HDG_De_thi_tuyen_sinh_DH_mon_Toan_nam_hoc_2011-2012_-_v.3 ppt

Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 Môn Toán - Khối A, A1 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A, A1 NĂM HỌC 2011-2012 MÔN: TOÁN (Giáo viên: Tổ Toán Hocmai.vn) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2, 0 điểm) Cho hàm số 4 2 2 2( 1)y x m x m = − + + (1) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 Với m = 0, ta có 4 2 2y x x = − 1. Tập xác định: D = R 2. Sự biến thiên - Chiều biến thiên ' 3 ' 3 2 4 4 0 4 4 0 4 ( 1) 0 y x x y x x x x = − = ⇔ − = ⇔ − = 0 1 1 x x x =   ⇔ =   = −  - Vẽ đồ thị (học sinh tự vẽ): + Hàm số chẵn đối xứng qua trục tung + Giao Ox: y = 0 0 2 x x =  →  = ±  + Giao Oy: x = 0 suy ra y = 0 - Tính giới hạn: lim ; lim x x →−∞ →+∞ = +∞ = +∞ - Bảng biến thiên - Hàm số đồng biến trên các khoảng từ (- 1; 0) và (1; +∞ ) - Hàm số nghịch biến trên các khoảng từ ( ;1 −∞ ) và (0; 1) - Cực trị + Hàm số đạt giá trị cực đại: 0 0 CD CD x y = → = + Hàm số đạt giá trị cực tiểu: 1 1 CT CT x y = ± → = − Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 Môn Toán - Khối A, A1 b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 cực trị tạo thành một tam giác vuông. 3 ' 4 4( 1)y x m x = − + Đề hàm số có 3 cực trị ⇔ y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 3 ' 0 4 4( 1) 0 0 1 y x m x x x m = ⇔ − + = =  ⇔  = ± +  Để hàm số có 3 cực trị ⇔ m+1 > 0 ⇔ m > -1. Tọa độ điểm cực trị 2 2 2 2 2 2 2 (0; ) ( 1; 2 1); ( 1; 2 1) ( 1) ( 2 1 ) ; ( 1) ( 2 1 ) A m B m m C m m AB m m m AC m m m + − − − + − − = + + − − − = − + + − − − Ta có AB = AC nên ABC ∆ cân tại A. Vậy ABC ∆ vuông ⇔ µ 2 2 2 2 2 4 2 3 4 3 2 3 2 90 . 0 ( 1; 2 1 ); ( 1; 2 1 ) . 0 ( 1) ( 2 1 ) 0 1 4 1 4 2 4 0 4 6 3 0 0 0( ) 4 6 3 0 1( ) o A AB AC AB m m m AC m m m AB AC m m m m m m m m m m m m m m m TM m m m m L = ⇔ = + − − − = − + − − − = ⇔ − + + − − − = ⇔ − − + + + + + + = ⇔ + + + = =   ⇔ =   + + + = ⇔   = −   uuur uuur uuur uuur uuur uuur Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu Câu 2 (1, 0 điểm): Phương trình đã cho tương đương: 2 2 3 sin cos 2cos 2cos 0 2cos ( 3 sin cos 1) 0 2 cos 0 2 2 2 1 sin ( ) 6 6 2 6 2 5 2 2 3 6 6 x x x x x x x x k x k x x k x k x x x k x k π π π π π π π π π π π π π π ⇔ + − = ⇔ + − =  = +   = +   =      ⇔ ⇔ ⇔ = = = +     + =     = +    + = +      Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 Môn Toán - Khối A, A1 Câu 3 (1, 0 điểm): 3 2 3 2 3 3 3 9 22 3 9 ( 1) 12 23 ( 1) 12x x x y y y x x y y − − + = + − ⇔ − − + = + − 3 3 ( 1) 12( 1) ( 1) 12( 1) (1)x x y y ⇔ − − − = + − + 2 2 1 2 x y x y + − + = 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 (2) 2 2 x y ⇔ − + + = Từ (2) 2 2 1 1 3 1 ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 3 ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 x x x y y y −    − ≤ − ≤ − ≤ ≤ − ≤       ⇔ ⇔    −    + ≤ − ≤ + ≤ ≤ + ≤       Nên x -1 và y+1 đều thuộc (-2;2) Ở (1), xét 3 ( ) 12f t t t = − với ( 2; 2)t ∈ − 2 '( ) 3 12 0 ( 2; 2)f t t t = − < ∀ ∈ − Nên (vì 1; 1 ( 2; 2)x y − + ∈ − ) 2x y ⇔ = + Thay vào phương trình (2): 2 2 2 3 1 ; 1 2 2 ( 2) ( 2) 4 8 3 0 1 3 2 ; 2 2 y x y y y y y y y x −  = =  + + − + + = ⇔ + + = ⇔  −  = =   Vậy hệ có 2 cặp nghiệm: 3 1 1 3 ( ; ) ( ; );( ; ) 2 2 2 2 x y − − = Câu 4 (1, 0 điểm): I = 3 2 1 1 ln( 1)x dx x + + ∫ Đặt u = 1 + ln(x + 1) 2 w 1 z z = + + Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 Môn Toán - Khối A, A1 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 ln( 1) 1 1 ln 4 1 1 (1 ln 2 ) ( ) ( 1) 3 1 dv dx v x x x I dx dx x x x x x − = ⇒ = + + + = − + = + − + − + + ∫ ∫ 3 2 ln 2 2 2 ln ln 3 ln 2 1 3 3 1 3 3 x x = + + = + − + Câu 5 (1, 0 điểm): Ta có: 2 3 4 ABC a S ∆ = Vì ( )SH ABC ⊥ tại H nên · · 0 ;( ) 60SC ABC SCH   = =   Xét tam giác BCH: Ta có: · 2 2 2 2 2 2 0 7 2 . . os ( ) 2 . . os60 3 3 9 a a a CH BC BH BC BH c CBH a a c= + − = + − = Suy ra: 7 3 a CH = Tam giác SCH vuông tại H, có · 0 60SCH = nên: SH = CH. tan 0 60 = 7 21 . 3 3 3 a a = Vậy 2 3 1 1 21 3 7 . . . 3 3 3 4 12 SABC ABC a a a V SH S= = = Dựng hình thoi ACBD trong mp (ABC) Vì BC//AD / /( )BC SAD ⇒ Do đó [ ] [ ] [ ] 3 ; ;( ) ;( ) SABD SAD V d SA BC d BC SAD d B SAD S = = = Ta có: 3 7 12 SABD SABC a V V = = Tam giác SAD có AD = a; DH = CH = 7 3 a Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 Môn Toán - Khối A, A1 SA = 2 2 2 2 21 4 5 9 9 3 a a a SH HA+ = + = SD = 2 2 2 2 21 7 2 7 9 9 3 a a a SH HD + = + = · 2 2 2 2 2 2 25 28 1 9 9 os 5 2 . 5 2. . 3 a a a SA AD SD c SAD a SA AD a + − + − = = = · · 2 2 6 sin 1 os 5 SAD c SAD⇒ = − = · [ ] 2 3 2 1 1 5 2 6 . 6 AS. .sin . . 2 2 3 5 3 7 3. 42 12 ; 8 6 3 SAD a a a S AD SAD a d SA BC a a ∆ = = = = = Câu 6 (1,0 điểmsss): Đặt , ,a x y b y Z c z x = − = − = − Từ giả thiết suy ra ( ) 2 2 2 2x y z xy yz zx + + = − + + Do đó ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 6 2x y z x y y z z x + + = − + − + − Vì vậy nếu đặt , ,a x y b y z c z x = − = − = − thì ss và , ,a b c b c a c a b + ≥ + ≥ + ≥ Ta có ( ) 2 2 2 3 3 3 2 a b c P a b c = + + − + + Vì a b c + ≥ nên ( ) 2 a b c c + ≥ Tương tự ( ) ( ) 2 2 b c a a c a b b + ≥ + ≥ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 Môn Toán - Khối A, A1 Công ba bất đẳng thức trên ta được ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2ab bc ca a b c a b c a b c+ + ≥ + + ⇒ + + ≥ + + Do vậy ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 a b c a b c P a b c a b c ≥ + + − + + = − + − + − Xét hàm ( ) ( ) ( ) ( ) ' 3 , 0 3 ln 3 1 0 0 1 x x f x x x f x f x f = − ≥ = − > ⇒ ≥ = Vì Vậy 3P ≥ , dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 0.ss Câu 7a (1, 0 điểm): : 2 3 0 2 3AN x y y x − − = ⇔ = − Xét α là góc giữa CD và AN tan 3 AD DC ND ND α = = = Gọi k là hệ số góc của CD thì: 2 tan 1 2 k k α − = + (Vì AN có hệ số góc bằng 2) 1 2 3 1 1 2 7 k k k k = −  −  ⇔ = ⇔ −  + =  Từ M, kẻ MH // CD (H ∈ AN) thì H là trung điểm của AN Đặt AB=a thì 1 5 ( ) 2 6 a MH AB CD = + = TH1: k=-1, phương trình MH là: 11 1 1( ) 2 2 6 y x y x = − − + ⇔ = − + Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 Môn Toán - Khối A, A1 H có tọa độ là nghiệm của hệ: 2 2 2 2 6 3 (3;3) 2 3 3 11 1 5 2 ( 3) ( 3) 2 2 2 5 5 2 3 2 6 2 1 1 1 10 . 5 2 2 2 3 y x x H y x y MH a a a HA AN AD DN = − + =   ⇔   = − =   = − + − = = ⇒ = = = + = = A 0 0 : ( ;2 3)AN A x x ∈ − 2 2 2 0 0 0 2 0 0 5 ( 3) (2 3 3) 5 4 (4;5) ( 3) 1 2 (2;1) HA x x x A x x A = ⇔ − + − − = =   ⇔ − = ⇔ ⇔   =   Mặt khác, tù nên . 0HA HM < uuur uuuur Xét A (4; 5) thì 5 5 (1;2) ( ; ) 2 2 HA HM = = − uuur uuuur 5 . 5 0 2 HA HM ⇒ = − < uuur uuuur (4;5)A ⇒ thỏa mãn đề bài. A (2; 1) : Loại Trường hợp 2: 1 7 k − = , phương trình MH là: 1 11 1 1 9 ( ) 7 2 2 7 7 y x y x − − = − + ⇔ = + Tạo độ H là nghiệm 2 2 1 9 2 (2;1) 7 7 1 2 3 11 1 5 2 ( 2) ( 1) 2 2 2 x y x H y y x MH −  = = +   ⇔   =   = −  = − + − = Ta lại có a = 3 2 và 2 2 2 2 0 0 0 5 ( 2) (2 3 1) 5 ( 2) 1HA x x x= ⇔ − + − − = ⇔ − = 0 0 1 (1; 1) 3 (3;3) x A x A = −   ⇔ ⇔   =   Xét A (1 ; -1): Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 7 - Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 Môn Toán - Khối A, A1 ( 1; 2)HA = − − uuur 7 1 ( ; ) 2 2 HM = − uuuur Suy ra: 7 . 1 0 2 HA HM = − + < uuur uuuur (thỏa mãn) Xét A (3; 3): Loại Vậy có hai điểm A: A (4; 5) và A (1;-1) Câu 8a (1, 0 điểm): (d) đi qua M (-1; 0; 2) và có vectơ chỉ phương (1;2;1)u r . Ta có: IH = d[I; (d)] = [ , ]IM u u uuur r r . ( 1;0; 1)IM − − uuur . ,IM u     uuur r = (2; 0; -2). d [I; (d)] = 2 2 2 2 2 2 2 0 ( 2) 2 2 . 6 1 2 1 + + − = + + Ta có: · 0 90 IA IB R AIB = =    =   => ∆ IAB vuông cân tại I. Nên: R = IA = IH. 2 = 2 2 . 3 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 8 - I H B A Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 Môn Toán - Khối A, A1 Vậy phương trình (S): x 2 +y 2 + (z - 3) 2 = 8 . 3 Câu 9.a (1, 0 điểm) 1 3 3 2 4 2 ( 1)( 2) 5 ( 3; ) 5 3 2 30 6 7 3 28 0 4( ) n n n n n C C n n n n n n n n n n n loai − − − = ≥ ∈ ⇔ = = − + = =  ⇔ − − = ⇔  = −  ¥ 7 2 2 2 7 7 7 0 1 1 1 ( ) ( ) ( 1) . ( ) .( ) 14 2 2 k n k k k k nx x x C x x x − = − = − = − ∑ = 14 3 7 7 7 0 ( 1) . . 2 k k k k k x C − − = − ∑ Số hạng chứa 5 x ứng với 14 – 3k = 5 Vậy số hạng chứ 5 x là 5 3 3 7 4 35 ( 1) . . 2 16 x C− = − Câu 7.b (1, 0 điểm) Giả sử phương trình (E) cần tìm là: 2 2 2 2 1 x y a b + = Độ dài trục lớn bằng 8 nên 2a = 8 suy ra a = 4 Xét hệ: 2 2 2 2 2 8 (1) 1 (2) 16 x y x y b  + =   + =   Từ hệ trên, ta thấy 4 giao điểm của (E) và (C) có tọa độ là: 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; )A x y B x y C x y A x y − − − − Với 0 0x > , 0 0y > và ABCD là 1 hình chữ nhật. Để ABCD là hình vuông thì AB = BC 0 0 0 0 2 2y x x y ⇔ = ⇔ = Thay vào phương trình (1) ta được: 2 0 0 2 8 2x x= ⇔ = (vì 0 0x > ) Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 9 - Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 Môn Toán - Khối A, A1 Thay vào (2): 2 2 2 2 2 2 2 4 3 16 1 16 4 3 b b b + = ⇔ = ⇔ = Vậy phương trình (E): 2 2 1 16 16 3 x y + = Câu 8.b (1, 0 điểm) d: 1 2 x + = 1 y = 2 1 z − . (P) : x + y – 2z + 5 = 0; A (1; -1; 2). Viết phương trình ∆ cắt d và (P) lật lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN. Ta có d: 1 2 2 x t y t z t = − +   =   = +  t ∈ R. Gọi M là giao của d và ∆ ta có: M ( -1+2t; t; 2+t). A là trung điểm của MN => 2 2 2 M N A M N A M N A x x x y y y z z z +  =   +  =   +  =    3 2 2 2 2 N N N x t y t z t = −   = − −   = −  . Mà N ∈ (P) => 1.(3-2t) + 1.(-2-t) – 2.(2-t) + 5 = 0.  3 – 2t – 2 – t – 4 + 2t + 5 = 0.  t = 2. Vậy M(3; 2; 4) ∆ qua MA và vectơ chỉ phương MA uuur (-2; -3; -2)//(2; 3; 2). Vậy phương trình ∆ : 1 2 1 3 2 2 x t y t z t = +   = − +   = +  t ∈ R. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - . mãn V y z = 1+i W= 1+i+1+2i-1 w=2+3i⇔ 2 2 w 2 3 13 = + = Giáo viên : Tổ Toán Hocmai.vn Nguồn : Hocmai.vn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư v n: 1900 5 8-5 8-1 2 - Trang. z z = + + Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư v n: 1900 5 8-5 8-1 2 - Trang | 3 - Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 Môn Toán - Khối A, A1 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1. MA uuur (-2 ; -3 ; -2 )//(2; 3; 2). V y phương trình ∆ : 1 2 1 3 2 2 x t y t z t = +   = − +   = +  t ∈ R. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư v n: 1900 5 8-5 8-1 2 - Trang