ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN TÊN HỌC PHẦN: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Kinh Doanh - Tiếp Thị - Công Nghệ Thông Tin, it, phầm mềm, website, web, mobile app, trí tuệ nhân tạo, blockchain, AI, machine learning - Công nghệ thông tin ................................... HẾ T ................................... Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Hoàng Thị Thanh Giang Trưởng Bộ môn Phạm Việt Nga KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN Đề số: 09 Ngày thi: 21122017 ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 75 phút Loại đề thi: Tự luận Câu I (1.5 điểm) Cho các ma trận3 2 1 2 0 , 0 1 3 1 1 4 2 A B               . 1. (1.0 đ) Tính,AB BA . 2. (0.5 đ) Tínhdet( )BA . Câu II (2.0 điểm) Tìm điều kiện của tham sốa để hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệ m: .4 5 0 2 1 32 4 6 x y z x ay z ax y z                Câu III (3.0 điểm) Trong không gian vectơ3 cho tập  3 W , , 2 4v x y z y x z     . 1. (0.5 đ) Hãy chỉ ra một vectơ của W khác vectơ không. 2. (1.0 đ) Chứng minh rằng W là một không gian vectơ con của3 . 3. (1.5 đ) Tìm một cơ sở và tính số chiều của W. Câu IV (3.5 điểm) Cho ma trận1 3 2 0 A        . 1. (1.0 đ) Tínhdet( )A I  , từ đó suy ra các giá trị riêng củaA . 2. (2.5 đ) Giả sửA là ma trận của ánh xạ tuyến tính2 2 :f  trong cở sở chính tắc 1 2(1,0), (0,1)U e e   của2 . a) Chứng tỏ rằng ánh xạf được xác định bởi công thức( , ) ( 3 ,2 )f x y x y x   với( , )x y tùy ý thuộc2 . b) Tìm tọa độ của vectơ(2,1)f trong cơ sở 1 2(1,1), (0, 1)B u u    của2 . c) Vectơ(0, 3)v   có thuộcker f không? Tại sao? Chú ý: nếu chưa làm được ý a) thì vẫn được sử dụng kết quả của ý a) để làm các ý b) và c). ................................... HẾ T ................................... Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Hoàng Thị Thanh Giang Trưởng Bộ môn Phạm Việt Nga KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN Đề số: 10 Ngày thi: 21122017 ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 75 phút Loại đề thi: Tự luận Câu I (1.5 điểm) Cho các ma trận4 1 1 3 0 , 1 0 2 1 1 2 2 X Y               . 1. (1.0đ) Tính,XY Y X . 2. (0.5đ) Tínhdet( )Y X Câu II (2.0 điểm) Tìm điều kiện của tham sốa để hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệ m: .3 2 0 3 1 27 4 x y z x ay z ax y z               Câu III (3.0 điểm) Trong không gian vectơ3 cho tập  3 W , , 2 4v x y z x y z     . 1. (0.5 đ) Hãy chỉ ra một vectơ của W khác vectơ không. 2. (1.0 đ) Chứng minh rằng W là một không gian vec tơ con của3 . 3. (1.5 đ) Tìm một cơ sở và tính số chiều của W. Câu IV (3.5 điểm) Cho ma trận0 2 3 1 A        . 1. (1.0 đ) Tínhdet( )A I  , từ đó suy ra các giá trị riêng củaA . 2. (2.5 đ) Giả sửA là ma trận của ánh xạ tuyến tính2 2 :f  trong cở sở chính tắc 1 2(1,0), (0,1)U e e   của2 . a) Chứng tỏ rằng ánh xạf được xác định bởi công thức( , ) (2 ,3 )f x y y x y  với( , )x y tùy ý thuộc2 . b) Tìm tọa độ của vectơ(1, 2)f trong cơ sở 1 2(1,1), (0, 1)B u u    của2 . c) Vectơ(2,0)v  có thuộcker f không? Tại sao? Chú ý: nếu chưa làm được ý a) thì vẫn được sử dụng kết quả của ý a) để làm các ý b) và c). ................................... HẾ T ................................... Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Đỗ Thị Huệ Trưởng Bộ môn Phạm Việt Nga KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN Đề số: 04 Ngày thi: 07012018 ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 75 phút Loại đề thi: Tự luận Câu I (3.0 điểm) Cho ma trận0 0 2 2 1 0 0 1 1 A          vàI là ma trận đơn vị cấp 3. 1. (1.0đ) Tìm ma trậnX thỏa mãn2 3t AA X I  . 2. (2.0đ) Tínhdet( )A I  theo . Từ đó tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của ma trậnA . Câu II (1.5 điểm) Tìm hạng của ma trận:1 2 3 1 1 1 2 1 2 0 12 0 3 2 9 1 A                Câu III (2.5 điểm) Trong không gian vectơ3 cho tập hợp:  3 , , 3 0V v x y z x y z      1) (1.0 đ) Chứng minhV là một không gian vectơ con của3 . 2) (1.5 đ) Hãy tìm một cơ sở choV và tìm tọa độ của véc tơ( 7,2, 1)u    trong cơ sở đó. Câu IV (3.0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính3 2 :f  xác định bởi:  3 , , , ( ) ( 2 , 2 ).u x y z f u x z z y      1) (0.75 đ) Cho3 ,u v  thỏa mãn( ) (2, 3)f u   và( ) (2, 1)f v   . Tìm(2 3 )f u v . 2) (0.5 đ) Vectơ( 2,0)w   có thuộcIm f không ? vì sao? 3) (1.75 đ) Tìm ma trận củaf trong cơ sở 1 2 3(1,1,0), (1,0,1), (1,1,1)U u u u    của3 và cơ sở 1 2(1,1), (1, 2)V v v   của2 . ................................... HẾ T ................................... Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Đỗ Thị Huệ Trưởng Bộ môn Phạm Việt Nga KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN Đề số: 05 Ngày thi: 07012018 ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 75 phút Loại đề thi: Tự luận Câu I (3.0 điểm) Cho ma trận0 0 4 3 1 0 0 1 1 A          vàI là ma trận đơn vị cấp 3. 1. (1.0đ) Tìm ma trậnX thỏa mãn3 2t A A X I  . 2. (2.0đ) Tínhdet( )A I  theo . Từ đó tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trậnA . Câu II (1.5 điểm) Tìm hạng của ma trận1 2 1 3 2 3 0 10 3 4 4 11 2 2 5 8 A              . Câu III (2.5 điểm) Trong không gian vectơ3 cho tập hợp:  3 , , 4 0V v x y z x y z      1. (1.0 đ) Chứng minhV là một không gian vectơ con của3 . 2. (1.5 đ) Hãy tìm một cơ sở choV và tìm tọa độ của véc tơ(7,3, 1)u   trong cơ sở đó. Câu IV (3.0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính3 2 :f  xác định bởi:  3 , , , ( ) ( 2 , 2 ).u x y z f u x y y z      1. (0.75 đ) Cho3 ,u v  thỏa mãn( ) (2, 3)f u   và( ) (2, 1)f v   . Tìm(3 2 )f u v . 2. (0.5 đ) Véctơ( 1,0)w   có thuộcIm f không ? vì sao? 3. (1.75 đ) Tìm ma trận củaf trong cơ sở 1 2 3(1,1,0), (1,0,1), (1,1,1)U u u u    của3 và cơ sở 1 2(1,1), (1, 2)V v v   của2 . ................................... HẾ T ................................... Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Nguyễn Hà Thanh Trưởng Bộ môn Phạm Việt Nga KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN Đề số: 02 Ngày thi: 07012018 ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 75 phút Loại đề thi: Tự luận Câu I (2.0 điểm) Cho ma trận0 2 0 1 2 0 1 0 0 1 0 2 1 0 2 0             A . 1. (1.0 đ) Chứng minh ma trậnA khả nghịch. 2. (1.0 đ) Giả sử ma trận nghịch đảo củaA là1 A . Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận1 4B A  . Câu II (2.0 điểm) Cho biết ma trận1 3 3 3 5 3 6 6 4          B có hai giá trị riêng là1 24, 2     . 1. (0.75 đ) Vectơ 1 1 0          u có phải là một véctơ riêng của ma trậnB không? Vì sao? 2. (1.25 đ) Tìm tất cả các véctơ riêng ứng với giá trị riêng1 4   của ma trậnB . Câu III (3.0 điểm) Trong không gian vectơ3 cho tập hợp  , , 3 2 0V u x y z x y z     và hệ véctơ      1 2 32,1, 1 , 1, 2, 3 , 3,3,0S v v v      . 1. (1.0 đ) Chứng minhS là một cơ sở của3 . 2. (0.5 đ) Cho biết tọa độ của véctơ3 v trong cơ sởS là 4, 2,1 . Tìm.v 3. (1.5 đ) Chứng minhV là không gian véctơ con sinh bởi một hệ véctơ của3 . Câu IV (3.0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính3 2 :f  xác định bởi:     , , 2 ,u x y z f u x y z y z     . 1. (1.5 đ) Tìmker f và chỉ ra một cơ sở củaker f . 2. (1.5 đ) Tìm ma trận củaf trong cơ sở chính tắc của3 và cơ sở 1 2(2,3), (1, 2)S v v   của2 . ................................... HẾ T ................................... Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Nguyễn Hà Thanh Trưởng Bộ môn Phạm Việt Nga KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN Đề số: 03 Ngày thi: 07012018 ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 75 phút Loại đề thi: Tự luận Câu I (2.0 điểm) Cho ma trận1 0 2 0 0 1 0 2 2 0 1 0 0 2 0 1             A . 1. (1.0 đ) Chứng minh ma trậnA khả nghịch 2. (1.0 đ) Giả sử ma trận nghịch đảo củaA là1 A . Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận1 8B A  . Câu II (2.0 điểm) Cho biết ma trận3 1 1 7 5 1 6 6 2             B có hai giá trị riêng là1 24, 2     . 1. (0.75 đ) Vectơ 0 1 1          u có phải là một véctơ riêng của ma trậnB không? Vì sao? 2. (1.25 đ) Tìm tất cả các véctơ riêng ứng với giá trị riêng2 2    của ma trậnB . Câu III (3.0 điểm) Trong không gian vectơ3 cho tập hợp  , , 2 3 0V u x y z x y z     và hệ véctơ      1 2 31,1, 2 , 2,0, 3 , 1,1, 4S v v v       . 1. (1.0 đ) Chứng minhS là một cơ sở của3 . 2. (0.5 đ) Cho biết tọa độ của véctơ3 v trong cơ sởS là 2,3,1 . Tìm.v 3. (1.5 đ) Chứng minhV là không gian véctơ con sinh bởi một hệ véctơ của3 . Câu IV (3.0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính3 2 :f  xác định bởi:     , , 3 ,u x y z f u x y z y z      . 1. (1.5 đ) Tìmker f và chỉ ra một cơ sở củaker f . 2. (1.5 đ) Tìm ma trận củaf trong cơ sở chính tắc của3 và cơ sở 1 2(3, 2), ( 1, 2)S v v    của2 . KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên học phần: Đại số tuyến tính Đáp án đề số : 09 (Ngày thi: 21122017) Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm. Câu Đáp án vắn tắt Điểm I 1.5đ 13 0 5 7 AB      3 4 2 3 1 1 10 10 2 BA          0.5 0.5 2det( ) ... 0BA   0.5 II 2.0đ1 4 5 0 2 1 1 32 4 6 bs A a a           1 2 1 3 2 1 4 5 0 0 8 11 1 0 32 4 4 5 6 H H aH H a a a               2 34 1 4 5 0 0 8 11 1 '''' '''' 0 0 5 40 10 H H a A b C a                   0.25 0.25 0.25 8a   : từ hàng 2 và 3 của mtC có11 1 1 11 80 40 1 2 z z z z             Hệ VN 8a  : hàng 3 của mtC cho ta:0 10z   hệ VN 8a   : hệ có nghiệm vì ( ) '''' 3 ( ) ( )bs r A r A r C r A    KL: Vậy hệ có nghiệm khi8a   . 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 III 3.0đ 1 Cho1, 2x z  thì đk2 4y x z  cho ta2y  . Suy ra vectơ(1,2,2) Wu   0.5 2 Cách 1: Đk2 4 4 2y x z z x y     W ( , ,4 2 ) ,v x y x y x y     0.25 W ( ,0,4 ) (0, , 2 ) ,v x x y y x y     0.25 (1,0,4) (0,1, 2) ,v x y x y     Suy raW là 1 kgvt con của3 . 0.25 0.25 Cách 2: Sử dụng ĐN +)W   do vectơ0 (0,0,0) W  (0.25đ) +) Gs1 1 1 1 2 2 2 2( , , ), ( , , ) Wv x y z v x y z   , 1 2 1 2 1 2 1 2( , , )v v x x y y z z     ,1 1 1 1( , , )v x y z     Viết đúng đk ứng với1 2, Wv v  (0.25đ) +) Kt W đóng kín đv phép cộng vectơ của3 (0.25đ) +) Kt W đóng kín đv phép nhân vectơ của3 với vô hướng (0.25đ) 3 1 2(1,0,4), (0,1, 2)U u u    là 1 hệ sinh củaW 0.5 CmU đltt 1 2,u u là cơ sở củaWdimW=2 0.5 0.5 IV 3.5đ 12 ( )( 1 ) 6 6A I             0 3 2A I          . MtA có 2 gtr là3 và2 0.5 0.5 2 C1:1 1 2( ) 2 ;f e e e  2 1( ) 3f e e (0.25đ)1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ( )u x y xe ye f u xf e yf e      (0.25đ)1 2( ) ( 3 ) (2 )f u x y e x e   ( 3 ,2 )x y x   (0.5đ) C2: ( , ) U x u x y u y          (0.25đ) 1 3 3 ( ) 2 0 2 U x x y f u y x                       (0.5đ) 1.0( ) ( 3 ,2 )f u x y x    (0.25đ)1 2(2,1) (1,4) 3f u u   (0.5đ)(2,1) (1, 3)Bf   0.75( ) ( 9,0) (0,0)f v    (0.5đ)kerv f  0.75 Cán bộ ra đề: Hoàng Thị Thanh Giang Cán bộ soạn đáp án Duyệt đáp án Lê Thị Hạnh Phạm Việt Nga 1 2W (1,0,4), (0,1, 2)span u u    KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên học phần: Đại số tuyến tính Đáp án đề số : 10 (Ngày thi: 21122017) Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm. Câu Đáp án vắn tắt Điểm I 1.5đ 11 1 11 0 XY        2 13 1 1 3 0 6 4 2 YX            0.5 0.5 2det( ) ... 0YX   0.5 II 2.0đ1 3 2 0 3 1 1 27 1 4 bs A a a           1 2 1 3 3 1 3 2 0 0 9 5 1 0 27 3 1 2 4 H H aH H a a a               2 33 1 3 2 0 0 9 5 1 '''' '''' 0 0 16 2 1 H H a A b C a                   0.25 0.25 0.25 9a   : từ hàng 2 và 3 của mtC có5 1 34 1 z z     hệ VN 8a  : hàng 3 của mtC cho ta:0 1z   hệ VN 9, 8a a   : hệ có nghiệm vì ( ) '''' 3 ( ) ( )bs r A r A r C r A    KL: Vậy hệ có nghiệm khi9a   và8a  . 0.25 0.25 0.25 0.25 0.2...

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN BỘ MÔN TOÁN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Đề số: 09 Thời gian làm bài: 75 phút Ngày thi: 21/12/2017 Loại đề thi: Tự luận 3 2 Câu I (1.5 điểm) Cho các ma trận A    1 2 0 , B   0 1 3 1 1  4 2 1 (1.0 đ) Tính AB, BA 2 (0.5 đ) Tính det(BA) Câu II (2.0 điểm) Tìm điều kiện của tham số a để hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm: x  4y  5z  0  2x  ay  z  1 ax  32y  4z  6 Câu III (3.0 điểm) Trong không gian vectơ 3 cho tập W  v   x, y, z 3 |2y  4x  z 1 (0.5 đ) Hãy chỉ ra một vectơ của W khác vectơ không 2 (1.0 đ) Chứng minh rằng W là một không gian vectơ con của 3 3 (1.5 đ) Tìm một cơ sở và tính số chiều của W 1 3 Câu IV (3.5 điểm) Cho ma trận A     2 0 1 (1.0 đ) Tính det(A  I ) , từ đó suy ra các giá trị riêng của A 2 (2.5 đ) Giả sử A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : 2  2 trong cở sở chính tắc U  e1  (1,0),e2  (0,1) của 2 a) Chứng tỏ rằng ánh xạ f được xác định bởi công thức f (x, y)  (x  3y, 2x) với (x, y) tùy ý thuộc 2 b) Tìm tọa độ của vectơ f (2,1) trong cơ sở B  u1  (1,1),u2  (0, 1) của 2 c) Vectơ v  (0, 3) có thuộc ker f không? Tại sao? Chú ý: nếu chưa làm được ý a) thì vẫn được sử dụng kết quả của ý a) để làm các ý b) và c) HẾT Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Hoàng Thị Thanh Giang Trưởng Bộ môn Phạm Việt Nga KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN BỘ MÔN TOÁN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Đề số: 10 Thời gian làm bài: 75 phút Ngày thi: 21/12/2017 Loại đề thi: Tự luận  4 1 Câu I (1.5 điểm) Cho các ma trận X    1 3 0  , Y   1 0  2 1 1 2 2 1 (1.0đ) Tính XY,Y X 2 (0.5đ) Tính det(Y X ) Câu II (2.0 điểm) Tìm điều kiện của tham số a để hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm: x  3y  2z  0   3x  ay  z  1  a x  27 y  z4  Câu III (3.0 điểm) Trong không gian vectơ 3 cho tập W  v   x, y, z 3 |2x  y  4z 1 (0.5 đ) Hãy chỉ ra một vectơ của W khác vectơ không 2 (1.0 đ) Chứng minh rằng W là một không gian vec tơ con của 3 3 (1.5 đ) Tìm một cơ sở và tính số chiều của W 0 2 Câu IV (3.5 điểm) Cho ma trận A    3 1 1 (1.0 đ) Tính det(A  I ) , từ đó suy ra các giá trị riêng của A 2 (2.5 đ) Giả sử A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : 2  2 trong cở sở chính tắc U  e1  (1,0),e2  (0,1) của 2 a) Chứng tỏ rằng ánh xạ f được xác định bởi công thức f (x, y)  (2y,3x  y) với (x, y) tùy ý thuộc 2 b) Tìm tọa độ của vectơ f (1, 2) trong cơ sở B  u1  (1,1),u2  (0, 1) của 2 c) Vectơ v  (2,0) có thuộc ker f không? Tại sao? Chú ý: nếu chưa làm được ý a) thì vẫn được sử dụng kết quả của ý a) để làm các ý b) và c) HẾT Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Hoàng Thị Thanh Giang Trưởng Bộ môn Phạm Việt Nga KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN BỘ MÔN TOÁN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Đề số: 04 Thời gian làm bài: 75 phút Ngày thi: 07/01/2018 Loại đề thi: Tự luận 0 0 2 Câu I (3.0 điểm) Cho ma trận A  2 1 0 và I là ma trận đơn vị cấp 3 0 1 1 1 (1.0đ) Tìm ma trận X thỏa mãn AAt  2X  3I 2 (2.0đ) Tính det(A  I ) theo  Từ đó tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A  1 2 3 1 Câu II (1.5 điểm) Tìm hạng của ma trận: A  1 1 2 1  2 0 12 0    3 2 9 1 Câu III (2.5 điểm) Trong không gian vectơ 3 cho tập hợp: V  v   x, y, z 3 | x  3y  z  0 1) (1.0 đ) Chứng minh V là một không gian vectơ con của 3 2) (1.5 đ) Hãy tìm một cơ sở cho V và tìm tọa độ của véc tơ u  (7,2,1) trong cơ sở đó Câu IV (3.0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f : 3  2 xác định bởi: u   x, y, z 3, f (u)  (x  2z, z  2y) 1) (0.75 đ) Cho u,v  3 thỏa mãn f (u)  (2, 3) và f (v)  (2, 1) Tìm f (2u  3v) 2) (0.5 đ) Vectơ w  (2,0) có thuộc Im f không ? vì sao? 3) (1.75 đ) Tìm ma trận của f trong cơ sở U  u1  (1,1,0),u2  (1,0,1),u3  (1,1,1) của 3 và cơ sở V  v1  (1,1), v2  (1, 2) của 2 HẾT Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Đỗ Thị Huệ Trưởng Bộ môn Phạm Việt Nga KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN BỘ MÔN TOÁN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Đề số: 05 Thời gian làm bài: 75 phút Ngày thi: 07/01/2018 Loại đề thi: Tự luận 0 0 4 Câu I (3.0 điểm) Cho ma trận A  3 1 0 và I là ma trận đơn vị cấp 3 0 1 1 1 (1.0đ) Tìm ma trận X thỏa mãn At A  3X  2I 2 (2.0đ) Tính det(A  I ) theo  Từ đó tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận A  1 2 1 3  Câu II (1.5 điểm) Tìm hạng của ma trận A   2 3 0 10 3 4 4 11   2 2 5 8 Câu III (2.5 điểm) Trong không gian vectơ 3 cho tập hợp: V  v   x, y, z 3 | x  y  4z  0 1 (1.0 đ) Chứng minh V là một không gian vectơ con của 3 2 (1.5 đ) Hãy tìm một cơ sở cho V và tìm tọa độ của véc tơ u  (7,3,1) trong cơ sở đó Câu IV (3.0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f : 3  2 xác định bởi: u   x, y, z 3, f (u)  (x  2y, y  2z) 1 (0.75 đ) Cho u, v  3 thỏa mãn f (u)  (2, 3) và f (v)  (2, 1) Tìm f (3u  2v) 2 (0.5 đ) Véctơ w  (1,0) có thuộc Im f không ? vì sao? 3 (1.75 đ) Tìm ma trận của f trong cơ sở U  u1  (1,1,0),u2  (1,0,1),u3  (1,1,1) của 3 và cơ sở V  v1  (1,1), v2  (1, 2) của 2 HẾT Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Đỗ Thị Huệ Trưởng Bộ môn Phạm Việt Nga KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN BỘ MÔN TOÁN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Đề số: 02 Thời gian làm bài: 75 phút Ngày thi: 07/01/2018 Loại đề thi: Tự luận  0 2 0 1  Câu I (2.0 điểm) Cho ma trận A   2 0 1 0  0 1 0 2   1 0 2 0 1 (1.0 đ) Chứng minh ma trận A khả nghịch 2 (1.0 đ) Giả sử ma trận nghịch đảo của A là A1 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận B  4A1  1 3 3 Câu II (2.0 điểm) Cho biết ma trận B  3 5 3 có hai giá trị riêng là 1  4, 2  2 6 6 4 1 1 (0.75 đ) Vectơ u  1 có phải là một véctơ riêng của ma trận B không? Vì sao? 0 2 (1.25 đ) Tìm tất cả các véctơ riêng ứng với giá trị riêng 1  4 của ma trận B Câu III (3.0 điểm) Trong không gian vectơ 3 cho tập hợp V  u   x, y, z x  3y  2z  0 và hệ véctơ S  v1  2,1, 1, v2  1, 2, 3, v3  3,3,0 1 (1.0 đ) Chứng minh S là một cơ sở của 3 2 (0.5 đ) Cho biết tọa độ của véctơ v  3 trong cơ sở S là 4, 2,1 Tìm v 3 (1.5 đ) Chứng minh V là không gian véctơ con sinh bởi một hệ véctơ của 3 Câu IV (3.0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f : 3  2 xác định bởi: u   x, y, z f u   x  2y  z, y  z 1 (1.5 đ) Tìm ker f và chỉ ra một cơ sở của ker f 2 (1.5 đ) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của 3 và cơ sở S  v1  (2,3), v2  (1, 2) của 2 HẾT Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Nguyễn Hà Thanh Trưởng Bộ môn Phạm Việt Nga KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN BỘ MÔN TOÁN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Đề số: 03 Thời gian làm bài: 75 phút Ngày thi: 07/01/2018 Loại đề thi: Tự luận 1 0 2 0  Câu I (2.0 điểm) Cho ma trận A  0 1 0 2 2 0 1 0   0 2 0 1 1 (1.0 đ) Chứng minh ma trận A khả nghịch 2 (1.0 đ) Giả sử ma trận nghịch đảo của A là A1 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận B  8A1 3 1 1 Câu II (2.0 điểm) Cho biết ma trận B  7 5 1 có hai giá trị riêng là 1  4, 2  2 6 6 2 0 1 (0.75 đ) Vectơ u  1 có phải là một véctơ riêng của ma trận B không? Vì sao? 1 2 (1.25 đ) Tìm tất cả các véctơ riêng ứng với giá trị riêng 2  2 của ma trận B Câu III (3.0 điểm) Trong không gian vectơ 3 cho tập hợp V  u   x, y, z 2x  y  3z  0 và hệ véctơ S  v1  1,1, 2, v2  2,0, 3, v3  1,1, 4 1 (1.0 đ) Chứng minh S là một cơ sở của 3 2 (0.5 đ) Cho biết tọa độ của véctơ v  3 trong cơ sở S là 2,3,1 Tìm v 3 (1.5 đ) Chứng minh V là không gian véctơ con sinh bởi một hệ véctơ của 3 Câu IV (3.0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f : 3  2 xác định bởi: u   x, y, z f u  x  y  3z, y  z 1 (1.5 đ) Tìm ker f và chỉ ra một cơ sở của ker f 2 (1.5 đ) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của 3 và cơ sở S  v1  (3, 2), v2  (1, 2)của 2 HẾT Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Nguyễn Hà Thanh Trưởng Bộ môn Phạm Việt Nga KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC  v  x(1,0,4)  y(0,1,2) | x, y   BỘ MÔN TOÁN HỌC PHẦN W  spanu1  (1,0,4),u2  (0,1,2) 0.25 Tên học phần: Đại số tuyến tính 0.25 Suy ra W là 1 kgvt con của 3 Đáp án đề số : 09 Cách 2: Sử dụng ĐN (0.25đ) +) W   do vectơ 0  (0,0,0)W (Ngày thi: 21/12/2017) Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm Câu Đáp án vắn tắt Điểm +) G/s v1  (x1, y1, z1),v2  (x2, y2, z2 ) W ,   I 1 0.5 1.5đ  3 4 2 0.5 v1  v2  (x1  x2, y1  y2, z1  z2 ) , v1  ( x1, y1, z1) BA   3 1 1 0.5 2 3 0 0.25 Viết đúng đk ứng với v1,v2  W (0.25đ) AB   10 10 2 II 5 7  0.25 +) Kt W đóng kín đv phép cộng vectơ của 3 (0.25đ) 2.0đ det(BA)   0 0.25 +) Kt W đóng kín đv phép nhân vectơ của 3 với vô 1 III 0.25 hướng (0.25đ) 3.0đ 2 0.25 1 4 5 0 0.25 U  u1  (1,0,4),u2  (0,1,2) là 1 hệ sinh của W 0.5 Abs   2 a 1 1 0.25 0.25 3 C/m U đltt  u1,u2 là cơ sở của W 0.5  a 32 4 6 0.5 0.25  dimW=2 0.5 0.25 1 4 5 0 A  I  ()(1 )  6  2    6 0.5 a8 11 1 1 A  I  0    3   2 Mt A có 2 gtr là 3 và 2 0.5 2H1 H2  32  4a 4  5a 6  0 C1: f (e1)  e1  2e2; f (e2 )  3e1 (0.25đ) aH1 H3   0 1 4 5 0 u  (x, y)  xe1  ye2  f (u)  xf (e1)  yf (e2 ) (0.25đ) 4H2 H3  a8 11 1   A' b'  C  0 5a  40 10 IV f (u)  (x  3y)e1  (2x)e2  (x  3y,2x) (0.5đ) 0  3.5đ x  0 C2: u  (x, y)  u[U ]    (0.25đ) 1.0 * a  8 : từ hàng 2 và 3 của mt C có 2 y 11z  1 z  1 / 11 1 3  x x  3y (0.5đ)   Hệ VN  f (u)[U ]     80z  40 z  1 / 2  2 0  y  2x * a  8 : hàng 3 của mt C cho ta: 0z 10  hệ VN  f (u)  (x  3y,2x) (0.25đ) * a  8 : hệ có nghiệm vì f (2,1)  (1,4)  u1  3u2 (0.5đ)  f (2,1)B  (1,3) 0.75 r(A)  r  A'  3  r(C)  r(Abs ) f (v)  (9,0)  (0,0) (0.5đ)  v ker f 0.75 KL: Vậy hệ có nghiệm khi a  8 Cán bộ ra đề: Hoàng Thị Thanh Giang Cho x 1, z  2 thì đk 2y  4x  z cho ta y  2 Cán bộ soạn đáp án Suy ra vectơ u  (1,2,2)W Lê Thị Hạnh Duyệt đáp án Phạm Việt Nga Cách 1: Đk 2y  4x  z  z  4x  2y  W  v  (x, y,4x  2y) | x, y   W  v  (x,0,4x)  (0, y,2y) | x, y   KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC +) W   do vectơ 0  (0,0,0)W (0.25đ) BỘ MÔN TOÁN HỌC PHẦN +) G/s v1  (x1, y1, z1),v2  (x2, y2, z2 ) W ,   Tên học phần: Đại số tuyến tính v1  v2  (x1  x2, y1  y2, z1  z2 ) , v1  ( x1, y1, z1) Đáp án đề số : 10 Viết đúng đk ứng với v1,v2  W (0.25đ) (Ngày thi: 21/12/2017) Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm +) Kt W đóng kín đv phép cộng vectơ của 3 (0.25đ) Câu Đáp án vắn tắt Điểm +) Kt W đóng kín đv phép nhân vectơ của 3 với vô I 1 0.5 1.5đ 2 13 1 0.5 hướng (0.25đ) YX   1 3 0 0.5 2 1 1 U  u1  (1,2,0),u2  (0,4,1) là 1 hệ sinh của W 0.5  6 4 2 0.25 II XY  11 0  0.25 3 C/m U đltt  u1,u2 là cơ sở của W 0.5 2.0đ 0.25  dimW=2 0.5 1 III det(YX )   0 0.25 A  I  ()(1 )  6  2    6 0.5 3.0đ 2 0.25 1 3 2 0 1 3 2 0 0.25 1 A  I  0    3   2 Mt A có 2 gtr là 3 và 2 0.5 0.25 Abs   3 a 1 1 3H1 H2  0 a9 5 1 0.25  0.5  aH1H3   C1: f (e1)  3e2; f (e2 )  2e1  e2 (0.25đ)  a 27 1 4 0.25  0 27  3a 1 2a 4 u  (x, y)  xe1  ye2  f (u)  xf (e1)  yf (e2 ) (0.25đ) 0.25 1 3 2 0 IV f (u)  (2y)e1  (3x  y)e2  (2y,3x  y) (0.5đ) 3H2 H3  a9 5 1   A' b'  C 0.25 (0.25đ) 1.0  0 16  2a 1 0.25 3.5đ x 0 C2: u  (x, y)  u[U ]     2 y  0 5z  1 0 2 x  2y (0.5đ) * a  9 : từ hàng 2 và 3 của mt C có   hệ VN  f (u)[U ]        34z  1 3 1  y 3x  y  * a  8 : hàng 3 của mt C cho ta: 0z 1 hệ VN  f (u)  (2y,3x  y) (0.25đ) * a  9, a  8: hệ có nghiệm vì f (1,2)  (4,5)  4u1  u2 (0.5đ)  f (1,2)B  (4,1) 0.75 r(A)  r  A'  3  r(C)  r(Abs ) f (v)  (0,6)  (0,0) (0.5đ)  v ker f 0.75 KL: Vậy hệ có nghiệm khi a  9 và a  8 Cán bộ ra đề: Hoàng Thị Thanh Giang Duyệt đáp án Cho y  0, z 1 thì từ đk 2x  y  4z có x  2 Cán bộ soạn đáp án Phạm Việt Nga Suy ra vectơ u  (2,0,1)W Cách 1: Đk 2x  y  4z  y  2x  4z Lê Thị Hạnh  W  v  (x,2x  4z, z) | x, z   W  v  (x,2x,0)  (0, 4z, z) | x, z    v  x(1,2,0)  z(0,4,1) | x, z   W  spanu1  (1,2,0),u2  (0,4,1) Suy ra W là 1 kgvt con của 3 Cách 2: Sử dụng ĐN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC III V  v  x(1,0,1)  y(0,1,3) | x, y   0.25 BỘ MÔN TOÁN HỌC PHẦN 2.5đ V  spanu1  (1,0,1),u2  (0,1,3) Tên học phần: Đại số tuyến tính 0.25 Đáp án đề số : 04 V là 1 kgvt con của 3 (Ngày thi: 07/01/2018) Cách 2: +) V   do vectơ 0  (0,0,0)V (0.25đ) Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm +) G/s v1  (x1, y1, z1),v2  (x2, y2, z2 ) V ,   Câu Đáp án vắn tắt Điểm v1  v2  (x1  x2, y1  y2, z1  z2 ) , v1  ( x1, y1, z1) 1 0.25  0 2 0  4 0 2 0.25 Viết đúng đk ứng với v1,v2 V (0.25đ) I At   0 1 1 (0.25đ)  A.At   0 5 1 3.0đ 0.25 +) Kt V đóng kín đv phép cộng vectơ của 3 (0.25đ) 2 0 1 2 1 2 0.25 2 +) Kt V đóng kín đv phép nhân vectơ của 3 với vô 0.25 II 0.5 0 1 0.5 hướng (0.25đ) 1.5đ   0 1 0.5 0.25 X  3 I  1 A.At (0.25đ) 0.25 Một hệ sinh của V là S  u1  (1,0,1),u2  (0,1,3) 0.5 1 22  1 0.5 0.5 0.25 (Chú ý: nếu c/m câu 1 theo cách 2 thì phải c/m rõ ý này)  0 2 0.25 2 Hệ S gồm 2 vectơ khác 0 và không tỷ lệ nên đltt A  I   2 1  0 , 0.25 Hệ S  u1,u2 là 1 cơ sở của V 0.5  0 1 1   0.25 0.25 u  7u1  2u2 (0.25đ)  uS  (7,2) 0.5 0.25 1 f (2u  3v)  2 f (u)  3 f (v) (0.25đ)   (2,3) 0.75 0.5 det(A  I )  (1 )2  4 0.25 w  (2,0)Im f  u  (x, y, z) | f (u)  (2,0) det(A  I )  0    1 Mt A chỉ có 1 gtr là   1 0.25   x  2z  2 z  2y  0  z  2y 0.25 x  4y  2 0.25 véctơ riêng ứng với gtr   1 của mt A là các vectơ x  2 2 VD chọn  có u  (2,0,0) t/m f (u)  w X  x y zt  0 thỏa mãn (A  I )X  0 y  z 0 x  2z  0 x  2z  wIm f 0.25  2x  2y  0    X  2z 2z zt , z  0  y  2z IV Chú ý: nếu sv chỉ luôn được 1 vectơ u t/m f (u)  w thì  y 2z  0 3.0đ vẫn được đủ 0.5đ  1 2 3 1 f (u1)  (1, 2), f (u2 )  (3,1), f (u3)  (3, 1) 0.75 H1H2 0 1 5 2 Với (a,b)  2 có: x, y  t/m xv1  yv2  (a,b) khi 2H1  H3   A  x  y  a, x  2y  b  x  2a  b, y  a  b 0.25 3H1H4 0 4 18 2   0 4 18 2 2 (1, 2)  4v1  3v2  1 2 3 1   4 5 7  (3,1)  5v1  2v2  A   0.5 4H2 H3 0 1 5 2  3 2 4  H H B  r(A)  r(B)  3 (3, 1)  7v1  4v2 0.25 34 0 0 2 6   (Nếu SV viết nhầm thành At thì không cho điểm mt A ) 0 0 0 0 Cán bộ ra đề: Đỗ Thị Huệ Cách 1: Đk x  3y  z  0  z  x  3y Cán bộ soạn đáp án Duyệt đáp án V  v  (x, y, x  3y) | x, y   Đỗ Thị Huệ Phạm Việt Nga KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC III V  v  x(1,1,0)  z(0,4,1) | x, z   0.25 BỘ MÔN TOÁN HỌC PHẦN 2.5đ V  spanu1  (1,1,0),u2  (0,4,1) Tên học phần: Đại số tuyến tính 0.25 Đáp án đề số : 05 V là 1 kgvt con của 3 (Ngày thi: 07/01/2018) Cách 2: +) V   do vectơ 0  (0,0,0)V (0.25đ) Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm +) G/s v1  (x1, y1, z1),v2  (x2, y2, z2 ) V ,   Câu Đáp án vắn tắt Điểm v1  v2  (x1  x2, y1  y2, z1  z2 ) , v1  ( x1, y1, z1) 1 0.25 0 3 0 9 3 0 0.25 Viết đúng đk ứng với v1,v2 V (0.25đ) I At  0 1 1 (0.25đ)  At A  3 2 1 3.0đ 0.25 +) Kt V đóng kín đv phép cộng vectơ của 3 (0.25đ) 4 0 1 0 1 17 0.25 2 +) Kt V đóng kín đv phép nhân vectơ của 3 với vô 0.25 II 7 / 3 1 0 0.5 hướng (0.25đ) 1.5đ X  13 At A  23 I (0.25đ)   1 0 1 / 3 0.25 0.25 Một hệ sinh của V là S  u1  (1,1,0),u2  (0,4,1) 0.5 1  0 1 / 3 5 0.5 (Chú ý: nếu c/m câu 1 theo cách 2 thì phải c/m rõ ý này)  0 4 0.25 2 Hệ S gồm 2 vectơ khác 0 và không tỷ lệ nên đltt A  I   3 1  0 , det(A  I ) 12  (1 )2 1   0.25 Hệ S  u1,u2 là 1 cơ sở của V 0.5  0 1 0.25 0.25 u  7u1  u2 (0.25đ)  uS  (7,1) 0.5 0.5 1 f (3u  2v)  3 f (u)  2 f (v) (0.25đ)   (2,7) 0.75 0.25 det(A  I )  0    3 Mt A chỉ có 1 gtr là   3 w  (1,0)Im f  u  (x, y, z) | f (u)  (1,0) 0.25 véctơ riêng ứng với gtr   3 của mt A là các vectơ 0.25   x  2y  1 y  2z  0  y  2z x  4z 1, 0.25 X  x y zt  0 thỏa mãn (A  3I )X  0 3x  4z  0 x  1 2 VD chọn  có u  (1,0,0) t/m f (u)  w  x  (4 / 3)z y  z 0 3x  2 y  0   y  2z  wIm f 0.25 y 2z  0  X  (4 / 3)z 2z zt , z  0 IV Chú ý: nếu sv chỉ luôn được 1 vectơ u t/m f (u)  w thì 3.0đ vẫn được đủ 0.5đ  1 2 1 3 f (u1)  (1,1), f (u2 )  (1,2), f (u3)  (1,3) 0.75 2H1H2 0 1 2 4  Với (a,b)  2 có: x, y  t/m xv1  yv2  (a,b) khi 3H1  H3 A  x  y  a, x  2y  b  x  2a  b, y  a  b 0.25 2H1H4 0 2 7 2   0 2 7 2 2 (1,1)  3v1  2v2  3 0 5  1 2 1 3 (1, 2)  v2  A 0.5  2H2 H3 0 1 2 4  B (1,3)  5v1  4v2  2 1 4 0.25  0 3 6  r(A)  r(B)  3 H3 H4  (Nếu SV viết nhầm thành At thì không cho điểm A ) 0 0 0 Cán bộ ra đề: Đỗ Thị Huệ 0  0 Cách 1: Đk x  y  4z  0  y  x  4z Cán bộ soạn đáp án Duyệt đáp án V  v  (x, x  4z, z) | x, z   Đỗ Thị Huệ Phạm Việt Nga KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC của hệ S viết dưới dạng cột: A    0.25 BỘ MÔN TOÁN HỌC PHẦN Vì det A 12  0 nên hệ S đltt 0.5 Tên học phần: Đại số tuyến tính 2 v  4v1  2v2 1v3 (0.25đ)  (9,3, 2) 0.5 Đáp án đề số : 02 (Ngày thi: 07/01/2018) Cách 1: Đk x  3y  2z  0  x  3y  2z 0.25 Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm V  v  (3y  2z, y, z) | y, z   0.25 Câu Đáp án vắn tắt Điểm V  v  y(3,1,0)  z(2,0,1) | y, z   0.5 1 2 1 0 2 0 1 0.25 V  spanu1  (3,1,0),u2  (2,0,1) 0.25 I 0.5 2.0đ det A  2 0 0 2  0 1 0 (0.25đ)   9 V là 1 kgvt con của 3 sinh bởi hệ U  u1,u2 0.25 0.25 2 1 2 0 1 0 2 0.25 3 Cách 2: +) V   do vectơ 0  (0,0,0)V (0.25đ) 0.25 +) G/s v1  (x1, y1, z1),v2  (x2, y2, z2 ) V ,   1 det A  0 suy ra A khả nghịch 0.25 II  1  1 1  0.25 v1  v2  (x1  x2, y1  y2, z1  z2 ) , v1  ( x1, y1, z1) 2.0đ AA  I4 (0.25đ)   A4A   I4 hay  A B  I41 0.5 2 4  4  0.25 Viết đúng đk ứng với v1,v2 V (0.25đ) III 1 Suy ra mt nghịch đảo của B là 1 A (0.25đ)  B1    0.25 +) Kt V đóng kín đv phép cộng vectơ của 3 (0.25đ) 3.0đ 4 0.25 +) Kt V đóng kín đv phép nhân vectơ của 3 với vô 0.25 Chú ý: nếu: +) tìm được cụ thể ma trận A1 (0.5đ) 0.25 hướng (0.25đ) 0.25 +) tìm ra ma trận B1 (0.5đ) C/m U  u1,u2 là 1 hệ sinh của V (0.5đ) 0.25 Bu  2 2 0t 0.25 u  (x, y, z)ker f  (x  2y  z, y  z)  0 0.25  x  2y  z  0, y  z  0  x  z, y  z Bu  2u  u là 1vtr của mt B ứng với gtr 2  2 0.25 0.5 0.25 véctơ riêng ứng với gtr 1  4 của mt B là các vectơ 1  ker f  (z, z, z) | z   0.25 t ker f  spanv  (1,1,1) 0.25 X  x y z  0 thỏa mãn (B  4I3)X  0 3x  3y  3z  0 6x  3z  0 mà v  0 nên hệ v  (1,1,1) là 1 cơ sở của ker f 0.25   y  x IV E  e1  (1,0,0),e2  (0,1,0),e3  (0,0,1), f (e1)  (1,0), 0.25 Hệ  3x  9 y  3z  0  6x  3z  0   z  2x 3.0đ f (e2 )  (2,1), f (e3)  (1, 1) 0.25  6x  6y  0 y  x X  x x 2xt , x  0 Với (a,b)  2 có: x, y  t/m xv1  yv2  (a,b) khi Số vectơ của hệ S là 3, bằng số chiều của kg 3 nên: hệ 2 2x  y  a,3x  2y  b  x  2a  b, y  3a  2b 0.25 S là một cơ sở của 3 khi và chỉ khi hệ S đltt Cách 1: G/s có x1, x2 , x3  để x1v1  x2v2  x3v3  0 (1,0)  2v1  3v2  2 3 1  0.5 (2,1)  3v1  4v2  A  3 4 1 0.25 2x1  x2  3x3  0 x1  0 (1, 1)  v1  v2    S đltt x1  2x2  3x3  0 (0.25đ)  x2  0 Cán bộ ra đề: Nguyễn Hà Thanh x1  3x2  0 x  0 Cán bộ soạn đáp án Duyệt đáp án  3 Nguyễn Hữu Hải Phạm Việt Nga (SV được phép bấm máy tính để giải hệ pttt) Cách 2: Lập mt vuông A có các cột chính là các vectơ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC của hệ S viết dưới dạng cột: A    0.25 BỘ MÔN TOÁN HỌC PHẦN Vì det A  6  0 nên hệ S đltt 0.5 Tên học phần: Đại số tuyến tính 2 v  2v1  3v2 1v3 (0.25đ)  (3,1,1) 0.5 Đáp án đề số : 03 (Ngày thi: 07/01/2018) Cách 1: Đk 2x  y  3z  0  y  2x  3z 0.25 Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm V  v  (x,2x  3z, z) | x, z   0.25 Câu Đáp án vắn tắt Điểm V  v  x(1,2,0)  z(0,3,1) | x, z   0.5 1 0 12 0.25 10 2 0.5 V  spanu1  (1,2,0),u2  (0,3,1) 0.25 I 2.0đ det A  0 1 0  2 2 0 0 (0.25đ)   9 0.25 V là 1 kgvt con của 3 sinh bởi hệ U  u1,u2 0.25 0.25 2 201 021 0.25 3 Cách 2: +) V   do vectơ 0  (0,0,0)V (0.25đ) 0.25 +) G/s v1  (x1, y1, z1),v2  (x2, y2, z2 ) V ,   1 det A  0 suy ra A khả nghịch 0.25 II  1  1 1  0.5 v1  v2  (x1  x2, y1  y2, z1  z2 ) , v1  ( x1, y1, z1) 2.0đ AA  I4 (0.25đ)   A8A   I4 hay  A B  I41 0.25 0.25 2 8  8  Viết đúng đk ứng với v1,v2 V (0.25đ) 0.25 III 1 Suy ra mt nghịch đảo của B là 1 A (0.25đ)  B1    0.5 +) Kt V đóng kín đv phép cộng vectơ của 3 (0.25đ) 3.0đ 8 0.25 +) Kt V đóng kín đv phép nhân vectơ của 3 với vô hướng (0.25đ) Chú ý: nếu: +) tìm được cụ thể ma trận A1 (0.5đ) 0.25 (0.5đ) 0.25 C/m U  u1,u2 là 1 hệ sinh của V +) tìm ra ma trận B1 (0.5đ) 0.25 0.25 Bu  0 4 4t u  (x, y, z)ker f  (x  y  3z, y  z)  0 0.25  x  y  3z  0, y  z  0  x  4z, y  z Bu  4u  u là 1vtr của mt B ứng với gtr 1  4 0.5 véctơ riêng ứng với gtr 2  2 của mt B là các vectơ 1  ker f  (4z,z, z) | z   0.25 t ker f  spanv  (4,1,1) 0.25 X  x y z  0 thỏa mãn (B  2I3)X  0 x  y  z  0 mà v  0 nên hệ v  (4,1,1) là 1 cơ sở của ker f 0.25  z  0 IV E  e1  (1,0,0),e2  (0,1,0),e3  (0,0,1), f (e1)  (1,0), 0.25 Hệ 7x  7 y  z  0   y  x 6x  6 y  0 3.0đ f (e2 )  (1,1), f (e3)  (3,1) 0.25 X  x x 0t , x  0 Với (a,b)  2 có: x, y  t/m xv1  yv2  (a,b) khi Số vectơ của hệ S là 3, bằng số chiều của kg 3 nên: hệ 1 1 13 0.25 S là một cơ sở của 3 khi và chỉ khi hệ S đltt 2 3x  y  a,2x  2y  b  x  a  b, y   a  b Cách 1: G/s có x1, x2 , x3  để x1v1  x2v2  x3v3  0 4 8 48 (1,0)  (1 / 4)v1  (1 / 4)v2  1 3  5   4 8 8 0.5 x1  2x2  x3  0 x1  0 (1,1)  (3 / 8)v1  (1 / 8)v2  A       1 1 9 0.25 x1  x3  0 (0.25đ)  x2  0  S đltt (3,1)  (5 / 8)v1  (9 / 8)v2  4 8 8  2x1  3x2  4x3  0 x  3  0 Cán bộ ra đề: Nguyễn Hà Thanh (SV được phép bấm máy tính giải hệ pttt) Cán bộ soạn đáp án Duyệt đáp án Cách 2: Lập mt vuông A có các cột chính là các vectơ Nguyễn Hữu Hải Phạm Việt Nga