Bài giảng toán hàm nhiều biến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN BÀI GIẢNG     Chương I: Hàm số nhiều biến Số tiết: 10 lý thuyết + tập, thảo luận 1.1 Khái niệm mở đầu 1.2 Đạo hàm vi phân hàm số nhiều biến số 1.3 Cực trị hàm số nhiều biến số     1.1 Khái niệm mở đầu 1.1.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số Định nghĩa Ta gọi hàm số n biến số xác định D, ký hiệu f: D → R, quy luật cho ứng x = (xÀ , x, , , xn) ∈ D với u = f(xớ, x, , , xn) ∈ R Ví dụ: f: R → R x1 + x2 x = ( x1, x2 ) a f ( x ) = 2 x1 + x2     1.1.2 Miền xác định hàm số nhiều biến số Miền xác định hàm số u = f(M), ký hiệu Df, tập điểm M để f(M) có nghĩa Ví dụ Trong R2, với f(x, y) = − x − y Df = {(x, y): x2 + y2 ≤ 1} x Trong R , với f(x, y, z) = − x − y2 − z2 Df = {(x, y, z): x2 + y2 + z2 < 1}     1.1.3 Tập hợp trongR n Giả sử M(x1, x2, , xn) N(y1, y2, , yn) ∈ Rn • Khoảng cách : d(M, N) = n (x − y ) ∑ k k k =1 • ε - lân cận M tập Uε(M) = {N ∈Rn : d(M, N) < ε} • Lân cận M, ký hiệu U(M), tập hợp chứa Uε(M) M  • M gọi điểm tập E tồn U ε(M) nằm trọn E •Tập E gọi tập mở điểm điểm     • Ta gọi cầu mở tâm M0 bán kính r tập: ` E = {N ∈Rn : d(M0, N) < r} • Ta gọi mặt cầu tâm M0 bán kính r tập   ∂E = {N ∈Rn : d(M0, N) = r}  • Ta gọi cầu đóng tâm M0 bán kính r tập E = {N ∈Rn : d(M0, N) ≤ r} • Tập hợp E gọi bị chặn tồn cầu chứa nó      1.1.4 Giới hạn hàm số nhiều biến số Định nghĩa 1: Hàm f(M) có giới hạn L M → M0 ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε, M0) > cho d(M0, M) < δ |f(M) – L| < ε Định nghĩa 2: Hàm f(M) có giới hạn +∞ M → M0 ch ỉ ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε, M0) > cho d(M0, M) < δ |f(M)| >ε Định nghĩa 3: Hàm f(M) có giới hạn −∞ M → M0 ch ỉ ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε, M0) > cho d(M0, M) < δ |f(M)| > -ε     • Ví dụ: Tính giới hạn a) x2 y lim x →0 x + y y →0 b) x2 y lim x →0 x + y y →0     1.1.5 Tính liên tục hàm số nhiều biến số Định nghĩa Giả sử f(x) xác định lân cận điểm M0 ∈D Ta nói f(x) liên tục M0 tồn giới hạn lim f ( M ) = f(M0) M →M Với M0(x0, y0), đó:  số gia đối: ∆x = x – x0, ∆y = y – y0,  số gia riêng theo biến x: ∆xf = f(x0 + ∆x, y0) – f(x0, y0 ),  số gia riêng theo biến y: ∆yf = f(x0, y0 + ∆y) – f(x0, y0 ),  số gia toàn phần: ∆f = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) – f(x0, y0 )     • f(M) liên tục D liên tục điểm thuộc D Ví dụ: Xét tính liên tục hàm  xy x + y f(x, y) =      x + y ≠0 x + y =0   Quy tắc tìm bán kính hộ∞i tụ: n Cho chuỗi luỹ thừa an x ∑ n =0 Khi bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa là:  an  R = lim n →∞ a n+1    R= lim n →∞ n an      + Nếu R = ∞ chuỗi hội tụ với x thuộc khoảng (- ∞; + ∞) + Nếu R = chuỗi hội tụ x = + Nếu R ≠ R ≠ ∞ chuỗi hội tụ khoảng ( -R; R ) Tại mút x = R x = -R phải xét thêm Miền hội tụ = ( -R; R ) + mút (nếu có)     Ví dụ : Tìm miền hội tụ chuỗi hàm: ∞ n+2 n 1) ∑ x n =1 n( n + 1) n 2n  n +1  2) ∑   ( x − 2) n =1  2n +  ∞ ∞  3) ∑  sin n n =1     n  ( x − 4)    c) Các tính chất chuỗi luỹ thừa: Tính chất 1: Chuỗi luỹ thừa hội tụ đoạn [a; b] nằm khoảng hội tụ Tính chất 2: Tổng chuỗi luỹ thừa hàm số liên tục khoảng hội tụ Tính chất 3: Có thể lấy tích phân số hạng chuỗi luỹ thừa đoạn [a; b] nằm khoảng hội tụ Tức là: b ∞ ∞ b   n n ∫  ∑ an x dx = ∑  ∫ an x dx  n  =  a  a  n =0    Tính chất 4: Có thể lấy đạo hàm số hạng chuỗi luỹ thừa điểm nằm khoảng hội tụ Tức là: ′ ∞   n n ′  ∑ an x  = ∑ an x  n =0  n =0 ( ∞     ) Ví dụ: Tính tổng: S ( x) = + x + x + + nx n −1 + d) Khai triển hàm số thành chuỗi luỹ thừa: - Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp lân cận x0 hàm khai triển thành chuỗi dạng: f ′( x0 ) f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) + 1! 2! n) n) ( ( ∞ f ( x0 ) f ( x0 ) n n ( x − x0 ) + = ∑ ( x − x0 ) ( 1) n! n!    n = Chuỗi (1) gọi chuỗi Taylor hàm số f(x) lân cận x = x0 Nếu x0 = ta có: f ′(0) f ′′(0) f ( x) = f (0) + x+ x + 1! 2! ∞ f ( n ) (0) = ∑ xn ( 2) n! n =0 n) ( f (0) n! n x + Chuỗi (2) gọilà chuỗi Macloranh hàm số f(x)     * Điều kiện khai triển: Theo công thức Taylor, hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp (n + 1) lân cận điểm x0 n n f ′( x0 ) f ( x)==P f(x) ( x0+) +R (x) x0 ) + ( x −đó: f(x) 1! n) ( f ′′( x0 ) f ( x0 ) n ( x − x0 ) + + ( x − x0 ) 2! n! n +1) ( f (ξ ) n +1 Rn ( x ) = ( x − x0 ) (n + 1)!     Định lý 1: G/s lân cận điểm x0 hàm số f(x) có đạo hàm cấp, lim Rn ( x) = n →∞ ( n +1) (ξ ) n +1 Rn ( x) = ( x − x0 ) (n + 1)! f Với ξ điểm x x0 khai triển f(x) thành chuỗi Taylor lân cận     Định lý 2: Nếu lân cận điểm x0 hàm số f(x) có đạo hàm cấp, f (n) ( x) bị chặn số lân cận hàm số f(x) khai triển thành chuỗi Taylor     * Khai triển số hàm số sơ cấp thành chuỗi luỹ thừa: (Khai triển Macloranh) n n ∞ x x x x x 1) e = + 1! + 2! + n! + = ∑ n =0 n! n −1 x x n −1 x 2) sin x = x − + + + ( − 1) + 3! 5! (2n − 1)! ∞ = ∑ ( − 1) n =1   n −1 n −1 x , ∀ x ∈ ( −∞ ; +∞ ) (2n − 1)!   2n x x n x 3) cosx = − + + + ( − 1) + 2! 4! (2n)! ∞ 2n x = ∑ ( − 1) , ∀ x ∈ ( −∞ ; +∞ ) (2n)! n =1 n α (α − 1) 4) (1 + x) = + α x + x + + 2! α (α − 1)(α − 2) (α − n + 1) n x + ∀ x < n! α     x x x 5) ln(1 + x) = x − + − + + + ( − 1) n −1 n n ∞ x n −1 x + = ∑ ( − 1) n n n =1 ,∀ x < x x x 6) arctgx = x − + − + + + ( − 1)   n−1 x 2n − 2n − ∞ + = ∑ ( − 1)  n = n−1 x 2n − 2n − ,∀ x ≤ Ví dụ : Khai triển Taylor hàm số f(x) = lnx x = Ví dụ 2: Khai triển Macloranh hàm số e +e 1) f ( x) = chx = x 2) f ( x) =   −x 3x − x − 4x +