PHẦN TÓM TẮT TOÁN KINH TẾ 1 (ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG – 4ĐVHT)

Kinh Tế - Quản Lý - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Kinh tế Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân 1 TÓM TẮT NGẮN GỌN PHẦN LÝ THUYẾT TOÁN KINH TẾ 1 I. Mô hình cân đối liên ngành (Mô hình Input – Ouput của Leontief) : 1) Khái niệm : Giả sử một nền kinh tế gồm n ngành sản xuất, ngành 1, 2,3, , n . Gọi ix là giá trị tổng cầu về sản phẩm của ngành  1,i i n (Tổng giá trị sản phẩm ngành i ), ib là giá trị cầu cuối cùng (Cầu về sản phẩm ngành i từ phía các hộ tiêu dùng và các nhà xuất khẩu), ikx là giá trị cầu trung gian (Cầu về sản phẩm ngành i từ phía ngành k hay nói một cách khác là số tiền mà ngành k bỏ ra mua sản phẩm ngành i làm nguyên liệu đầu vào). Từ đó, ta có : Công thức tổng cầu về sản phẩm hàng hóa của ngành  1,i i n là i1 2 3 (1)i i i ik ix x x x x b      . Công thức tỷ phần chi phí đầu vào của ngành k đối với sản phẩm i là (0 1) ik ik ik k x a a x    (Được giả thiết là ổn định đối với mỗi ngành sản xuất và trong suốt quá trình sản xuất). Ý nghĩa ika (còn gọi là hệ số đầu vào hay gọi là hệ số kỹ thuật) : Để ngành k sản xuất ra được 1 đơn vị (đồng) giá trị sản phẩm của mình thì nó phải bỏ ra là ika đơn vị (đồng) giá trị sản phẩm để mua sản phẩm của ngành i để làm nguyên liệu đầu vào. Ví dụ : Giả sử 12 0, 2a  có nghĩa là để sản xuất ra 1 đồng giá trị sản phẩm thì ngành 2 đã phải chi 0, 2 đồng để mua sản phẩm của ngành 1 làm nguyên liệu đầu vào cho quá trình sản xuất. Nếu đặt   11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 n n ik n n n n n nn a a a a a a a a A a a a a a a a a a                           (Hàng là biểu diễn cho dữ liệu đầu vào, cột là biểu diễn cho dữ liệu đầu ra) là ma trận hệ số kỹ thuật (ma trận hệ số chi phí đầu vào), 1 2 3 n x x X x x                  là ma trận tổng cầu, 1 2 3 n b b b b b                  (hay 1 2 3( , , , , )nb b b b b  là vector cầu cuối) là ma trận cầu cuối cùng thì từ phương trình (1) ta thay .ik ik kx a x ta được : i1 1 i2 2 , 1,i in n ix a x a x a x b i n      . Hay biểu diễn dưới dạng phương trình ma trận là (2)X AX b  , tức là : Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân 2 1 11 12 13 1 1 1 2 21 22 23 2 2 2 3 31 32 33 3 3 3 1 2 3 n n n n n n n nn n n x a a a a x b x a a a a x b x a a a a x b x a a a a x b                                                                              . 2) Bài toán : Cho ma trận hệ số kỹ thuật A và ma trận cầu cuối b . Vấn đề đặt ra ở đây là cách tìm ma trận tổng cầu như thế nào? Từ (2) ta suy ra     1 X AX b IX AX b I A X B X I A b             (Trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A và I A là ma trận không suy biến, tức là  det 0I A  ). Ví dụ 1 : Cho ma trận hệ số kỹ thuật 0,3 0, 2 0,3 0, 4 0,3 0, 2 0,1 0, 2 0, 4 A            và ma trận cầu cuối 10 20 30 b            . a) Hãy giải thích ý nghĩa kinh tế của số 0,1 trong ma trận A . Để ngành 1 sản xuất ra được 1 đơn vị giá trị sản phẩm của mình thì nó phải bỏ ra 0,1 giá trị sản phẩm để mua sản phẩm ngành 3 làm nguyên liệu đầu vào. b) Tính ma trận tổng cầu X . Ta có : 1 0 0 0,3 0, 2 0,3 0, 7 0, 2 0,3 0 1 0 0, 4 0,3 0, 2 0, 4 0, 7 0, 2 0 0 1 0,1 0, 2 0, 4 0,1 0, 2 0,6 I A                                     (Ma trận Loentief)       0, 7 0, 2 0,3 0, 7 0, 2 0, 4 0, 2 0, 4 0,7 det 0, 4 0, 7 0, 2 0, 7 0, 2 0,3 0, 2 0, 6 0,1 0, 6 0,1 0, 2 0,1 0, 2 0, 6 I A                              det 0, 7 0, 42 0, 04 0, 2 0, 24 0, 02 0,3 0, 08 0, 07 0,169 0I A          .   1 0, 7 0, 2 0, 2 0,3 0, 2 0,3 0, 2 0, 6 0, 2 0, 6 0, 7 0, 2 0,38 0,18 0, 25 0, 4 0, 2 0, 7 0,3 0, 7 0,31 1 0, 26 0,39 0, 26 0,1 0, 6 0,1 0, 6 0, 4 0, 20,169 0,169 0 0, 4 0, 7 0,7 0, 2 0, 7 0, 2 0,1 0, 2 0,1 0, 2 0, 4 0, 7 I A                                          ,15 0,16 0, 41           .   1 0,38 0,18 0, 25 10 3,8 3, 6 7,5 14,9 88,16568 1 1 1 0, 26 0,39 0, 26 20 2, 6 7,8 7,8 18, 2 107, 6923 0,169 0,169 0,169 0,15 0,16 0, 41 30 1,5 3, 2 12,3 17, 0 100,5917 X I A b                                                            . Ví dụ 2 : Xét mô hình input – output mở (tức là giá trị tổng các số ở mỗi cột nhỏ hơn 1 ) gồm 3 Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân 3 ngành với ma trận hệ số đầu vào là 0, 2 0,3 0, 2 0,1 0, 2 0,1 0,3 0, 4 0, 2 A            và giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành là 50 60 40           (đơn vị tính tỷ đồng). Hãy xác định giá trị tổng cầu của từng ngành sản xuất. Ta có : 1 0 0 0, 2 0,3 0, 2 0,8 0,3 0, 2 0 1 0 0,1 0, 2 0,1 0,1 0,8 0,1 0 0 1 0,3 0, 4 0, 2 0,3 0, 4 0,8 I A                                           0,8 0,3 0, 2 0,8 0,1 0,1 0,1 0,1 0,8 det 0,1 0,8 0,1 0,8 0,3 0, 2 0, 4 0,8 0,3 0,8 0,3 0, 4 0,3 0, 4 0,8 I A                             det 0,8 0, 64 0,04 0,3 0, 08 003 0, 2 0, 04 0, 24 0,391 0I A          .   1 0,8 0,1 0,3 0, 2 0,3 0, 2 0, 4 0,8 0, 4 0,8 0,8 0,1 0, 60 0,32 0,19 0,1 0,1 0,8 0, 2 0,8 0, 21 1 0,11 0,58 0,10 0,3 0,8 0,3 0,8 0,1 0,10,391 0,391 0 0,1 0,8 0,8 0,3 0,8 0,3 0,3 0, 4 0,3 0, 4 0,1 0,8 I A                                          , 28 0, 41 0, 61           .   1 0, 60 0,32 0,19 50 30, 0 19, 2 7, 6 56,8 145, 2685 1 1 1 0,11 0,58 0,10 60 5,5 34,8 4, 0 44,3 113, 2992 0,391 0,391 0,391 0, 28 0, 41 0, 61 40 14, 0 24, 6 24, 4 63, 0 161,1253 X I A b                                                            . Vậy giá trị tổng cầu của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 1 145, 2685x  (tỷ đồng), 2 113, 2992x  (tỷ đồng) và 3 161,1253x  (tỷ đồng). Ví dụ 3 : Xét mô hình input – output mở (tức là giá trị tổng của mỗi cột nhỏ hơn 1 ) gồm 3 ngành với ma trận hệ số đầu vào là 0, 4 0, 2 0, 2 0, 2 0,3 0,1 0,3 0, 4 0, 2 A            và vector cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành là  100, 300, 500b  . a) Tìm sản lượng của 3 ngành kinh tế. Ta có : 1 0 0 0, 4 0, 2 0, 2 0, 6 0, 2 0, 2 0 1 0 0, 2 0,3 0,1 0, 2 0, 7 0,1 0 0 1 0,3 0, 4 0, 2 0,3 0, 4 0,8 I A                                     . Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân 4       0, 6 0, 2 0, 2 0, 7 0,1 0, 2 0,1 0, 2 0, 7 det 0, 2 0, 7 0,1 0, 6 0, 2 0, 2 0, 4 0,8 0,3 0,8 0,3 0, 4 0,3 0, 4 0,8 I A                              det 0, 6 0,56 0, 04 0, 2 0,16 0, 03 0, 2 0, 08 0, 21 0, 216 0I A          .   1 0,52 0, 24 0,16 1 0,19 0, 42 0,10 0, 216 0, 29 0,30 0,38 I A              .   1 0,52 0, 24 0,16 100 52 72 80 204 944, 4444 1 1 1 0,19 0, 42 0,10 300 19 126 50 195 902, 7778 0, 216 0, 216 0, 216 0, 29 0,30 0,38 500 29 90 190 309 1430,5560 X I A b                                                       . Vậy mức sản lượng của các ngành kinh tế 1, 2, 3 lần lượt là 1 944, 4444x  , 2 902, 7778x  và 3 1430,5560x  . b) Tìm mức sản lượng của 3 ngành với điều kiện ngành 2 tiết kiệm 25 nguyên liệu lấy từ ngành 3 (do cải tiến kỹ thuật) và với ma trận cầu cuối đối với 3 ngành trên là  120, 400, 650 . Do cải tiến kỹ thuật ngành 2 nên nguyên liệu lấy từ ngành 3 để cung cấp cho ngành 2 giảm 2 5 . Như vậy 3 2 0 , 4a  (Tức là hàng 3 và cột 2 ) lúc đầu chưa cải tiến, sau khi cải tiến kỹ thuật nên ta có 3 2 0 , 4 0 , 4 2 5 0 , 4 0 , 1 0 , 3a       . Từ đó ta có ma trận hệ số đầu vào mới là 0, 4 0, 2 0, 2 0, 2 0,3 0,1 0,3 0,3 0, 2 A            . Ta có : 1 0 0 0, 4 0, 2 0, 2 0, 6 0, 2 0, 2 0 1 0 0, 2 0,3 0,1 0, 2 0, 7 0,1 0 0 1 0,3 0,3 0, 2 0,3 0,3 0,8 I A                                     .       0, 6 0, 2 0, 2 0, 7 0,1 0, 2 0,1 0, 2 0, 7 det 0, 2 0, 7 0,1 0, 6 0, 2 0, 2 0,3 0,8 0,3 0,8 0,3 0,3 0,3 0,3 0,8 I A                              det 0, 6 0,56 0, 03 0, 2 0,16 0, 03 0, 2 0, 06 0, 21 0, 226 0I A          .   1 0,53 0, 22 0,16 1 0,19 0, 42 0,10 0, 226 0, 27 0, 24 0,38 I A              .   1 0,53 0, 22 0,16 120 63, 6 88 104 255, 6 1130,973 1 1 1 0,19 0, 42 0,10 400 22,8 168 65 255,8 1131,858 0, 226 0, 226 0, 226 0, 27 0, 24 0,38 650 32, 4 96 247 375, 4 1661, 062 X I A b                                                            . Vậy mức sản lượng của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 1 1130,973x  , 2 1131,858x  và 3 1661, 062x  . Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân 5 II. Mô hình cân bằng thị trường : 1) Mô hình cân bằng thị trường 1 loại hàng hóa : Giả sử P là giá của 1 loại hàng hóa. Ký hiệu ( )DQ D P (Giảm) là lượng cầu, ( )SQ S P (Tăng) là lượng cung. Ví dụ : 120 3DQ P  hàm giảm, 2 100SQ P  hàm tăng. Biểu thức 1 ( )DP D Q   được gọi là hàm cầu đảo, 1 ( )SP S Q   là hàm cung đảo. P 1 ( )DD Q 1 ( )SP S Q   E P 0 Q Q  ,S DQ Q E Q P  là điểm cân bằng cung cầu (Điểm cân bằng thị trường). Ví dụ : a) 1 1 60 3 ( ) 20 , 4 100 ( ) 25 3 4 S D D D S S Q Q Q P P D Q Q P P S Q              . b) Cho 120 2 , 4 60D SQ P Q P    . Tìm giá, lượng khi cân bằng thị trường. Ta có : 120 2 4 60 6 180 30 60D SQ Q P P P P Q           . 2) Mô hình cân bằng thị trường n loại hàng hóa : Giả sử 1 2 3, , , , nP P P P là giá của n hàng hóa có liên quan. Ký hiệu  1 2 3, , , ,iD i nQ D P P P P  là lượng cầu hàng hóa i và  1 2 3, , , ,iS i nQ S P P P P  là lượng cung hàng hóa i . Khi đó mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa là , 1,i iD SQ Q i n  . Bộ  1 2 2 2, , , ,P P P P P  được gọi là bộ giá cân bằng thị trường, bộ  1 2 3, , , , nQ Q Q Q Q  được gọi là lượng cân bằng thị trường. Ví dụ : a) Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường ba loại hàng hóa như sau : 1 1 2 320 3SQ P P P    , 1 2 2 3 32 3 1 3 2 3 1 3 2 340 3 , 20 2 , 70 , 90 2 , 20 3 3D S D S DQ P P Q P P Q P P Q P P Q P P               . Khi thị trường cân bằng hãy thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số là 1 2 3, ,P P P . Thiết lập hệ phương trình : 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 20 3 40 3 2 2 20 20 2 70 50 90 2 20 3 3 2 3 2 70 S D S D S D Q Q P P P P P P P P Q Q P P P P P P P P P P P P P PQ Q                                          . b) Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường ba loại hàng hóa như sau : 1 1 2 330 2SQ P P P    , 1 2 2 3 32 3 1 3 2 3 1 3 2 340 3 , 20 2 2 , 70 3 3 , 90 3 3 , 50 2D S D S DQ P P Q P P Q P P Q P P Q P P               . Khi thị Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân 6 trường cân bằng hãy thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số là 1 2 3, ,P P P . Sau đó sử dụng qui tắc Cramer (Phương pháp định thức) xác định giá và lượng cân bằng thị trường của ba mặt hàng. Thiết lập hệ phương trình : 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 30 2 40 3 2 10 20 2 2 70 3 3 2 3 5 50 90 3 3 50 2 3 2 4 40 S D S D S D Q Q P P P P P P P P Q Q P P P P P P P P P P P P P PQ Q                                         . Qui tắc Cramer : , a b c a b e f d f d e ad cb d e f a b c c d h i g i g h g h i      . , , , , 0 x y x y z z D x D ax by cz d a b c d b c a d c a b d D ex fy gz h D e f g D h f g D e h g D e f h y D D ix jy kz l i j k l j k i l k i j l D z D                               . Ta có : 1 2 3 1 1 2 10 1 2 1 10 2 1 1 10 2 3 5 1, 50 3 5 20, 2 50 5 70, 2 3 50 40 3 2 4 40 2 4 3 40 4 3 2 40 P P PD D D D                  . Vậy : Bộ giá cân bằng thị trường là  20, 70, 40P  tương ứng với bộ lượng cân bằng thị trường là  230, 20, 150Q   . c) Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường ba loại hàng hóa như sau : 1 1 32 3 20SQ P P   , 1 2 2 3 31 2 1 3 2 3 1 3 2 310 2 , 30 2 3 , 80 5 4 , 2 30, 40 2D S D S DQ P P Q P P Q P P Q P P Q P P               . Khi thị trường cân bằng hãy thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số là 1 2 3, ,P P P . Sau đó bằng phương pháp ma trận nghịch đảo hãy xác định bộ giá và lượng cân bằng thị trường của ba mặt hàng. Thiết lập hệ phương trình : 1 1 2 2 3 3 1 3 1 2 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 2 3 20 10 2 2 30 30 2 3 80 5 4 2 5 7 50 2 30 40 2 4 70 S D S D S D Q Q P P P P P P P Q Q P P P P P P P P P P P P P PQ Q                                        . Phương pháp ma trận nghịch đảo :     1 det( ) 0 a b c A d e f aei bfg cdh ceg bdi ahf A g h i            . Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân 7 1 1 det( ) e f b c b c h i h i e f d f a c a c A g i d i d f A d e a b a b g h d h d e                       . 1 1 2 31 1 1 1 2 3 1 2 2 2 1 2 3 2 1 2 3 3 3 3 1 2 3 3 1 2 1 det( ) x a b b b c bx a b c b x a b b b c b AX B X A B x d e f b x d b e b f b x d b e b f b A x g h i b x g b h b i b x g b h b i                                                                                             3b      Ta có : 3 3 22 2 1 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 5 7 det( ) 2 5 7 0 1 1 0 1 1 1 ( 1) 2 2 0 1 1 4 1 1 4 0 1 1 0 0 2 h h hh h h h h h A A                                  . 11 1 1 2 2 2 3 3 3 3513 5 1 13 5 1 30 70 1 1 1 1 1 1 1 1 1 50 50 25 2 2 2 3 1 1 3 1 1 70 30 15 PP P A P P P P P P                                                                                . Vậy : Bộ giá cân bằng thị trường là  35, 25, 15P  tương ứng với bộ lượng cân bằng thị trường là  95, 145, 35Q  . 3) Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân : a) Thị trường đóng : Ta gọi Y là tổng thu nhập quốc dân, G là chi tiêu chính phủ, I là đầu tư chính phủ và C là chi tiêu hộ gia đình. Khi đó tổng thu nhập quốc dân được tính bằng công thức Y G I C   , trong đó giả thiết chi tiêu chính phủ và đầu tư là cố định ( 0 0,G G I I  ), còn chi tiêu hộ gia đình là (0 1, 0), (1 )d dC aY b a b Y Y tY t Y         , dY là thu nhập sau thuế, t là thuế suất thu nhập. Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân là một hệ phương trình gồm 2 hai phương trình và 2 ẩn là Y và C . Cụ thể là : 0 0Y C G I aY C b        (Mô hình không chịu thuế). 0 0 (1 ) Y C G I a t Y C b         (Mô hình chịu thuế). Ta có :   0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 , , ( ) 1 1 Y C G I G I D a a D G I b D b a G I a b a b                     . Vậy : 0 0 1 Y G I b D Y D a      (Thu nhập quốc dân cân bằng), 0 0( ) 1 CD b a G I C D a      (Chi tiêu cân bằng). Ví dụ : Cho 0 00, 6 300, , , (1 )d dC Y G G I I Y t Y      . ) Sử dụng qui tắc Cramer , hãy xác định mức thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng. Ta có : Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân 8 0 0 0 0 1 1 1 0, 6(1 ) 0, 6 300 0, 6(1 ) 300 0, 6(1 ) 1 d Y G I C Y C G I D t C Y t Y C t                        . 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 300, 300 0, 6(1 )( ) 300 1 0, 6(1 ) 300 Y C G I G I D G I D t G I t               . Vậy : 0 0 0 0300 300 0, 6(1 )( ) , 1 0, 6(1 ) 1 0, 6(1 ) CY G I D t G I D Y C D t D t              . ) Tính thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng với 0 0200, 500I G  (tỷ đồng) và 0,15 (15)t  . Với 0 0500, 200, 0,15G I t   thì ta có : 500 200 300 1000 300 0, 6(1 0,15)(500 200) 657 2040,816; 1340,816 1 0, 6(1 0,15) 0, 49 1 0, 6(1 0,15) 0, 49 CY D D Y C D D                  . b) Thị trường mở : Ta gọi Y là tổng thu nhập quốc dân, G là chi tiêu chính phủ, I là đầu tư chính phủ và C là chi tiêu hộ gia đình, X là xuất khẩu, N (hay ( )IM Y ) là nhập khẩu. Khi đó tổng thu nhập quốc dân được tính bằng công thức Y G I C X N     , trong đó giả thiết chi tiêu chính phủ và đầu tư là cố định ( 0 0,G G I I  ), còn chi tiêu hộ gia đình là (0 1, 0), (1 )d dC aY b a b Y Y tY t Y         , dY là thu nhập sau thuế, t là thuế suất thu nhập, (1 ) , 0 1N t Y      . Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân là một hệ phương trình gồm 2 hai phương trình và 2 ẩn là Y và C . Cụ thể là : 0 0 0 0 (1 ) (1 ) Y G I X N Y C G I X N C a t Y b a t Y C b                     . Ta có : 0 0 0 0 1 1 1 1 (1 ) 0, (1 ) 1 1 Y G I X N D a t D G I X N b a t b                   0 0 0 0 1 (1 )( ) (1 ) C G I X N D b a t G I X N a t b             . Vậy : 0 0 0 0(1 )( ) , 1 (1 ) 1 (1 ) CY G I X N b D b a t G I X N D Y C D a t D a t                  . Ví dụ : Cho 0 0 00,8 250, , , (1 ) , 0,3(1 ) ,d dC Y G G I I Y t Y N t Y X X         . ) Sử dụng qui tắc Cramer , hãy xác định mức thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng. Ta có :  0 0 0 0 0 01 0,3(1 ) 0,8 250 0,8(1 ) 250 d Y G I C X N t Y C G I X C Y t Y C                      . 0 0 0 0 0 0 1 0,3(1 ) 1 1 1 0,3(1 ) 0,8(1 ) 0,5(1 ), 250 0,8(1 ) 1 250 1 Y t G I X D t t t D G I X t                      0 0 0 0 0 0 1 250 0,8(1 )( ) 0,8(1 ) 250 C G I X D t G I X t           . Vậy : 0 0 0 0 0 0250 250 0,8(1 )( ) , 0,5(1 ) 0,5(1 ) CY G I X D t G I X D Y C D t D t              . Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân 9 ) Tính thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng với 0 0 0150, 300, 80I G X   (tỷ đồng), 0, 2   và 0, 65 (65)t  . Với 0 0 0300, 150, 0, 65, 0, 2, 80G I t X      thì ta có : 300 150 80 250 780 945, 4545 0,5(1 0, 65) 0,825 Y D Y D         (tỷ đồng). 250 0,8(1 0, 65)(300 150 80) 398, 4 482,9091 0,5(1 0,65) 0,825 C D C D          (tỷ đồng). 4) Mô hình IS – LM : Xét thu nhập quốc dân với 0G G chi tiêu chính phủ, (0 1, 0)C aY b a b     chi tiêu hộ gia đình (hay (1 )C a t Y b   , t là thuế suất thu nhập), I k lr  ( , 0k l  , r là lãi xuất) đầu tư chính phủ. Khi đó phương trình cần bằng của thu nhập quốc dân là : 0 0 0(1 ) (1)Y G I C G k lr aY b a Y lr G k b              ((1) là phương trình đường IS). Xét thị trường tiền tệ với ( , ) ( , 0)L L Y r mY nr m n    lượng cầu tiền và 0M M (được tính trước) là lượng cung tiền. Khi đó phương trình cân bằng của thị trường tiền tệ là : 0 (2)L M mY nr M    ((2) là phương trình đường LM). Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng là một hệ phương trình gồm 2 hai phương trình và 2 ẩn là Y và C . Cụ thể là : 0 0 (1 )a Y lr G k b mY nr M          . Ta có : 0 0 0 0 1 (1 ) 0, ( ) Y G k b la l D n a lm D n G k b lM M nm n                 0 0 0 0 1 (1 ) ( ) r a G k b D a M m G k b m M          . Vậy mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng là : 0 0 0 0( ) (1 ) ( ) , (1 ) (1 ) Y rn G k b lM a M m G k bD D Y r D n a lm D n a lm                 . Ví dụ : a) Cho 0 00,8 65, 95 , , 7 60 ,C Y I r G G L Y r M M        . ) Sử dụng qui tắc Cramer xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng. Ta có : + Phương trình đường IS : 0 0 00, 6 65 95 0, 4 160Y C I G Y r G Y r G            . + Phương trình đường LM : 0 08 80L M Y r M    . + 0 0 0 0 0 0 0, 4 160 160 10, 4 1 40, 112800 80 8 80 808 80 Y Y r G G D D G M Y r M M                 , 0 0 0 0 0, 4 160 0, 4 1280 8 8 r G D M G M      . Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân 10 Vậy : 0 0 0 0112800 80 0, 4 1280 8 , 40 40 Y rG M M GD D Y r D D            . ) Tính thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng khi 0 01200, 60M G  (tỷ đồng). Với 0 01200, 60M G  , ta có : 112800 80.60 1200 106800 2670 40 40 Y D Y D           (tỷ đồng). 0, 4.1200 1280 8.60 1280 32 40 40 r D r D          . b) Cho 0 0 0(1 ) , , , , , 0 1, 0 1, 0, 0, 0, 0C a t Y b lr I I G G L mY nr M M a t b l m n                 . ) Thiết lập mô hình IS – LM. + Phương trình đường IS :  0 0 0 0 0 0(1 ) 1 (1 )Y I G C I G a t Y b lr a t Y lr I G b                . + Phương trình đường LM : 0 0L M mY nr M    . Mô hình IS – LM là :   0 0 0 1 (1 )a t Y lr I G b mY nr M           . ) Giải mô hình bằng qui tắc Cramer : Ta có :   0 0 0 0 0 0 1 (1 ) 1 (1 ) 0, ( ) Y I G b la t l D n a t lm D n I G b lM M nm n                  ,  0 0 0 0 0 0 1 (1 ) 1 (1 ) ( ) r a t I G b D M a t m I G b m M            . Vậy :       0 0 00 0 0 1 (1 ) ( )( ) , 1 (1 ) 1 (1 ) Y r M a t m I G bn I G b lMD D Y r D n a t lm D n a t lm                     . ) Tính ,Y r khi 0 0 0200, 120, 300, 0, 2, 25, 12, 40, 0,5, 5G I M t n m b a l         .   25(120 200 40) 5.300 10500 140 25 1 0,5(1 0, 2) 5.12 75 Y D Y D               .     300 1 0,5(1 0, 2) 12(120 200 40) 4500 60 25 1 0,5(1 0, 2) 5.12 75 r D r D                . III. Một số hàm trong phân tích kinh tế : 1) Hàm sản xuất : ( )Q f L , trong đó 0L  là lao động, Q là sản lượng. Ví dụ : 2 3 120 , 0Q L L L   . 2) Hàm chi phí – Tổng chi phí : 0 1 2 3( ) . ( )LC L P L C TC C C C      , trong đó 0C là chi phí cố định, LP là giá thành một đơn vị lao động. ( ), 0C C Q Q  . Nếu 0Q  thì (0)C FC (Fix cost) là chi phí cố định, ( ) ( )VC a C a FC  là chi phí khả biến. Ví dụ : a) ( ) 3 150C L L  , trong đó 03, 150LP C  . b) 2 ( ) 3 7 243C Q Q Q   . Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân 11 3) Hàm doanh thu – Tổng doanh thu : 1 2 3( ) ( ),R PQ Pf L R L TR R R R       . Ví dụ : 2 3 240R L , trong đó 2 3 120 , 2Q L P  . 4) Hàm lợi nhuận – Tổng lợi nhuận : 1 2,R C T         . Ví dụ : a) 2 3 0( ) 240 3 , 0L L L C L      . b) 3 2 ( ) 0,035 15 0, 7 100Q Q Q Q       . 5) Hàm chi phí : ( ) , 0 1, 0,C Y aY b a b Y     là thu nhập. Ví dụ : 0, 6 150C Y  . 6) Hàm tiết kiệm : ( )S S Y (Phụ thuộc vào thu nhập). Ví dụ : 1 2 ( ) 0, 7 0, 2 300S Y Y Y   . IV. Đạo hàm cấp 1 và giá trị cận biên : 1) Khái niệm : Cho ( ), ,y f x x y là biến kinh tế, ( )yM f x là hàm cận biên, 0 0, ( )f yx D M x là giá trị y cận biên tại 0x . 2) Ý nghĩa : Tại 0x , nếu giá trị của đối số x thay đổi 1 đơn vị thì giá trị hàm số ( )y f x sẽ thay đổi 1 lượng xấp xỉ bằng 0( )yM x . Nếu 0yM  thì y thay đổi cùng chiều với x , nếu 0yM  thì y thay đổi ngược chiều với x . 3) Ví dụ : a) Cho 2 3 120 ,Q L MPL Q  là hàm sản phẩm biên của lao động. Tại 0 125L  , nếu lao động L tăng thêm 1 đơn vị thì sản lượng Q thay đổi như thế nào? Ta có : 2 1 3 3 3 3 2 80 80 80 120 120. . (125) 16 0 3 5125 MPL Q L L MPL L                . Vậy, khi lao động L tăng 1 đơn vị thì sản lượng Q tăng thêm 16 đơn vị. b) Cho 2 ( ) 1200R Q Q Q  . Tại 0 610Q  , nếu sản lượng Q tăng thêm 1 đơn vị thì doanh thu R thay đổi như thế nào? Ta có :   2 ( ) 1200 1200 2 (610) 1200 2.610 20 0MR Q Q Q Q MR          . Vậy, khi sản lượng Q tăng thêm 1 đơn vị thì doanh thu R giảm thêm 20 đơn vị. c) Cho 2 10 20 50C Q Q   . Tại 0 10Q  , nếu sản lượng Q tăng thêm 1 đơn vị thì chi phí C thay đổi như thế nào? Ta có :   2 ( ) 10 20 50 20 20 (10) 200 20 220 0MC Q Q Q Q MC          . Vậy, khi sản lượng Q tăng thêm 1 đơn vị thì chi phí C tăng thêm 220 đơn vị. d) Cho 2 1800 5 100Q Q     . Tại 0 20Q  , nếu sản lượng Q tăng thêm 1 đơn vị thì lợi nhuận  thay đổi như thế nào? Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân 12 Ta có :   2 ( ) 1800 5 100 1800 10 (20) 1800 200 1600 0M Q Q Q Q M            . Vậy, khi sản lượng Q tăng thêm 1 đơn vị thì lợi nhuận  tăng thêm 1600 đơn vị. V. Đạo hàm cấp 1 và hệ số co giãn : 1) Khái niệm : Cho ( )y f x , ,x y là biến kinh tế, 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) . ( ) yx yx y x E x x x y x     , 0 fx D là hệ số co giãn của y theo x tại 0x . 2) Ý nghĩa : Tại 0x , nếu giá trị của đối số x thay đổi 1 thì giá hàm số ( )y f x sẽ thay đổi một lượng 0( ) yx x  . 3) Ví dụ : a) Cho ( 0, 0 1)Q aL a      . Nêu ý nghĩa kinh tế của  . Ta có : 1 0 QL Q a L L L Q aL            . Tại với mọi mức sử dụng lao động, nếu lao động L thay đổi 1 thì sản lượng sẽ thay đổi cùng chiều  . b) Cho 2 3 120Q L . Nếu lao động L tăng 15 thì sản lượng tăng Q bao nhiêu ? Ta có : 1 , k k    . 1 3 2 3 2 120. . 23 0 3 120 QL L Q L L Q L        . Vậy, nếu lao động L tăng 15 thì sản lượng Q tăng 2 15. 10 3  . c) Cho ( )D D P . Tại thời điểm 0P P . Ta có 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )P PD D D P E P P P D P     là hệ số co giãn của cầu theo giá P tại mức giá 0P . Nếu 1PD   thì không co giãn (tức là giá thay đổi không ảnh hưởng đến lượng cầu). Nếu 1PD   thì tương đối co giãn (tức là giá thay đổi có ảnh hưởng đến lượng cầu). VI. Đạo hàm cấp 2 và qui luật lợi ích biên giảm dần : 1) Khái niệm : Cho ( )y f x . Khi giá trị của đối số x đủ lớn, nếu x tăng thì yM giảm, tức là ( ) 0yM   hay 0y  . Đó là biểu thị toán học của lợi ích biên giảm dần. 2) Ví dụ : a) Cho 2 ( ) 1000R Q Q Q  . Ta có ( ) 1000 2 , ( ) 2 0R Q Q R Q      . Từ đó suy ra doanh thu R tuân theo qui luật lợi ích biên giảm dần. b) Cho ( 0, 0)Q aL a     . Ta có : 1 2 , ( 1) 0 1 0 1Q a L Q a L                   . VII. Khảo sát hàm bình quân : 1) Khái niệm : Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân 13 Cho ( )y f x . Khi đó hàm bình quân là ( 0) y y A x x   , hàm cận biên là ( )yM f x . Ví dụ : a) Cho 0, ( )Q R R Q  . Khi đó ( ) ( ) R Q R Q A Q  là hàm doanh thu bình quân. b) Cho 0, ( )Q C C Q  . Khi đó ( ) ( ) C Q C Q A Q  là hàm chi phí bình quân. c) Cho 0, ( )L Q f L  . Khi đó PL Q A L  là hàm sản phẩm bình quân của lao động. 2) Mối liên hệ giữa hàm cận biên và hàm bình quân : Cho ( 0) y y A x x   . Ta có :   2 ( 0) y y y y y M Ay y x x y xA x x x x x              . Nhận xét : a) Nếu yA tăng (tức là   0yA   ) thì y yM A . Trong khoảng hàm bình quân tăng thì đường cận biên nằm trên đường bình quân. b) Nếu yA giảm (tức là   0yA   ) thì y yM A . Trong khoảng hàm bình quân giảm thì đường cận biên nằm dưới đường bình quân. c) Nếu yA đạt cực trị (tức là   0yA   ) thì 0y y y yM A M A    . Đường cận biên gặp đường bình quân tại điểm mà đường bình quân đạt cực trị. VII. Bài toán tối ưu 1 biến : 1) Khái niệm : Cho ( )y f x . Hàm số ( )y f x được gọi là đạt cực trị tại 0x nếu 0( ) 0f x  và đổi dấu qua nghiệm đó. Nếu 0( ) 0f x  thì hàm số ( )y f x đạt cực tiểu tại 0 0( )CTx x y f x   . Nếu 0( ) 0f x  thì hàm số ( )y f x đạt cực đại tại 0 0( )CDx x y f x   . 2) Ví dụ : a) Cho 2 3 120 2 , ( 0)Q L L L   . Tìm lao động L sao cho sản lượng Q đạt giá trị cao nhất. Ta có : 2 240 6 0 6 (40 ) 0 40 0 40 104000Q L L L L L L Q              (Vì 0L  nên loại 0L  ). 240 12 (40) 240 12.40 240 0Q L Q         . Vậy, sản lượng Q đạt giá trị cao nhất khi 40L  . b) Cho 2 3 60 , ( 0)Q L L  . Giá thuê 1 đơn vị lao động là 4LP  , chi phí cố định là 0 0C  , giá sản phẩm là 2P  . Tìm lao động L sao cho sản lượng Q đạt giá trị cực đại và lợi nhuận  đạt cực đại. Ta có : 2 2 3 3 0 0 0( ) 2.60 4 120 4LR C PQ P L C L L C L L C             . Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân 14 1 1 1 33 3 3 2 4 1 ( ) 120. 80 4 0 (20) 8000 3 80 20 L L L L L                .   4 4 3 3 1 1 1 ( ) 80 (8000) 80 8000 0 3 3 3.2000 L L                        . Vậy, sản lượng và lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi 8000L  . c) Cho 3 2 ( ) 4 5 500 ( 0)C Q Q Q Q    và hàm cầu là 19680Q P  . Hãy xác định mức sản lượng Q để cho lợi nhuận đạt được tối đa. Ta có :  3 2 3 2 3 2 4 5 500 (19680 ) 4 5 500 4 6 19680 500R C PQ Q Q Q Q Q Q Q Q Q                  . 2 2 ( ) 12 12 19680 0 1640 0 30 ( ) 476500Q Q Q Q Q Q Q                .   2 ( ) 12 12 19680 24 12 (30) 24.30 12 732 0Q Q Q Q                 . Vậy, lợi nhuận đạt tối đa khi sản lượng 30Q  . d) Giả sử hàm lợi nhuận  của một xí nghiệp đối với một loại sản phẩm là R C T     , R PQ , ,C cQ f T tQ   , ( , 0)P a bQ a b   , trong đó R là doanh thu, P là giá sản phẩm, C là chi phí gồm định phí f (độc lập với sản lượng) và biến phí cQ ( c là biến phí đơn vị trên 1 đơn vị sản phẩm, Q là sản lượng), t là thuế trên một đơn vị sản phẩm, T là tổng thuế. Hãy xác định mức sản lượng ( )Q t để lợi nhuận  đạt cực đại và định mức thuế t tổng thuế T đạt cực đại. Ta có : 2 ( ) ( ) ( ) 2 0 2 a c t Q a c t Q bQ f Q a c t bQ Q b                  (Vì 0, 0Q b  nên 0 0a c t t a c       ) ( ) 2 0Q b      (Vì 0b  ). 2 ( ) 2 ( ) ( ) . ( ) 0 2 2 2 2 a c t a c t t a c t a c T t tQ T t t T t t b b b                 . 1 ( ) 0T t b     (vì 0b  ). Vậy, lợi nhuận  đạt cực đại khi 2 a c t Q b    và tổng thuế T đạt cực đại khi 2 a c t   . e) Giả sử hàm lợi nhuận  của một xí nghiệp đối với một loại sản phẩm là R C T     , R PQ , 4 1,C Q T tQ   , 12 3P Q  . Hãy xác định mức sản lượng ( )Q t để lợi nhuận  đạt cực đại và định mức thuế t tổng thuế T đạt cực đại. Ta có : 2 8 1 ( ) 3 (8 ) 1 ( ) 6 8 0 , ( ) 0 6 6 t Q Q t Q Q Q t Q Q                      . 2 8 8 8 2 1 ( ) . ( ) 0 4, ( ) 0 6 6 6 3 t t t t T t t T t t T t               . Vậy, lợi nhuận  đạt cực đại khi 8 6 t Q   và tổng thuế T đạt cực đại khi 4t  . VIII. Tích phân và tìm hàm doanh thu khi biết hàm cận biên : 1) Khái niệm : Cho ( )F x là nguyên hàm của ( )f x (tức là ( ) ( )F x f x  ) và C là hằng số. Khi đó ta có : ( ) ( )f x dx F x C  . Công thức : 1 . , 1, ( ) 1 u u u dx C u u x             . Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân 15 2) Bài toán : Cho hàm cận biên ( )yM f x . Hãy tìm hàm số ( )y f x . Ta có : ( ) ( )yy f x M dx f x dx    . 3) Ví dụ : a) Cho hàm cận biên 1 3 90MPL L   . Hãy tìm ( )Q f L biết (125) 100000Q  . Ta có : 1 11 23 3 23 3 ( ) 90 90 135 135 1 1 3 L Q f L MPLdL L dL C L C L C                 . 2 2 3 (125) 100000 135 (125) 100000 100000 135.5 96625Q C C        . Vậy : 3 2 ( ) 135 96625Q L L  . b) Cho hàm cận biên 3 2 ( ) 4 12 25MC Q Q Q   . Tìm ( )C Q biết 4000FC  (chi phí cố định). Ta có :  4 2 5 3 ( ) ( ) 5 12 25 4 25C Q MC Q dQ Q Q dQ Q Q Q H         . 5 3 (0) 0 4.0 25.0 4000 4000FC C H H        . Vậy : 5 3 ( ) 4 25 4000C Q Q Q Q    . c) Cho hàm cận biên ( ) 450 12MR ...

Phần tóm tắt tốn kinh tế (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền TÓM TẮT NGẮN GỌN PHẦN LÝ THUYẾT TỐN KINH TẾ I Mơ hình cân đối liên ngành (Mơ hình Input – Ouput Leontief) : 1) Khái niệm : Giả sử kinh tế gồm n ngành sản xuất, ngành 1, 2,3,, n Gọi xi giá trị tổng cầu sản phẩm ngành i i  1, n (Tổng giá trị sản phẩm ngành i ), bi giá trị cầu cuối (Cầu sản phẩm ngành i từ phía hộ tiêu dùng nhà xuất khẩu), xik giá trị cầu trung gian (Cầu sản phẩm ngành i từ phía ngành k hay nói cách khác số tiền mà ngành k bỏ mua sản phẩm ngành i làm nguyên liệu đầu vào) Từ đó, ta có : Cơng thức tổng cầu sản phẩm hàng hóa ngành i i  1, n xi  xi1  xi2  xi3   xik  bi (1) Công thức tỷ phần chi phí đầu vào ngành k sản phẩm i aik  xik (0  aik  1) (Được xk giả thiết ổn định ngành sản xuất suốt trình sản xuất) Ý nghĩa aik (còn gọi hệ số đầu vào hay gọi hệ số kỹ thuật) : Để ngành k sản xuất đơn vị (đồng) giá trị sản phẩm phải bỏ aik đơn vị (đồng) giá trị sản phẩm để mua sản phẩm ngành i để làm nguyên liệu đầu vào Ví dụ : Giả sử a12  0, có nghĩa để sản xuất đồng giá trị sản phẩm ngành 0, đồng để mua sản phẩm ngành làm nguyên liệu đầu vào cho trình sản xuất  a11 a12 a13  a1n     a21 a22 a23  a2n  Nếu đặt A  aik n   a31 a32 a33  a3n  (Hàng biểu diễn cho liệu đầu vào, cột biểu        a an2 an3  a  n1 nn   x1    x2  diễn cho liệu đầu ra) ma trận hệ số kỹ thuật (ma trận hệ số chi phí đầu vào), X   x3     x   n  b1    b2  ma trận tổng cầu, b   b3  (hay b  (b1,b2,b3,,bn ) vector cầu cuối) ma trận cầu cuối    b   n từ phương trình (1) ta thay xik  aik xk ta : xi  ai1x1  ai2 x2   ain xn  bi , i  1, n Hay biểu diễn dạng phương trình ma trận X  AX  b (2) , tức : - Lưu hành nội cá nhân Phần tóm tắt tốn kinh tế (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền  x1   a11 a12 a13  a1n   x1   b1         x2   a21 a22 a23  a2n   x2   b2   x3    a31 a32 a33  a3n   x3    b3                       x  a an2 an3  a x  b   n  n1 nn   n   n  2) Bài toán : Cho ma trận hệ số kỹ thuật A ma trận cầu cuối b Vấn đề đặt cách tìm ma trận tổng cầu nào? Từ (2) ta suy X  AX  b  IX  AX  b   I  A X  B  X   I  A1 b (Trong I ma trận đơn vị cấp với A I  A ma trận không suy biến, tức det I  A  )  0,3 0, 0, 3 10  Ví dụ : Cho ma trận hệ số kỹ thuật  0,  ma trận cầu cuối b   A   0, 0, 2  0, 4  20   30  0, 0, a) Hãy giải thích ý nghĩa kinh tế số 0,1 ma trận A Để ngành sản xuất đơn vị giá trị sản phẩm phải bỏ 0,1 giá trị sản phẩm để mua sản phẩm ngành làm nguyên liệu đầu vào b) Tính ma trận tổng cầu X  0  0, 0, 0,3  0, 0, 0,3     Ta có : I  A   0   0, 0,3 0, 2   0, 0, 0, 2 (Ma trận Loentief)    0, 4    0,1 0,  0,1 0, 0,  0, 0, 0,3  det  I  A  0, 0, 0,  0, 0, 0,  0, 2 0, 0,  0,3 0, 0, 0, 0, 0,1 0, 0,1 0, 0,1 0, 0, det  I  A  0, 70, 42  0, 04  0, 20, 24  0, 02  0,30, 08  0, 07  0,169   0, 0, 0, 0, 0, 0,3   0,    0, 0, 0, 0, 0, 0,  0,  0,38 0,18 0, 25 1  0, 0, 0, 0, 0, 0,3  I  A   0,  1  0,1 0,   0, 26 0,39 0, 26 0,169  0,1 0,7 0, 0, 0,  0,169     0,15 0,16 0, 41    0, 0,1 0, 0, 0,   0,1 0, 0,     0,38 0,18 0, 25 10   3,8  3,  7,  14,9   88,16568  1 1     1   X  I  A b   0, 26 0,39 0, 26  20   2,  7,8  7,8   18, 2  107, 6923 0,169     0,169   0,169     0,15 0,16 0, 41  30  1,5  3, 12,3  17, 0 100,5917  Ví dụ : Xét mơ hình input – output mở (tức giá trị tổng số cột nhỏ 1) gồm - Lưu hành nội cá nhân Phần tóm tắt toán kinh tế (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền  0, 0, 0, 2 ngành với ma trận hệ số đầu vào  0,  giá trị cầu cuối sản phẩm A   0,1 0,1   0,3 0, 0, 2  50  ngành  (đơn vị tính tỷ đồng) Hãy xác định giá trị tổng cầu ngành sản  60   40 xuất  0  0, 0,3 0, 2  0,8 0,3 0, 2     Ta có : I  A   0   0,1 0, 0,1    0,1 0,8 0,1   0   0,3 0, 0, 2  0,3 0,  0,  0,8 0,3 0, det  I  A  0,1 0,8 0,1  0,8 0,8 0,1  0,3 0,1 0,1  0, 2 0,1 0,8 0, 0,8 0,3 0,8 0,3 0, 0,3 0, 0,8 det  I  A  0,80, 64  0,04  0,30, 08  003  0, 20, 04  0, 24  0,391   0,8 0,1 0,3 0, 0, 0,    0,   0, 0,8 0, 0,8 0,1  0,  0, 60 0,32 0,19  1  0,1 0,1 0,8 0,  0,  1  I  A    0,3 0,8 0,1  0,11 0,58 0,10 0,391 0,3 0,8 0,1  0,391 0,8 0,3 0,  0, 28 0, 41 0, 61     0,1 0,8 0,1 0,3  0,3 0,  0, 0, 0,8     0, 60 0, 32 0,19   50   30, 19,  7,   56,8 145, 2685 1 1     1   X  I  A b   0,11 0,58 0,10   60    5,5  34,8  4,    44,3  113, 2992 0, 391     0,391  0,391    0, 28 0, 41 0, 61  40 14,  24,  24, 4   63, 0  161,1253  Vậy giá trị tổng cầu ngành 1, 2, x1  145, 2685 (tỷ đồng), x2  113, 2992 (tỷ đồng) x3  161,1253 (tỷ đồng) Ví dụ : Xét mơ hình input – output mở (tức giá trị tổng cột nhỏ 1) gồm  0, 0, 0, 2 ngành với ma trận hệ số đầu vào  0,  vector cầu cuối sản A   0, 0,1   0,3 0, 0, 2 phẩm ngành b  100, 300, 500 a) Tìm sản lượng ngành kinh tế  0  0, 0, 0, 2  0, 0, 0, 2     Ta có : I  A   0   0, 0,3 0,1    0, 0, 0,1   0   0, 0, 0, 2  0,3 0,  0,  - Lưu hành nội cá nhân Phần tóm tắt tốn kinh tế (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 0, 0, 0,  det  I  A  0, 0, 0,1  0, 0, 0,1  0, 2 0, 0,1  0, 2 0, 0, 0, 0,8 0,3 0,8 0,3 0, 0,3 0, 0,8 det  I  A  0, 60,56  0, 04  0, 20,16  0, 03  0, 20, 08  0, 21  0, 216   0,52 0, 24 0,16  1 1  I  A   0,19 0, 42 0,10  0, 216    0, 29 0,30 0,38  0,52 0, 24 0,16 100   52  72  80   204  944, 4444  1 1        X  I  A b   0,19 0, 42 0,10  300  19 126  50   195    902, 7778  0, 216    0, 216   0, 216     0, 29 0, 30 0,38 500  29  90 190   309  1430,5560 Vậy mức sản lượng ngành kinh tế 1, 2, x1  944, 4444 , x2  902, 7778 x3  1430,5560 b) Tìm mức sản lượng ngành với điều kiện ngành tiết kiệm 25% nguyên liệu lấy từ ngành (do cải tiến kỹ thuật) với ma trận cầu cuối ngành 120, 400, 650 Do cải tiến kỹ thuật ngành nên nguyên liệu lấy từ ngành để cung cấp cho ngành giảm % Như a 32  , (Tức hàng cột ) lúc đầu chưa cải tiến, sau cải tiến kỹ thuật nên ta có a 32  ,  ,  %  ,  ,1  , Từ ta có ma trận hệ số đầu vào  0, 0, 0, 2   A   0, 0,3 0,1   0,3 0,3 0, 2  0  0, 0, 0, 2  0, 0, 0, 2     Ta có : I  A   0   0, 0,3 0,1    0, 0, 0,1   0   0, 0,3 0, 2  0,3 0,3  0,  0, 0, 0,  det  I  A  0, 0, 0,1  0, 0, 0,1  0, 2 0, 0,1  0, 2 0, 0, 0,3 0,8 0,3 0,8 0,3 0,3 0,3 0,3 0,8 det  I  A  0, 60,56  0, 03  0, 20,16  0, 03  0, 20, 06  0, 21  0, 226   0,53 0, 22 0,16  1 1  I  A   0,19 0, 42 0,10  0, 226    0, 27 0, 24 0, 38  0,53 0, 22 0,16  120   63,  88 104   255, 6 1130,973 1 1     1   X  I  A b   0,19 0, 42 0,10   400   22,8 168  65    255,8   1131,858  0, 226     0, 226   0, 226   0, 27 0, 24 0,38  650   32,  96  247     375,  1661, 062  Vậy mức sản lượng ngành 1, 2, x1  1130,973, x2  1131,858 x3  1661, 062 - Lưu hành nội cá nhân Phần tóm tắt tốn kinh tế (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền II Mơ hình cân thị trường : 1) Mơ hình cân thị trường loại hàng hóa : Giả sử P giá loại hàng hóa Ký hiệu QD  D(P) (Giảm) lượng cầu, QS  S(P) (Tăng) lượng cung Ví dụ : QD  120  3P hàm giảm, QS  2P 100 hàm tăng Biểu thức 1 gọi hàm cầu đảo, 1 hàm cung đảo P  D (QD ) P  S (QS ) P 1  P  S (QS ) D (QD ) E P Q Q QS  QD  E Q, P điểm cân cung cầu (Điểm cân thị trường) Ví dụ : a) QD  60  3P  P  D1(QD )  20  QD , QS  4P 100  P  S 1(QS )  25  QS b) Cho QD  120  2P, QS  4P  60 Tìm giá, lượng cân thị trường Ta có : QD  QS  120  2P  4P  60  6P  180  P  30  Q  60 2) Mô hình cân thị trường n loại hàng hóa : Giả sử P1, P2, P3,, Pn giá n hàng hóa có liên quan Ký hiệu QDi  Di  P1, P2, P3,, Pn  lượng cầu hàng hóa i QSi  Si  P1, P2, P3,, Pn  lượng cung hàng hóa i Khi mơ hình cân thị trường n hàng hóa QDi  QSi , i  1, n Bộ P   P1, P2, P2,, P2  gọi giá cân thị trường, Q  Q1, Q2, Q3,, Qn  gọi lượng cân thị trường Ví dụ : a) Cho biết hàm cung, hàm cầu thị trường ba loại hàng hóa sau : QS1  20  P1  P2  3P3 , QD1  40  3P2  P3, QS2  20  P1  2P3, QD2  70  P2  P3, QS3  90  2P1  P3, QD3  20  3P2  3P3 Khi thị trường cân thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số P1, P2, P3 Thiết lập hệ phương trình : QS1  QD1 20  P1  P2  3P3  40  3P2  P3  P1  2P2  2P3  20     50 QS2  QD2   20  P1  2P3  70  P2  P3   P1  P2  P3   90  2P1  P3  20  3P2  3P3 2P1  3P2  2P3  70 QS3  QD3  b) Cho biết hàm cung, hàm cầu thị trường ba loại hàng hóa sau : QS1  30  P1  2P2  P3 , QD1  40  P2  3P3, QS2  20  2P1  2P3, QD2  70  3P2  3P3, QS3  90  3P1  3P3, QD3  50  2P2  P3 Khi thị - Lưu hành nội cá nhân Phần tóm tắt tốn kinh tế (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền trường cân thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số P1, P2, P3 Sau sử dụng qui tắc Cramer (Phương pháp định thức) xác định giá lượng cân thị trường ba mặt hàng Thiết lập hệ phương trình : QS1  QD1 30  P1  2P2  P3  40  P2  3P3  P1  P2  2P3  10    QS2  QD2   20  2P1  2P3  70  3P2  3P3  2P1  3P2  5P3  50   90  3P1  3P3  50  2P2  P3 3P1  2P2  4P3  40 QS3  QD3  ab c Qui tắc Cramer : ab e f d f de  ad  cb, d e f  a b c cd h i g i gh gh i x  Dx D ax  by  cz  d ab c dbc ad c abd    Dy ex  fy  gz  h  D  e f g , Dx  h f g , Dy  e h g , Dz  e f h   y  , D  k i jl  D ix  jy  kz  l i jk l jk il  Dz z  D 1 2 10 2 10 2 1 10 Ta có : D  5  1, DP1  50 5  20, DP2  50 5  70, DP3  50  40 4 40 4 40 4 40 Vậy : Bộ giá cân thị trường P  20, 70, 40 tương ứng với lượng cân thị trường Q  230,  20, 150 c) Cho biết hàm cung, hàm cầu thị trường ba loại hàng hóa sau : QS1  2P1  3P3  20 , QD1  10  P1  2P2 , QS2  30  2P1  3P3, QD2  80  5P2  4P3, QS3  P1  2P3  30, QD3  40  P2  2P3 Khi thị trường cân thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số P1, P2, P3 Sau phương pháp ma trận nghịch đảo xác định giá lượng cân thị trường ba mặt hàng Thiết lập hệ phương trình : QS1  QD1 2P1  3P3  20  10  P1  2P2  P1  P2  2P3  30    QS2  QD2  30  2P1  3P3  80  5P2  4P3  2P1  5P2  7P3  50   P1  2P3  30  40  P2  2P3  P1  P2  4P3  70 QS3  QD3   Phương pháp ma trận nghịch đảo : ab c det( A)  d e f  aei  bfg  cdh  ceg  bdi  ahf    A1 gh i - Lưu hành nội cá nhân Phần tóm tắt tốn kinh tế (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền e f bc b c    h i hi e f 1 d f ac a c   A di  det( A)  g i ab d f    d e dh a b  g h d e     x1   a b c   b1   x1   ab1  bb2  cb3  x1  ab1  bb2  cb3 AX  B  X  A1B   x2    d e f   b det( A)       x2    d b1  eb2  f b3   x2  db1  eb2  f b3 x   g h i    x   gb1 hb2 ib3  x gb1 hb2 ib3  3   b3   3          2 3 2 2 2   h2 h2 2h1 h3 h3 h2 Ta có : A   5   det( A)  5  1  1  1 (1)   2   1 4 h3 h3 h1 1 011 002  13   P1   13  30   P1   70 P1  35 1     1         A   1 1   P2    1 1 50    P2    50  P2  25 2  1 1   2  1 1 70   P  2  30 P 3  P3    3  3  15 Vậy : Bộ giá cân thị trường P  35, 25, 15 tương ứng với lượng cân thị trường Q  95, 145, 35 3) Mơ hình cân thu nhập quốc dân : a) Thị trường đóng : Ta gọi Y tổng thu nhập quốc dân, G chi tiêu phủ, I đầu tư phủ C chi tiêu hộ gia đình Khi tổng thu nhập quốc dân tính cơng thức Y  G  I  C , giả thiết chi tiêu phủ đầu tư cố định (G  G0, I  I0 ), chi tiêu hộ gia đình C  aYd  b (0  a  1, b  0), Yd  Y  tY  (1 t)Y , Yd thu nhập sau thuế, t thuế suất thu nhập Mơ hình cân thu nhập quốc dân hệ phương trình gồm hai phương trình ẩn Y C Cụ thể :  Y  C  G0  I0  Y C  G0  I0 (Mơ hình khơng chịu thuế)  (Mơ hình chịu thuế)  aY  C  b a(1 t)Y  C  b Ta có : 1  1 a  0  a  1, DY  G0  I0 1 G0  I0  b  a(G0  I0 ) D  G0  I0  b, DC  a b1 a b Vậy : Y  DY  G0  I0  b (Thu nhập quốc dân cân bằng), C  DC  b  a(G0  I0 ) (Chi tiêu cân D 1 a D 1 a bằng) Ví dụ : Cho C  0, 6Yd  300, G  G0, I  I0, Yd  (1 t)Y *) Sử dụng qui tắc Cramer , xác định mức thu nhập quốc dân chi tiêu cân Ta có : - Lưu hành nội cá nhân Phần tóm tắt tốn kinh tế (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Y  G0  I0  C  Y  C  G0  I0 1  1 0, 6(1 t)   D C  0, 6Yd  300 0, 6(1 t)Y  C  300 0, 6(1 t) G0  I0 1 G0  I0  300  0, 6(1 t)(G0  I0 ) DY  300  G0  I0  300, DC  0, 6(1 t) 300 Vậy : Y  DY  G0  I0  300 , C  DC  300  0, 6(1 t)(G0  I0 ) D 1 0, 6(1 t) D 1 0, 6(1 t) **) Tính thu nhập quốc dân chi tiêu cân với I0  200, G0  500 (tỷ đồng) t  0,15 (15%) Với G0  500, I0  200, t  0,15 ta có : Y  DY  500  200  300  1000  2040,816; C  DC  300  0, 6(1 0,15)(500  200)  657  1340,816 D 1 0, 6(1 0,15) 0, 49 D 1 0, 6(1 0,15) 0, 49 b) Thị trường mở : Ta gọi Y tổng thu nhập quốc dân, G chi tiêu phủ, I đầu tư phủ C chi tiêu hộ gia đình, X xuất khẩu, N (hay IM (Y ) ) nhập Khi tổng thu nhập quốc dân tính cơng thức Y  G  I  C  X  N , giả thiết chi tiêu phủ đầu tư cố định ( G  G0, I  I0 ), chi tiêu hộ gia đình C  aYd  b (0  a  1, b  0), Yd  Y  tY  (1 t)Y , Yd thu nhập sau thuế, t thuế suất thu nhập, N   (1 t)Y ,    Mơ hình cân thu nhập quốc dân hệ phương trình gồm hai phương trình ẩn Y  G0  I0  X  N  Y  C  G0  I0  X  N Y C Cụ thể :   C  a(1 t)Y  b a(1 t)Y  C  b Ta có : D  1 G0  I0  X  N 1 a(1 t)  1 a(1 t)  0, DY  b  G0  I0  X  N  b G0  I0  X  N  b  a(1 t)(G0  I0  X  N ) DC  a(1 t) b Vậy : Y  DY  G0  I0  X  N  b , C  DC  b  a(1 t)(G0  I0  X  N ) D 1 a(1 t) D 1 a(1 t) Ví dụ : Cho C  0,8Yd  250, G  G0, I  I0, Yd  (1 t)Y , N  0,3(1 t)Y , X  X0 *) Sử dụng qui tắc Cramer , xác định mức thu nhập quốc dân chi tiêu cân Ta có :    Y  G0  I0  C  X0  N 1 0,3(1 t)Y  C  G0  I0  X0 C  0,8Yd  250  0,8(1 t)Y  C  250 1 0,3(1 t) 1 G0  I0  X 1 D  1 0,3(1 t)  0,8(1 t)  0, 5(1 t), DY   G0  I0  X0  250 0,8(1 t) 250 G0  I0  X  250  0,8(1 t)(G0  I0  X ) DC  0,8(1 t) 250 Vậy : Y  DY  G0  I0  X  250 , C  DC  250  0,8(1 t)(G0  I0  X ) D 0,5(1 t) D 0,5(1 t) - Lưu hành nội cá nhân Phần tóm tắt toán kinh tế (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền **) Tính thu nhập quốc dân chi tiêu cân với I0  150, G0  300, X0  80 (tỷ đồng),   0, t  0, 65 (65%) Với G0  300, I0  150, t  0, 65,   0, 2, X0  80 ta có : Y  DY  300 150  80  250  780  945, 4545 (tỷ đồng) D 0, 5(1 0, 65) 0, 825 C  DC  250  0,8(1 0, 65)(300 150  80)  398,  482,9091 (tỷ đồng) D 0, 5(1 0, 65) 0, 825 4) Mơ hình IS – LM : Xét thu nhập quốc dân với G  G0 chi tiêu phủ, C  aY  b (0  a  1, b  0) chi tiêu hộ gia đình (hay C  a(1 t)Y  b , t thuế suất thu nhập), I  k  lr ( k,l  , r lãi xuất) đầu tư phủ Khi phương trình cần thu nhập quốc dân : Y  G0  I  C  G0  k  lr  aY  b  (1 a)Y  lr  G0  k  b (1) ((1) phương trình đường IS) Xét thị trường tiền tệ với L  L(Y , r)  mY  nr (m, n  0) lượng cầu tiền M  M0 (được tính trước) lượng cung tiền Khi phương trình cân thị trường tiền tệ : L  M  mY  nr  M0 (2) ((2) phương trình đường LM) Mơ hình cân thu nhập quốc dân lãi suất cân hệ phương trình gồm hai phương trình ẩn Y C Cụ thể : (1 a)Y  lr  G0  k  b   mY  nr  M0 Ta có : D  1a l G0  k  b l m n  n(1 a)  lm  0, DY  M0 n  n(G0  k  b)  lM0 Dr  1 a G0  k  b  (1 a)M0  m(G0  k  b) m M0 Vậy mức thu nhập quốc dân lãi suất cân : Y  DY  n(G0  k  b)  lM , r  Dr  (1 a)M  m(G0  k  b) D n(1 a)  lm D n(1 a)  lm Ví dụ : a) Cho C  0,8Y  65, I  95  r, G  G0, L  7Y  60r, M  M0 *) Sử dụng qui tắc Cramer xác định mức thu nhập quốc dân lãi suất cân Ta có : + Phương trình đường IS : Y  C  I  G0  0, 6Y  65  95  r  G0  0, 4Y  r  160  G0 + Phương trình đường LM : L  M0  8Y  80r  M0 0, 4Y  r  160  G0 0, 160  G0 +   112800  80G0  M0 , D  40, DY  8Y  80r  M 80 M 80 Dr  0, 160  G0  0, 4M0 1280  8G0 M0 - Lưu hành nội cá nhân Phần tóm tắt tốn kinh tế (Đại học – Cao đẳng – 4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Vậy : Y  DY  112800  80G0  M , r  Dr  0, 4M0 1280  8G0 D 40 D 40 **) Tính thu nhập quốc dân lãi suất cân M0  1200, G0  60 (tỷ đồng) Với M0  1200, G0  60 , ta có : Y  DY  112800  80.60 1200  106800  2670 (tỷ đồng) D 40 40 r  Dr  0, 4.1200 1280  8.60  1280  32% D 40 40 b) Cho C  a(1 t)Y  b  lr, I  I0, G  G0, L  mY  nr, M  M0,  a  1,  t  1,b  0, l  0, m  0, n  *) Thiết lập mơ hình IS – LM + Phương trình đường IS : Y  I0  G0  C  I0  G0  a(1 t)Y  b  lr  1 a(1 t)Y  lr  I0  G0  b + Phương trình đường LM : L  M0  mY  nr  M0 Mô hình IS – LM : 1 a(1 t)Y  lr  I0  G0  b  mY  nr  M0 **) Giải mơ hình qui tắc Cramer : Ta có : D  1 a(1 t) l  n1 a(1 t)  lm  0, DY  I0  G0  b l  n(I0  G0  b)  lM0 , m n M0 n Dr  1 a(1 t) I0  G0  b  M0 1 a(1 t)  m(I0  G0  b) m M0 Vậy : Y  DY  n(I0  G0  b)  lM0 , r  Dr  M0 1 a(1 t)  m(I0  G0  b) D n1 a(1 t)  lm n1 a(1 t)  lm D ***) Tính Y , r G0  200, I0  120, M0  300, t  0, 2, n  25, m  12, b  40, a  0,5, l  Y  DY  25(120  200  40)  5.300  10500  140 D 251 0,5(1 0, 2)  5.12 75 r  Dr    60 3001 0,5(1 0, 2) 12(120  200  40) 4500 251 0,5(1 0, 2)  5.12 D 75 III Một số hàm phân tích kinh tế : 1) Hàm sản xuất : Q  f (L) , L  lao động, Q sản lượng Ví dụ : Q  120  , L  L L 2) Hàm chi phí – Tổng chi phí : C(L)  PL.L  C0 (TC  C1  C2  C3 ) , C0 chi phí cố định, PL giá thành đơn vị lao động C  C(Q), Q  Nếu Q  C(0)  FC (Fix cost) chi phí cố định, VC(a)  C(a)  FC chi phí khả biến Ví dụ : a) C(L)  3L 150 , PL  3, C0  150 b) C(Q)  3Q2  7Q  243 10 - Lưu hành nội cá nhân