luận văn thạc sĩ một số bài toán trò chơi có nội dung toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN *** ĐOÀN VĂN LỚI MỘT SỐ BÀI TỐN TRÕ CHƠI CĨ NỘI DUNG TỐN HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội , Năm 2012 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN *** ĐOÀN VĂN LỚI MỘT SỐ BÀI TỐN TRÕ CHƠI CĨ NỘI DUNG TỐN HỌC Chun ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS Tạ Duy Phượng Hà Nội , Năm 2012 z MỤC LỤC Trang Mục lục…………………………………………………………… Lời nói đầu………………………………………………………… Chƣơng Giải số tốn trị chơi nhờ cơng cụ hệ đếm số 2…… …… §1 Hệ đếm số …………………… .… §2 Máy đọc ý nghĩ §3 Trị chơi Nim §4 Giải tốn Tháp Hà Nội nhờ hệ đếm số 21 Chƣơng Giải số tốn trị chơi học nhờ công cụ mã Gray số 2…… 31 §1 Mã Gray số ……… ……………… 31 §2 Mã Gray, trị chơi Tháp Hà Nội trò chơi Hamilton đa 41 diện §3 Baguenaudier hay trị chơi tháo vịng Trung Hoa… …………… 48 Chƣơng Một số ví dụ tốn trị chơi 66 Kết luận…………………………………………………………… 74 Tài liệu tham khảo………………………………………………… 75 z LỜI NÓI ĐẦU Trị chơi lí thuyết trị chơi có lịch sử phát triển lâu đời Nó nhiều nhà tốn học tiếng (L Euler, U Hamilton, E Lucas, ) nghiên cứu làm phong phú nội dung Nó nhiều chun gia trị chơi tốn học (E Lucas, H E Dudeney, W W Rouse Ball, M Gardner, ) phổ biến rộng rãi Nhiều lĩnh vực toán học (Lí thuyết tập hợp, lí thuyết đồ thị, tốn tổ hợp, hệ đếm, tối ưu, ) phát triển gắn liền với lí thuyết trị chơi, đồng thời tốn học công cụ hữu hiệu để giải nhiều tốn trị chơi Với phát triển cơng nghệ thơng tin, tốn trị chơi thu hút quan tâm đặc biệt chuyên gia tốn-tin học, nhiều tốn trị chơi giải nhờ cơng cụ máy tính, đồng thời tốn trị chơi thí dụ minh họa tốt xây dựng thuật tốn kĩ thuật lập trình Vào năm 50 kỉ trước, với đóng góp nhà tốn học lớn (Von Neuman, J F Nash, R Isaacs, L S Pontriagin, N Krasovskii, ), lí thuyết trị chơi phát triển thành ngành tốn học độc lập có nhiều ứng dụng thực tế (kinh tế, quân sự, công nghệ, ) Nhiều nhà tốn học giải thưởng Nobel đóng góp vào lí thuyết trị chơi ứng dụng lí thuyết kinh tế Có nhiều sách tiếng nước (tiếng Anh, tiếng Nga, tiếng Pháp, ) viết trị chơi có nội dung tốn học Tuy nhiên, sách tốn trị chơi Việt Nam nói chung cịn ít, đặc biệt tài liệu sâu tìm hiểu nội dung tốn học tốn trị chơi Luận văn Một số tốn trị chơi có nội dung tốn học có mục đích trình bày số tốn trị chơi có lời giải sử dụng cơng cụ tốn học, chủ yếu sử dụng hệ đếm số mã Gray số Luận văn gồm Phần mở đầu, ba Chương Tài liệu tham khảo Chương trình bày lời giải số tốn trị chơi nhờ cơng cụ hệ đếm số Chương trình bày lời giải số tốn trò chơi nhờ mã Gray số z Chương tập hợp số ví dụ dạng tốn trị chơi Lý thuyết trị chơi có sở tốn học sâu sắc Nó liên quan đến nhiều kiến thức lí thuyết tốn học lí thuyết đồ thị (đồ thị liên thơng, đường đóng đồ thị, ), mơ hình cây, khơng gian trạng thái, lí thuyết tối ưu, độ phức tạp tính tốn, Chúng tơi khơng có tham vọng trình bày đầy đủ kiến thức sâu sắc lí thuyết trị chơi hay lí thuyết tốn học liên quan trị chơi xét khn khổ luận văn này, mà chúng tối cố gắng mô tả lịch sử trị chơi trình bày lời giải chúng nhờ công cụ hệ đếm số Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình PGS.TS Tạ Duy Phượng, Viện Toán học Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy xin cám ơn Thầy cung cấp nhiều tài liệu đồng thời cho phép sử dụng thảo sách Thầy tốn Trị chơi Tơi xin cảm ơn khoa Tốn, khoa Sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho thực kế hoạch học tập Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè cổ vũ động viên suốt trình học cao học làm luận văn Hà Nội, 31.12.2011 Đoàn Văn Lới z luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hoc Chƣơng GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN TRÕ CHƠI NHỜ CƠNG CỤ HỆ ĐẾM CƠ SỐ §1 Hệ đếm số Cho p số tự nhiên Theo thuật toán chia Euclid, số tự nhiên a biểu diễn dạng a  ak p k  ak 1 p k 1   a1 p  a0 p với hệ số nguyên   p  1, i  0, , k ; ak  Như vậy, chọn p làm số hệ đếm, số tự nhiên a biểu diễn dạng  ak ak 1a1a0  p hệ đếm số p Nếu p  10 ta có hệ đếm số 10 Do thói quen, lịch sử, truyền thống thuận tiện, hệ đếm số 10 sử dụng rộng rãi sống đại Hệ đếm định nghĩa hệ đếm theo vị trí, tức hệ số (được gọi chữ số a ) vị trí khác có giá trị khác (hàng “đơn vị”, “hàng chục”, “hàng trăm”, ) Bằng cách chia cho 2, số tự nhiên biểu diễn dạng tổng lũy thừa với hệ số Thí dụ, 2011  210  29  28  27  26  24  23  21  20 Như vậy, chọn làm số hệ đếm số 2, số tự nhiên có biểu diễn hệ đếm số Các chữ số (chỉ 1) hệ số phân tích số cho dạng lũy thừa Thí dụ, ta có, 201110 = 111110110112 =111110110112 Hệ đếm số sử dụng từ thời cổ đại, thí dụ, Kinh Dịch (Trung Hoa Hơn 2000 năm trước công nguyên) xây dựng dựa hai gạch (hai kí hiệu), luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hoc z luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hoc gạch ngắn gạch dài, tương ứng với chữ số chữ số hệ đếm số Dưới quan hệ Kinh Dịch hệ đếm số (trong sách E Lucas, xem [13], trang 174) Mặc dầu vậy, với nhà toán học vĩ đại người Đức Leibnitz, hệ đếm số xây dựng cách hồn chỉnh Leibnitz nhìn thấy hệ đếm số biểu chân lí siêu hình sâu sắc Số Leibnitz biểu tượng khơng tồn tại, trống rỗng, cịn số biểu tượng tồn hay vật chất Ông coi số quan trọng cần thiết số Đấng tạo hóa, vũ trụ tạo thành từ vật chất túy tách rời khỏi khoảng không trống rỗng, khoảng không không bị nhiễu loạn vũ trụ biểu tượng số Theo Leibnitz, thứ giới hình thành từ hai cực đối lập: tồn không tồn tại, số biểu diễn số số Từ thời Leibnitz cho tới gần đây, người ta thường coi hệ đếm số thứ kì lạ hấp dẫn, khơng có nhiều ý nghĩa thực tiễn Chỉ xuất máy tính điện tử, vai trò hệ đếm số xác lập Rất nhiều phận máy tính điện tử làm việc theo ngun lí “có-khơng” hay luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hoc z luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hoc “0-1”: Dòng điện chạy theo dây dẫn, không; công tắc tắt, bật; cực nam châm bắc, nam; nhớ hai trạng thái chứa thông tin rỗng (không chứa thông tin) Điều cho phép xây dựng máy tính có khả xử lí liệu mã hóa hệ đếm số với tốc độ cực nhanh độ xác tuyệt đối Nhiều trị chơi giải nhờ cơng cụ hệ đếm số 2: trò chơi với “máy đọc ý nghĩ”, trò chơi Nim, trò chơi Tháp Hà Nội, Trong bài, mục tiếp theo, ta mơ tả trị chơi giải chúng công cụ hệ đếm số §2 Máy đọc ý nghĩ Xét trị chơi trang bị “máy đọc ý nghĩ”, tức ta có (một số) bảng lập sẵn, đóng vai trò máy phiên dịch số hệ đếm số 10 sang hệ đếm số Nhờ mà ta “đọc” người đối diện nghĩ số Thí dụ 2.1 Giả sử bạn chọn số khoảng từ đến 1000 Tôi hỏi bạn 10 câu hỏi, bạn có quyền trả lời “đúng” “sai” Dựa 10 câu trả lời bạn, khẳng định bạn chọn số Tại sao? Giải Các câu hỏi sau Câu thứ nhất: Lấy số chọn chia cho Hỏi phép chia có dư hay khơng? Nếu bạn trả lời “khơng” tơi viết số 0, cịn câu trả lời “có” tơi viết chữ số Câu thứ hai: Lấy thương phép chia vừa chia cho Hỏi phép chia có dư hay khơng? Nếu câu trả lời “khơng” tơi viết số 0, cịn câu trả lời “có” tơi viết chữ số vào phía trước (về bên trái) số viết (chữ số chữ số 1) câu trả lời thứ Các câu hỏi tương tự: Lấy thương phép chia vừa xong chia cho Hỏi phép chia có dư khơng? luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hoc z luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hoc Nếu câu trả lời “khơng” viết chữ số 0, cịn câu trả lời “có” viết chữ số trước số viết Sau 10 lần trả lời, ta nhận 10 chữ số gồm chữ số 1, chữ số chữ số Như vậy, hệ thống 10 câu hỏi cách chuyển biểu diễn số cho (dưới 1000) từ hệ đếm số 10 sang hệ đếm số Hơn nữa, 10 câu hỏi đủ, số từ đến 1000 viết dạng số hệ đếm số với không 10 chữ số ( 210  1024  100000000002 ) Vì số ban đầu chưa biết nên cần chuyển số nhận hệ đếm số sang hệ đếm số 10, ta khơi phục số ban đầu Thí dụ, sau 10 lần trả lời, ta nhận số 1010011010 Đổi số từ hệ đếm số sang hệ đếm số 10 theo định nghĩa ta 1010011010 2  667 Vậy số ban đầu bạn chọn 667 Kiểm tra lại: 667=333  2+1=(166  2+1)  2+1=((83  2)  2+1)  2+1 =(((41  2+1)  2)  2+1)  2+1=((((20  2+1)  2+1)  2)  2+1)  2+1 =(((((10  2)  2+1)  2+1)  2)  2+1)  2+1 =(((((5  2)  2+1)  2+1)  2)  2+1)  2+1 =((((((2  2+1)  2)  2+1)  2+1)  2)  2+1)  2+1 =(((((((1  2)  2+1)  2)  2+1)  2+1)  2)  2+1)  2+1 =29+27+24+23+2+1=(1010011010)2 §3 Trị chơi Nim 3.1 Giới thiệu trò chơi Nim Người Trung Quốc thời xưa có trị chơi gọi trị chơi Nim Nội dung trị chơi sau: Có ba đống sỏi, hai người chơi lấy số sỏi (khác 0) từ ba đống (và lần chơi lấy sỏi từ đống) Ai người nhặt viên sỏi cuối người thắng Có hay khơng chiến lược chơi để người trước thắng? luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hoc z luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hoc Giải Các viên sỏi thay đồ vật khác, thí dụ, trẻ em thường dùng que diêm mảnh bìa, trị chơi gọi trò chơi ăn diêm Người lớn thường dùng đồng tiền xu đặt lên bàn quầy bar Dạng phổ biến trò chơi Nim trò chơi gồm 12 đồng xu đặt thành ba hàng với 3, 4, đồng xu Hình 3.1 hàng (Hình 3.1) Qui tắc chơi trò chơi Nim đơn giản: Hai người chơi nhặt đồng xu (ít đồng) từ hàng Người nhặt đồng xu cuối người thắng Cũng nêu qui tắc ngược lại: phải nhặt đồng xu cuối người thua Ta có số nhận xét đơn giản sau Nhận xét Nếu sau số lượt đi, lại hai hàng với số đồng xu đến lượt người chơi thứ hai người chơi thứ thắng (trong trò chơi với qui tắc người nhặt đồng xu cuối người thắng) Chứng minh Vì số đồng xu hai hàng nên đến lượt người chơi thứ hai, phải lấy số đồng xu từ hàng, số đồng xu hai hàng khác Nếu người thứ hai nhặt tồn xu hàng người thứ nhặt tồn xu hàng cịn lại thắng Nếu sau người thứ hai mà cịn hai hàng người thứ chọn chiến lược: nhặt số đồng xu số đồng xu mà người chơi thứ hai nhặt, hàng khác Số đồng xu hai hàng lại Cứ tiếp tục vậy, đến lại hàng đồng xu Người thứ hai buộc phải nhặt đồng xu hàng, người thứ nhặt đồng xu cuối hàng lại thắng luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hocluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.tro.choi.co.noi.dung.toan.hoc 10 z