luận văn thạc sĩ một số ứng dụng của giải tích phi tuyến vào phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  NGUYỄN THỊ OANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ OANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH CHUNG PGS TS HOÀNG QUỐC TOÀN HÀ NỘI−2016 z Mục lục Lời nói đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet phiếm hàm khả vi không gian Banach Không gian Sobolev định lý nhúng 1.2.1 Không gian Lp 1.2.2 Không gian H oălder 1.2.3 Không gian Sobolev định lý nhúng 1.3 Sự hội tụ mạnh, hội tụ yếu không gian Banach 12 1.4 Tính nửa liên tục yếu phiếm hàm khả vi không 1.2 gian Banach Điều kiện Coercive phiếm hàm 1.5 1.6 Cực trị phiếm hàm Điều kiện tồn cực trị phiếm hàm 16 Điều kiện Palais - Smale định lý qua núi 17 Ứng dụng phương trình vi phân 2.1 14 20 Sự tồn nghiệm yếu toán biên phương trình vi phân 20 2.2 Bài toán giá trị riêng 30 2.3 Áp dụng định lý qua núi 32 z luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan Kết luận Tài liệu tham khảo 40 42 luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan z luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan LỜI NÓI ĐẦU Trước hết ta có nhận xét rằng: Trong giải tích cổ điển, ứng dụng quan trọng khái niệm đạo hàm khảo sát toán cực trị Mà toán cực trị thường xuất nghiên cứu lớp toán quan trọng khác tốn học, bao gồm mơ hình toán học toán vật lý học Để thấy mối liên hệ này, ta lấy ví dụ đơn giản sau đây: Ta xét phương trình f (x) = khoảng I ⊂ R, f (x) hàm liên tục I Để giải tốn người ta đưa tìm cực trị địa phương hàm khả vi F (x), x ∈ I thoả mãn F (x) = f (x), x ∈ I Tuy nhiên việc tìm cực trị địa phương hàm khả vi F (x) toán khơng tầm thường Vì để tìm nghiệm phương trình f (x) = khoảng I người ta tìm điểm tới hạn hàm F (x) I, tức điểm x0 mà F (x0 ) = Đây ý tưởng phương pháp biến phân Trong nhiều phương pháp giải tích phi tuyến ứng dụng vào phương trình vi phân khơng tuyến tính phương pháp biến phân tỏ có hiệu Ý tưởng phương pháp biến phân áp dụng vào phương trình vi phân dựa sở lý thuyết điểm tới hạn phiếm hàm khả vi không gian Banach, mà nội dung đưa tốn xét việc nghiên cứu phiếm hàm F khả vi liên tục theo nghĩa khơng luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan z luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan gian Banach chọn thích hợp (gọi phiếm hàm lượng liên kết với toán) cho điểm tới hạn phiếm hàm F nghiệm yếu toán xét Một phương pháp thơng thường để tìm điểm tới hạn phiếm hàm tìm điểm cực tiểu phiếm hàm Tuy nhiên việc tìm điểm cực tiểu phiếm hàm khơng đơn giản Vì vậy, nhiều trường hợp người ta quan tâm đến điểm yên ngựa (không phải điểm cực tiểu) phiếm hàm lượng Việc tìm điểm yên ngựa phiếm hàm dựa vào nguyên lý biến phân Mục đích luận văn làm quen với số vấn đề giải tích phi tuyến, cụ thể phương pháp biến phân ứng dụng để khảo sát tồn nghiệm vài lớp phương trình vi phân thường khơng tuyến tính Nội dung luận văn gồm có chương: Chương Dành cho việc trình bày lại số khái niệm, nội dung quan trọng sử dụng luận văn Chương Trình bày ứng dụng phương pháp giải tích phi tuyến vào phương trình vi phân Hà Nội, ngày 09 tháng 10 năm 2016 Nguyễn Thị Oanh luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan z luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trích dẫn khái niệm, định lý số kiến thức bổ trợ sử dụng luận văn 1.1 Khái niệm đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet phiếm hàm khả vi khơng gian Banach Mục tiêu phần trình bày lại khái niệm đạo hàm khơng gian Banach tính chất quan trọng chúng Định nghĩa 1.1.1 (Đạo hàm Gâteaux) Giả sử X không gian Banach, x ∈ X, f : X → R (hoặc C) phiếm hàm xác định X Ta nói f khả vi Gâteaux điểm x tồn ánh xạ δf (x) tuyến tính liên tục cho f (x + th) − f (x) = δf (x) h, t→0 t lim ∀h ∈ X Nếu f khả vi Gâteaux điểm x ∈ X ta nói f khả vi Gâteaux luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan z luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan tập X Định nghĩa 1.1.2 (Đạo hàm Fréchet) Cho X không gian Banach, f phiếm hàm xác định X Ta nói phiếm hàm f khả vi mạnh hay khả vi Fréchet điểm u ∈ X tồn ánh xạ tuyến tính liên tục, ký hiệu f (u) ∈ X ∗ (X ∗ không gian đối ngẫu X) gọi đạo hàm Fréchet f u cho |f (u + v) − f (u) − f (u) v| lim = kvkX kvkX →0 Nếu ánh xạ u 7→ f (u) liên tục ta nói phiếm hàm f thuộc lớp C (X, R) Giả sử f phiếm hàm khả vi Fréchet không gian Banach X ánh xạ f : X → X ∗, đạo hàm Fréchet f Nếu f : X → R khả vi Fréchet x f khả vi Gâteaux x Nếu f : X → R có đạo hàm Gâteaux δf liên tục X f khả vi Fréchet f ∈ C (X, R) Điểm u ∈ X thỏa mãn phương trình f (u) = gọi điểm tới hạn, ngược lại f (u) 6= u gọi điểm ( hay điểm quy) f Số β ∈ R gọi giá trị tới hạn f tồn điểm tới hạn u ∈ X cho f (u) = β, f (u) = 1.2 Không gian Sobolev định lý nhúng Trong phần ta nhắc lại số định nghĩa, tính chất quan trọng không gian Lp (Ω), không gian H oălder , khụng gian Sobolev v nh lý nhỳng luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan z luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan 1.2.1 Không gian Lp Định nghĩa 1.2.1 Giả sử Ω tập đo Rn , với p ∈ [1, +∞) ta ký hiệu Lp (Ω) =   Z
f : Ω → R hoặcC , f đo  p |f (x)| dx < +∞ Ω    Khi Lp (Ω) khơng gian Banach với chuẩn kf kp = kf kLp (Ω)  1/ p Z p =  |f (x)| dx , f ∈ Lp (Ω) nh lý 1.2.1 (Bt ng thc H oălder)(Xem [3] Bổ đề 1.9) Giả sử f ∈ Lp (Ω) , g ∈ Lq (Ω) với p + q = p, q ∈ [1, +∞) Khi kf.gk1 ≤ kf kp kgkq Ta nói hàm đo f bị chặn thực Ω tồn số c > cho |f (x)| ≤ c hầu khắp nơi x ∈ Ω Hằng số c nhỏ cho bất đẳng thức thỏa mãn ký hiệu kf k∞ Ký hiệu L∞ (Ω) tập hợp hàm bị chặn thực Ω, không gian Banach xác định với chuẩn kf k∞ kf k∞ = essinf {c : µ {x ∈ Ω : |f (x)| > c} = 0} , µ độ đo Lebesgue Định nghĩa 1.2.2 Với p ∈ [1, +∞) ta định nghĩa L1loc (Ω) = {f : f ∈ Lp (K) , ∀K ⊂⊂ Ω} Kí hiệu (K ⊂⊂ Ω) nghĩa K tập compact Ω luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan z luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan Nhận xét 1.2.1 • Nếu Ω tập hợp mở Rn p ∈ [1, +∞) C0∞ (Ω) trù mật Lp (Ω) • Nếu meas(Ω) < +∞ (meas(Ω) ký hiệu độ đo Lebesgue Ω) ≤ q < p ≤ ∞ khơng gian Lp (Ω) nhúng liên tục vào Lq (Ω), kí hiệu Lp (Ω) ,→ Lq (Ω) ta có kf kq ≤ (meas(Ω)) p Mệnh đề 1.2.1 − q1 kf kp , ∀f ∈ Lp (Ω) • Giả sử dãy {fn } hội tụ đến f Lp (Ω) Khi tồn dãy {fnk } hội tụ đến f hầu khắp nơi tồn g(x) ∈ Lp (Ω), g(x) ≥ cho |fnk (x)| ≤ g (x) hầu khắp nơi Ω • (Định lý hội tụ trội) Giả sử {fn } dãy hàm khả tích Ω, fn → f hầu khắp nơi giả sử tồn g(x) ∈ L1 (Ω) , |fn (x)| ≤ g (x) Khi Z lim Z fn (x) dx = n→+∞ Ω 1.2.2 f (x) dx Ω Không gian H oălder Trc ht, ta cú nh ngha khụng gian H oălder nh ngha 1.2.3 (Khụng gian H oălder) Hm f : Ω → R (hoặc C) gọi liờn tc H oălder vi ch s (0 < γ ≤ 1) tồn số c > cho bất đẳng thức γ |f (x) − f (y)| ≤ ckx − ykΩ thỏa mãn với x, y ∈ Ω Tập hợp tất hàm liờn tc H oălder vi ch s c ký hiệu
C 0,γ Ω luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan z luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan ∞ Do M tập compact yếu nên tồn u0 ∈ M dãy {unk }k=1 ⊂ ∞ {un }n=1 thỏa mãn unk * u0 Từ giả thiết F ta có inf F (u) ≤ F (u0 ) ≤ lim inf F (unk ) = lim F (un ) = inf F (u) u∈M n→∞ k→∞ u∈M Từ F (u0 ) = inf F (u) > −∞ u∈M Hệ 1.4.1 (Xem [6] Hệ 6.2.5) Cho M ⊂ X, F : X → R u0 điểm thỏa mãn nguyên lý cực tiểu Hơn u0 ∈ intM Nếu δF (u0 ; v) tồn tại, với v ∈ X δF (u0 ; v) = 1.5 Cực trị phiếm hàm Điều kiện tồn cực trị phiếm hàm Một ứng dụng quan trọng đạo hàm khảo sát toán cực trị Mục tiêu phần trình bày diều kiện cần điều kiện đủ cho hàm số thực có cực trị địa phương Một cơng cụ tiếng điều kiện cần Euler, Lagrange điều kiện đủ Lagrange Định nghĩa 1.5.1 Cho không gian Banach X phiếm hàm f : X → R Ta nói f đạt cực tiểu (tương ứng cực đại) địa phương điểm a ∈ X tồn lân cận U a cho ta có f (x) ≥ f (a) (tương ứng f (x) ≤ f (a)) ∀x ∈ U Nếu f đạt cực tiểu đạt cực đại địa phương a ta nói f đạt cực trị địa phương a 16 luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan z luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan Mệnh đề 1.5.1 (Điều kiện cần Euler) Giả sử f : X → R có cực trị địa phương a ∈ R Nếu h ∈ X đạo hàm δf (a, h) tồn δf (a, h) = Mệnh đề 1.5.2 (Định lí Lagrange) Giả sử a ∈ X điểm dừng phiếm hàm f : X → R tồn lân cận U a cho ánh xạ x 7→ δ f (x) liên tục U Nếu tồn α > cho δ f (x) (a, h) ≥ αkhk (tương ứng δ f (x) (a, h) ≤ −αkhk ) , ∀h ∈ X f có cực tiểu (tương ứng cực đại) địa phương a Định nghĩa 1.5.2 Giả sử M ⊂ X tập lồi, tức u, v ∈ M tu + (1 − t) v ∈ M với t ∈ [0, 1] Phiếm hàm f : X → R gọi lồi M với u, v ∈ M t ∈ [0, 1], ta có f (tu + (1 − t) v) ≤ tf (u) + (1 − t) f (v) Mệnh đề 1.5.3 Giả sử f : X → R phiếm hàm lồi không gian định chuẩn X Khi điểm dừng f X điểm cực tiểu f X 1.6 Điều kiện Palais - Smale định lý qua núi Định lý qua núi định lý tiếng phương pháp biến phân để khẳng định tồn điểm tới hạn phiếm hàm không gian Banach Định lý qua núi lần đầu R Courant chứng minh vào năm 1950 cho phiếm hàm xác định khơng gian hữu hạn chiều Sau đó, năm 1973, A Ambrossetti P Rabinowitz (xem [1]) chứng minh định lý qua núi cho phiếm hàm khả vi liên tục Fréchet không gian Banach Trước hết ta tìm hiểu điều kiện Palais - Smale, đảm bảo cho phiếm hàm khả vi không gian Banach X có điểm tới hạn 17 luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan z luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan Định nghĩa 1.6.1 (Điều kiện Palais - Smale) Giả sử X không gian Banach, f phiếm hàm xác định X Giả thiết f ∈ C (X, R), ta nói dãy {un } ⊂ X dãy Palais - Smale c f , ký hiệu (P S)c f (un ) → c, f (un ) → n → ∞, f đạo hàm Fréchet f X Ta nói f thỏa mãn điều kiện Palais - Smale c dãy (P S)c chứa dãy hội tụ Ta nói f thỏa mãn điều kiện Palais - Smale (P S) thỏa mãn điều kiện (P S)c với c Ta thấy định nghĩa dãy (P S) chặt chẽ địi hỏi dãy {f (un )} hội tụ Trong nhiều trường hợp ta áp dụng định nghĩa tổng quát sau đây: Dãy {un } ⊂ X gọi dãy (P S) f |f (un )| ≤ c, f (un ) → n → ∞ Mệnh đề 1.6.1 (Định lý qua núi, xem [6] Định lý 6.4.24 ) Cho X không gian Banach F ∈ C (X, R), e ∈ X r > thỏa mãn kek > r inf F (u) > F (o) ≥ F (e) kuk=r Đặt c := inf max F (γ (t)) , γ∈Γ t∈[0,1] Γ = {γ ∈ C ([0, 1] , X) : γ (0) = o, γ (1) = e} Hơn nữa, F thỏa mãn điều kiện Plais - Smale c ( viết tắt (P S)c ) Khi c giá trị tới hạn F Định lý qua núi với lý thuyết điểm tới hạn góp phần quan trọng việc nghiên cứu tồn nghiệm yếu cho lớp toán biên 18 luan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phanluan.van.thac.si.mot.so.ung.dung.cua.giai.tich.phi.tuyen.vao.phuong.trinh.vi.phan z