luận văn thạc sĩ một số ứng dụng của phương tích trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THU HẰNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TÍCH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2017 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THU HẰNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TÍCH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - 2017 z i Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức phương tích 1.1 Phương tích điểm đường tròn 1.2 Trục đẳng phương đường tròn 1.2.1 Trục đẳng phương hai đường tròn 1.2.2 Cách dựng trục đẳng phương 1.2.3 Tâm đẳng phương ba đường tròn 1.3 Một số định lý hình học Ứng dụng phương tích tốn chứng minh tính chất hình học 2.1 Chứng minh ba đường thẳng đồng quy 2.2 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 2.3 Chứng minh điểm thuộc đường tròn 2.4 Chứng minh họ đường thẳng qua điểm cố định 2.5 Chứng minh số tính chất hình học khác 4 7 10 11 16 16 22 27 31 39 Một số dạng toán liên quan 45 3.1 Các dạng toán tính tốn ước lượng đại lượng hình học 45 3.2 Một số toán thi học sinh giỏi quốc gia Olympic nước 49 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 z Mở đầu Các dạng tốn hình học phẳng phong phú chủng loại với chúng cần thiết chọn lựa công cụ tương ứng phù hợp để tiếp cận lời giải cách hiệu Trong số đó, phương tích trục đẳng phương đóng vai trị cơng cụ đặc biệt hữu ích số lớp toán liên quan tới điểm, đường trịn đường thẳng Phân tích lời giải tốn hình học phẳng phương tích trục đẳng phương, ta thấy tính ưu việt cách lập luận, tư sắc bén, lời giải ngắn gọn phương pháp Trong năm gần đây, tốn hình phẳng liên quan đến phương tích trục đẳng phương thường xuyên xuất kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic nước xem dạng tốn khó khó Mặc dù chun đề phương tích trục đẳng phương quen thuộc phổ thơng, kiến thức đơn giản dễ hiểu, song kỹ thuật áp dụng chúng nhiều trường hợp cụ thể lại khơng đơn giản, cần phân loại kỹ vẽ hình xác Chính tốn có liên quan đến phương tích trục đẳng phương thường xem dạng tốn hay, có sức hấp dẫn Vì lý trên, tơi chọn đề tài luận văn “Một số ứng dụng phương tích hình học phẳng” Nội dung luận văn chủ yếu đề cập đến dạng toán thường hay xuất kỳ thi chọn học sinh giỏi chứng minh điểm thẳng hàng, tính đồng quy đường thẳng, nhận dạng điểm thuộc đường tròn cho trước tốn chứng minh tính chất hình học có sử dụng đến phương tích trục đẳng phương, Cấu trúc luận văn gồm phần mở đầu, kết luận chia thành ba chương Chương trình bày số kiến thức hình học cần thiết cho chương sau Chương xét số ứng dụng phương tích z luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phang Chương trình bày số dạng toán liên quan từ đề thi học sinh giỏi Quốc gia, Olympic nước Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hằng luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phang z luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phang Lời cảm ơn Lời em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ em thời gian học tập hoàn thành luận văn Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội thầy, cô công tác giảng dạy trường nhiệt tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập nghiên cứu đề tài luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phang z luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phang Chương Một số kiến thức phương tích Chương giới thiệu kiến thức phương tích Định nghĩa định lý dùng tốn chứng minh Đặc biệt, cuối chương có đề cập đến hai định lý tiếng chứng minh tính thẳng hàng đồng quy Đó định lý Menelaus định lý Ceva Các kiến thức dùng đến thường xuyên chương sau 1.1 Phương tích điểm đường trịn Định lý 1.1 (xem [1],[7]) Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn (O; R) hai điểm A, B −−→ −−→ −−→ −−→ tích vơ hướng M A × M B số khơng đổi " M A × M B = d2 − R2 ", d = OM Chứng minh Gọi C điểm đối xứng A qua O Ta có CB⊥AM hay B hình chiếu C AM luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phang z luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phang Khi đó, ta có −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ M A × M B = M A × M B = M C × M A = M O + OC M O + OA −−→ −→ −−→ −→ = M O − OA M O + OA −−→2 −→2 = M O − OA = OM − OA2 = d2 − R2 −−→ −−→ Định nghĩa 1.1 (xem [1]) Giá trị M A × M B gọi phương tích điểm M đường trịn (O; R) Kí hiệu PM/(O) −−→ −−→ Vậy PM/(O) = M A × M B = d2 − R2 Từ định nghĩa thấy giá trị phương tích PM/(O) âm hay dương tùy thuộc vào vị trí điểm M tương ứng nằm hay ngồi đường trịn (O) Cụ thể, ta có Nhận xét 1.1 *) PM/(O) < ⇔ M nằm đường tròn(O; R) *) PM/(O) = ⇔ M nằm đường tròn (O; R) *) PM/(O) > ⇔ M nằm (O; R) Trong trường hợp, ta có PM /(O) = M A × M B Nhận xét 1.2 - Nếu M nằm ngồi đường trịn (O) M T tiếp tuyến với đường −−−→ trịn ta có PM/(O) ) = d2 − R2 = M T = M T luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phang z luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phang - Cho tam giác ABC, M điểm thuộc AB nằm AB Khi −−→ −−→ −−→ M C tiếp tuyến (O; R) ⇔ M A × M B = M C hay M A × M B = M C Nhận xét 1.3 Nếu A, B cố định AB × AM = const điểm M điểm cố định Ta sử dụng ý tưởng để chứng minh đường thẳng qua điểm cố định Định lý 1.2 (xem [1],[7]) Nếu hai đường thẳng AB CD cắt M M A × M B = M C × M D bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Chứng minh Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt CD D0 Khi theo định lý 1.2, ta có luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phang z luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phang P A × P B = P C × P D0 , suy P C × P D = P C × P D0 nên D ≡ D0 Suy bốn điểm A, B, C D thuộc đường tròn Nhận xét 1.4 Từ định lý 1.2, để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp ta cần đường thẳng AB CD cắt M có M A × M B = M C × M D ” 1.2 Trục đẳng phương đường tròn Trong phần này, ta khảo sát trục đẳng phương hai đường tròn nêu cách dựng trục đẳng phương, tâm đẳng phương ba đường tròn 1.2.1 Trục đẳng phương hai đường tròn Định lý 1.3 (xem [1]) Cho hai đường trịn phân biệt (O1 ) (O2 có bán kính R1 R2 Quỹ tích điểm M có phương tích hai đường tròn đường thẳng, đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O1 ) (O2 ) luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phangluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.phuong.tich.trong.hinh.hoc.phang z