1. Trang chủ
  2. » Cao đẳng - Đại học

Baitaphbp new

151 0 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Tiêu đề Bài Tập Hàm Biến Phức
Thể loại bài tập
Năm xuất bản 2022
Định dạng
Số trang 151
Dung lượng 459,17 KB

Nội dung

Hệ thức vừa chứngminh nói lên độ dài của dây AB phải nhỏ hơn hay bằng độ dài cungAB.. Xéthiệu: Trang 12 Ta chứng minh vế phải của hai đẳng thức trên bằng nhau.. Do đó tam giác z1z2z3là

BÀI TẬP HÀM BIẾN PHỨC Ngày 17 tháng 1 năm 2022 2 Mục lục Lời nói đầu 3 1 Số phức, dãy số phức và chuỗi số phức 7 2 Hàm phức 25 3 Hàm chỉnh hình và lí thuyết Cauchy 49 4 Lý thuyết thặng dư 99 Tài liệu tham khảo chính 149 3 4 Lời nói đầu Tác giả 5 6 Chương 1 Số phức, dãy số phức và chuỗi số phức Bài 1.1 Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác, dạng mũ: (1 + i√3)3 √ √4 a) −1−i; b) 1+i 3; c) ; d) ( 3+i) (1−i) −1 − i Lời giải √ 3π a) Ta có | − 1 − i| = 2, arg(−1 − i) = − Do đó 4 √ 3π 3π √ −i 3π −1 − i = 2(cos(− ) +i sin(− )) = 2.e 4 4 4 √ √π b) Ta có |1 + i 3| = 2, arg(1 + i 3) = Do đó 1 + i√3 = 2(cos π + i sin π ) = 2.ei π 3 3 3 3 7 (1 + i√3)3 |1 + i√3|3 8 √ c) Ta có = = √ = 4 2 và −1 − i | − 1 − i| 2 (1 + i√3)3 √ π 3π 7π arg = 3 arg(1 + i 3) − arg(−1 − i) = 3 + = −1 − i 34 4 Do đó (1 + i√3)3 √ 7π 7π √ i 7π = 4 2 (cos + i sin ) = 4 2.e 4 −1 − i √ 4 √4 √ 4 4 d) Ta có |( 3 + i) (1 − i)| = 2 2 = 16 2, và arg((√3 + i)4(1 − i)) = 4 arg(√3 + i) + arg(1 − i) = 4 π − π = 5π 6 4 12 Vậy (√3 + i)4(1 − i) = 16√2.(cos 5π +i sin 5π ) = 16√2.ei 12 5π 2 12 12 Bài 1.2 Rút gọn: a) z = 1−i ; b) z = (1 + i√3)3 1+i Lời giải a) z = 1 − i (1 − i)2 −2i = = = −i 1+i 2 2 √ π π b) 1 + i 3 = 2(cos − i sin ) √ 3 3 z = (1 + i 3)3 = 8(cos π + i sin π) = −8 2 Bài 1.3 Chứng minh rằng |z1 + z2| ≥ 1 (|z1| + |z2|) z1 + z2 2 |z1| |z2| Lời giải Đặt z1 = r1(cos α + i sin α), z2 = r2(cos β + i sin β) Khi đó V T = (r1 cos α + r2 cos β)2 + (r1 sin α + r2 sin β)2 = r21 + r22 + 2r1r2 cos(α − β) 8 V P = 1 (r1+r2) (cos α + cos β)2 + (sin α + sin β)2 = 1 (r1+r2) 2 + 2 cos(α − β) 2 2 2 Từ đó bình phương hai vế dễ dàng suy ra bất đẳng thức đúng Bài 1.4 Chứng minh |1 − z1.z2|2 − |z1 − z2|2 = (1 − |z1|2)(1 − |z2|2) Lời giải Chú ý rằng |Z|2 = Z.Z¯ Ta có |1 − z1.z2|2 − |z1 − z2|2 = (1 − z1.z2)(1 − z1.z2) − (z1 − z2)(z1 − z2) = (1 − z1.z2)(1 − z1.z2) − (z1 − z2)(z1 − z2) = 1 − z1z2 − z1z2 + z1z1z2z2 − z1z1 + z1z2 + z2z1 − z2z2 = 1 + |z1|2|z2|2 − |z1|2 − |z2|2 = (1 − |z1|2)(1 − |z2|2) 2 Bài 1.5 Chứng minh |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2) Lời giải Ta có |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = (z1 + z2)(z1 + z2) + (z1 − z2)(z1 − z2) 9 = (z1 + z2)(z1 + z2) + (z1 − z2)(z1 − z2) = z1z1 + z1z2 + z2z1 + z2z2+ z1z1 − z1z2 − z2z1 + z2z2 = 2(|z1|2 + |z2|2) Cách 2 Gọi z1 = a + bi, z2 = c + di V T = |(a + c) + i(b + d)|2 = |(a − c) + i(b − d)|2 = [(a + c)2 + (b + d)2] + [(a − c)2 + (b − d)2] 2 = 2[(a2 + b2) + (c2 + d2)] = 2(|z1|2 + |z2|2) = V P Bài 1.6 Tìm căn các số phức sau: a) √3 1; b) √4 1; c) √3 −2 + 2i Lời giải a) 1 = 1.e0i nên √3 1 = e(2kπi)/3 (k = 0, 1, 2) hay √3 −1 √3 −1 √ 3 1 = 1, + i , − i 2 22 2 b) √4 −1 = e 4 π+2kπ (k = 0, 1, 2, 3) hay √ √ √ √ √ √√ √ √4 −1 = 2 + i 2 , − 2 + i 2 , − 2 − i 2 , 2 − i 2 2 22 22 22 2 c) −2 + 2i = √8ei 43π Do đó (k = 0, 1, 2) √3 −2 + 2i = √2ei 12 3π+8kπ Vậy √3 −2 + 2i = √2ei 4π , √2ei 12 11π , √2ei 12 19π 10

Ngày đăng: 12/03/2024, 21:56

w