THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ TUYẾN CẬN DƯỚI CHO GIÁ TRỊ KỲ DỊ NHỎ NHẤT CỦA MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ TUYẾN CẬN DƯỚI CHO GIÁ TRỊ KỲ DỊ NHỎ NHẤT CỦA MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên - 2016 download by : skknchat@gmail.com Mục lục Danh mục ký hiệu Mở đầu 1 Kiến thức chung ma trận 1.1 Ma trận 1.1.1 Định nghĩa ma trận 1.1.2 Ma trận trực giao 1.2 Véc tơ riêng, giá trị riêng 1.3 Chuẩn véc tơ chuẩn ma trận 1.4 Khai triển SVD (singular value decomposition) ma trận 4 10 Một số cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận 2.1 Cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận đường chéo trội 2.2 Cận cho giá trị kỳ dị H - ma trận 14 14 19 Cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận phụ thuộc tham số 3.1 Ma trận affine 3.2 Cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận affine 3.3 Ví dụ 24 24 25 27 Kết luận Tài liệu tham khảo download by : skknchat@gmail.com 29 30 luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran Danh mục ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: Rn×m j AT A−1 SVD kxk kAk σi (A), i = 1, 2, · · · , n λi (A), i = 1, 2, · · · , n tập ma trận thực cỡ n × m phần tử nằm dịng i, cột j ma trận chuyển ma trận A ma trận nghịch đảo ma trận A phân tích giá trị kỳ dị chuẩn véc tơ x chuẩn ma trận A tập hợp giá trị kỳ dị ma trận A tập hợp giá trị riêng A R+ UA |A| kí hiệu phần khơng gian Rn+ bao đóng U định thức ma trận A ◦n i luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran Mở đầu Giá trị kỳ dị ma trận khơng đóng vai trị quan trọng tốn học lý thuyết mà cịn tốn học ứng dụng Trong tốn học tính tốn phần cấu thành số điều kiện ma trận Đây đại lượng định tính ổn định hay khơng ổn định thuật tốn Nếu ta tìm cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận ta tìm cận cho số điều kiện ma trận Đó đại lượng khơng thể thiếu đánh giá sai số Thật vậy, xét hệ phương trình tuyến tính n ẩn số, Ax = b (1) Xin lưu ý toán quan trọng bậc tốn học tính tốn để kết cuối cùng, gần toán quy liên quan đến giải hệ phương trình tuyến tính Vế phải ma trận hệ số (1) thường thu q trình đo đạc ngồi thực địa kết q trình tính tốn xấp xỉ trước Dù cách nào, A b tránh khỏi sai số mà ta ký hiệu ∆A, δ b Như đáng ra, ta có hệ (1) thực tế, ta lại có hệ (A + ∆A)x˜ = b + δ b (2) Điều quan tâm x˜ cách x bao xa độ lớn sai số Người ta k∆Ak < −1 b 6= kA k kx − xk k∆Ak kδ bk ˜ cond (A) ≤ + , (3) kxk kbk − kA−1 k k∆Ak kAk đó, cond(A) = kAk A−1 số điều kiện ma trận A Bất đẳng thức (3) rằng, sai số tương đối nghiệm bị chặn đại lượng phụ thuộc vào sai số tương đối liệu (tất nhiên!) vào thân ma trận hệ số Ta thấy rằng, cond (A) = kAk A−1 = σ1 (A) , σn (A) luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran đó, σ1 (A) σn (A) giá trị kỳ dị lớn nhỏ ma trận A Nếu ta tìm cận dương α ≤ σn (A) ta có cond(A) = σ1 (A) σ1 (A) ≤ σn (A) α (4) Thay (4) vào (3), ta thu cận cho sai số tương đối Ngồi ra, tìm cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận phụ thuộc tham số đóng vai trị quan trọng phương pháp giảm sở Xin xem [3] [5] để biết thêm chi tiết Chính tầm quan trọng vấn đề, định chọn làm đề tài luận văn thạc sĩ Để làm rõ chủ đề này, luận văn bao gồm phần sau Chương Chúng tơi trình bày số kiến thức chung ma trận khái niệm ma trận, ma trận đơn vị, ma trận trực giao, véc tơ riêng, giá trị riêng, chuẩn véc tơ chuẩn ma trận, đặc biệt dạng khai triển giá trị kỳ dị SVD ma trận Đó kiến thức bản, làm sở nghiên cứu chương sau Chương Chúng tơi trình bày số cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận Trước tiên, chúng tơi trình bày vài kết liên quan đến cận cho chuẩn ma trận nghịch đảo Sau đó, dựa vào mối quan hệ chuẩn ma trận nghịch đảo giá trị kỳ dị nhỏ ma trận ta thu cận cho giá trị kỳ dị hai lớp ma trận đặc biệt: ma trận đường chéo trội H−ma trận Cuối cùng, chúng tơi đưa hai ví dụ để minh họa cho cận tìm Chương Chúng tơi trình bày kết cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận phụ thuộc tham số với ví dụ minh họa Trong ví dụ chương, sử dụng MATLAB phần mềm để tính tốn minh họa kết Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới TS Nguyễn Thanh Sơn Thầy người trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo, giúp đỡ động viên suốt trình nghiên cứu luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Sau Đại học, q thầy khoa Tốn - Tin, bạn học viên lớp cao học Toán 8a tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ, động viên suốt trình học tập nghiên cứu trường Qua đây, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình, bạn bè ln động viên khích lệ tơi suốt q trình hồn thành khóa học Thái Nguyên, ngày tháng năm 2016 Tác giả Bùi Thị Tuyến luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran Chương Kiến thức chung ma trận Để phục vụ cho Chương 2, ta nhắc lại số kiến thức giúp cho việc trình bày nội dung Chương rõ ràng Trước hết, ta nhắc lại khái niệm ma trận Chương viết chủ yếu dựa vào tài liệu [1, 2, 4] 1.1 Ma trận 1.1.1 Định nghĩa ma trận Định nghĩa 1.1 Ma trận bảng gồm m × n số thực xếp thành m dòng, n cột gọi ma trận cấp m × n Ký hiệu ma trận là, a11 a12 · · · a1n a 21 a22 · · · a2n A = am1 am2 · · · amn A = (ai j )m×n Trong đó, j phần tử ma trận nằm dòng i, cột j, i = 1, 2, · · · , m, j = 1, 2, · · · , n Các phần tử aii gọi phần tử nằm đường chéo Nếu m = n A gọi ma trận vuông Định nghĩa 1.2 Ma trận đơn vị ma trận vng có phần tử nằm đường chéo 1, phần tử khác có dạng sau ··· 0 · · · 0 I = 0 ··· luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran Định nghĩa 1.3 Ma trận đường chéo ma trận vuông có phần tử nằm ngồi đường chéo Ta đặc biệt quan tâm đến lớp ma trận đường chéo vng Ma trận đường chéo có dạng, a11 0 a 22 D = 0 ··· ··· · · · ann Định nghĩa 1.4 Ma trận chuyển vị ma trận hàng thay cột ngược lại Ma trận chuyển vị ma trận A kí hiệu AT a11 a21 · · · am1 a 12 a22 · · · am2 AT = a1n a2n · · · amn Nếu A ma trận có kích thước m × n với giá trị j hàng i, cột j ma trận chuyển vị B = AT ma trận có kích thước n × m với giá trị bi j = a ji Định nghĩa 1.5 Ma trận A gọi ma trận đối xứng AT = A Ma trận đối xứng A gọi xác định dương (nửa xác định dương) xT Ax > 0, ∀x 6= (xT Ax ≥ 0) 1.1.2 Ma trận trực giao Định nghĩa 1.6 Ma trận vuông A gọi ma trận trực giao nếu, AT A = I, hay dạng biểu thức, ( n ∑ aik a jk = σi j = k=1 1, i = j 0, i 6= j đó, σi j kí hiệu Kronecker Tính chất 1.7 • Ma trận trực giao A khả nghịch có A−1 = AT luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran • Ma trận A trực giao vec tơ cột hàng A tạo thành hệ trực chuẩn • Ta có |AT A| = |I| = → |A| = ±1 1.2 Véc tơ riêng, giá trị riêng Định nghĩa 1.8 Cho A ma trận vuông cấp n, a11 a12 · · · a1n a 21 a22 · · · a2n A = an1 an2 · · · ann Khi đó, có véc tơ x khác không số λ cho Ax = λ x ta nói λ giá trị riêng A x véc tơ riêng A tương ứng với giá trị riêng λ Như biết, giá trị riêng véc tơ riêng ma trận thực phức Tuy nhiên, A ma trận đối xứng giá trị riêng kéo theo véc tơ riêng thực Ta nhắc lại kết quan trọng đại số tuyến tính Đó Định lý Courant-Fischer Để tiện cho việc hiểu vận dụng, chúng tơi trích phần định lý Phát biểu đầy đủ chứng minh định lý tìm thấy [4] Định lý 1.9 (Định lý 4.2.6, [4]) Giả sử A ma trận thực đối xứng cấp n Gọi λn (A) giá trị riêng nhỏ theo nghĩa đại số Khi đó, λn (A) = x6=0 xT Ax xT x Từ định lý này, ta suy hệ sau Hệ 1.10 Nếu A ma trận đối xứng xác định dương (nửa xác định dương) giá trị riêng dương (không âm) luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran download by : skknchat@gmail.com j ) 1≤i≤m j=1 Với p = m = n, ta dạng chuẩn Euclide ma trận tính giá trị lớn giá trị kỳ dị A kAk2 = max kAxk2 = max kxk2 =1 kxk2 =1 √ xT AT Ax Áp dụng cách trực tiếp chuẩn -p véc tơ phần tử ma trận, ta loại chuẩn tương đối trực quan n m kAk p = ( ∑ ∑ |ai j | p )1/p i=1 j=1 Với p = chuẩn gọi chuẩn Frobenius Lưu ý kí hiệu kAk p trường hợp hoàn toàn khác với chuẩn toán tử bên Bổ đề nhằm tóm lược tính chất cốt yếu chuẩn véc tơ chuẩn ma trận mà giới thiệu trước Chúng ta sử dụng tính chất nhiều phần Bổ đề 1.15 kQAZk = kAk Q Z ma trận trực giao đồng cho chuẩn Frobenius cho chuẩn toán tử k.k2 kAk∞ = max ∑ |ai j | = giá trị lớn tổng giá trị i x6=0 kxk∞ j tuyệt đối phần tử theo hàng kAk∞ ≡ max kAk1 = AT ∞ = max ∑ |ai j | = giá trị lớn tổng j i x6=0 kxk1 giá trị tuyệt đối phần tử theo cột kAk1 ≡ max kAk2 p = λmax (AT A), λmax giá trị riêng lớn x6=0 kxk2 kAk2 = AT kAk2 ≡ max luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran Nếu A (n × n) - ma trận, n−1/2 kAk2 ≤ kAk1 ≤ n1/2 kAk2 Nếu A (n × n) - ma trận, n−1/2 kAk2 ≤ kAk∞ ≤ n1/2 kAk2 Nếu A (n × n) - ma trận, n−1 kAk∞ ≤ kAk1 ≤ n kAk∞ Nếu A (n × n) - ma trận, kAk1 ≤ kAkF ≤ n1/2 kAk2 1.4 Khai triển SVD (singular value decomposition) ma trận Định lý 1.16 Cho A (m × n) - ma trận tùy ý với m ≥ n Khi đó, ta viết A = UΣV T , U (m × n) - ma trận U T U = I,V (n × n) - ma trận, V T V = I, Σ = diag(σ1 , · · · , σn ), σ1 ≥ · · · ≥ σn ≥ Các cột u1 , · · · , un U gọi véc tơ kỳ dị trái Các hàng v1 , · · · , V gọi véc tơ kỳ dị phải Giá trị σi (i = 1, 2, · · · , n) gọi giá trị kỳ dị (Nếu m < n, ta áp dụng định lý cho AT ) Chứng minh Giả sử SVD tạo (m − 1) × (n − 1) - ma trận đặt (m × n) - ma trận Ta giả sử A 6= 0, ta cần Σ = đặt U V ma trận trực giao tùy ý A , Σ = kAk2 V = kAk2 Bước tiếp theo, chọn v cho kvk2 = kAk2 = kAvk2 > Tức véc tơ v Av tạo nên định nghĩa kAk2 = max kAvk2 Đặt u = , véc tơ đơn kAvk2 kvk2 =1 ˜ (m × m) - ma trận bất kỳ, V = [v, V˜ ] vị Chọn U˜ V˜ cho U = [u, U] Khi n = (khi m ≥ n), ta viết A = UΣV T với U = (n × n) - ma trận Ta có, T T T AV ˜ u u Av u U T AV = ˜ T A v V˜ = ˜ T U U Av U˜ T AV˜ Khi đó, (Av)T (Av) kAvk22 u Av = = = kAvk2 = kAk2 ≡ σ , kAvk2 kAvk2 U˜ T Av = U˜ T u kAvk2 = Ta có uT AV˜ = σ = kAk2 = U T AV ≥ [1, 0, · · · , 0]U T AV = [σ |uT AV˜ |] > σ 2 σ σ Vì vậy, U T AV = = T ˜ ˜ U AV A˜ T 10 luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran Bây giờ, áp dụng cơng thức để thay A˜ A˜ = U1 Σ1V1T , U1 (m − 1) × (n − 1) - ma trận, Σ1 (n − 1) × (n − 1) - ma trận, V1 (n − 1) × (n − 1) - ma trận Vì vậy, T σ σ T U AV = = U1 Σ1V1T U1 Σ1 V1 σ T A = (U ) (V ) U1 Σ1 V1 Đó điều phải chứng minh Ví dụ 1.17 Tìm khai triển SVD ma trận, 1 A= 0 Trước tiên, ta tìm giá trị riêng ma trận AT A Ta có, 1 1 AT A = 1 0 = 1 0 0 1 0 Giải phương trình det(A − λ I) = 0, ta giá trị riêng ma trận AT A λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = Với giá trị riêng λi , giải phương trình (A − λi I)x = 0, ta véc tơ riêng tương ứng là, 1 − √2 √2 , v2 = 0 , v3 = v1 = √ √ 2 0 Ta ma trận, 1 √2 √2 0 VT = 0 −√ √ 2 √ Các giá trị kì dị ma trận A σ1 = 2, σ2 = 1, σ3 = Từ ta ma trận, √ 0 Σ= 11 luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran Tiếp theo ta tìm ma trận U Ta có, √2 1 1 = , ui = Av ⇒ u1 = √ √ σi 0 2 1 u2 = = 1 0 1 ⇒U = ⇒ Phân tích SVD ma trận A là, 1 √2 √2 0 √ 1 0 A= = UΣV T = 0 1 1 −√ √ 2 Định lý 1.18 Đặt A = UΣV T SVD (m × n) - ma trận A, m ≥ n Giả sử A ma trận đối xứng với giá trị riêng λi véc tơ riêng ui trực chuẩn Trong trường hợp A = UΛU T dạng khai triển A, với Λ = diag(λ1 , · · · , λn ),U = [u1 , · · · , un ], UU T = I Khi đó, SVD A A = UΣV T , σi = |λi | vi = sign(λi )ui , sign(0) = Giá trị riêng ma trận đối xứng AT A σi2 Véc tơ kỳ dị phải vi véc tơ riêng tương ứng A −1 kAk2 = σ1 Nếu A ma trận vuông không suy biến, A−1 = σn σ1 cond(A) = kAk2 A−1 = σn Chứng minh Luôn theo định nghĩa SVD ma trận AT A = V ∑ U T U ∑ V T = V ∑2 V T Đây dạng khai triển AT A, với cột V véc tơ riêng khối chéo ∑2 giá trị riêng 12 luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran Đây trường hợp để 2−chuẩn ma trận đường chéo tổng tuyệt đối lớn đường chéo Khi đó, từ Bổ đề 1.15 , kAk = U T AV = k∑k = σ1 A−1 = V T A−1U = ∑−1 = 2 2 2 σn−1 Nhận xét 1.19 Nếu A ma trận đối xứng, nửa xác định dương giá trị riêng A không âm theo mục Định lí 1.18 giá trị riêng giá trị kỳ dị 13 luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran Chương Một số cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận 2.1 Cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận đường chéo trội Trong mục này, trước hết chúng tơi trình bày vài kết liên quan đến cận cho chuẩn ma trận nghịch đảo Dựa vào mối liên hệ đại lượng với giá trị kỳ dị nhỏ nhất, ta thu cận cho giá trị kỳ dị nhỏ Kết sau mở rộng lên ma trận chéo trội khối Một số ví dụ trình bày nhằm minh họa cho lý thuyết Phần lý thuyết mục viết dựa theo [6] Định nghĩa 2.1 Cho A ∈ Rn×n , A gọi chéo trội hàng |aii | > ∑ |ai j |, ≤ i ≤ n j6=i Ma trận A gọi chéo trội cột AT chéo trội hàng Mệnh đề 2.2 Giả sử A ∈ Rn×n chéo trội hàng đặt α = min(|aii | − ∑ j ) i j6=i Khi đó, A khả nghịch −1 A ≤ ∞ α (2.1) Chứng minh Trước tiên, ta A khả nghịch phản chứng Thật vậy, A không khả nghịch tồn u ∈ Rn cho Au = Giả sử ui thành phần có giá 14 luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran trị tuyệt đối lớn Ta ln giả sử ui > (vì khơng, ta thay u −u) Khi đó, xét hàng i tích Au, ta có n ∑ j u j = 0, j=1 aii ui = − ∑ j u j , j6=i uj j j6=i ui aii = − ∑ Lấy trị tuyệt đối hai vế |aii | ≤ ∑ | j6=i uj j | ≤ ∑ j ui j6=i Điều mâu thuẫn với giả thiết chéo trội hàng Tiếp theo ta chứng minh bất đẳng thức (2.1) Theo định nghĩa, −1 A x −1 kyk∞ ∞ A = sup = sup , ∞ x6=0 kxk∞ y6=0 kAyk∞ hay −1 −1 A = ∞ kAyk∞ = infy6=0 kyk∞ kyk∞ sup y6=0 kAyk∞ (2.2) Từ (2.2), để chứng minh (2.1) ta cần với y, α kyk∞ ≤ kAyk∞ Lấy vectơ y bất kỳ, giả sử kyk∞ = |yk | Khi đó, < α ≤ |akk | − ∑ |ak j | j6=k Nhân hai vế với |yk |, < α|yk | ≤ |akk yk | − ∑ |ak j ||yk | j6=k ≤ |akk yk | − ∑ |ak j ||y j | j6=k ≤ |akk yk | − | ∑ ak j y j | j6=k ≤ | ∑ ak j y j | ≤ max | ∑ |ak j x j | = kAxk∞ k j j 15 luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran Kết phát biểu cho ma trận chéo cột sau Hệ 2.3 Giả sử A ma trận chéo trội cột β = min(|akk | − ∑ |a jk |) k j6=k Khi đó, −1 A ≤ β Mệnh đề 2.4 Với A ma trận bất kỳ, ta ln có kAk22 ≤ kAk1 kAk∞ Chứng minh Chứng minh tham khảo từ tài liệu [2] Trước tiên, ta khẳng định sau đúng: cho A ∈ Rm×n Khi đó, tồn z ∈ Rn , kzk2 = cho, AT Az = kAk22 z (2.3) Thật vậy, theo định nghĩa chuẩn, tồn z ∈ Rn , kzk2 = cho, kAzk2 = kAk2 (2.4) Đặt kAxk22 xT AT Ax = f (x) = kxk22 xT x Dễ thấy z điểm cực đại hàm f (x) Từ định lý điều kiện cần, ta suy ∇ f (z) = (2.5) Bằng tính tốn cụ thể, ta thu n ∂ f (z) = ∂ zi zT z ∑ ((AT A)i j z j − (zT AT Az)z j ) j=1 (zT z)2 (2.6) Điều kiện (2.5) cho (2.6) viết gọn lại dạng ma trận, AT Az = (zT AT Az)z Đẳng thức (2.3) suy từ (2.4) (2.7) 16 luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran download by : skknchat@gmail.com (2.7) luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran Bây giờ, ta chứng minh Mệnh đề 2.4 Từ (2.3), 2 kAk2 kzk1 = kAk2 z1 = AT Az
1 ≤ AT kAk1 kzk1 = kAk∞ kAk1 kzk1 , hay kAk22 ≤ kAk∞ kAk1 Định lý 2.5 Nếu A ma trận vuông chéo trội hàng chéo trội cột, p σn (A) > αβ Chứng minh Từ Mệnh đề 2.2, Hệ 2.3 Mệnh đề 2.4 ta có −1 −1 −1 A ≤ A A < ∞ αβ Từ đó, p −1 −1 A = σn (A) > αβ (2.8) Định lý suy từ bất đẳng thức (2.8) Định lý 1.18 Ví dụ 2.6 Xét ma trận A ∈ R10×10 , 70 2 3 4 1 A= 0 −1 −3 −2 −4 −2 −85 −4 −3 −3 2 −5 −6 68 −1 −5 −2 −5 3 65 −3 −1 −7 12 −2 −4 3 −2 −3 3 −2 −2 −1 73 −3 −55 −6 −2 −96 12 −4 −64 −4 −9 −8 63 10 −4 −9 −5 2 4 2 5 −3 6 13 86 Dễ dàng nhận thấy ma trận A ma trận chéo trội hàng chéo trội cột Khi đó, việc sử dụng phần mềm MATLAB ta tính giá trị α = 11, β = 18, σ10 (A) lắp vào biểu thức Định lý 2.5 ta có giá trị kỳ dị nhỏ ma trận A σ10 (A) = 51, 6404 > p √ αβ = 11 × 18 ≈ 14, 0712 17 luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran Một câu hỏi tự nhiên đặt liệu kết phát biểu mở rộng ma trận khối Phần trình bày đưa câu trả lời khẳng định Định nghĩa 2.7 Cho ma trận A dạng khối, A = (Ai j ) khối Aii ma trận vng khả nghịch Khi đó, A gọi chéo trội khối hàng (block diagonally dominant by rows) −1 −1 A > ∑ Ai j ii ∞ ∞ j6=i Mệnh đề 2.8 Giả sử A ma trận chéo trội khối hàng Đặt, −1 − ∑ Ai j ) α = min(
A−1 ii ∞ ∞ i j6=i Khi đó, −1 A ≤ ∞ α Chứng minh Lặp lại chứng minh Mệnh đề 2.2 ta thay |ai j | Ai j |aii | A−1 −1 ý ii ∞ ∞ −1 −1 A = inf kAii yk∞ ii ∞ kyk∞ Định lý 2.9 Giả sử A thỏa mãn giả thiết Mệnh đề 2.8 thêm vào đó, A ma trận chéo trội khối cột (block diagonally dominant by columns) Đặt −1 − ∑ Ai j ) β = min(
A−1 ii ∞ ∞ i j6=i Khi đó, σn (A) ≥ p αβ Chứng minh Chứng minh tương tự Định lý 2.5 có sử dụng Mệnh đề 2.4 Mệnh đề 2.8 18 luan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tranluan.van.thac.si.can.duoi.cho.gia.tri.ky.di.nho.nhat.cua.ma.tran download by : skknchat@gmail.com
Ngày đăng: 09/01/2024, 00:54
Xem thêm: