Mục đích là nghiên cứu sự ảnh hưởng của bệnh dịchlan truyền trong quần thể thú tác động cụ thể tới hệ động lực thú mồinhư thế nào.Mục đích chính của luận văn này là trình bày lại một các
Hệ động lực
Không gian trạng thái
Tất cả các trạng thái khả dĩ của một hệ động lực được thể hiện qua các điểm trong tập X, và tập X này được gọi là không gian trạng thái của hệ động lực.
Ví dụ 1.1.1 Con lắc đơn
Trạng thái của con lắc đơn lý tưởng được mô tả toàn bộ bằng góc lệch
Con lắc đơn được mô tả với góc lệch ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π) so với phương thẳng đứng và vận tốc góc ϕ Hệ cơ học này có không gian trạng thái X = S × R+, trong đó S là tập hợp các góc ϕ trong khoảng [0, π], và R+ đại diện cho trục số thực dương tương ứng với tất cả các vận tốc khả thi của con lắc đơn.
Thời gian
Sự phát triển của một hệ động lực được định nghĩa là sự thay đổi trạng thái của hệ theo thời gian t, với t thuộc tập số T Tập T này được gọi là tập thời gian của hệ động lực.
Hệ động lực được chia thành hai loại: hệ động lực với thời gian liên tục và hệ động lực với thời gian rời rạc Trong các ứng dụng tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ tập trung vào hệ động lực với thời gian liên tục.
Toán tử tiến hoá
Thành phần chính của hệ động lực là luật tiến hoá, xác định trạng thái x t của hệ tại thời điểm t dựa trên trạng thái ban đầu x 0 Sự phát triển của hệ động lực tại mỗi thời điểm t ∈ T được biểu diễn qua ánh xạ ϕ t, được định nghĩa trong không gian trạng thái ϕ t : X −→ X Ánh xạ này chuyển đổi trạng thái ban đầu x 0 ∈ X thành trạng thái x t ∈ X tại thời điểm t, với công thức x t = ϕ t x 0 Ánh xạ ϕ t được gọi là toán tử tiến hoá của hệ động lực.
Tính chất của toán tử tiến hoá: i) ϕ 0 = Id, trong đó Id là ánh xạ đồng nhất trên X, tức là Id x( )= x
Trong hệ thống này, mọi trạng thái tự nhiên đều không thay đổi theo thời gian, thể hiện qua công thức ϕ t s + = ϕ t 0 ϕ s Điều này cho thấy rằng nếu hệ bắt đầu từ trạng thái x và chuyển đổi sau s đơn vị thời gian, trạng thái đạt được sẽ là ϕ s ( )x Khi tiếp tục chuyển đổi sau t đơn vị thời gian, ta sẽ có trạng thái ϕ t (ϕ s ( ))x, tương tự như việc chuyển đổi trạng thái ban đầu x sau + t s đơn vị thời gian để có được trạng thái ϕ t s + ( )x Như vậy, luật vận động của hệ thống không thay đổi theo thời gian.
Hình 1.2: Toán tử tiến hoá.
Hệ động lực
Hệ động lực được định nghĩa là một bộ ba thành phần gồm không gian trạng thái X, tập thời gian T, và một họ các toán tử tiến hoá ϕ t, trong đó tham số t thuộc không gian trạng thái X.
Ví dụ 1.1.2 Hệ tuyến tính hai chiều
Xét mặt phẳng X = R 2 và một họ các phép biến đổi không suy biến trên
X cho bởi ma trận phụ thuộc vào t∈ T = R như sau ϕ t e λt 0
, trong đú λ, à là cỏc số thực khỏc 0.
Do đó, ϕ t thoả mãn tính chất i) của toán tử phát triển. ii) ϕ s ( ) =x
= ϕ t s + ( )x Do đó, ϕ t thoả mãn tính chất ii) của toán tử phát triển.
Như vậy, bộ ba (X, T, ϕ t ) là một hệ động lực.
Quỹ đạo và hình ảnh pha của hệ động lực
Quỹ đạo
Hệ động lực (X, T, ϕ t ) được định nghĩa bởi một quỹ đạo bắt đầu tại điểm x 0, là một tập con có thứ tự của không gian trạng thái X, được ký hiệu là Or x( 0).
Or x( 0 ) = { ∈x X x: = ϕ t (x 0 ), t∈ T trong đó ϕ t (x 0 ) được xác định ∀ ∈ }t T
Quỹ đạo của một hệ động lực với toán tử tiến hóa trên tập thời gian liên tục là một đường cong trong không gian trạng thái X Đường cong này được biểu diễn bằng tham số và có hướng tương ứng với chiều tăng của tham số thời gian.
Điểm x₀ ∈ X được xác định là điểm cân bằng (hay điểm bất động) của hệ động lực nếu hàm ϕₜ(x₀) bằng x₀ cho mọi t thuộc T Hình 1.3 minh họa quỹ đạo của hệ động lực theo thời gian liên tục.
Toán tử tiến hóa giữ cho điểm cân bằng của một hệ động lực luôn ổn định tại vị trí cũ Quỹ đạo L0 của hệ động lực được xem là một chu trình khi nó là quỹ đạo tuần hoàn và không ở trạng thái cân bằng, tức là tồn tại một số điều kiện nhất định.
T 0 > 0 sao cho với mỗi điểm x 0 ∈ L 0 ta luôn có ϕ t T + 0 (x 0 ) = ϕ t (x 0 ) ∀ t∈ T.
Giá trị T 0 nhỏ nhất thoả mãn tính chất trên được gọi là chu kì của chu trình L 0.
Một chu trình của hệ động lực được gọi là chu trình giới hạn khi trong mỗi lân cận của một điểm nào đó không tồn tại chu trình khác.
Hình ảnh pha
Định nghĩa 1.2.5 Hình ảnh pha của một hệ động lực là một sự phân chia không gian trạng thái theo các quỹ đạo.
Hình ảnh pha cung cấp thông tin quan trọng về sự tiến hóa của hệ động lực, cho phép chúng ta mô tả mật độ và loại trạng thái tiệm cận khi t → ∞+ hoặc t → −∞ Một hình ảnh pha có thể được hình dung như dòng chảy của chất lỏng, trong đó các quỹ đạo tương ứng với các dòng chất lỏng chảy liên tục.
Tập bất biến
Định nghĩa 1.3.1 Cho hệ động lực (X, T, ϕ t ) Tập S ⊂X được gọi là tập bất biến của hệ động lực nếu với mỗi x 0 ∈S ta đều có ϕ t (x 0) ∈ S,∀ t∈ T.
Từ định nghĩa, ta suy ra rằng ϕ t ( )S ⊂ S, t∀ ∈T Rõ ràng, một tập bất biến S bao gồm các quỹ đạo của hệ động lực Như vậy, mọi quỹ đạo
Or x( 0) tại điểm x 0 đều là các tập bất biến Nếu không gian trạng thái
X được trang bị một metric , ta sẽ xét những tập bất biến đóng trongρ
Các điểm cân bằng và chu trình là những ví dụ đơn giản về tập bất biến đóng Định nghĩa 1.3.2 cho biết rằng tập bất invariant S0 được coi là ổn định nếu thỏa mãn hai điều kiện: Thứ nhất, với mọi lân cận đủ nhỏ U chứa S0, luôn tồn tại một lân cận V chứa S0 sao cho ϕt(x) thuộc U với mọi x thuộc V và mọi t thuộc T Thứ hai, tồn tại một lân cận U0 chứa S0 sao cho ϕt(x) tiến tới S0 với mọi x thuộc U0 khi t tiến đến vô cùng dương.
KhiS 0 là điểm cân bằng (tập bất biến đơn giản nhất) thì khái niệm ổn định trên trùng với khái niệm ổn định tiệm cận theo nghĩa Lyapunov.
Hình 1.5: (a) ổn định Lyapunov và (b) ổn định tiệm cận
Phương trình vi phân và hệ động lực
Một trong những cách phổ biến để định nghĩa hệ động lực liên tục là thông qua các phương trình vi phân Hệ động lực có thể được mô tả bằng hệ phương trình vi phân như sau:
Giả sử không gian trạng thái X = R n với các tọa độ (x 1 , , x n ), ta xem xét hệ phương trình vi phân dạng ˙ x i = f i (x 1 , , x n ) cho i = 1, 2, , n Hệ phương trình này có thể được viết dưới dạng vector là ˙ x = f(x), trong đó f: R n → R n là một hàm trơn Hàm ở bên phải của hệ phương trình được coi là một trường vectơ, và phương trình này biểu diễn một hệ gồm n phương trình vi phân tự động Để đảm bảo tính hợp lệ của hệ phương trình vi phân, cần thỏa mãn định lý về sự tồn tại, duy nhất và sự phụ thuộc liên tục.
Cho một hệ động lực được xác định bởi phương trình vi phân ˙x = f(x) với x thuộc R^n, trong đó f: R^n → R^n là hàm trơn trong miền mở U ⊂ R^n Tồn tại duy nhất một hàm x: R × R^n → R^n, được biểu diễn bởi (t, x₀) ↦ x = (xₜ, x₀), là hàm trơn theo (t, x) Đối với mỗi x₀ ∈ U, hàm này thỏa mãn các điều kiện sau: i) x(t₀) = x₀ tại t₀ = 0; ii) tồn tại δ₁ = δ₁(x₀) > 0 và δ₂ = δ₂(x₀) > 0 sao cho với mọi t thuộc khoảng J = (δ₁, δ₂), ta có y(t) = x(t, x₀) ∈ U và ẏ(t) = f(y(t)).
Ta sẽ xây dựng hệ động lực dựa vào hệ phương trình vi phân trên như sau: Gọi y t( ) = (0y , y 0 , t) là nghiệm của phương trình vi phân thoả mãn điều kiện y(0) = y 0
Hệ động lực của con lắc đơn được mô tả bởi định luật thứ hai Newton với phương trình ϕ = -k2 sinϕ, trong đó k2 = gl, với l là độ dài của con lắc và g là gia tốc trọng trường Khi đặt ψ = ˙ϕ, cặp (ϕ, ψ) sẽ biểu diễn một điểm trong không gian trạng thái của hệ.
X = S 1 ×R 1 Khi đó, phương trình vi phân trên được viết lại như sau
Một trong những mô hình hệ sinh thái sớm nhất được đề xuất bởi Volterra vào năm 1931 bao gồm hai phương trình vi phân không tuyến tính.
Mô hình động lực học giữa con mồi và con thú được mô tả bởi hệ phương trình n˙ = αn − βnp và p˙ = −γp + δnp, trong đó n và p lần lượt đại diện cho mật độ của con mồi và con thú Các tham số α, γ, β và δ lần lượt thể hiện tốc độ sinh trưởng của con mồi, tốc độ diệt vong của con thú, tỉ lệ thú bắt mồi và tỉ lệ con mồi chuyển hóa thành năng lượng cho sự phát triển của con thú Phương pháp Lyapunov được áp dụng để phân tích sự ổn định của hệ thống này.
Hệ động lực được xác định bởi phương trình ˙x = f(x), với x thuộc R^n, trong đó f là ánh xạ trơn Điểm x₀ được coi là điểm cân bằng của hệ khi f(x₀) = 0 Ma trận Jacobi A của f tại điểm cân x₀ được ký hiệu là A = f'(x₀) Điểm x₀ sẽ là điểm cân bằng ổn định tiệm cận nếu các giá trị riêng λ₁, λ₂, , λₙ của ma trận A thỏa mãn điều kiện Re(λ) < 0 Định lý 1.4.3 đề cập đến phương pháp thứ hai của Lyapunov.
Chọn một hệ động lực được xác định bởi phương trình e ˙ x = ( )f x, với x thuộc G ⊂ R n, trong đó f là ánh xạ trơn và G là một tập mở trong R n Giả sử hàm V : G → R khả vi, ta định nghĩa hàm G V˙ như sau.
Đạo hàm của hàm V theo hướng của trường véctơ f(x) được xác định tại điểm cân bằng x₀ ∈ G Hàm V liên tục trong lân cận U của x₀ và khả vi trên U \ {x₀}, với các điều kiện: (i) V(x₀) = 0 và V(x) > 0 cho mọi x ∈ U \ {x₀}, (ii) V(ẋ) ≤ 0 cho mọi x ∈ U \ {x₀}.
Khi đó, x 0 là điểm ổn định, ngoài ra nếu thoả mãn điều kiện iii) V x à/b thỡ p ∗ > 0, hệ động lực cú 3 điểm cõn bằng khụng âm là: (0 0), ; (K,0) và (n ∗ , p ∗ ).
Tính ổn định của các điểm cân bằng
Ma trận Jacobi của hệ động lực
• Tại điểm (0 0), , ma trận Jacobi là
Ma trận J ,(0 0) cú hai giỏ trị riờng là λ 1 = r và λ 2 = −à Vỡ λ 1 = r >0 nên điểm (0 0), là điểm cân bằng không ổn định.
• Tại điểm (K,0) ma trận Jacobi là
Ma trận J K,( 0) cú hai giỏ trị riờng là λ 1 = −r và λ 2 = −à+bK. Nếu K ≥ à/b thỡ (K,0) là điểm cõn bằng khụng ổn định Nếu
K < à/b thỡ (K,0) là điểm cõn bằng ổn định.
• Tại điểm (n ∗ , p ∗ ), với điều kiện K > à/b, ma trận Jacobi là
# trong đú n ∗ = à/b p; ∗ = r/a(1−n ∗ /K), ta cú thể viết lại
Xét phương trình đặc trưng det λI( −J n( ∗ , p ∗ )) = 0
Gọi λ 1, λ 2 là hai nghiệm của phương trình đặc trưng, theo định lý Viét ta có
Do đó, Reλ 1 < 0 và Reλ 2 < 0, suy ra điểm (n ∗ , p ∗ ) là điểm ổn định.
- Nếu K < à/b thỡ (K,0) là điểm cõn bằng ổn định của hệ động lực.
Hình 2.1: (K,0) là điểm cân bằng của hệ.
- Nếu K > à/b thỡ (n ∗ , p ∗ ) là điểm cõn bằng dương ổn định của hệ động lực.
Hình 2.2: (n ∗ , p ∗ ) là điểm cân bằng của hệ.
Bình luận ý nghĩa về sinh học
Như những điều ta đã phân tích ở trên, ta có
Điểm ổn định K trong mô hình sinh thái cho thấy rằng khi mật độ quần thể thú giảm, chúng có nguy cơ tuyệt chủng do tỷ lệ sinh không đủ bù đắp cho tỷ lệ chết Khi mồi tiến gần đến sức chứa của môi trường, sự gia tăng của quần thể thú không đủ lớn để duy trì sự sống còn, dẫn đến khả năng tuyệt chủng cao hơn.
Nếu b > a, điểm ổn định (n*, p*) sẽ được thiết lập, cho thấy sự tồn tại đồng thời của thú và mồi Về mặt sinh học, sự gia tăng số lượng thú cần phải lớn hơn sự chết đi của chúng, dẫn đến sự cùng tồn tại bền vững giữa thú và mồi.
Trong chương này, chúng tôi đã trình bày chi tiết mô hình Lotka-Volterra, một mô hình thú mồi cổ điển, và đưa ra một số kết luận quan trọng từ góc độ Toán học và Sinh học Ở chương tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu một mô hình khác, trong đó chỉ một loài thú tương tác và có sự lan truyền bệnh dịch trong quần thể của loài thú đó.
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu mô hình lan truyền bệnh dịch trong quần thể động vật, phân chia cá thể thành ba loại: cá thể chưa nhiễm bệnh nhưng có khả năng bị nhiễm (susceptible), cá thể đã mắc bệnh (infectious) và cá thể bị bệnh nhưng có khả năng hồi phục (recovered) Mô hình này được biết đến với tên gọi mô hình SIRS.
Mô hình
dS dt = γR−βSI dI dt = βSI −δI dR dt = δI −γR
Mật độ con thú chưa nhiễm bệnh nhưng có khả năng nhiễm bệnh tại thời điểm t được ký hiệu là S(t), trong khi mật độ con thú bị bệnh là I(t), và mật độ con thú đã khỏi bệnh là R(t) Tổng số con thú tại thời điểm t được tính bằng S(t) + I(t) + R(t) và là hằng số Tỉ lệ thú có khả năng nhiễm bệnh lại sau khi đã khỏi bệnh được ký hiệu là γ, tỉ lệ thú nhiễm bệnh do tiếp xúc với thú đã bị bệnh là β, và tỉ lệ thú khỏi bệnh từ những con đang bị bệnh được ký hiệu là δ.
Phân tích mô hình
Các điểm cân bằng của hệ động lực
Các điểm cân bằng của hệ động lực là nghiệm của hệ phương trình
Từ hệ phương trình trên ta có
- Nếu p < δ/β thì hệ có duy nhất một điểm cân bằng không âm là
- Nếu p > δ/β thì hệ có hai điểm cân bằng không âm là ( 0 0)p, , và(S ∗ , I ∗ , R ∗ ).
Tính ổn định của các điểm cân bằng
Ma trận Jacobi của hệ động lực
• Tại điểm ( 0 0)p, , , ma trậ Jacobi là
Ma trận J p, ,( 0 0) có ba giá trị riêng là λ 1 = 0, λ 2 = βp−δ, λ 3 = −γ.
- Nếu p < δ/β thì λ 2 , λ 3 δ/β thì λ 2 > 0 nên (p, ,0 0) không ổn định.
• Tại điểm (S ∗ , I ∗ , R ∗ ), với điều kiện p > δ/β, ma trận Jacobi là
Xét phương trình đặc trưng det λI( −J S( ∗ , I ∗ , R ∗ )) = 0
Gọi λ 1 , λ 2 là hai nghiệm của phương trình (*), theo định lý Viet ta có
Vì vậy, (S ∗ , I ∗ , R ∗ ) là điểm ổn định.
- Nếu p < δ/β thì ( 0 0)p, , là điểm cân bằng ổn định.
- Nếu p > δ/β thì (S ∗ , I ∗ , R ∗ ) là điểm cân bằng ổn định.
Bình luận về ý nghĩa sinh học
Nếu p < δ/β, thì (0, 0) là điểm cân bằng ổn định Điều này có nghĩa là trong quần thể thú, không có bệnh dịch lan truyền, tức là tất cả các cá thể đều không bị nhiễm bệnh và bệnh dịch không bùng phát.
• Nếu p > δ/β thì (S ∗ , I ∗ , R ∗ ) là điểm cân bằng ổn định Về mặt sinh học, điều đó có nghĩa là bệnh dịch lan truyền trong quần thể thú, bệnh dịch bùng phát.
Trong chương này, chúng tôi đã trình bày chi tiết mô hình bệnh dịch SIRS, mô hình mô tả sự lan truyền bệnh trong quần thể thú Ở chương tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu một mô hình phức tạp hơn, kết hợp giữa mô hình bệnh dịch SIRS và mô hình thú mồi cổ điển Lotka-Volterra.
Mô hình thú mồi thứ nhất với sự lan truyền bệnh dịch nhanh trong quần thể thú.
Trong chương này, chúng tôi phân tích tác động của bệnh dịch trong quần thể thú đối với hệ động lực thú mồi, thông qua việc kết hợp mô hình SIRS và mô hình Lotka-Volterra Chúng tôi giả định có hai thang thời gian: thang nhanh phản ánh ảnh hưởng của bệnh dịch, trong khi thang chậm mô tả sự tương tác giữa thú mồi và tỷ lệ tử vong của chúng Bằng phương pháp tổ hợp biến, chúng tôi đã rút gọn mô hình ban đầu thành một mô hình tương đương Qua nghiên cứu mô hình này, chúng tôi đã rút ra một số kết luận thú vị.
Mô hình
Mô hình trong thang thời gian chậm
K)−an S( + + )]I R dS dt = [−àS+bnS] dI dt = [−àI −à 0 I+bnI] dR dt = [−àR+bnR]
Mật độ con mồi n(t), con thú chưa nhiễm bệnh S(t), con thú bị bệnh I(t), và con thú có khả năng khỏi bệnh R(t) tại thời điểm t được mô tả bởi các phương trình động lực học Tổng số con thú p(t) = S(t) + I(t) + R(t) là hằng số Trong thời gian chậm, sự tương tác giữa con mồi và sự chết của con thú được giả định Con mồi sinh trưởng theo quy luật Logistic với tốc độ rn(1−n/K), trong đó K là sức chứa của môi trường Ngược lại, con thú không có nguồn thức ăn sẽ tuyệt chủng với tốc độ mũ à > 0 Khi cả hai loài tồn tại, tỉ lệ con thú bắt con mồi là a > 0, và tỉ lệ con mồi bị ăn thịt chuyển hóa thành năng lượng cho sự phát triển của con thú là b > 0.
Mô hình trong thang thời gian nhanh
dS dτ = (γR−βSI) dI dτ = (βSI −δI) dR dτ = (δI −γR)
Trong khoảng thời gian ngắn, bệnh dịch có khả năng lây lan nhanh chóng trong quần thể động vật Giả sử γ là tỷ lệ động vật có khả năng tái nhiễm bệnh sau khi đã khỏi, β là tỷ lệ động vật bị nhiễm bệnh do tiếp xúc với những con đã mắc bệnh, và δ là tỷ lệ động vật hồi phục từ bệnh.
Mô hình hoàn thiện
Bằng cách đặt =t ετ với tham số ε 1, ta có mô hình hoàn thiện
K)−an S( + + )]I R dS dτ = (γR−βSI) + [ε −àS+bnS] dI dτ = (βSI −δI) + [ε −àI −à 0 I+bnI] dR dτ = (δI −γR) + [ε−àR+bnR]
Phân tích mô hình hoàn thiện
Mô hình tổ hợp
Hệ động lực trong thang thời gian nhanh
Hệ động lực trong thang thời gian nhanh được miêu tả bởi hệ phương trình sau
dS dτ = γR−βSI dI dτ = βSI −δI dR dτ = δI −γR
Các điểm cân bằng trong thang thời gian nhanh của hệ động lực
Như đã trình bày ở chương 3, ta có kết luận
- Nếu p < δ/β thì hệ có duy nhất một điểm cân bằng không âm
- Nếu p > δ/β thì hệ có hai điểm cân bằng không âm là ( 0 0)p, , và (S ∗ , I ∗ , R ∗ ).
Tính ổn định của các điểm cân bằng
Như ta trình bày ở chương 3, ta có kết luận:
- Nếu p < δ/β thì ( 0 0)p, , là điểm cân bằng ổn định (Ý nghĩa về sinh học: Thú không bị bệnh và bệnh dịch không bùng phát).
- Nếu p > δ/β thì (S ∗ , I ∗ , R ∗ ) là điểm cân bằng ổn định (Ý nghĩa về sinh học: Thú nhiễm bệnh và bệnh dịch bùng phát).
Vì S+ +I R= p nên ta có thể viết lại hệ
K)−anp] dp dτ = [ε−àp−à 0 I+bnp] dI dτ = (β p− −I R)I −δI + [ε −àI −à 0 I+bnI dR dτ = (δI −γR) + [ε −àR+bnR] dε dτ = 0
Ma trận Jacobi của hệ động lực
Biểu thức trong các dấu ∗ khá cồng kềnh nhưng không ảnh hưởng tới việc đánh giá các giá trị riêng của ma trận trên.
TH1 Nếu p < δ/β thì ma trận Jacobi
Các giá trị riêng của ma trận là λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0, λ 4 = −δ, và λ 5 = −γ, cho thấy các điều kiện của định lý đa tạp tâm đã được thoả mãn Khi thay S = p và I = R = 0 vào hệ phương trình ban đầu, ta có được kết quả cần thiết.
K)−anp dp dt = −àp+bnp
TH2 Nếu p > δ/β thì ma trận Jacobi
Xét phương trình đặc trưng det
Gọi λ 4 , λ 5 là hai nghiệm của phương trình (*), theo định lý Viet ta có
Do đó, các điều kiện của định lý đa tạp tâm được thoả mãn, thay (S ∗ , I ∗ , R ∗ ) vào hệ ban đầu ta có
K)−anp dp dt = −àp− à 0 γ γ+δ(p− δ β) +bnp
Kí hiệu D 1 = [0 + ), ∞ ×[0, δ/β) và D 2 = [0 + ), ∞ ×[δ/β,+ )∞ Khi đó, mô hình tổ hợp (1) tương ứng trên đa tạp D 1 và mô hình tổ hợp (2) tương ứng trên đa tạp D 2.
Gọi X 1 (n, p) là vectơ trường của mô hình (1) trên R 2 và X 2 (n, p) là vectơ trường của mô hình (2) trên R 2 Đặt
Ta có thể kiểm tra trực tiếp được rằng X n, p( ) là liên tục trên R 2 + và là
Phân tích mô hình tổ hợp
Trên R 2 , X 1(n, p) có ba điểm cân bằng là (0 0) (, , K,0) và (n ∗ 1 , p ∗ 1 ), trong đó n ∗ 1 = à b, p ∗ 1 = r a(1− à bK)
Trên R 2 , X 2(n, p) có ba điểm cân bằng là (0, p), (K, 0) và (n¯ ∗ 2 , p ∗ 2 ) trong đó ¯ p= δ β
Tính ổn định của các điểm cân bằng Định lý 4.2.1 • (0,0) là điểm yên ngựa.
• Nếu p ∗ 1 δ/β thì (n ∗ 2 , p ∗ 2 ) ∈ D 2 là điểm ổn định tiệm cận toàn cục trên góc phần tư dương.
Bổ đề 4.2.1 Điểm cân bằng (n ∗ 1 , p ∗ 1 ) ∈D 1 khi và chỉ khi (n ∗ 2 , p ∗ 2 ) ∈ D 1 và điểm cân bằng (n ∗ 1 , p ∗ 1 ) ∈D 2 khi và chỉ khi (n ∗ 2 , p ∗ 2 ) ∈D 2
Chứng minh Ta có p ∗ 1 = r a(1− à bK) và p ∗ 2 = r a β δ[( + )(γ à−bK) +à 0 γ] +√
∆ = β 2 [( + )(δ γ à−bK) +à 0 γ] 2 + 4abKβà 0 δγ δ( + )γ r > 0 Bằng cách đặt ψ = rà 0 γ
2 + ( )ψ ∗ i) Nếu δ/β −p ∗ 1 /2 +ψ < 0 thì (*) luôn đúng và p ∗ 1
Do đó, (n ∗ 1 , p ∗ 1 ) ∈D 2 ii) Nếu δ/β −p ∗ 1 /2 +ψ > 0 thì (*) tương đương với:
TH2 Nếu (n ∗ 2 , p ∗ 2 ) ∈ D 1, chứng minh hoàn toàn tương tự như TH1 ta cũng có (n ∗ 1 , p ∗ 1 ) ∈ D 1
Bổ đề 4.2.2 • (n ∗ 2 , p ∗ 2 ) là điểm ổn định tiệm cận toàn cục trên góc phần tư dương đối với X 2
• Nếu p ∗ 1 >0 thì (n ∗ 1 , p ∗ 1 ) là điểm ổn định tiệm cận toàn cục trên góc phần tư dương.
( + )γ δ β Đạo hàm của các hàmV i (n, p)lần lượt dọc theo các đường congX i (n, p), i= 1 2, là
= − b aK(n−n ∗ 2) 2 −α(p ∗ 2 −p) 2 p ∗ 2 p ≤0 Đặt S 1 = ({ n, p) ∈ D 1 : ˙V 1 (n, p) = 0}, ta có S 1 = {(n ∗ 1 , p) : p < δ/β}. Đặt S 2 = ({ n, p) ∈ D 2 : ˙V 2 (n, p) = 0}, ta có S 2 = {(n ∗ 2 , p ∗ 2 )}.
Tập bất biến trong R² chỉ bao gồm điểm cân bằng hoặc chu trình giới hạn, do đó, tập bất biến lớn nhất trong S₁ là {(n∗₁, p∗₁)} và trong S₂ là {(n∗₂, p∗₂)} Theo nguyên lý Lasall, mọi điểm (n, p) ∈ D₁ sẽ tiến về điểm cân bằng {(n∗₁, p∗₁)}, trong khi mọi điểm (n, p) ∈ D₂ sẽ tiến về điểm cân bằng {(n∗₂, p∗₂)}.
Các ma trận Jacobi tại các điểm cân bằng
• Tại (0 0), , ma trận Jacobi là
0 −à suy ra hai giỏ trị riờng của J 0 là λ 1 = r > , λ0 2= −à < 0 Do đú,
• Tại (K,0), ma trận Jacobi là
suy ra hai giỏ trị riờng của J K là λ 1 = −r < , λ0 2 = −à+bK
• Tại (n ∗ 1 , p ∗ 1 ), ma trận Jacobi là
Phương trình đặc trưng của J 1 là
K λ+abn ∗ 1 p ∗ 1 = 0 Gọi λ 1 , λ 2 là hai nghiệm của phương trình trên, theo định lý Viet ta có
• Tại (n ∗ 2 , p ∗ 2 ), ma trận Jacobi là
Phương trình đặc trưng của J 2 là
Gọi λ 3 , λ 4 là hai nghiệm của phương trình trên, theo định lý Viet ta có
TH1 Nếu p ∗ 1 δ/β thì (S ∗ , I ∗ , R ∗ ) là điểm cân bằng ổn định tiệm cận(Ý nghĩa về sinh học: Thú nhiễm bệnh và bệnh dịch bùng phát).
Vì + + =S I R p nên ta có thể viết lại hệ
K)−a np n+p] dp dτ = [ε −àp+b np n+p] dI dτ = (β p− −I R)I −δI + [ε −àI +b nI n+p dR dτ = (δI −γR) + [ε −àR+b nR n+p] dε dτ = 0
Ma trận Jacobi của hệ động lực là
Biểu thức trong các dấu ∗ khá cồng kềnh, nhưng không ảnh hưởng tới việc đánh giá các giá trị riêng của ma trận trên.
TH1: Nếu p < δ/β thì ma trận Jacobi
Các giá trị riêng của ma trận là λ1 = λ2 = λ3 = 0, λ4 = −δ, và λ5 = −γ Như vậy, các điều kiện của định lý đa tạp tâm được thỏa mãn Khi thay S = p, I = R = 0 vào hệ phương trình ban đầu, ta sẽ nhận được kết quả mong muốn.
K)−a np n+p dp dt = −àp+b np n+p
TH2: Nếu p > δ/β thì ma trận Jacobi
Phương trình đặc trưng của ma trận trên det
Gọi λ 4 , λ 5 là hai nghiệm của phương trình (*), theo định lý Viet ta có
Do đó, các điều kiện của định lý đa tạp tâm được thoả mãn, thay (S ∗ , I ∗ , R ∗ ) vào hệ ban đầu ta có
K)−a np n+p dp dt = −àp+b np n+p
Như vậy, từ mô hình (1) và (2) ta có một mô hình tổ hợp duy nhất là
K)−a np n+p dp dt = −àp+b np n+p
Phân tích mô hình tổ hợp
Các điểm cân bằng của hệ động lực
Từ hệ phương trình trên ta có
Có 3 điểm cân bằng là: (0 0), , (K,0), (n ∗ , p ∗ ), trong đó n ∗ = br−ab+aà br K và p ∗ = b−à b n ∗
Bằng cách đặt e = a/b, ta viết lại n ∗ = (1− a r + à re K) và p ∗ = (1− e aà n) ∗
Với chỳ ý ta cú thể coi e > 1 Nếu e < r( −a /à) và e < a/à thỡ(n ∗ , p ∗ ) là điểm cân bằng dương, ngược lại thì (n ∗ , p ∗ ) không phải là điểm cân bằng dương.
Tính ổn định của các điểm cân bằng
Ma trận Jacobi của hệ động lực là
• Tại điểm (0 0), , ma trận Jacobi
Ma trận trờn cú hai giỏ trị riờng là λ 1= r và λ 2= −à.
Vì λ 1= r >0 nên điểm (0 0), là điểm cân bằng không ổn định.
• Tại điểm (K,0), ma trận Jacobi
Ma trận trờn cú hai giỏ trị riờng là λ 1= −r và λ 2= −à+b.
- Nếu b≥ à, tức là e≤ a/à thỡ(K,0) là điểm cõn bằng khụng ổn định.
- Nếu à > b, tức là e > a/à thỡ (K,0) là điểm cõn bằng ổn định.
• Tại điểm (n ∗ , p ∗ ), ma trận Jacobi
K) = r a(a r + à re) = 1 + à ae ta có thể viết lại
Xét phương trình đặc trưng của ma trận trên det λI( −J n( ∗ , p ∗ )) = 0
Gọi λ 1, λ 2 là hai nghiệm của phương trình đặc trưng, theo định lý Viét ta có
Vỡ e < r( −a /à) nờn r − −a eà > 0, do đú λ 1 λ 2 > 0.
Bây giờ, ta xét dấu hàm f e( ) = à 2 a e 2 + (2à− à 2 a )e−r+a−à với mục đích xét dấu của λ 1 λ 2 Ta có
Toạ độ đỉnh của parabol: e 0= 1
Vì ∆ > 0 nên phương trình f e( ) = 0 có hai nghiệm phân biệt e 1 = 1
⇔r > a+à Điều này là luụn đỳng vỡ r > a+eà và e >1 nờn r > r+à.
Với điều kiện 1 < e < e2, ta có f(e) < 0, dẫn đến việc nếu 1 < e < e2, e < a/à và e < r(−a/à), thì (n∗, p∗) là điểm cân bằng dương ổn định Tuy nhiên, chúng ta có thể rút gọn điều kiện này với chú ý rằng e2 < r a/à(−) Thực tế, e2 < r−a à.
⇔r > a+à Điều này là luụn đỳng Túm lại, nếu 1 < e < e 2, e < a/à (với điều kiện r > à/2) thỡ (n ∗ , p ∗ ) là điểm cõn bằng dương ổn định.
Bình luận về ý nghĩa sinh học
K)−a np n+p dp dt = −àp+b np n+p
Trong nghiên cứu này, chúng ta xem xét hai thang thời gian: thang thời gian nhanh liên quan đến sự lan truyền dịch bệnh trong quần thể thú, và thang thời gian chậm liên quan đến tương tác giữa thú mồi và sự chết di của thú Phương pháp tổ hợp biến được áp dụng để phát triển một mô hình rút gọn tương đương với mô hình ban đầu, với các tham số n (giá trị cân bằng nhanh của quần thể mồi) và p (giá trị cân bằng nhanh của quần thể thú) Mặc dù có hai điểm cân bằng ổn định, chỉ có một mô hình tổ hợp duy nhất được xác định Phân tích mô hình tổ hợp cho thấy hai điểm cân bằng không âm là ổn định tiệm cận.
Nếu e > a/à, hệ động lực không có điểm cân bằng ổn định dương, chỉ tồn tại một điểm cân bằng ổn định duy nhất tại (K,0), nghĩa là loài thú bị tuyệt chủng và mật độ con mồi đạt đến sức chứa tối đa của môi trường Hình 5.1 minh họa cho điều này.
Nếu e < a/à và 1 < e < e2, thì hệ động lực có điểm cân bằng ổn định duy nhất là (n ∗ , p ∗ ), nơi tổng mật độ thú và mật độ mồi tiến đến giá trị cân bằng tương ứng Hệ động lực này có hai trường hợp: không có bệnh dịch lan truyền trong quần thể thú (S = p ∗ , I = 0, R = 0) và có bệnh dịch lan truyền (S = S ∗ , I = I ∗ , R = R ∗ ) Hình vẽ 5.2, 5.3 và 5.4 minh họa cho các tình huống này.
Chúng tôi đã giới thiệu một mô hình mới về sự lan truyền bệnh dịch trong quần thể thú mồi Nghiên cứu này mang lại những kết quả thú vị liên quan đến Toán học và Sinh học.
Hình 5.1: (K,0) là điểm cân bằng ổn định tiệm cận với các tham số ta chọn r = 1,K = 5, a= 1, b= 0 5 , β = 0 5 , δ = 0 8 , γ = 1, à= 0 8 .
Hình 5.2: (n ∗ , p ∗ )là điểm cân bằng ổn định tiệm cận với các tham số ta chọn r = 2,K = 5, a= 1, b= 0 5 , β = 0 5 , δ = 0 8 , γ = 1, à= 0 1 .
Hình 5.3: Điểm cân bằng có bệnh dịch với các tham số r = 2,K = 5, a = 1, b = 1 5, β = 0 5, δ = 2, γ = 1, à= 0 8
Hình 5.4: Điểm cân bằng không bệnh dịch với các tham số r = 2,K = 5,
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày chi tiết kiến thức cơ bản về hệ động lực và phương pháp tổ hợp biến Bài viết cũng xem xét các mô hình cổ đi
Luận văn hiện tại chỉ mới khởi đầu trong việc nghiên cứu hệ động lực và chưa phát triển các mô hình phức tạp cho hệ thú mồi Cụ thể, vẫn chưa có sự kết hợp giữa mô hình cạnh tranh trong quần thể thú và quần thể mồi với mô hình bệnh dịch lan truyền Chúng tôi hy vọng rằng trong tương lai, nhờ vào sự hỗ trợ và chỉ dẫn tận tình từ quý thầy cô và các đồng nghiệp, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu sâu hơn trong lĩnh vực này, nhằm mang lại những kết quả thực tế thú vị và đặc sắc.
[1] Auger P., Bravo de la Parra R (2000), Methods of aggregation of variables in population dynamics.
[2] Auger P., Poggiale J.C (1996), Emergence of population growth model: fast migration and slow growth.
[3] Auger P., Roussarie R (1994), Complex ecological models with simple dynamics from individuals to population.
[4] Auger P., Bravo de la Parra R., Morand S., Sánchez E (2002), A prey- predator model with predator using hawk and dove tactics.
[5] Auger P., Kooi B.W., Bravo de la Parra R., Poggiale J.C (2006), Biffurcation analysis of a prey- predator model with predator using hawk and dove tactics.
[6] Auger P., Mchich R., Chowdhury T., Sallet G., Tchuente M., Chattopadhyay J (2009), Effects of a disease affecting a predator on the dynamics of a predator- prey system.
[7] Auger P., Bravo de la Parra R., Poggiale J C., Sánchez E., Sanz L., Aggregation methods in dynamical systems and applications in population and community dynamics.
[8] Arrowsmith D.K., Place C.M (1992), Dynamical Systems: Dif- ferential Equations, maps and chaotic behaviour.
[9] Arrowsmith D., Place C (1990), An Introduction to Dynamical Systems, Cambrigde University Press, Cambrigde.
[10] Bazykin, A (1985),Mathematical Biophysics of Interacting Pop- ulations, Nauka, Moscow in Russian.
[11] Birkhoff, G [1927],Dynamical systems, Amer Mathe Soc Col- lop Publ.
[12] Carr, J [1981],Applications of Center Manifold Theory, Spinger-
[13] Chattopadhyay J., Arino O (1999), A predator- prey model with disease in the prey.
[14] Guckenheimer J., Holmes P (1983), Nonlinear Ocsillations, Dy- namical Systems and bifurcations of Vector Fields, Spinger- Ver- lag, New York.
[15] Irwin, M (1980), Smooth Dynamical Systems, Academic Press,
[16] Junjie, C (2004) An SIRS epidemic model.
[17] Kot, M., Elements of Mathematical Ecology, Cambrigde.
[18] Kuznetsov, Y.A., Elements of applied bifurcation theory 2.
[19] Malm, J., (2004), A Mini- Essay on Epidemiological Modelling of Influneza.
[20] Mchich R., Auger P., Lett C (2006), Effects of aggregative and solitary individual behaviors on the dynamics of predator- prey game models.
[21] Mchich R., Auger P., Poggiale J.C (2007), Effects of predator density dependent dispersal of prey on stability of a predator- prey system.
[22] Murray, J.D.,Mathematical Biology: I An introduction 3.
[23] Nishimura K., Kishada O (2001), Couple of two competitve sys- tems via density- dependent migration.
[24] Nguyen N.D., Bravo de la Parra R., Zavala M., Auger P (2009), Competition and species coexistence in a matapopulation model: can fast dispersal revese the outcome of competition?
[25] Nguyen N.D., Nguyen H.T., Auger P (2009), Effects of refuges and density dependent dispersal on interspecific competition dy- namics.