Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————— Trần Thị Thu Hiền VỀ QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH VÀ QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH CẠNH TRANH TRONG KHÔNG GIAN LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ CAO HỌC Hà Nội - 2019 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————— Trần Thị Thu Hiền VỀ QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH VÀ Q TRÌNH PHÂN NHÁNH CẠNH TRANH TRONG KHƠNG GIAN LIÊN TỤC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 8460112.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ CAO HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS LÊ VĨ Hà Nội - 2019 z Lời cảm ơn Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lê Vĩ - người thầy tận tình giúp đỡ, bảo, định hướng nghiên cứu cho tơi để hồn thành luận văn Qua đây, xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Bộ mơn Xác suất thống kê trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, người giúp đỡ, giảng dạy truyền đạt kiến thức cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu trường Mặc dù có nhiều cố gắng, hạn chế thời gian thực nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy bạn để luận văn hồn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2019 Học viên Trần Thị Thu Hiền i z Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian xác suất biến ngẫu nhiên Không gian xác suất biến ngẫu nhiên 1.1.1 Không gian xác suất 1.1.2 Biến ngẫu nhiên kỳ vọng 1.2 Quá trình ngẫu nhiên 1.2.1 Quá trình Markov 1.2.2 Quá trình Levy 1.2.3 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc 1.2.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ trường 1.2.5 Xác suất có điều kiện 1.2.6 Martingale 1.3 Tích phân ngẫu nhiên 1.3.1 Một số khái niệm liên quan đến q trình ngẫu nhiên 1.3.2 Tích phân ngẫu nhiên Ito 1.3.3 Công thức Ito 1.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.5 Bài toán martingale 2 2 10 24 28 30 31 32 35 37 37 38 39 46 Quá trình phân nhánh 2.1 Quá trình phân nhánh thời gian rời rạc 2.1.1 Hàm sinh 48 49 50 ii z 2.2 2.1.2 Tính cộng tính 51 2.1.3 Moment 51 2.1.4 Các tính chất hàm sinh 52 2.1.5 Xác suất tuyệt chủng 53 Q trình phân nhánh khơng gian liên tục - CBP (continuousstate branching process) 54 2.2.1 Biến đổi Lamperti 55 2.2.2 Động thái dài hạn 58 2.2.3 Quá trình bảo tồn 59 2.2.4 Xác suất tuyệt chủng 60 2.2.5 Hàm sinh 64 2.2.6 Dạng phương trình vi phân CBP 67 Quá trình phân nhánh cạnh tranh 3.1 Định nghĩa 3.2 Hàm sinh 3.3 Định lý tồn nghiệm 69 69 70 71 Kết luận 75 Tài liệu tham khảo 76 iii z luan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tuc MỞ ĐẦU Q trình ngẫu nhiên có lịch sử bắt nguồn từ nghiên cứu GaltonWalson tuyệt chủng quần thể Trong đó, q trình phân nhánh q trình ngẫu nhiên quan trọng tốn lý thuyết tốn ứng dụng Q trình phân nhánh mơ tả diễn biến theo thời gian quần thể giống loài, nơi mà cá thể sinh sản chết độc lập với Tuy nhiên, thực tế, điều kiện độc lập lý tưởng Chính vậy, mơ hình phân nhánh cạnh tranh bắt đầu quan tâm nghiên cứu Luận văn "Về trình phân nhánh q trình phân nhánh cạnh tranh khơng gian liên tục" gồm : • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Q trình phân nhánh • Chương 3: Q trình phân nhánh cạnh tranh khơng gian liên tục luan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tuc z luan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tuc Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta trình bày số định nghĩa, kết không gian xác xuất, biến ngẫu nhiên số trình ngẫu nhiên để làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn chương sau 1.1 Không gian xác suất biến ngẫu nhiên 1.1.1 Khơng gian xác suất Tập hợp kết phép thử ngẫu nhiên (mà kết không dự đốn được) gọi khơng gian mẫu ký hiệu Ω Mỗi tập hợp A ⊂ Ω biến cố Ta giả định Ω tập khác rỗng • Một họ biến cố F gọi trường (đại số) nếu: (i) F chứa không gian mẫu, hay Ω ∈ F (ii) F kín phép lấy phần bù Tức A ∈ F → Ac ∈ F , Ac = Ω \ A (iii) F kín phép lấy hợp hữu hạn Tức Ak ∈ F, k = 1, 2, , n n [ Ak ∈ F k=1 • Một họ biến cố F gọi σ - đại số nếu: luan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tuc z luan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tuc (i) F chứa không gian mẫu, Ω ∈ F (ii) F kín phép lấy phần bù A ∈ F Ac ∈ F , Ac = Ω\A (iii) F kín phép lấy hợp đếm Tức An ∈ F, n = 1, 2, ∞ [ An ∈ F n=1 • Khơng gian đo cặp (Ω, F), Ω khơng gian mẫu đó, F σ - đại số • Giả sử C tập mà phần tử tập Ω Khi ta nói C lớp Ta ký hiệu 2Ω lớp gồm tất tập Ω Đó σ - đại số lớn Trong lớp gồm hai tập: (Ω, ∅) σ - đại số bé Giao σ - đại số chứa C σ - đại số chứa C Vì thế, tồn σ - đại số bé chứa C Ta ký hiệu σ - đại số σ(C), gọi σ - đại số sinh từ C • Ta nói dãy (hữu hạn vô hạn) tập (An ) phân hoạch Ω, hợp chúng Ω chúng rời cặp, tức là, Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j Trong trường hợp ta viết Ω= X An n Dễ dàng thấy, σ - đại số sinh từ phân hoạch lớp tất tập dạng [ An , n ∈ I I tập {1, 2, } • Cho An dãy tập Ω Ký hiệu lim sup An = n ∞ [ ∞ \ Ak , lim inf An = n n=1 k=n Nếu lim sup An = lim inf An n n luan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tuc z ∞ \ ∞ [ n=1 k=n Ak luan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tuc ta nói (An ) có giới hạn, ký hiệu tập lim An • Khi Ω khơng gian metric, ta ký hiệu B σ - đại số sinh từ tập mở, gọi B σ - đại số Borel • Độ đo σ - đại số F ánh xạ µ : F → [0, ∞] cho tồn A 6= ∅, A ∈ F với µ(A) < ∞ An ∈ F, n = 1, 2, dãy tập rời cặp ! ∞ ∞ [ X µ An = n=1 µ(An ) n=1 Độ đo µ hữu hạn µ(Ω) < ∞ Độ đo µ σ - hữu hạn hay hữu hạn đếm Ω= ∞ [ An , An ∈ F, µ(An ) < ∞, ∀n = 1, 2, n=1 Tập B ⊂ Ω gọi tập có µ - độ đo không tồn A ∈ F cho B ⊂ A, µ(A) = Độ đo µ gọi đủ F chứa tất tập có µ - độ đo khơng σ - đại số bổ sung F µ định nghĩa theo công thức sau : Fµ = C ⊂ Ω|tồn A1 , A2 ∈ F, A1 ⊂ C ⊂ A2 , µ(A1 \ A2 ) = • Giả sử F σ - đại số tập F Mỗi phần tử F gọi biến cố Nếu A biến cố A xảy kết phép thử thuộc vào A Không gian mẫu Ω biến cố chắn tập ∅ biến cố Ánh xạ P : F → R thỏa mãn điều kiện: (i) ≤ P (A) ≤ 1, (ii) P (Ω) = 1; P (∅) = 0, (iii) Nếu dãy (An ) biến cố đôi xung khắc với : ! ∞ ∞ [ X P An n=1 = P (An ) n=1 luan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tuc z luan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tuc • Khi P độ đo chuẩn hóa, tức P(Ω) = Ta gọi P (A) xác suất biến cố A Bộ ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất Như vậy, không gian xác suất khơng gian có độ đo, độ đo P(A) thỏa mãn P(Ω) = Độ đo P(A) gọi độ đo xác suất (Ω, F) Xác suất có điều kiện định nghĩa theo cơng thức : P(A|B) = 1.1.2 P(A ∩ B) , P(B) P(B) > Biến ngẫu nhiên kỳ vọng Biến ngẫu nhiên Là đại lượng mà giá trị phụ thuộc vào kết phép thử Biến ngẫu nhiên ánh xạ X : Ω → R cho (X ≤ x) = {ω ∈ Ω|X(ω) ≤ x} ∈ F, ∀x ∈ R • Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X xác định theo công thức F (x) = P {X ≤ x} , x ∈ R với tính chất sau: (i) Không giảm (ii) Liên tục bên phải (iii) lim F (x) = lim F (x) = x→−∞ x→+∞ Biến ngẫu nhiên X gọi rời rạc tập tất giá trị hữu hạn hay đếm Ký hiệu (x1 , x2 , ) giá trị X Dãy phân phối xác suất X pn = P(X = xn ) với n = 1, 2, Dãy có tính chất : (i) Không âm, pn ≥ 0, ∀n = 1, 2, P (ii) pn = n Biến ngẫu nhiên X gọi liên tục hàm phân phối xác suất có đạo hàm Khi đó, f (x) = F (x), x ∈ R hàm mật độ Hàm số có tính chất: luan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tucluan.van.thac.si.ve.qua.trinh.phan.nhanh.va.qua.trinh.phan.nhanh.canh.tranh.trong.khong.gian.lien.tuc z
Ngày đăng: 23/01/2024, 00:48
Xem thêm:
