Bài tập các mô hình ngẫu nhiên

Trang 1 BÀI TẬPBài 1.Một cuộc khảo sát ý kiến cử tri về cuộc bầu cử tổng thống sắp tới cho kết quả như sau: Có 60% số người đã bỏ phiếu cho ứng cử viên đảng Dân chủ ở lần bầu cửtrước sẽ

BÀI TẬP Bài Một khảo sát ý kiến cử tri bầu cử tổng thống tới cho kết sau:  Có 60% số người bỏ phiếu cho ứng cử viên đảng Dân chủ lần bầu cử trước tiếp tục bỏ phiếu cho ứng cử viên đảng Dân chủ 40% lại bỏ phiếu cho ứng cử viên đảng Cộng hịa lần bầu cử  Có 80% số người bỏ phiếu cho ứng cử viên đảng Cộng hòa lần bầu cử trước tiếp tục bỏ phiếu cho ứng cử viên đảng Cộng hòa 20% lại bỏ phiếu cho ứng cử viên đảng Cộng hòa lần bầu cử Nếu lần bầu cử trước, đảng Dân chủ chiến thắng với 55% phiếu bầu so với 45% phiếu bầu đảng Cộng hịa lần bầu cử ứng cử viên đảng chiến thắng tỉ lệ phiếu bầu hai ứng cử viên bao nhiêu? Bài Một nhân viên chuyên bán hàng nhà nhận thấy rằng:  Có 35% khách hàng mua sản phẩm lần chào hàng trước tiếp tục mua sản phẩm lần chào hàng  Có 55% khách hàng khơng mua sản phẩm lần chào hàng trước mua sản phẩm lần chào hàng Trong lần chào hàng trước, nhân viên bán sản phẩm cho 40% khách hàng mà người chào hàng Hỏi lần chào hàng này, nhân viên bán sản phẩm cho phần trăm khách hàng? Bài Thời tiết thành phố A vào tháng hàng năm phân loại sau: đẹp trời; nhiều mây (khơng có mưa); có mưa Dữ liệu thống kê khứ cho biết rằng:  Nếu ngày đẹp trời xác suất ngày hơm sau đẹp trời, nhiều mây, có mưa 60%; 25%; 15%  Nếu ngày nhiều mây xác suất ngày hơm sau đẹp trời, nhiều mây, có mưa 30%; 40%; 30%  Nếu ngày có mưa xác suất ngày hơm sau đẹp trời, nhiều mây, có mưa 50%; 20%; 30% a) Cơ quan dự báo thời tiết cho ngày mai trời nhiều mây khả có mưa 50% Hãy dự báo thời tiết ngày tiếp theo? b) Nếu ngày hơm trời mưa xác suất sau ngày trời mưa bao nhiêu? Bài Một khảo sát trường đại học X cho biết sinh viên năm thứ xếp loại A; B; C; D xếp loại A; B; C; D với xác suất cho bảng sau: Cuối năm hai Xếp loại A Xếp loại B Xếp loại C Xếp loại D Xếp loại A 0,80 0,15 0,05 Xếp loại B 0,40 0,40 0,15 0,05 Cuối năm Xếp loại C 0,20 0,30 0,30 0,20 Xếp loại D 0,05 0,10 0,40 0,45 Trong khóa học này, có 20% xếp loại A; 40% xếp loại B; 35% xếp loại C 5% xếp loại D năm thứ Hãy dự đoán tỉ lệ SV xếp loại A; B; C; D cuối năm thứ hai khóa học này? Bài Tại trang trại, người ta phân loại đất thành bốn loại sau: loại (đất nghèo dinh dưỡng); loại (đất đủ dinh dưỡng); loại (đất dinh dưỡng tốt) loại (đất dinh dưỡng tốt) Một loại trồng thử nghiệm để cải tạo đất Kết thử nghiệm sau: Trước thử nghiệm Xếp loại Xếp loại Xếp loại Xếp loại Xếp loại 0,50 0,05 0 Sau thử nghiệm Xếp loại Xếp loại 0,40 0,10 0,45 0,40 0,05 0,55 0,05 Xếp loại 0,10 0,40 0,95 Nếu thời điểm tại, có 15% đất loại 1; 30% đất loại 2; 40% đất loại 15% đất loại sau cải tạo đất loại trồng có phần trăm đất xếp loại 1; 2; 3; 4? Bài Cho xích Markov có khơng gian trạng thái S = {1;2;3} với ma trận xác suất chuyển phân phối ban đầu sau, tính phân phối xác suất xích chu kỳ thứ nhất, thứ hai thứ ba:  0, 0,8  P  0,1 0,9  ;   0,1 0,8 0,1  0, 0,    a) ;  0, 0, 0,  P  0, 0,  ;     0, 0, 0,    b) ; 0    P  0, 0,1 0,  ;   0,3 0,3 0,   0   c) ;  0,5 0,5  P  0,8 0,  ;   0,1 0, 0,   0,3 0,    d) Bài Các ma trận sau có phải ma trận quy khơng? Tại sao?  0,1 0,9   0, 0,8     0,3 0,   ; a) 0,5   0,5    0,1 0,9   0, 0,8    0,1 0,9  b)  Bài Chứng minh xích Markov có ma trận xác suất chuyển phân phối ban đầu sau đạt trạng thái cân (equilibrium), (làm tròn xác suất đến chữ số thập phân thứ hai)  0,15 0,85  P   ;    0, 0,8   a) ;  0,1 0,9  P  0,3 0, 0,5  ;   0,33 0,34 0,33   0, 0,3    b) ; Bài Với a; b số dương, cho biết ma trận sau quy:  1  a b;    a b  1;    a b  0   Bài 10 Một khảo sát người tiêu dùng thói quen sử dụng càfe thương hiệu T cho kết sau: có 70% khách hàng mua càfe thương hiệu T tiếp tục mua càfe thương hiệu T lần (1 tháng); lại chuyển sang mua càfe thương hiệu khác Trong đó, có 10% khách hàng mua càfe thương hiệu khác chuyển sang mua càfe thương hiệu T tháng Tại thời điểm khảo sát ban đầu, có 34% người dùng càfe lựa chọn thương hiệu T Hãy tính thị phần thương hiệu T sau tháng nữa? Bài 11 Tìm phân phối cân xích Markov có ma trận xác suất chuyển sau đây:  0,6 0,  P    0, 0,  ; a)  0,35 0, 65  P    0,95 0, 05  b)  0, 0,8  P  0,8 0,   0, 0, 0,   ; c)  0,1 0,9  P  0,1 0,5 0,   0, 0, 0,1    d) Bài 12 Trong khu vực dân cư, có ba loại ngành nghề dành cho nam giới: nông nghiệp; công nghiệp; dịch vụ Một khảo sát việc lựa chọn ngành nghề nam giới phụ thuộc vào ngành nghề bố với kết cho bảng sau: Ngành nghề trai Nông nghiệp Công nghiệp Dịch vụ Nông nghiệp 0,9 0,1 Ngành nghề Công nghiệp 0,7 0,2 0,1 bố Dịch vụ 0,3 0,2 0,5 Giả định rằng, tỉ lệ nam giới ngành nghề nói khơng thay đổi qua nhiều hệ Hãy tính tỉ lệ Bài 13 Một khảo sát người tiêu dùng thói quen sử dụng càfe cho kết sau: Tại thời điểm Thương hiệu A Thương hiệu B Thương hiệu C Thương hiệu A 0,75 0,05 0,2 Tại thời điểm Thương hiệu B 0,1 0,65 0,25 Thương hiệu C 0,1 0,05 0,85 Nếu bảng không thay đổi theo thời gian (có nghĩa thị trường càfe trở nên ổ định) thị phần thương hiệu bao nhiêu? Bài 14 Biến đổi ma trận sau dạng R – Q tìm số nguyên dương m nhỏ cho ma trận R Pm không chứa phần tử 0:  0,3 0, 0,5  P    0, 0,3 0,1   ; a)  0, 0, 0,1 P    0   b) 0     0, 0,1 0, 0,  P   0    0  ; c)  0, 0,1 0,1 00,1   0, 0, 0,  P   0    0,5 0 0,5   d) Bài 15 Cho ma trận xác suất chuyển xích Markov hấp thụ: 0    P    0,1 0,5 0,    a) Tính số chu kỳ trung bình để trạng thái rơi vào trạng thái hấp thụ? b) Tính xác suất để trạng thái cuối bị hấp thụ trạng thái 1? Bài 16 Cho ma trận xác suất chuyển xích Markov hấp thụ:  0,5 0, 0,3    0  P   0     0,3 0, 0,5  a) Tính số chu kỳ trung bình để trạng thái rơi vào trạng thái hấp thụ? b) Tính xác suất để trạng thái cuối bị hấp thụ trạng thái 3? Bài 17 Một ngân hàng phân loại tài khoản nợ ngắn hạn làm ba loại sau: tài khoản nợ trả (1); tài khoản nợ trả hạn (2); tài khoản nợ hạn (3) Ma trận xác suất chuyển xích Markov cho mơ hình có dạng: 0    P  0,13 0,85 0, 02   0   Xác suất khoản nợ ngắn hạn cuối trả bao nhiêu? Bài 18 Một công ty phân loại nhân viên họ hàng năm sau: công nhân (1); nhân viên văn phịng (2); nghỉ hưu (3); nhảy việc (do khơng đáp ứng yêu cầu tìm chổ làm khác) (4) Ma trận xác suất chuyển xích Markov mơ q trình có dạng:  0,85 0, 04 0,1 0, 01    0,955 0,04 0, 005   P  0    0   a) Tính số năm trung bình phục vụ cơng ty nhân viên văn phịng? b) Tính xác suất cơng nhân công ty cuối nhảy việc? Bài 19 Các sinh viên trường Đại học phân loại hàng năm sau: loại trung bình chưa tốt nghiệp (1); loại giỏi chưa tốt nghiệp (2); loại tốt nghiệp (3); loại bị buộc học (4) Ma trận xác suất chuyển xích Markov cho mơ hình có dạng: 0,1   0,5 0,   0,5 0, 45 0, 05  P   0    0   Xác suất sinh viên xếp loại trung bình chưa tốt nghiệp cuối tốt nghiệp bao nhiêu? Bài 20 Chất dinh dưỡng (phù sa) dịng sơng định vị hàng năm sau: bám sỏi, đá đáy sông (1); bám loại thực vật sống sông (2); bám sinh vật sống sông (3); bám vật thể bị trôi biển (4) Ma trận xác suất chuyển xích Markov cho mơ hình có dạng:  0, 0,3 0,1   0, 0, 0,  P   0,3 0,    0   a) Chứng minh ma trận ma trận xác suất chuyển xích Markov hấp thụ b) Nếu đơn vị chất dinh dưỡng bám sỏi, đá đáy sơng trung bình sau bị trôi biển? Bài 21 Quản lý công ty sản xuất nước giải khát tin xác suất khách hàng mua sản phẩm công ty Red Pop Super Cola phụ thuộc vào việc mua hàng gần họ Giả sử rằng, xác suất chuyển trạng thái xấp xỉ sau: Lần mua hàng Red Pop Super Cola Lần mua hàng Red Pop 0,9 0,1 trước Super Cola 0,1 0,9 a) Hãy mô tả sơ đồ nhị phân cho trường hợp khách hàng mua sản phẩm Red Pop thời gian vừa qua Tính xác suất để khách hàng mua sản phẩm Red Pop chu kỳ thời gian b) Thị phần loại sản phẩm thời gian dài bao nhiêu? c) Công ty Red Pop mở chiến dịch quảng cáo để thu hút khách hàng Super Cola Nhà quản lý tin rằng, chiến dịch tăng 15% khả khách hàng chuyển từ mua Super Cola sang Red Pop Hỏi rằng, dự án quảng cáo có tác động đến phân chia thị phần? Bài 22 Một trung tâm máy tính trường Đại học M có kinh nghiệm cố máy tính Giả sử rằng, chu kỳ phép thử trình Markov xác suất hệ thống máy tính trạng thái tốt bị hỏng phụ thuộc vào trạng thái hệ thống chu kỳ trước Dữ liệu thống kê khứ cho biết xác suất chuyển trạng thái sau: Trạng thái hệ thống máy tính chu kỳ Tốt Hỏng Trạng thái hệ thống máy Tốt 0,9 0,1 Hỏng 0,3 0,7 tính chu kỳ a) Nếu ban đầu hệ thống trạng thái tốt khả hệ thống bị hỏng sau bao nhiêu? b) Xác suất để hệ thống ổn định trạng thái tốt trạng thái hỏng bao nhiêu? Bài 23 Một nguyên nhân gây việc hỏng hóc hệ thống lỗi phần cứng Người quản lý tin thay phận bị hỏng xác suất chuyển trạng thái sau: Trạng thái hệ thống máy tính chu kỳ Tốt Hỏng Trạng thái hệ thống máy tính chu kỳ Tốt 0,95 0,05 Hỏng 0,6 0,4 a) Khi đó, xác suất để hệ thống ổn định trạng thái tốt trạng thái hỏng bao nhiêu? b) Nếu chi phí cho việc hệ thống bị hỏng khoảng thời gian 500$ chi phí cần thiết để thay phận bị hỏng bao nhiêu? Bài 24 Một vấn đề giao thong lớn cung đường A thành phố X tình trạng ùn tắc giao thơng Giả sử rằng, khơng có ùn tắc giao thơng cung đường A chu kỳ thời gian xác suất khơng có ùn tắc giao thơng cung đường A chu kỳ thời gian 0,85; tương tự có ùn tắc giao thơng chu kỳ thời gian xác suất có ùn tắc giao thông chu kỳ thời gian 0,75 Các trạng thái giao thơng gồm có ùn tắc không ùn tắc phân loại theo chu kỳ 30 phút a) Giả sử bạn tham gia giao thông cung đường A nghe thơng báo radio có tình trạng ùn tắc giao thơng Tính xác suất 60 phút tới (2 chu kỳ) cung đường A ùn tắc giao thông b) Về lâu dài, xác suất hệ thống giao thông không bị ùn tắc bao nhiêu? Bài 25 Số liệu thống kê thành phố Mỹ cho biết : chu kỳ thời gian năm có 2% dân số sống nội ô chuyển sống ngoại ô 1% dân số sống ngoại ô chuyển sang sống nội ô Hãy trả lời câu hỏi sau với giả định trình trình Markov với hai trạng thái : nội ô ngoại ô a) Hãy tìm ma trận xác suất chuyển b) Tính xác suất ổn định c) Nếu muốn quy hoạch thành phố có 40% sống nội 60% sống ngoại thay đổi dân cư tương ứng với xác suất chuyển bao nhiêu? Bài 26 Giả sử có cửa hàng tạp hóa khu vực Murphy’s; Ashley’s Quick Stop với ma trận xác suất chuyển trạng thái sau: Cửa hàng khách lựa chọn chu kỳ Murphy’s Ashley’s Quick Stop Cửa hàng Murphy’s 0,85 0,10 0,05 khách lựa chọn Ashley’s 0,20 0,75 0,05 0,10 0,75 Quick Stop 0,15 chu kỳ a) Tính xác suất ổn định trình Markov b) Thị phần mà cửa hàng Quick Stop thu tương lai bao nhiêu? c) Trước đây, có cửa hàng Murphy’s Ashley’s hàng tuần số 1000 khách hàng có khoảng 667 khách hàng Murphy’s 333 khách hàng Ashley’s Hãy đánh giá tác động Quick Stop khách hàng cửa hàng nói trên? Giải thích? Bài 27 Mơ hình phân chia thị phần nhãn hiệu kem đánh A B xem trình Markov với xác suất chuyển trạng thái : Nhãn hiệu khách lựa chọn chu kỳ Nhãn hiệu A Nhãn hiệu B Nhãn hiệu khách lựa Nhãn hiệu A 0,9 0,1 Nhãn hiệu B 0,05 chọn chu kỳ a) Nhãn hiệu có lượng khách hàng trung thành nhiều hơn? Tại sao? 0,95 b) Sự phân chia thị phần nhãn hiệu tương lai nào? Bài 28 Giả sử có nhãn hiệu tham gia thị trường với ma trận xác suất chuyển sau : Nhãn hiệu khách lựa chọn chu kỳ Nhãn hiệu A Nhãn hiệu B Nhãn hiệu Nhãn hiệu Nhãn hiệu A 0,8 0,10 0,1 khách lựa chọn Nhãn hiệu B 0,05 0,75 0,2 Nhãn hiệu 0,4 0,30 chu kỳ a) Sự phân chia thị phần tương lai nào? 0,3 b) Nhãn hiệu chịu tác động nhiều xuất nhãn hiệu mới? Bài 29 Một công ty phân loại khoản nợ tài khoản phải thu họ sau: • Trạng thái 1: Loại trả • Trạng thái 2: Loại nợ khó địi • Trạng thái 3: Loại nợ – 30 ngày • Trạng thái 4: Loại nợ 31 – 90 ngày Giả sử luân chuyển 1$ tài khoản sau chu kỳ tuần xích Markov với ma trận xác suất chuyển là: 0     0   P  0,5 0, 25 0, 25     0,5 0, 0, 05 0, 25  Trong khoản nợ cơng ty có 4000$ loại nợ – 30 ngày 5000$ loại nợ 31 – 90 ngày Hãy tính nợ xấu công ty tương lai Bài 30 Một công ty chuyên trồng bán thông giáng sinh Mỗi năm, công ty phân loại trồng thành loại sau: • Cây loại 1: Loại cắt bán • Cây loại 2: Loại bị đốn bỏ sâu bệnh • Cây loại 3: Loại cịn q nhỏ khơng thể cắt • Cây loại 4: Loại sẵn sàng cắt chưa thể bán giữ lại Ma trận xác suất chuyển có dạng sau: 0     0  P   0,1 0, 0,5 0,     0, 0,1 0,5  Hiện cơng ty có 1500 loại 3500 loại Hãy tính xem cuối cơng ty bán bị sâu bệnh cây? Bài 31 Một tập đoàn đa quốc gia phân loại nhân viên quản lý họ hàng năm sau: nghỉ hưu (1); nhảy việc (2); quản lý cấp trung (3); quản lý cấp cao (4) Ma trận xác suất chuyển xích Markov mơ q trình có dạng: 0     0   P  0, 03 0, 07 0,8 0,1     0, 08 0, 01 0, 03 0,88  Tập đồn có 920 quản lý, bao gồm 640 quản lý cấp trung 280 quản lý cấp cao Hỏi số người đó, cuối có người nhảy việc? người làm việc cho tập đoàn đến hưu? Bài 32 Sinh viên trường Đại học phân loại sau: sinh viên đủ điều kiện tốt nghiệp (1); sinh viên bị buộc học (2); sinh viên năm (3); sinh viên năm hai (4); sinh viên năm ba (5);sinh viên năm tư (6) Ma trận xác suất chuyển xích Markov cho mơ hình có dạng: 0 0     0 0    0, 0,15 0, 65 0  P   0,1 0, 75   0,15  0,1 0 0, 05 0,85    0 0, 05   0,9 0, 05 Hiện nay, nhà trường có 600 sinh viên năm nhất; 520 sinh viên năm hai; 460 sinh viên năm ba 420 sinh viên năm tư Tính xem số có khoảng sinh viên cuối tốt nghiệp? (lưu ý sinh viên không bị giới hạn số lần học lại)