Baitaphbp new

Hệ thức vừa chứngminh nói lên độ dài của dây AB phải nhỏ hơn hay bằng độ dài cungAB.. Xéthiệu: Trang 12 Ta chứng minh vế phải của hai đẳng thức trên bằng nhau.. Do đó tam giác z1z2z3là

BÀI TẬP HÀM BIẾN PHỨC

Ngày 17 tháng 1 năm 2022

Lời nói đầu

Tác giả

√3+i)4(1−i).

d) Ta có |(√

3 + i)4(1 − i)| = 24√

2 = 16√

2, vàarg((√

Bài 1.2 Rút gọn: a) z = 1 − i

1 + i; b) z = (1 + i

√3)3

Lời giải Đặt z1 = r1(cos α + i sin α), z2 = r2(cos β + i sin β) Khi đó

V T =p(r1cos α + r2cos β)2+ (r1sin α + r2sin β)2 =

q

r2

1 + r2

2 + 2r1r2cos(α − β)

V P = 1

2(r1+r2)

p(cos α + cos β)2+ (sin α + sin β)2 = 1

|z1+ z2|2+ |z1− z2|2 = 2(|z1|2+ |z2|2)

Lời giải Ta có |z1+ z2|2+ |z1 − z2|2

= (z1+ z2)(z1+ z2) + (z1 − z2)(z1− z2)

= (z1+ z2)(z1+ z2) + (z1− z2)(z1− z2)

= z1z1 + z1z2+ z2z1+ z2z2+ z1z1− z1z2− z2z1+ z2z2

= 2(|z1|2+ |z2|2)

Cách 2 Gọi z1 = a + bi, z2 = c + di

V T = |(a + c) + i(b + d)|2 = |(a − c) + i(b − d)|2

2 ,

−1

2 − i

√32b)√4

2 ,

−√2

√2

2 ,

−√2

√2

2 ,

√2

2 − i

√22c) −2 + 2i =√

2Bài 1.7 Chứng minh

z

|z|− 1

≤ | arg z| và giải thích ý nghĩa hìnhhọc

Lời giải Viết z = r(cos ϕ + i sin ϕ) Khi đó

Bài 1.8 Chứng minh rằng nếu z1+ z2 + z3 = 0 và |z1| = |z2| =

|z3| = 1 thì những điểm z1, z2, z3 là 3 đỉnh của một tam giác đều nộitiếp trong hình tròn đơn vị

Lời giải Vì |z1| = |z2| = |z3| = 1 nên z1, z2, z3 thuộc đường trònđơn vị Ta chỉ cần chứng minh |z1− z2| = |z2− z3| = |z3− z1| Xéthiệu:

|z1− z2|2− |z2− z3|2 = z2z3 + z2z3− z2z1− z1z2;

|z1− z3|2− |z2− z3|2 = z2z3 + z2z3− z1z3− z1z3

Ta chứng minh vế phải của hai đẳng thức trên bằng nhau Thật vậy

|z1− z3| Tương tự ta có |z1− z2| = |z2− z3| Do đó tam giác z1z2z3

là tam giác đều và do đó nó là tam giác đều nội tiếp trong hình trònđơn vị

Mặt khác từ z1| = |z2| = |z3| = 1 suy ra

OA = OB = OC = 1

Do đó O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Vậy tam giác ABC có trọng tâm trùng tâm ngoại tiếp nên nó phải

Bài 1.9 Tìm điều kiện cần và đủ để 3 điểm z1, z2, z3 từng đôi mộtkhác nhau cùng nằm trên một đường thẳng

Lời giải =⇒) Do z1, z2, z3 cùng nằm trên một đường thẳng nên

Bài 1.10 Cho biết 2 đỉnh liên tiếp z1 và z2 của đa giác đều n cạnh.Tìm đỉnh z3 kề với z2(z3 6= z1)

Lời giải Viết z3 = z2+ (z3− z2)

Rõ ràng |z3− z2| = |z2− z1| và góc giữa z3− z2 với z2− z1 là 2π

n .Nên z3− z2 = (z2− z1)ei2π/n

Bài 1.11 Chứng minh rằng cả hai giá trị √

z2− 1 nằm trên đườngthẳng đi qua gốc toạ độ và song song với đường phân giác của góctrong của tam giác với đỉnh tại các điểm −1, 1, z và đường phân giácnày đi qua điểm z

Lời giải Giả sử z2 − 1 = r(cos ϕ + i sin ϕ) với r > 0, 0 ≤ ϕ < 2π.Khi đó tập giá trị của√

z2− 1 là{√r(cosϕ

2 + sin

ϕ

2);

√r(cos(ϕ

2 + π) + sin(

ϕ

2 + π))}.

Ta có z12 = (z − 1)(z + 1), nên arg z1 = 1

2(arg(z − 1) + arg(z + 1)).

Từ hình vẽ và lý luận trên ta suy ra z1 nằm trên đường thẳng chứaphân giác trong tại đỉnh 0 của tam giác có ba đỉnh là 0, z − 1, z + 1.Dựa vào tính chất hình bình hành, tính chất đường thẳng song song,

ta dễ thấy đường thẳng này song song với (cùng phương với) đườngphân giác của góc trong của tam giác có ba đỉnh là z, −1, 1 tại đỉnhz

Do đó, z1 thuộc đường thẳng đi qua gốc toạ độ thoả mãn yêu cầubài toán Từ đó tập giá trị√

z2− 1 thoả mãn yêu cầu bài toán 2Bài 1.12 Cho n + 1 số phức z, z1, z2, · · · , zn Hãy chứng minh rằngnếu Im(z.zk) > 0, 1 ≤ k ≤ n thì: Pn

z1n+ z2n+ zn3 = zn1.z2n+ z2n.z3n+ z3n.z1n, ∀n ∈ Z

Lời giải.

2Bài 1.14 Chứng minh rằng với giá trị k > 0, k 6= 1, phương trình

|(z − a)/(z − b)| = k

là phương trình đường tròn Tìm tâm và bán kính đường tròn đó

Lời giải Xét phương trình |(z − a)/(z − b)| = k (1)

(1) tương đương với |z|2− 2Re(za) + |a|2 = k2(|z|2− 2Re(zb) +

= |a|2 − 2Re(ak2b) + k4|b|2− |a|2+ k2|b|2+ k2|a|2− k4|b|2

= k2|a|2− 2Re(ak2b) + k2|a|2

= k2|a − b|2

Do đó (2) suy ra