Toán 4

Kẻ tiếp tuyến Ax với đường trònO,Rvà lấy trên tiếp tuyến đó điểm Psao cho AP R , từ Pkẻ tiếp tuyến thứ hai tiếp xúc với đường tròn O,R tại M .a Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp được

ĐỀ 12 Câu 1 (2,0 điểm)

1) Tính giá trị của các biểu thức sau:

A3 49 25

2

(3 2 5) 20

B

2) Cho biểu thức

1 : 3 1

P

x x x với x0;x1 a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trị của x để P1.

Câu 2 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho Parabol  P : y2x2và đường thẳng  d : y2x4

1.Vẽ Parabol  P và đường thẳng  d trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy

2.Tìm tọa độ giao điểm của Parabol  P và đường thẳng  d bằng phép tính.

3.Viết phương trình đường thẳng  d ' : y ax b  Biết rằng  d ' song song với

 d và  d1 và đi qua điểm N2 3; 

Câu3 (2,0 điểm)

1.Giải phương trình:x2 7x10 0

2.Giải hệ phương trình:

1

x y

x y

 





 



3.Cho phương trình (ẩn x) x2 6x m 0

a)Tìm giá trị mđể phương trình có hai nghiệm phân biệt x ,x1 2

b)Tìm giá trị mđể phương trình có hai nghiệm phân biệt x ,x1 2 thỏa mãn điều kiện x12 x22 12.

Câu 4 (3 điểm)

Cho đường tròn O,R , đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn

O,R và lấy trên tiếp tuyến đó điểm Psao cho AP R , từ Pkẻ tiếp tuyến thứ hai tiếp xúc với đường tròn O,R tại M .

a) Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh BMsong song OP c) Biết đường thẳng vuông góc với ABtại Ocắt BM tại N , AN cắt

OB tại K, PMcắt ON tại I ,PN cắt OM tại J Chứng minh ba điểm K ,I ,J thẳng hàng.

Câu 5 (1 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x2y2z2 3xyz

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

x yz y xz z xy

Hết

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU CHẤM

Câu 1(2 điểm)

1) A16 (0,5 điểm)

3



B (0,5 điểm)

2) Rút gọn biểu thức P.(0,75 điểm)

1 : 3 1

P

1 : 3

P

: 3

P

1 : 3 ( 1)





P

x x

3



P

( 1).3

( 1)( 1)





x x

P

3

1





P

x

b) Tìm giá trị của x để P1.(0,5 điểm)

3

1 1

1

 



x

P

1 3

 x 

4

 x

16

 x

Vậy x16 thì P1

CÂU 2

1 Học sinh tự vẽ hình đúng.(0,5 điểm)

2 Vậy tọa độ giao điểm là 1;2 , 2;8  .(0,5 điểm)

3.(1 điểm) Vì  d' song song với  d nên

2 4

a b









Vì d ' và đi qua điểm N2 3;  nên

2 3

x y









 Thay vào  d' ta có 3 2.2   b b 1(TMĐK b 4) Vậy phương trình

 d' :y 2x 1.

CÂU 3

1 (0,5 điểm) x  7x 10 0

2

       

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

7

5

b

x

a

    

2

7

2

b

x

a

    

2.(0,5 điểm)

Vậy(x;y)(2; 1) .

3(1 điểm) x2 6x m 0

a) ' b '2 ac 9 m.

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì   ' 0  9 m    0 m  9 b)Áp dụng Viet ta có









1 2

1 2

x x m

2 2

2

2

36 4m 4 m 8(tm)

Vậy m8

CÂU 4

I

J

M K

N

O

P

a) (1 điểm)Xét tứ giác APMO có PAO  PMO  900 900  1800  APMOnội tiếp đường tròn đường kính PO

b) (1điểm) Chứng minh BM // OP

BM AM (góc nội tiếp chắn nửa đườn tròn) (1)

PA,PM là hai tiếp tuyến xuất phát từ P POAM (2)

Từ (1),(2)  BM // OP

c) (1 điểm) Tam giác ANBcó NOlà đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên

ANB

 cân tại N

suy ra NOcũng là phân giác

hay ANO ONB

Lại có ANO PAN (so le trong, PA // NO)

ONB NOP (so le trong, PO // BM )

Suy ra ANO ONB  PNOA nội tiếp đường tròn đường kính PO

PNO 900 PAON

   là hình chữ nhật

K

 là trung điểm POvà AN

Ta có JOPcó ON ,PM là các đường cao cắt nhau tại I

I

 là trực tâm JOP JI OP 3

Mặt khác PNMOlà hình thang nội tiếp đường tròn đường kính PO

PNMO

 là hình thang cân

NPO MOP

  hay  JPO JOP

Do đó JPOcân tại Jcó JK là trung tuyến  JKcũng là đường cao

 4

Từ    3 , 4  K ,I ,J thẳng hàng

Câu 5(1 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x2y2z2 3xyz

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

x yz y xz z xy

x y z xyz

yz xz xy

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ;

x y

yz xz ta có:

2

yzxz  yz x z

Tương tự ta cũng có:

;

xzxy x xyyz y

2 2 2

yz xz xz xy xy yz z x y

         

3

yz zx xy x y z x y z

Lại có:

2

4

2

x



Tương tự

y xz  x z z xy  x y

Suy ra

1 2 2 2 1 1 1 1 3

3

2

P

P

 

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 3/2 khi x = y = z = 1