưởng, có khối lượng riêng ρ không đổi:

2 Phương trình Becnuli đối với chuyển động tương đối (2)

Trong hệ quy chiếu quay với vận tốc góc không đổi, khi có dòng chảy ổn định thì:

u1, u2: vận tốc kéo theo tại các mặt cắt

3 Phương trình liên tục cho lưu lượng chất lỏng Q trong ống:

Một ống pilot dùng để đo vận tốc không khí Độ

chênh lệch cột nước trong ống do áp suất là h = 4mm

Xác định vận tốc khí Biết khối lượng riêng của khí là

1.2kg/m3 Xem không khí là lưu chất không nén được

Z

P Z g

P Z

P

Z    (PN = PM + γnc.h)

Z P Z P Z P M nc h

N N N B

9810 10

4 81 , 9 2 1

H phải lớn hơn bao nhiêu để nước không chạy ra khỏi ống? Khi đó ống hoạt động theo nguyên tắc gì?

Ống hoạt động theo nguyên tắc ống Pito

Bài II.3

Một ống hình chữ L có đoạn AB = l nằm ngang, tiết diện bên trong là S; đoạn

BC có tiết diện nhỏ đặt thẳng đứng, đầu C nhúng ngập trong nước chứa trong một bình lớn Khối lượng riêng cuả nước là n;

mặt thoáng của nước trong bình là khí quyển có

áp suất pa, khối lượng riêng là a Ban đầu ống AB

thông với khí quyển, sau đó người ta bịt kín đầu A

và cho ống quay với vận tốc góc không đổi 

(không lớn) quanh trục thẳng đứng đi qua đoạn

BC Coi khí quyển là lí tưởng, nhiệt độ không đổi

T; mật độ khí quyển không thay đổi theo độ cao;

bỏ qua hiện tượng mao dẫn và ma sát

1 Khối lượng riêng của khí trong ống AB thay đổi như thế nào dọc theo chiều dài của ống?

2 Tính chiều cao cột chất lỏng dâng lên trong ống thẳng đứng

với M là khối lượng mol của khí quyển ( 29g/mol), R là hằng số khí lí tưởng