Cung cấp giải đề các năm trước, phân tích dạng bài, có những lý thuyết quan trọng, chứng minh các định lý, đồng thời luôn có những phân tích giúp sinh viên hiểu hơn về cách làm. Tài liệu này mong sẽ giúp được các bạn sẽ thi tốt trong các bài thi cấu trúc đại số.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN - TIN HỌC ———————o0o——————– TÀI LIỆU CUỐI KỲ MÔN CẤU TRÚC ĐẠI SỐ Sinh viên thực : Nguyễn Anh Sỹ MSSV : 48.01.101.071 Mã lớp học phần : MATH170401 Giảng viên hướng dẫn : Phạm Thị Thu Thuỷ HỒ CHÍ MINH, 9/2023 Mục lục Lời giải cho số đề năm gần 1.1 Đề 2017-2018 1.1.1 Câu 1.1.2 Câu 1.1.3 Câu 1.2 Đề 2018-2019 13 1.2.1 Câu 13 1.2.2 Câu 14 1.2.3 Câu 15 1.2.4 Câu 16 1.3 Đề 2019-2020 19 1.3.1 Câu 19 1.3.2 Câu 20 1.3.3 Câu 22 1.4 Đề 2020-2021 25 1.4.1 Câu 25 1.4.2 Câu 26 1.4.3 Câu 30 1.5 Đề 2021-2022 34 1.5.1 Câu 34 1.5.2 Câu 35 1.5.3 Câu 39 1.6 Đề 2022-2023 42 1.6.1 Câu 42 1.6.2 Câu 44 1.6.3 Câu 46 Nguyễn Anh Sỹ K48 Đại học Sư phạm TP HCM Lý thuyết quan trọng File trình bày định nghĩa, định lý có khả cao Những định nghĩa định lý lại bạn tham khảo thêm giáo trình 1.1 Bài 1: Phép tốn hai ngơi Định nghĩa Cho X tập hợp khác ∅ Một phép toán hai tập hợp X ánh xạ ∗ : X × X → X Tập hợp X phép tốn hai ngơi ∗ ký hiệu (X, ∗) 1.2 Bài 2: Nhóm Định nghĩa Tập hợp G khác rỗng gọi 1) nửa nhóm phép tốn · có tính chất kết hợp 2) vị nhóm G nửa nhóm có phần tử đơn vị 3) nhóm G vị nhóm, phân tử khả nghịch Một cách định nghĩa khác: Một tập hợp X khác rỗng với phép tốn hai ngơi · gọi nhóm thỏa mân tiên đề: 1) Phép tốn · có tính chất kết hợp; 2) Trong X có phần tư dơn vị, nghĩa (∃e ∈ X)(∀x ∈ X) ex = xe = x; 3) Mọi phần tủ X dều khả nghịch, nghĩa (∀x X) ∃x−1 ∈ X x−1 x = xx−1 = e ∈ Nguyễn Anh Sỹ 1.3 K48 Đại học Sư phạm TP HCM Bài 3: Nhóm Định nghĩa -Theo giáo trình: Cho G tập hợp phép tốn hai ngơi · Tập A khác rỗng G dược gọi ổn định G ab ∈ A với a, b ∈ A Khi đó, phép tốn hai ngơi * A với a ∗ b = ab với a, b ∈ A gọi phép toán cảm sinh từ phép tốn hai ngơi · G lên A Để đơn giản, thơng thường người ta dùng ký hiệu phép tốn hai ngơi G để ký hiệu phép tốn cảm sinh lên A tập hợp A phép toán cảm sinh từ · ký hiệu (A, ·) Định nghĩa: Cho G nhóm Một tập A khác rỗng G gọi nhóm G A ổn định G A với phép toán cảm sinh từ phép toán G tạo thành nhóm Khi ta ký hiệu (A, ·) ≤ (G, ·) A ≤ G -Cách khác: Khái niệm nhóm con: Tập A ̸= ∅ gọi nhóm nhóm G A nhóm với phép tốn G.Khi ta ký hiệu (A, ·) ≤ (G, ·) A ≤ G Định lý Giao họ nhóm nhóm G nhóm củ G Chứng minh Cho {Ai }i∈I họ nhóm G Đặt \ A= Ai i∈I Khi Ai ≤ G nên ta có e ∈ Ai với i ∈ I Suy ra, e ∈ A ̸= ∅ T i∈I Ai = A Nguyễn Anh Sỹ K48 Đại học Sư phạm TP HCM Cho a, b ∈ A Khi đó, a, b ∈ Ai với i ∈ I Vì Ai ≤ G, nên ta có ab−1 ∈ Ai với i ∈ I Suy ra, −1 ab ∈ \ Ai = A i∈I Vậy A ≤ G Định nghĩa Cho M tập (khơng thiết khác rỗng) nhóm G Nhóm nhỏ (theo quan hệ bao hàm) chứa M gọi nhóm sinh tập hợp M G ký hiệu ⟨M ⟩ Lưu ý: Tập sinh tập ∅ tập {e} Định lý Với tập M nhóm G, nhóm ⟨M ⟩ ln tồn giao tất nhóm chứa M G Chứng minh Thật vậy, xét họ {Ai }i∈I tất nhóm G thỏa mãn tính chất M ⊆ Ai Rõ ràng G ≤ G M ⊆ G nên G nhóm họ {Ai }i∈I Suy I ̸= ∅ Do tồn tập hợp A= \ Ai i∈I Ta có A ≤ G Vì M ⊆ Ai với i ∈ I nên M⊆ \ Ai = A i∈I Ngồi ra, nhóm chứa M G thuộc họ {Ai }i∈I nên chứa A Vậy A nhóm nhỏ chứa M hay A = ⟨M ⟩ Nguyễn Anh Sỹ 1.4 K48 Đại học Sư phạm TP HCM Bài 4: Nhóm cyclic Định nghĩa Nhóm G gọi nhóm cyclic, sinh (một tập hợp gồm) phần tử g ∈ G Ta ký hiệu G = ⟨g⟩ phần tử g gọi lầ phần tử sinh G Định lý Cho G nhóm cyclic sinh G Khi đó: G = ⟨g⟩ = {g n | n ∈ Z} Chứng minh Ta chứng minh {g n | n ∈ Z} nhóm nhỏ chứa g G Rõ ràng g ∈ {g n | n ∈ Z} (1) Hơn nữa, ta có với m, n ∈ Z g m (g n )−1 = g m g −n = g m−n lũy thừa nguyên g , nên {g n | n ∈ Z} ≤ G (2) Giả sử B nhóm G chứa g Cho n > Vì B nhóm nên hiển nhiên ta có g n ∈ B, g −n = (g n )−1 ∈ B, e∈B nên {g n | n ∈ Z} ⊆ B (3) Từ (1), (2) (3) ta suy {g n | n ∈ Z} nhóm nhỏ có chứa g G, ⟨g⟩ Định lý Cho A nhóm phần tử a ∈ A có cấp n Khi với số nguyên k ta có o(ak ) = n d Nguyễn Anh Sỹ K48 Đại học Sư phạm TP HCM với d = U CLN (n, k) Chứng minh Xét phần tử ak k Vì d | k nên ∈ Z nd k k d Do đó, a = (an ) d = e Suy o ak hữu hạn Đặt Ä ä m = o ak (1) Khi đó, n (2) d m Mặt khác, xét phần tử a Từ (1) ta có akm = ak = e Mà o(a) = n nên n k n k ta có n | km Từ đó, d ước chung lớn n, k nên | m , d d d d nguyên tố Suy m| n |m d (3) n n số nguyên dương nên từ (2) (3) ta suy m = d n d k Vậy o a = d Vì m 1.5 Bài 5: Lớp ghép theo nhóm Định nghĩa Cho G nhóm, A nhóm G g ∈ G Khi ta gọi 1) gA = {ga|a ∈ A} lớp ghép trái theo A đại diện g ; 2) Ag = {ag|a ∈ A} lớp ghép phải theo A đại diện g Nguyễn Anh Sỹ K48 Đại học Sư phạm TP HCM Định nghĩa Tập hợp tất lớp ghép trái nhóm G theo nhóm A gọi tập thương nhóm G theo nhóm A, ký hiệu G/A G/A = {gA|a ∈ G} Nếu tập thương G/A hữu hạn số lương phần tử lớp ghép trái nhóm G theo nhóm A gọi số nhóm A tronng G ký hiệu [G : A] Bổ đề Cho G nhóm A nhóm G Khi với phản tử g ∈ G ta có |gA| = |A| Chứng minh Xét ánh xạ φ : A → gA a 7→ ga Giả sử ga = gb theo tính giản ước nhóm (Định lý 2.4) ta có a = b Do đó, ánh xạ φ đơn ánh Mặt khác, hiển nhiên φ(A) = gA nên φ toàn ánh Vậy φ song ánh, nên |gA| = |A| Định lý Lagrange Cho G nhóm hữu hạn A nhóm G Khi |G| = [G : A] · |A| Chứng minh Vì G nhóm hữu hạn nên số lớp ghép trái G theo A hữu hạn Giả sử [G : A] = n G/A = {g1 A, g2 A, , gn A} Nguyễn Anh Sỹ K48 Đại học Sư phạm TP HCM với gi A lớp ghép trái phân biệt Từ Định lý 5.5 ta có lớp ghép gi A đôi không giao G = g1 A ∪ g2 A ∪ · · · ∪ gk A Do |G| = |g1 A| + |g2 A| + · · · + |gn A| Mà theo Bổ đề ta có |gi A| = |A| với i ∈ 1, n Suy ra, |G| = n|A| = [G : A] · |A| Hệ Hệ Cho G nhóm hữu hạn cấp n Khi 1) Nếu A nhóm G |A| ước n; 2) Nếu g ∈ G o(g) ước n Hệ Nếu nhóm G có cấp ngun tố 1) G có hai nhóm nhóm tầm thường; 2) G nhóm cyclic 1.6 Bài 6: Nhóm chuẩn tắc Nhóm thương Định nghĩa Cho G nhóm Nhóm A G gọi nhóm chuẩn tắc G, ký hiệu A ◁ G, gA = Ag , với G ∈ G Bổ đề Nếu A nhóm chuẩn tắc nhóm G quy tắc nhân lớp ghép trái gA · hA = ghA phép toán hai tập thương G/A Nguyễn Anh Sỹ K48 Đại học Sư phạm TP HCM Chứng minh Vì quy tắc nhân nêu dựa vào phần tử đại diện mà lớp ghép có nhiều phần tử đại diện khác nhau, nên ta cần chứng minh kết phép nhân Cho gA = g ′ A hA = h′ A Ta có g ′ = ga h′ = hb với a, b ∈ A Khi ta có g ′ h′ = (ga)(hb) = g(ah)b Vì A ◁ G nên ah ∈ Ah = hA Do tồn c ∈ A cho ah = hc Suy ra, g ′ h′ = g(hc)b = (gh)(cb) ∈ (gh)A Mà b, c ∈ A ≤ G nên cb ∈ A Suy ra, g ′ h′ ∈ ghA Do đó, ta có g ′ h′ A = ghA Vậy quy tắc gA · hA = (gh)A phép tốn hai ngơi G/A Định lý Cho A nhóm chuẩn tắc nhóm G Tập thương G/A phép tốn hai ngơi gA · hA = ghA nhóm, gọi nhóm thương nhóm G theo nhóm A Chứng minh Hiển nhiên G/A khác rỗng Theo Bổ đề , phép nhân lớp ghép phép tốn hai ngơi Ta xét tiên đề nhóm Với phần tử g1 A, g2 A, g3 A ∈ G/A ta có (g1 A · g2 A) · g3 A = g1 g2 A · g3 A = [(g1 g2 ) g3 ] A g1 A · (g2 A · g3 A) = g1 A · g2 g3 A = [g1 (g2 g3 )] A Mà G nhóm nên (g1 g2 ) g3 = g1 (g2 g3 ) Suy ra, (g1 A · g2 A) · g3 A = g1 A · (g2 A · g3 A) 10