Cấu trúc đại số giải đề và lý thuyết

Cung cấp giải đề các năm trước, phân tích dạng bài, có những lý thuyết quan trọng, chứng minh các định lý, đồng thời luôn có những phân tích giúp sinh viên hiểu hơn về cách làm. Tài liệu này mong sẽ giúp được các bạn sẽ thi tốt trong các bài thi cấu trúc đại số.

KHOA TOÁN - TIN HỌC

1 Lời giải cho một số đề những năm gần đây 4

1.1 Đề 2017-2018 4

1.1.1 Câu 1 4

1.1.2 Câu 2 5

1.1.3 Câu 3 9

1.2 Đề 2018-2019 13

1.2.1 Câu 1 13

1.2.2 Câu 2 14

1.2.3 Câu 3 15

1.2.4 Câu 4 16

1.3 Đề 2019-2020 19

1.3.1 Câu 1 19

1.3.2 Câu 2 20

1.3.3 Câu 3 22

1.4 Đề 2020-2021 25

1.4.1 Câu 1 25

1.4.2 Câu 2 26

1.4.3 Câu 3 30

1.5 Đề 2021-2022 34

1.5.1 Câu 1 34

1.5.2 Câu 2 35

1.5.3 Câu 3 39

1.6 Đề 2022-2023 42

1.6.1 Câu 1 42

1.6.2 Câu 2 44

1.6.3 Câu 3 46

Cho X là một tập hợp khác ∅ Một phép toán hai ngôi trên tập hợp X

là một ánh xạ ∗ : X × X → X Tập hợp X cùng phép toán hai ngôi ∗được ký hiệu là (X, ∗)

1.2 Bài 2: Nhóm

Định nghĩa

Tập hợp G khác rỗng được gọi là một

1) nửa nhóm nếu phép toán · có tính chất kết hợp

2) vị nhóm nếu G là nửa nhóm và có phần tử đơn vị

3) nhóm nếu G là vị nhóm, trong đó mọi phân tử đều khả nghịch

Một cách định nghĩa khác: Một tập hợp X khác rỗng với phép toán haingôi · gọi là nhóm nếu thỏa mân 3 tiên đề:

1) Phép toán · có tính chất kết hợp;

2) Trong X có phần tư dơn vị, nghĩa là (∃e ∈ X)(∀x ∈ X) ex = xe = x;3) Mọi phần tủ trong X dều khả nghịch, nghĩa là (∀x ∈X) ∃x−1 ∈ X

x−1x = xx−1 = e

a ∗ b = ab với mọi a, b ∈ A.được gọi là phép toán cảm sinh từ phép toán hai ngôi · của G lên A Đểđơn giản, thông thường người ta dùng chính ký hiệu của phép toán hai ngôicủa G để ký hiệu phép toán cảm sinh của nó lên A và tập hợp A cùng phéptoán cảm sinh từ · cũng được ký hiệu là (A, ·).

Định nghĩa: Cho G là một nhóm Một tập con A khác rỗng của G đượcgọi là nhóm con của G nếu A ổn định trong G và A cùng với phép toáncảm sinh từ phép toán của G tạo thành một nhóm Khi đó ta ký hiệu(A, ·) ≤ (G, ·) hoặc A ≤ G

-Cách khác: Khái niệm nhóm con: Tập con A ̸= ∅ gọi là nhóm con củanhóm G nếu A là nhóm với chính phép toán của G.Khi đó ta ký hiệu(A, ·) ≤ (G, ·) hoặc A ≤ G

Định lýGiao của một họ các nhóm con của nhóm G cũng là nhóm con củ G

Chứng minhCho {Ai}i∈I là một họ nhóm con của G Đặt

A = \i∈I

Choa, b ∈ A Khi đó,a, b ∈ Ai với mọii ∈ I Vì Ai ≤ G, nên ta cóab−1 ∈ Aivới mọi i ∈ I Suy ra,

ab−1 ∈ \

i∈I

Ai = AVậy A ≤ G

Định nghĩa

Cho M là một tập con (không nhất thiết khác rỗng) của nhóm G Nhómcon nhỏ nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa M được gọi là nhóm con sinhbởi tập hợp M trong G và ký hiệu là ⟨M ⟩

Lưu ý: Tập con sinh bởi tập ∅ là tập {e}

Định lýVới mọi tập con M của nhóm G, nhóm con ⟨M ⟩ luôn tồn tại và chính làgiao của tất cả các nhóm con chứa M của G

Chứng minhThật vậy, xét họ {Ai}i∈I tất cả các nhóm con của G thỏa mãn tính chất

M ⊆ Ai Rõ ràng G ≤ G và M ⊆ G nên G là một nhóm trong họ {Ai}i∈I.Suy ra I ̸= ∅ Do đó tồn tại tập hợp

A = \i∈I

1.4 Bài 4: Nhóm cyclic

Định nghĩa

Nhóm G được gọi là nhóm cyclic, nếu nó được sinh bởi (một tập hợp gồm)một phần tử g ∈ G nào đó Ta ký hiệu G = ⟨g⟩ và phần tử g được gọi lầphần tử sinh của G

Định lýCho G là nhóm cyclic sinh bởi G Khi đó: G = ⟨g⟩ = {gn | n ∈ Z}

{gn | n ∈ Z} ≤ G (2)Giả sử B là nhóm con của G và chứa g Cho n > 0 bất kỳ Vì B là nhómnên hiển nhiên ta có

gn ∈ B, g−n = (gn)−1 ∈ B, e ∈ Bnên

{gn | n ∈Z} ⊆ B (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra {gn | n ∈Z} là nhóm con nhỏ nhất có chứa gcủa G, do đó chính là ⟨g⟩

Định lýCho A là nhóm và phần tử a ∈ A có cấp n Khi đó với mọi số nguyên k tacó

o(ak) = n

d

với d = U CLN (n, k).

Chứng minhXét phần tử ak

Vì d | k nên k

d ∈ Z.

Do đó, ak
nd

= (an)kd = e.Suy ra o ak
hữu hạn Đặt

m = oÄakä (1)

Khi đó,

m | n

d (2)Mặt khác, xét phần tử a Từ (1) ta có akm = ak
m = e Mà o(a) = n nên

ta cón | km Từ đó, vì d là ước chung lớn nhất của n, k nên n

φ : A → gA

a 7→ ga

Giả sử ga = gb thì theo tính giản ước trong nhóm (Định lý 2.4) ta có a = b

Do đó, ánh xạ φ là đơn ánh Mặt khác, hiển nhiên φ(A) = gA nên φ là toànánh Vậy φ là song ánh, nên |gA| = |A|

Định lý LagrangeCho G là một nhóm hữu hạn và A là nhóm con của G Khi đó

với giA là các lớp ghép trái phân biệt Từ Định lý 5.5 ta có các lớp ghép giAđôi một không giao nhau và G = g1A ∪ g2A ∪ · · · ∪ gkA Do đó

|G| = |g1A| + |g2A| + · · · + |gnA|

Mà theo Bổ đề trên ta có |giA| = |A| với mọi i ∈ 1, n Suy ra,

|G| = n|A| = [G : A] · |A|

Hệ quả

Hệ quả 1 Cho G là nhóm hữu hạn cấp n Khi đó

1) Nếu A là nhóm con của G thì |A| là ước của n;

2) Nếu g ∈ G thì o(g) là ước của n

Hệ quả 2 Nếu nhóm G có cấp nguyên tố thì

1) G chỉ có đúng hai nhóm con là các nhóm con tầm thường;

2) G là một nhóm cyclic

1.6 Bài 6: Nhóm con chuẩn tắc Nhóm thương

Định nghĩa

Cho G là nhóm Nhóm con Acủa G được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G,

ký hiệu A◁G, nếu gA = Ag, với mọi G ∈ G

Chứng minh

Vì quy tắc nhân nêu trên dựa vào phần tử đại diện mà một lớp ghép có thể

có nhiều phần tử đại diện khác nhau, nên ta cần chứng minh kết quả phépnhân này là duy nhất

Cho gA = g′A và hA = h′A Ta có g′ = ga và h′ = hb với a, b ∈ A Khi đó

gA · hA = ghA

là một nhóm, gọi là nhóm thương của nhóm G theo nhóm con A

Chứng minhHiển nhiên G/A khác rỗng Theo Bổ đề trên , phép nhân lớp ghép như trên

là một phép toán hai ngôi Ta lần lượt xét các tiên đề nhóm

Với mọi phần tử g1A, g2A, g3A ∈ G/A ta có

(g1A · g2A) · g3A = g1g2A · g3A = [(g1g2) g3] A

g1A · (g2A · g3A) = g1A · g2g3A = [g1(g2g3)] A

Mà vì G là nhóm nên (g1g2) g3 = g1(g2g3) Suy ra,

(g1A · g2A) · g3A = g1A · (g2A · g3A)

Vậy phép toán nhân lớp ghép trái có tính chất kết hợp.

Gọi e là đơn vị của G Với mọi gA ∈ G/A ta có

A · gA = eA · gA = (eg)A = gASuy ra, phần tử đơn vị trái của G/A là A

Cho gA ∈ G/A Gọi g−1 là phần tử nghịch đảo của g trong G Khi đó ta có

g−1A · gA = g−1gA = eA = A.Vậy gAkhả nghịch trái trong G/A Vậy tập thươngG/A cùng với phép toánnhân là một nhóm

Một đồng cấu từ nhóm G vào chính nó được gọi là một tự đồng cấu của G.Ảnh của đồng cấu nhóm φ : G → H là

Im φ = φ(G) = {φ(g) | g ∈ G}.Hạt nhân của đồng cấu nhóm φ : G → H là

Ker φ = {g ∈ G | φ(g) = eH} = φ−1(eH) ,với eH là đơn vị của H

Định lýCho φ : G → H là đồng cấu từ nhóm G vào nhóm H Khi đó,

1) Nếu A là nhóm con của nhóm G thì φ(A) là nhóm con của nhóm H;2) Nếu B là nhóm con chuẩn tắc của nhóm H thì φ−1(B) là nhóm conchuẩn tắc của nhóm G

Chứng minh1) Vì A ̸= ∅ nên hiển nhiên,

∅ ̸= φ(A) ⊆ HCho h1 = φ (a1) và h2 = φ (a2) là hai phần tử bất kỳ trong φ(A) Khi

đó vì φ là đồng cấu nhóm và A là nhóm nên ta có

h1h−12 = φ (a1) [φ (a2)]−1 = φ (a1) φ a−12

= φ a1a−12

∈ φ(A)Vậy φ(A) là nhóm con của H theo Định lý 3.7

2) Vì B là nhóm con của H nên eH ∈ B (Ghi chú 3.5) Mà từ Định lý 7.5

ta có eG ∈ φ−1(eH) ⊆ φ−1(B), nên

∅ ̸= φ−1(B) ⊆ GCho g1, g2 ∈ φ−1(B) Khi đó ta có φ (g1) , φ (g2) ∈ B Vì φ là đồng cấunhóm và B là nhóm con của H, nên

φ g1g2−1
= φ (g1) φ g2−1
= φ (g1) [φ (g2)]−1 ∈ BSuy ra g1g2−1 ∈ φ−1(B) Vậy φ−1(B) là nhóm con của G

Tiếp theo ta kiểm tra điều kiện chuẩn tắc Cho g ∈ G và a ∈ φ−1(B).Khi đó φ(a) ∈ B Mà vì φ là đồng cấu nhóm và B là nhóm con chuẩntắc của H nên

φ g−1ag
= φ g−1
φ(a)φ(g) = [φ(g)]−1φ(a)φ(g) ∈ BSuy ra g−1ag ∈ φ−1(B)

Vậy φ−1(B) là nhóm con chuẩn tắc của G

1) φ là đơn cấu nhóm khi và chỉ khi Ker φ = {eG};

2) φ là toàn cấu nhóm khi và chỉ khi Im φ = H

Chứng minh

1) Giả sử φ là đơn cấu nhóm Ta có φ (eG) = eH Suy ra, {eG} =

φ−1(eH) = Ker φ Ngược lại, giả sử Ker φ = {eG} Cho g1, g2 ∈ Gsao cho

φ (g1) = φ (g2)Khi đó, vì φ là đồng cấu nhóm nên ta có

φg1g2−1= φ (g1) [φ (g2)]−1 = eHSuy ra g1g2−1 ∈ Ker φ = {eG} Suy ra g1g2−1 = eG, hay

g1 = g2Vậy đồng cấu nhóm φ là đơn ánh nên là đơn cấu nhóm

2) Vìφ đã là đồng cấu nhóm nên φlà toàn cấu nhóm khi và chỉ khi φ ánh.Điều này tương đương với việc Im φ = φ(G) = H

Định nghĩa

Ta nói nhóm (G, ·) đẳng cấu với nhóm (H, ∗) nếu tồn tại đẳng cấu nhón

φ từ nhóm (G, ·) vào nhóm (H, ∗) Khi đó, ta ký hiệu (G, ·) ∼= (H, ∗) hoặc

G ∼= H

Định lý NoetherCho φ : G → H là đồng cấu nhóm từ nhóm G vào nhóm H, và p : G →G/ Ker φ là toàn cấu chính tắc từ G vào nhóm thương G/ Ker φ Khi đó,tồn tại một đồng cấu nhóm duy nhất Φ : G/ Ker φ → H sao cho sơ đồ

giao hoán, nghĩa là φ = Φp Hơn nữa, Φ là một đơn cấu và Im Φ = Im φ

Chứng minhTrước hết, ta nhận xét ánh xạ Φ làm sơ đồ giao hoán khi và chỉ khi φ = Φpkhi và chỉ khi với mọig ∈ Gta có Φp(g) = φ(g), nghĩa là Φ(g Ker φ) = φ(g)

sự là một ánh xạ, hơn nữa là một đơn ánh vì với mọi x1, x2 ∈ G ta có

x1Ker f = x2Ker f ⇔ x−11 x2 ∈ Ker f

⇔ f x−11 x2
= eH

⇔ [f (x1)]−1f (x2) = eH

⇔ f (x1) = f (x2)

Φ là đơn cấu nhóm vì với mọi x1, x2 ∈ X ta có

Φ [(x1Ker f ) (x2Ker f )] = Φ (x1x2Ker f )

= f (x1x2)

= f (x1) f (x2)

= Φ (x1Ker f ) Φ (x2Ker f )

Cuối cùng ta có

Im f = {f (x) | x ∈ X} = {Φ(x Ker f ) | x ∈ X} = Im Φ

Vậy Φ là một đơn cấu

Vậy ta có điều phải chứng minh

Hệ quả

Cho φ : G → H là đồng cấu nhóm từ G vào nhóm H Khi đó ta có đẳngcấu nhóm

1) G/ Ker φ ∼= Im φ

2) G/ Ker φ ∼= H nếu φ là toàn cấu

3) G ∼= Im φ nếu φ là đơn cấu

1.8 Bài 8: Vành và vành con

Định nghĩa

Một tập hợp R khác rỗng cùng với hai phép toán hai ngôi cộng và nhân, kýhiệu (R, +, ·), được gọi là một vành nếu R thỏa mãn các điều kiện: 1 R vớiphép toán cộng là một nhóm Abel;

2 Phép toán nhân có tính chất kết hợp, nghĩa là với mọi r, s, t ∈ R ta có

2) vành có đơn vị, nếu phép nhân có đơn vị;

3) trường, nếu R giao hoán, có đơn vị khác 0 và mọi phần tử khác 0 đềukhả nghịch

Định nghĩa

- Theo giáo trình: Cho R là một vành Tập con A ̸= ∅ của R được gọi là

ổn định với hai phép toán + và · của R nếu

a + b ∈ A và ab ∈ A với mọi a, b ∈ A.Khi đó, phép toán ⊕ và ⊙ trên A với

a ⊕ b = a + b và a ⊙ b = ab với mọi a, b ∈ A.được gọi là các phép toán cảm sinh từ phép toán + và · của R lên A.Cũng như trong trường hợp nhóm, ta có thể dùng chính ký hiệu + và · để

ký hiệu phép toán cảm sinh của chúng trên A Lúc này, tập hợp A cùng cácphép toán c˚am sinh cũng được ký hiệu là (A, +, ·)

Định nghĩa: Cho R là một vành Tập con A ốn định trong R được gọi làvành con của R nếu A cùng với các phép toán cảm sinh từ phép toán + và

· của R lên A tạo thành một vành Khi đó ta ký hiệu: (A, +, ·) ≤ (R, +, ·)hoặc A ≤ R

- Cách khác: Tập con A ̸= ∅ được gọi là vành con của vành R nếu A

là một vành với hai phép toán của R Ký hiệu: (A, +, ·) ≤ (R, +, ·) hoặc

A ≤ R

1.9 Bài 9: Idean và vành thương

Định nghĩa

Cho R là một vành Vành con A của R được gọi là một

- iđêan trái của R, ký hiệu A ◁l R, nếu A có tính chất "hút trái", nghĩa là

ra ∈ A với mọi r ∈ R và a ∈ A;

- iđêan phải của R, ký hiệu A ◁r R, nếu A có tính chất "hút phải"nghĩa là

ar ∈ A với mọi r ∈ R và a ∈ A; - iđêan của R, ký hiệu A ◁ R, nếu

ar ∈ A và ra ∈ A với mọi r ∈ R, a ∈ A

Định lýCho A, B là idean của vành R Khi đó các tập hợp sau cũng là idean củavành R

bi, b′i ∈ B và cho r ∈ R Khi đó vì A ◁ R và B ◁ R nên

−a1, −a2, , −an ∈ A

ra1, ra2, , ran ∈ A

b1r, b2r, , bnr ∈ B

Chứng minhCho {Ai}i∈I là một họ các iđêan của R và đặt

A = \i∈IAi

Vì các iđêan Ai cũng là các nhóm con của nhóm cộng R, nên ta có A cũng

là nhóm con của nhóm cộng R

Xét tính hút trái và phải Cho a ∈ A và r ∈ R Khi đó, với mọi i ∈ I ta có

r ∈ Ai ◁ R, nên ar ∈ Ai và ra ∈ Ai Suy ra, ar ∈ A và ra ∈ A Vậy A ◁ R

Ghi chú

1) A + B là iđêan nhỏ nhất của R mà chứa đồng thời A và B;

2) A ∩ B là iđêan lớn nhất của R mà đồng thời chứa trong cả A lẫn B

Định nghĩa

Cho R là vành và S là một tập con (không nhất thiết khác ∅ ) của R Iđêannhỏ nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa S của R được gọi là ideal sinh bởitập S trong R và được ký hiệu là ⟨S⟩

Nếu A = ⟨S⟩ thì S được gọi là một tập sinh của iđêan A.

Iđêan chính của vành R là iđêan sinh bởi (tập hợp có) một phần tử của

R

Định lýCho R là một vành giao hoán có đơn vị, và S = {a1, a2, , an} là một tậpcon của R Khi đó iđêan sinh bởi S trong R là

⟨S⟩ = {r1a1 + r2a2 + · · · + rnan | ri ∈ R, ai ∈ S}

Chứng minhĐặt

A = {r1a1 + r2a2 + · · · + rnan | ri ∈ R, ai ∈ S}

Dễ thấyA ̸= ∅ Cho a = r1a1+r2a2+· · ·+rnan, b = s1a1+s2a2+· · ·+snan ∈

A và r ∈ R Vì vành R giao hoán nên ta có

a − b = (r1 − s1) a1 + (r2 − s2) a2 + · · · + (rn − sn) an ∈ A;

ra = ar = (a1r1 + · · · + anrn) r = a1(r1r) + · · · + an(rnr) ∈ A

Vậy ta suy ra được A ◁ R

Vì R là vành có đơn vị, ta ký hiệu là 1 , nên với mọi i ∈ 1, n ta có

ai = 0 · a0 + · · · + 0 · ai−1 + 1 · ai + 0 · ai+1 + · · · + 0 · an ∈ A

Do đó S ⊆ A

Từ định nghĩa iđêan, hiển nhiên nếu iđêan của R chứa S thì phải chứa toàn

bộ các phần tử có dạng r1a1 + r2a2+ · · · + rnan với r1, , rn ∈ R, nghĩa làchứa A

Vậy A = ⟨S⟩

Định nghĩa và định lý

Cho A là một idêan của vành R Khi đó tập thương

R/A = {r + A | r ∈ R}

cùng các phép toán cộng và nhân như sau

(r + A) + (s + A) = (r + s) + A,(r + A)(s + A) = rs + A,tạo thành một vành, gọi là vành thương của R theo idêan A

Chứng minh

Vì iđêanA cũng là nhóm con chuẩn tắc của nhóm cộng R, nên R/A là nhómvới phép toán cộng Hơn nữa, vì nhóm cộng R là nhóm giao hoán nên vớimọi r, s ∈ R ta có

(r + A) + (s + A) = (r + s) + A = (s + r) + A = (s + A) + (r + A).Suy ra, nhóm cộng R/A là nhóm Abel

Tiếp theo, ta chứng minh quy tắc nhân lớp ghép thực sự là một phép toánhai ngôi trên R/A, nghĩa là tích của hai lớp ghép không phụ thuộc vào phần

tử đại diện Giả sử r + A = r′+ A và s + A = s′+ A Khi đó từ Định lý 5.3, ta suy ra tồn tại a, b ∈ A sao cho

r′ = r + a và s′ = s + b.Khi đó

r′s′ = (r + a)(s + b) = rs + as + rb + ab

Vì a, b ∈ A ◁ R nên as, rb, ab ∈ A Suy ra, r′s′ ∈ rs + A và do đó, ta có

rs + A = r′s′ + A.Vậy quy tắc nhân là một phép toán hai ngôi trên R/A

Phép toán nhân trên R/A có tính chất kết hợp Thật vậy, vì R là vành nênvới mọi r, s, t ∈ R ta có

[(r + A)(s + A)](t + A) = (rs + A)(t + A)

Cuối cùng, ta xét tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng trênR/A.

(t + A)[(r + A) + (s + A)] = (t + A)(r + A) + (t + A)(s + A)

Suy ra, phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng

Vậy R/A cùng hai phép toán cộng và nhân lớp ghép ở trên tạo thành mộtvành

S Từ đó, hạt nhân và ảnh của đồng cấu vành được định nghĩa chính là hạtnhân và ảnh của đồng cấu nhóm cộng của vành, cụ thể là

- Ker φ = {r ∈ R | φ(r) = 0S} (với 0S là phần tử 0 của S ) là hạt nhân củađồng cấu vành;

- Im φ = {φ(r) | r ∈ R} là ảnh của đồng cấu vành

Tương tự đồng cấu nhóm, đồng cấu vành φ được gọi là đẳng cấu (đơn cấu,

toàn cấu) vành nếu φ là song ánh (đơn ánh, toàn ánh) Tự đồng cấu vànhcủa vành R là đồng cấu vành từ R vào chính nó.

Định lýCho φ : R → S là một đồng cấu vành từ R vào S Khi đó

1) Nếu A là vành con của R thì φ(A) là vành con của S;

2) Nếu B là iđêan của S thì φ−1(B) là iđêan của R

Chứng minh

Vì vành con và iđêan đều là nhóm con của nhóm cộng của vành, hơn nữacũng là nhóm con chuẩn tắc, còn đồng cấu vành φ cũng là đồng cấu nhómcộng, nên ta có

- φ(A) là nhóm con của nhóm cộng S;

- φ−1(B) là nhóm con của nhóm cộng R

Do đó, ta chỉ cần chứng minh φ(A) ổn định với phép toán nhân trong S và

φ−1(B) có tính hút trái và hút phải trong R Thật vậy,

1) Cho b = φ(a), b′ = φ (a′) ∈ φ(A) với a, a′ ∈ A Vì A là vành con của Rnên ta có aa′ ∈ A Từ đó, vì φ là đồng cấu vành nên

bb′ = φ(a)φ (a′) = φ (aa′) ∈ φ(A)Suy ra, φ(A) là vành con của vành S

2) Cho a ∈ φ−1(B) và r ∈ R Khi đó φ(a) ∈ B ◁ S nên

φ(ar) = φ(a)φ(r) ∈ Bφ(ra) = φ(r)φ(a) ∈ B

Do đó, ar, ra ∈ φ−1(B), nên φ−1(B) là iđêan của vành R

Cho (R, +, ·) và (S, ⊕, ⊙)là vành Nếu tồn tại đẳng cấu vànhφ : R → S thì

ta nói vành (R, +, ·) đẳng cấu với vành (S, ⊕, ⊙) và ký hiệu là (R, +, ·) ∼=(S, ⊕, ⊙) hoặc R ∼= S

Định lý NoetherCho φ : R → S là đồng cấu vành từ vànhRvào vànhS, vàp : R → R/ Ker φ

là toàn cấu chính tắc từ R vào vành thương R/ Ker φ Khi đó, tồn tại mộtđồng cấu vành duy nhất Φ : R/ Ker φ → S sao cho sơ đồ

giao hoán, nghĩa là φ = Φp Hơn nữa, Φ là một đơn cấu và Im Φ = Im φ

là đồng cấu nhóm cộng duy nhất làm sơ đồ của định lý giao hoán, hơn nữa

Im Φ = Im φ Mặt khác, với mọi r1 + Ker φ và r2 + Ker φ trong R/ Ker φ ta

Φ (r1 + Ker φ) · Φ (r2 + Ker φ) = φ (r1) φ (r2)

= φ (r1r2)

= Φ (r1r2 + Ker φ)Vậy Φ là một đồng cấu vành, nên R/ Ker φ ∼= Im φ

1.11 Bài 11: Miền nguyên và trường

2) Mọi miền nguyên hữu hạn đều là trường

Chứng minh1) Vì trường là vành giao hoán có đơn vị khác 0 và mọi phần tử khác 0đều khả nghịch, nên trường không có ước của 0 Vậy trường là miềnnguyên

2) Cho R là một miền nguyên hữu hạn và a ∈ R\{0} Xét ánh xạ

f : R → aR

r 7→ ar

Vì a ̸= 0 và R là miền nguyên nên nếu ar = as thì r = s Suy ra f

là một đơn ánh Mà hiển nhiên f là toàn ánh, nên f là song ánh Suy

ra, |aR| = |R| Mà tập hợp R hữu hạn nên aR = R và do đó aR chứa

đơn vị e của R Suy ra tồn tại phần tử b ∈ R sao cho ab = e, hay a khảnghịch Vậy R là trường.

2 Lời giải cho một số đề những năm gần đây

Im φ = φ(G) = {φ(g) | g ∈ G}

Hạt nhân của đồng cấu nhóm φ : G → H là

Ker φ = {g ∈ G | φ(g) = eH} = φ−1(eH) ,với eH là đơn vị của H

sự là một ánh xạ, hơn nữa là một đơn ánh vì với mọi x1, x2 ∈ G ta có

x1Ker f = x2Ker f ⇔ x−11 x2 ∈ Ker f

⇔ f x−11 x2
= eH

⇔ [f (x1)]−1f (x2) = eH

⇔ f (x ) = f (x )

Φ là đơn cấu nhóm vì với mọi x1, x2 ∈ X ta có

Φ [(x1Ker f ) (x2Ker f )] = Φ (x1x2Ker f )

= f (x1x2)

= f (x1) f (x2)

= Φ (x1Ker f ) Φ (x2Ker f ) Cuối cùng ta có

x, y ∈R, x2 + y2 ̸= 0

).a) Chứng minh rằng, Gcùng với phép nhân ma trận là một nhóm giao hoán

xy = 0, x2 + y2 ̸= 0

)

là nhómcon của nhóm G

c) Chứng minh rằng G/H ∼= G ∼= C∗ với C∗ là nhóm nhân các số phức khác

x, y ∈ R, det X ̸= 0

)

Rõ ràng ∅ ̸= G ⊆ GL2(R)

Với mọiA1, A2 ∈ G, A1 = a1 b1

−b1 a1

!, A2 = a2 b2

−b2 a2

!(det A1 ̸= 0, det A2 ̸=

a2 + b2

a

a2 + b2

ê,

ta có:

A−1· A = A · A−1 = I2.Suy ra A−1 là phần tử khả nghịch của A

Hơn thế nữa det A−1 = 1

−b2 a2

!(det A1 ̸=

−b a

!(det A1 ̸= 0, det A2 ̸=

a2 + b2 − b

a2 + b2b

a2 + b2

a

a2 + b2

ê, ta có:

Với mọi A1, A2 ∈ G, A1 = a1 b1

−b1 a1

!, A2 = a2 b2

−b2 a2

!(det A1 ̸=

0, det A2 ̸= 0), ta có

φ(A1A2) = φ a1a2 − b1b2 a1b2 + a2b1

−(a1b2 + a2b1) a1a2 − b1b2

!

= (a1a2 − b1b2)(a1b2 + a2b1) = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = φ(A1)φ(A2).Suy ra φ là 1 đồng cấu nhóm.

Với mọi z = a + bi ∈ C∗, xét phương trình

Giả sử tồn tại đẳng cấu f : G → G/H Khi đó f (I2) = H

Gọi A ∈ G sao cho f (−I2) = AH ̸= H

Khi đó tồn tại C ∈ G sao cho f (C) = XH

2] là trường con của trường số phức C.

b) Cho Z là vành số nguyên Chứng minh rằng tập hợp M = Z ×Q[√

2]cùng hai phép toán hai ngôi

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) · (c, d) = (ac, bd)

là một vành giao hoán, có đơn vị Vành này có là miền nguyên không?

c) Tìm tất cả các ideal của vành M

b Lời giải

a) Rõ ràng Q[√

2] có nhiều hơn 2 phần tử và là tập con của C

Rõ ràng C là trường Với mọi x, y ∈ Q[√

2].Với mọi x, y ∈ Q[√

c + d√

2

= (a + b

√2)(c + d√

Suy ra xy−1 ∈ Q[√

2]

Theo tiêu chuẩn trường con thì Q[√

2] là trường con của trường số phức C

b) Với mọi (a, b), (c, d) ∈ M, ta có

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ∈ M (vì a + c ∈ Z và b + d ∈ Q[√

2])Vậy M với phép cộng là một phép toán hai ngôi

Với mọi (a, b), (c, d), (e, f ) ∈ M, ta có

[(a, b) + (c, d)] + (e, f ) = ((a + c) + e, (b + d) + f ) = (a + (c + e), b + (d + f )) =(a, b) + [(c, d) + (e, f )]

Vậy phép cộng trên M có tính kết hợp

Với mọi (a, b) ∈ M, tồn tại (0, 0) ∈ M để:

(a, b) + (0, 0) = (a, b)

Suy ra (M, +) có phần tử không phải là (0, 0)

Với mọi (a, b) ∈ M, tồn tại (−a, −b) ∈ M để:

Suy ra (M, +) là nhóm Abel (nhóm giao hoán)

Với mọi (a, b), (c, d) ∈ M, ta có

(a, b) · (c, d) = (ac, bd) ∈ M (vì ac ∈ Z và bd ∈ Q[√

2])Vậy M với phép nhân là một phép toán hai ngôi

Với mọi (a, b), (c, d), (e, f ) ∈ M, ta có

[(a, b) · (c, d)] · (e, f ) = ((ac)e, (bd)f ) = (a(ce), b(df )) = (a, b) · [(c, d) · (e, f )].Vậy phép nhân trên M có tính kết hợp

Suy ra (M, ·) là nửa nhóm

Với mọi (a, b), (c, d), (e, f ) ∈ M, ta có

[(a, b) + (c, d)] · (e, f ) = (a + c, b + d) · (e, f )

= (ae + ce, bf + df )

= (ae, bf ) + (ce, df )

= (a, b) · (e, f ) + (c, d) · (e, f )

(a, b) · [(c, d) + (e, f )] = (a, b) · (c + e, d + f )

Với mọi (a, b), (c, d) ∈ M, ta có

(a, b) · (c, d) = (ac, bd) = (ca, db) = (c, d) · (a, b)

Suy ra (M, +, ·) là vành giao hoán

Với mọi (a, b) ∈ M, tồn tại (1, 1) ∈ M để:

(a, b) · (1, 1) = (1, 1) · (a, b) = (a, b)

Suy ra (M, +, ·) có phần tử đơn vị là (1, 1)

Vậy (M, +, ·) là vành giao hoán có đơn vị

Tuy nhiên vành này không là miền nguyên vì ta lấy (1, 0), (0, 1) ∈ M \ (0, 0),

Với mọi (a, 0) ∈ I1, (b, c) ∈ M, ta có:

(a, 0) · (b, c) = (b, c) · (a, 0) = (ab, 0) ∈ I1 (ab ∈ Z)

2.2 Đề 2018-2019

Bài toán 1

a) Định nghĩa đồng cấu vành, hạt nhân và ảnh của đồng cấu vành?

b) Cho đồng cấu vành f : X → Y Chứng minh rằng hạt nhân của đồngcấu vành là một ideal của vành X

- Ker φ = {r ∈ R | φ(r) = 0S} (với 0S là phần tử 0 của S ) là hạt nhân củađồng cấu vành;

- Im φ = {φ(r) | r ∈ R} là ảnh của đồng cấu vành

b) Ta có A = {0Y} là ideal của vành Y

Ta lại có f−1(A) = Ker f

Mà f−1(A)◁X Suy ra Ker f ◁X

Cho g1, g2 ∈ φ−1(A) Khi đó ta có f (g1) = f (g2) = 0Y Vì f là đồng cấunhóm và A là nhóm con của Y, nên

f g1g2−1
= f (g1) f g−12
= f (g1) [f (g2)]−1 = 0Y ∈ A

Suy ra g1g2−1 ∈ f−1(A) Vậy f−1(A) là nhóm con của X

Cho a ∈ φ−1(A) và r ∈ R Khi đó f (a) ∈ A ◁ S nên

a ∈ R, a ̸= 0

)

|ad − bc |= 1

)

∈ GL2(R).Suy ra A không là tập con của tập GL2(R)

Suy ra A không là nhóm con chuẩn tắc của tập GL2(R)

b) Viết lại B = {A ∈ M2(R)|| det A| = 1}

Rõ ràng ∅ ̸= B ⊂ GL ( )