luận văn thạc sĩ về toán tử đơn điệu trong không gian hilbert luận văn thạc sĩ toán học 60 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN QUANG TRUNG VỀ TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU HÀ NỘI - 2014 z Mục lục KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỐN TỬ ĐA TRỊ TRONG KHƠNG GIAN HILBERT 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Khái niệm không gian Hilbert 1.1.2 Tính trực giao hình chiếu 1.1.3 Toán tử tuyến tính phiếm hàm khơng gian Hilbert 11 1.2 Toán tử đa trị 14 1.2.1 Một số kiến thức giải tích lồi 14 1.2.2 Toán tử đa trị 20 TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHƠNG GIAN HILBERT 24 2.1 2.2 Toán tử đơn điệu 24 2.1.1 Toán tử đơn điệu 24 2.1.2 Toán tử đơn điệu tuần hoàn 32 2.1.3 Toán tử đơn điệu cực đại 34 2.1.4 Hàm Fitzpatrick 40 Tổng hai toán tử đơn điệu cực đại 43 Tài liệu tham khảo 49 z Lời nói đầu Tốn tử đơn điệu lĩnh vực quan trọng giải tích đại, có nhiều ứng dụng giải tích ứng dụng nhiều ngành toán học ứng dụng khác bất đẳng thức biến phân, cân bằng, tối ưu hóa, Nội dung luận văn trình bày kiến thức sở liên quan; Các định nghĩa, tính chất điều kiện để toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại; Điều kiện để tổng hai toán tử đơn điệu cực đại toán tử đơn điệu cực đại nhờ hàm Fitzpatrick Bố cục Luận văn gồm hai chương: • Chương Kiến thức tốn tử đa trị khơng gian Hilbert • Chương Tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert Nội dung chương là: Chương I: Trình bày kiến thức không gian Hilbert Sau trình bày kiến thức tốn tử đa trị khơng gian Hilbert, có trình bày số kiến thức Giải tích lồi phục vụ cho nghiên cứu tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert Chương II: Trình bày khái niệm toán tử đơn điệu, đơn điệu tuần hồn, đơn điệu cực đại tính chất như: điều kiện đủ để tốn tử đơn điệu, đơn điệu cực đại Tiếp theo trình bày tính cực đại tổng hai tốn tử đơn điệu cực đại z Lời cảm ơn Để hoàn thành Luận văn này, trước hết tác giả xin bày tỏ kính trọng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn, giải đáp thắc mắc học trò suốt trình nghiên cứu giúp đỡ tác giả hoàn thành hoàn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo, giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy giáo thuộc Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tham gia giảng dạy nhiệt tình khóa học, giúp tác giả tích lũy nhiều kiến thức quan trọng phục vụ cho luận văn Tác giả xin cám ơn Seminar Toán Viện toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ nhận xét góp ý cho luận văn Tác giả xin cám ơn tới quan nơi tác giả công tác, gia đình bạn bè ln động viên, ủng hộ giúp đỡ tác giả suốt trình học tập làm luận văn tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng tích cực học tập, nghiên cứu khoa học, song trình thực khơng tránh khỏi sai sót Vì tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 10 tháng năm 2014 z luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỐN TỬ ĐA TRỊ TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Trong chương giới thiệu kiến thức khơng gian Hilbert tốn tử đa trị Các khái niệm kết tham khảo từ tài liệu [1, 2, 3, 4, 10] 1.1 Không gian Hilbert Chúng ta ký hiệu H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng h.|.i chuẩn k.k Toán tử đồng H Id 1.1.1 Khái niệm không gian Hilbert Một tập X mà phần tử đối tượng bất kỳ, gọi không gian vectơ, nếu: a) Trên X trang bị hai phép tốn: + : X × X → X : (x, y) 7→ x + y; · : R × X → X : (α, x) 7→ αx, b) Hai phép tốn thỏa mãn tám tiên đề sau: i) x + y = y + x; ii) (x + y) + z = x + (y + z) ; luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 z luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 iii) ∃ ∈ X : x + = x, ∀x ∈ X ; iv) x ∈ X , ∃ − x ∈ X : x + (−x) = 0; v) 1.x = x; vi) α (βx) = (αβ) x, ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ X ; vii) (α + β) x = αx + βx, ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ X ; viii) α (x + y) = αx + αy, ∀α ∈ R; ∀x, y ∈ X Nếu tập X trang bị metric: p : X × X → R+ : (x, y) 7→ p (x, y) , thỏa mãn tính chất sau: i) p (x, y) > 0, ∀x 6= y; p (x, y) = 0, x = y; ii) p (x, y) = p (y, x) , ∀x, y; iii) p (x, y) ≤ p (x, z) + p (y, z) , ∀x, y, z ∈ X , (X , p) gọi không gian metric Định nghĩa 1.1 Một không gian vectơ định chuẩn tập X vừa không gian vectơ, vừa khơng gian metric Khi X trang bị chuẩn kxk = p (x, 0) thỏa mãn điều kiện: i) kxk > x 6= 0; kxk = x = 0, ii) kαxk = |α| kxk , iii) kx + yk ≤ kxk + kyk Định nghĩa 1.2 Một không gian tuyến tính thực X gọi khơng gian tiền Hilbert với x, y ∈ X , xác định số thực kí hiệu hx| yi gọi tích vơ hướng x, y ∈ X thỏa mãn: i) hx|yi = hy|xi ii) hx + y|zi = hx|zi + hy|zi iii) hλx|yi = λ hx|yi iv) hx|xi ≥ với x, dấu "=" xảy x = v) hx|xi = kxk2 Nhận xét 1.1 Từ tính chất i), ii), iii) v) Định nghĩa 1.2 ta luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 z luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 suy ra: 2  2 kx + yk + kx − yk = kxk + kyk  (1.1) Công thức (1.1) gọi điều kiện bình hành Mệnh đề 1.1 Mọi không gian tiền Hilbert X không gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định: q kxk = hx| xi, ∀x ∈ X (1.2) Chứng minh Với số thực λ ta có: ≤ hx − λy|x − λyi = hx|xi − 2λ hx|yi + λ2 hy|yi , tam thức bậc hai theo λ có biệt thức ∆ ≤ 0: |hx|yi|2 − hx|xi hy|yi ≤ 0, hay |hx|yi| ≤ kxk kyk (1.3) Từ ≤ hx + y|x + yi = hx|xi + hx|yi + hy|yi ≤ ≤ kxk2 + kxk kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 Vậy kx + yk ≤ kxk + kyk , (1.4) nghĩa bất đẳng thức tam giác thỏa mãn Mặt khác từ (1.2), (1.3) (1.4) ta suy kxk > x 6= 0, kxk = x = kλxk = |λ| kxk Do kxk chuẩn  Nhận xét 1.2 Qua chứng minh ta thấy khơng gian tiền Hilbert ln có bất đẳng thức (1.3) gọi bất đẳng thức Schwarz Hơn nữa, theo đẳng thức hình bình hành (1.1) ln Vì: hx + y|x + yi − hx − y|x − yi = hx|yi nên có: hx| yi = (hx + y| x + yi − hx − y| x − yi) luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 z (1.5) luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 Khi kxn − xk → 0, kyn − yk → 0, kxn + yn k → kx + yk , kxn − yn k → kx − yk , nên theo (1.5) có hxn |yn i → hx|yi Vậy hx|yi hàm liên tục x y Định nghĩa 1.3 Cho X không gian định chuẩn Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy X lim kxn − xm k = n,m→∞ Nếu X dãy hội tụ, tức kxn − xm k → ⇒ ∃x0 ∈ X : xn → x0 , X gọi không gian đủ không gian Banach Định nghĩa 1.4 Không gian tiền Hilbert đủ gọi không gian Hilbert Định nghĩa 1.5 Không gian Banach thỏa mãn điều kiện bình hành gọi khơng gian Hilbert Bổ đề 1.1 (xem [10]) Cho x, y ∈ H Khi có kết sau: i) hx| yi ≤ ⇔ (λ ∈ R++ ) kxk ≤ kx − λyk ⇔ (λ ∈ [0, 1]) kxk ≤ kx − λyk ii) x⊥y ⇔ (λ ∈ R) kxk ≤ kx − λyk ⇔ (λ ∈ [−1, 1]) kxk ≤ kx − λyk Ví dụ 1.1 Cho (Ω, F, µ) khơng gian có độ đo, cho (H, h.|.iH ) không gian Hilbert thực, cho p ∈ [1; +∞) Ký hiệu Lp ((Ω, F, µ) ; H) khơng gian ánh xạ Boren đo x : Ω → H cho Z kx (ω)kpH µ (dω) < +∞ Ω Khi L2 ((Ω, F, µ) ; H) luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 z luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02luan.van.thac.si.ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 khơng gian Hilbert thực với tích vô hướng Z (x, y) 7→ hx (ω) |y (ω)iH µ (dω) Ω Ví dụ 1.2 Khơng gian Rk khơng gian Hilbert với tích vơ hướng Xk ξi η i , hx| yi = i=1 chuẩn xác định công thức r Xk ξi2 kxk = i=1 Ví dụ 1.3 Cho T ∈ R++ cho (H, h.|.iH ) không gian Hilbert thực Rt Với y ∈ L2 ([0, T ] ; H), hàm x : [0, T ] → H : t 7→ y (s) ds khả 0 vi hầu khắp nơi [0, T ], với x (t) = y (t) hầu khắp nơi (0, T ) Chúng ta nói x : [0, T ] → H thuộc W1,2 ([0, T ] ; H) tồn y ∈ L2 ([0, T ] ; H) cho (∀t ∈ [0, T ]) x (t) = x (0) + Zt y (s) ds, lựa chọn  W1,2 ([0, T ] ; H) = x ∈ L2 ([0, T ] ; H)