luận văn thạc sĩ tính bị chặn của một số toán tử trên không gian hardy kiểu mới

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN DƯƠNG QUỐC HUY TÍNH BỊ CHẶN CỦA MỘT SỐ TỐN TỬ TRÊN KHƠNG GIAN HARDY KIỂU MỚI LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN DƯƠNG QUỐC HUY TÍNH BỊ CHẶN CỦA MỘT SỐ TỐN TỬ TRÊN KHƠNG GIAN HARDY KIỂU MỚI Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 9460102 Phản biện 1: PGS TS Lê Xuân Trường Phản biện 2: TS Đào Văn Dương Phản biện 3: TS Bùi Trọng Kiên Tập thể Hướng dẫn khoa học: PGS TS Lương Đăng Kỳ PGS TS Thái Thuần Quang BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 download by : skknchat@gmail.com Lời cam đoan Luận án hồn thành Khoa Tốn Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Lương Đăng Kỳ PGS TS Thái Thuần Quang Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án độc đáo Nhiều kết luận án công bố tạp chí uy tín, có phản biện, kết cịn lại chưa cơng bố đâu Việc sử dụng kết từ báo liên quan đồng ý đồng tác giả TM Tập thể hướng dẫn Nghiên cứu sinh PGS TS Lương Đăng Kỳ Dương Quốc Huy i download by : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Trước hết, tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn đến hai quan: Trường Đại học Tây Nguyên, nơi công tác, Trường Đại học Quy Nhơn, nơi học tập nghiên cứu thời gian dài Tôi xin cảm ơn tất quý thầy/cô cơng tác Phịng Đào tạo Sau đại học Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Tiếp theo, muốn bày tỏ biết ơn đến PGS TS Thái Thuần Quang hướng dẫn thầy suốt thời gian học cao học nghiên cứu sinh Nhờ thầy giới thiệu mà gặp làm việc với PGS TS Lương Đăng Kỳ lĩnh vực có nhiều vấn đề hấp dẫn giải tích điều hịa Tơi mang ơn PGS TS Lương Đăng Kỳ nhiều giúp đỡ học vô giá từ thầy Tôi thực học cách làm toán chuyên nghiệp từ thầy luận án khơng có giá trị khơng có giúp đỡ Một lần tơi muốn gửi đến thầy lời cảm ơn sâu sắc Cuối cùng, muốn gửi lời cảm ơn đặc biệt cho gia đình người thân yêu ii download by : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục ký hiệu chữ viết tắt vi Mở đầu Chương Toán tử tích phân bậc khơng ngun khơng gian Hardy Musielak-Orlicz 1.1 Đặt vấn đề 1.2 Trọng Muckenhoupt số không gian hàm 1.2.1 Không gian loại 1.2.2 Trọng Muckenhoupt 1.2.3 Hàm Musielak-Orlicz trọng Muckenhoupt 10 1.2.4 Không gian Musielak-Orlicz 13 1.2.5 Không gian Hardy Musielak-Orlicz 14 Một số kết bổ trợ 15 1.3.1 Phân tích nguyên tử H ϕ pRn q 16 1.3.2 Đặc trưng phân tử H ϕ pRn q 19 1.3 1.4 Tính bị chặn tốn tử Iα không gian Hardy Musielak-Orlicz 20 iii download by : skknchat@gmail.com Chương Ước lượng điểm cuối có trọng cho hốn tử tốn tử Calderón-Zygmund 32 2.1 Tốn tử Calderón-Zygmund hốn tử 32 2.2 Khơng gian Hardy có trọng 34 2.2.1 Không gian BMOw,p pRn q 34 2.2.2 Tính bị chặn hốn tử rb, T s khơng gian Hardy có trọng 2.3 2.4 39 Không gian Hardy-Orlicz có trọng 48 2.3.1 n Không gian BMOΦ w pR q 48 2.3.2 Tính bị chặn hốn tử rb, T s khơng gian HardyOrlicz có trọng 53 Không gian Hardy Musielak-Orlicz 62 2.4.1 Không gian BMOϕ pRn q 62 2.4.2 Tính bị chặn hốn tử rb, T s không gian Hardy Musielak-Orlicz 68 Chương Các đặc trưng không gian có liên hệ với khơng gian đối ngẫu tiền đối ngẫu 3.1 Không gian Campanato Musielak-Orlicz không gian loại 80 3.1.1 Không gian Campanato Musielak-Orlicz 80 3.1.2 Các bất đẳng thức loại John-Nirenberg đặc trưng tương đương 81 Sự trùng BM OpX q BM Ow pX q 91 Sự hội tụ  yếu 94 3.1.3 3.2 79 Chương Toán tử Hausdorff đa tham số H Lp 100 4.1 Đặt vấn đề kết 100 4.2 Chuẩn toán tử Hausdorff Lp 103 4.3 Chuẩn toán tử Hausdorff H 106 iv download by : skknchat@gmail.com Kết luận 116 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 118 Tài liệu tham khảo 119 Chỉ mục 125 v download by : skknchat@gmail.com DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT : Tập hợp số thực R : Tập hợp số tự nhiên t1, 2, u N : Tập hợp số nguyên không âm t0, 1, 2, u Z p1 : Lũy thừa liên hợp p P r1, 8s, tức là, p1 C : Hằng số dương độc lập với tham số chính,  p
p khác xuất hin AB : A Ô CB vi hng s dng C AB : A À B A Á B ẤB |E | |β | : A ¥ CB với số dương C € Rn Tổng thành phần β  pβ1 , , βn q P Zn | | Đạo hàm riêng B φpxq với β  pβ1 , , βn q P Zn Bx Bx Hình cầu có tâm xB P X bán kính rB P p0, 8q Hình cầu B pxB , λrB q với λ ¡ : Độ đo Lebesgue tập E : Dβ φpxq : B pxB , rB q : β β1 βn n λB pxB , rB q : fB : Trung bình f B fB,w : Trung bình có trọng f B wpE q : Tích phân Lebesgue w tập E ϕpE, tq : Tích phân Lebesgue ϕp, tq tập E χE : Hàm đặc trưng tập E Ec : Phần bù E Rn ipΦq, I pΦq : Kiểu kiểu tới hạn Φ ipϕq, I pϕq : Kiểu kiểu tới hạn ϕ qw , rw : Lũy thừa trọng tới hạn w q pϕq, rpϕq : Các lũy thừa trọng tới hạn ϕ q pϕq, r1 pϕq : Các lũy thừa liên hợp q pϕq rpϕq F, x : Biến đổi Fourier Rj : Biến đổi Riesz thứ j ∇ : Toán tử gradient T : Tốn tử Calderón-Zygmund cổ điển Iα : Tốn tử tích phân bậc khơng ngun Hϕ : Toán tử Hausdorff đa tham số pB{Bx1, , B{Bxnq vi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi Hj : Biến đổi Hilbert ứng với biến thứ j X : Không gian loại Aq pRn q : Lớp trọng Muckenhoupt Aq Rn A8 pRn q : Tập hợp Aq pX q q Pr1,8q Aq pRnq : Lớp trọng Muckenhoupt Aq X A8 pX q : Tập hợp Aq pRn q ” q Pr1,8q Aq pX q : Lớp trọng Muckenhoupt Aq Rn A8 pRn q : Tập hợp Aq pX q ” q Pr1,8q Aq pRnq : Lớp trọng Muckenhoupt Aq X A8 pX q : Tập hợp RHr pRn q ” q Pr1,8q Aq pX q : Lp Hăolder ngc RHr trờn Rn RHr pX q : Lp Hăolder ngc RHr trờn X RHr pRn q : Lp Hăolder ngc RHr u trờn Rn RHr pX q L pR ” q pR q pRnq L pRn q S pRn q S pRn q H pRn q h1 pRn q H p pRn q Hwp pRn q HwΦ pRn q H ϕ pRn q ,q,s Hat pRnq ,q,s Hfin pRnq : Lp Hăolder ngược RHr X p n : Không gian Lebesgue hàm bậc p khả tích Lpw LΦ w ϕ n : Khơng gian Lebesgue có trọng hàm bậc p khả tích : Khơng gian Orlicz có trọng : Không gian Musielak-Orlicz : Lớp Schwartz hàm thử Rn : Không gian phân bố Rn : Không gian Hardy H pRn q : Không gian Hardy địa phương h1 pRn q : Không gian Hardy H p pRn q : Khơng gian Hardy có trọng Hwp pRn q : Khơng gian Hardy-Orlicz có trọng HwΦ pRn q : Không gian Hardy Musielak-Orlicz H ϕ pRn q : Không gian Hardy nguyên tử loại Musielak-Orlicz : Không gian véc-tơ tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn pR q : H pR  Rq : H pR      Rq: BM OpRn q : q,s,ε Hϕ,mol n pϕ, q, sq-nguyên tử Không gian Hardy Musielak-Orlicz phân tử Không gian Hardy hai tham số Không gian Hardy n-tham số Khơng gian hàm có dao động trung bình bị chặn vii luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi V M OpRn q bmopR n q : Không gian hàm có dao động trung bình suy biến : Khơng gian hàm có dao động trung bình địa phương bị chặn vmopRn q : Khơng gian hàm có dao động trung bình địa phương suy biến Lϕ,q,s pRn q Lϕ,q pX q Cc pR n f q : Không gian Campanato Musielak-Orlicz Rn : Không gian Campanato Musielak-Orlicz X : Không gian hàm liên tục có giá compact Rn : Hàm cực đại lớn không tiếp xúc phân bố f Mφ f : Hàm cực đại phân bố f t.ư : Tương ứng tr : Trang viii luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi download by : skknchat@gmail.com n εqδ
2  ¹ ε k1 k j b L1 pRn q δ
1 x2k 110 ε dx1 dxn luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi Điều với (4.7) cho ta   Hϕ fε δ  p q
»1 À δ j 1 »1 δ  δ  »1 δ pq H pRRq }fε}H pRRq (4.8) ϕpt1 , , tn qdt1 dtn  δ 1
n n ¸  À  »1    ϕ t dt fε δ  p0,8qn »  »8 1
b εδ
2 dx p ε q δ
8 x2j 11 ε j
8 bx2j 12 ε dxj »8
8 bx2j 11 ε dxj » ϕpt1 , , tn qdt1 dtn    p1 εqδ
1
n
8 x2j1 dxj  »8 Ñ0  b ε dxj
8 x2j » n  ¸ 
1
n εδ  j 1 ε Ñ Như hệ quả, ta có »1  δ »1 δ » ϕpt1 , , tn qdt1 dtn  ptqdt p0,8q Ô }H }H pRRqẹH pRRq n 1 Điều với (4.7) cho ta kết luận }Hϕ}H pRRqĐH pRRq ¥ »1  »1 ϕpt1 , , tn qdt1 dtn » limδĐ0 p0,1sn zrδ,1sn ϕptqdt  Do đó, từ (4.6), ta suy }Hϕ}H pRRqÑH pRRq  »1  »1 ϕpt1 , , tn qdt1 dtn Điều kết thúc chứng minh Bổ đề 4.3.4 Bây ta đưa chứng minh Định lí 4.1.2 Chứng minh Định lí 4.1.2 Theo Bổ đề 4.3.4(i), ta cần chứng minh »8  »8 ϕpt1 , , tn qdt1 dtn Ô }H}H pRRqẹH pRRq 1 111 luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi download by : skknchat@gmail.com (4.9) luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi Hϕ bị chặn H pR      Rq Thật vậy, từ Bổ đề 4.3.3, ta có »8 Với m  »8 ϕpt1 , , tn qdt1 dtn   ¡ 0, đặt ϕmptq : ϕpmtqχp0,1q ptq Khi đó, từ Bổ đề 4.3.4(i), ta n thấy   Hϕ 
Hϕ p  qH pRRqÑH pRRq     Hϕ
ϕ p  qH pRRqẹH pRRq m m ằ8 Ô ằ0  1 m m  »8 1 ϕpt1 , , tn q
ϕm p0,8qn zp0,mqn  t1 tn , , m m  (4.10) dt1 dtn ϕptqdt Chú ý 
    f  m   H pRRq với f  mn}f pq}H pRRq p q m H pRRqĐH pRRq    Vì mlim Ñ8 m  Hϕ 
mf m P H 1pR      Rq, Bổ đề 4.3.4(ii) cho ta     Hϕm   » Hϕm p  q f   »1 »1 mn Hϕm H pRRqÑH pRRq n m »m 0   »m 0 ϕm pt1 , , tn qdt1 dtn ϕpt1 , , tn qdt1 dtn p0,8qn zp0,mqn ϕptqdt  nên kết hợp đẳng thức với (4.10) cho ta »8 »8 }Hϕ}H 1pRRqĐH 1pRRq ¥    ϕpt1, , tnqdt1 dtn 0 Điều chứng tỏ (4.9) ta kết thúc chứng minh Định lí 4.1.2 Từ Định lí 4.3.1, ta định nghĩa khơng gian H pR      Rq không gian tất hàm f P L1pRnq cho }f } : ¸ ePE }Hef }L pR q   n Kết cuối sau 112 luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi download by : skknchat@gmail.com (4.11) luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi Định lí 4.3.5 ([34]) Hϕ bị chặn pH pR      Rq, }  } q (4.1) Hơn nữa, trường hợp đó, }Hϕ}pH pRRq,}}qĐpH pRRq,}}q  »8  »8 ϕpt1 , , tn qdt1    dtn với e P E, Hϕ giao hoán với He H pR      Rq Để chứng minh Định lí 4.3.5, ta cần hai bổ đề sau Bổ đề 4.3.6 ([34]) Cho ϕ cho (4.1) Khi đó, với e P E, Hϕ giao hốn với biến đổi Hilbert He H pR      Rq Bổ đề 4.3.7 ([34]) Cho ϕ cho (4.1) Khi đó: (i) Hϕ bị chặn pH pR      Rq, }  } q; nữa, }Hϕ}pH pRRq,}}qÑpH pRRq,}}q ¤ »8  »8 ϕpt1 , , tn qdt1 dtn (ii) Nếu supp ϕ € r0, 1sn }Hϕ}pH pRRq,}}qÑpH pRRq,}}q  »1  »1 ϕpt1 , , tn qdt1 dtn Chứng minh Bổ đề 4.3.6 Từ Định lí 4.1.2 tính bị chặn biến đổi Hj H pR      Rq, ta cần chứng minh  Hj Hϕ f Hϕ Hj f (4.12) P t1, , nu f P H 1pR    Rq Thật vậy, dựa vào ý tưởng từ [2, 57, 58] Hệ 4.2.4(i), với hầu hết y  py1 , , yn q P Rn , ta có với j p q  H{ ϕ Hj f y  »8 »08   »8 »08 z H j f pt1 y1 , , tn yn qϕpt1 , , tn qdt1 dtn p
i sign ptj yj qqfˆpt1y1, , tnynqϕpt1, , tnqdt1 dtn z {  p
i sign yj qH ϕ f py q  Hj Hϕ f py q Điều chứng tỏ (4.12) ta kết thúc chứng minh Bổ đề 4.3.6 tính biến đổi Fourier 113 luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi P H 1pR      Rq e P E, từ Chứng minh Bổ đề 4.3.7 (i) Với f Bổ đề 4.3.6 Định lí 4.1.3, ta nhận }HeHϕf }L pR q  }HϕHef }L pR q ằ8 ằ8 Ô    pt1, , tnqdt1 dtn}Hef }L pR q n n 1 n iu ny chng t rng }H}pH pRRq,}}qẹpH pRRq,}}q Ô »8  »8 ϕpt1 , , tn qdt1 dtn (ii) Chứng minh tương tự với chứng minh Bổ đề 4.3.4(ii) ta bỏ qua việc trình bày chi tiết Điểm then chốt ước lượng (4.8) tính tương đương }  }  }  }H pRRq chuẩn Chứng minh Định lí 4.3.5 Từ Bổ đề 4.3.7(i), ta cần chứng minh }Hϕ}pH pRRq,}}qĐpH pRRq,}}q ¥ »8  »8 ϕpt1 , , tn qdt1 dtn (4.13) miễn Hϕ bị chặn H pR      Rq Thật vậy, từ Bổ đề 4.3.3, ta có »8  »8 ϕpt1 , , tn qdt1 dtn   ¡ 0, ta ký hiệu ϕmptq : ϕpmtqχp0,1q ptq Khi đó, dựa vào Bổ Với m n đề 4.3.7(i), dễ thấy   Hϕ 
Hϕ p  qpH pRRq,}}qÑpH pRRq,}}q     Hϕ
ϕ p  qpH pRRq,}}qÑpH pRRq,}}q m m Ô  ằ8 ằ0 1 m m  »8 1 ϕpt1 , , tn q
ϕm p0,8qn zp0,mqn  t1 tn , , m m  (4.14) dt1 dtn ϕptqdt Chú ý 
   f   m   pH pRRq,}} q  mn}f pq}pH pRRq,}}q Hϕm p  q f m 114  Hϕ luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi download by : skknchat@gmail.com
mf  m luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi với f P H 1pR      Rq, Bổ đề 4.3.7(ii) cho ta     Hϕm p m q   pH pRRq,}} qÑpH pRRq,}} q  mn Hϕ m n  »m »1  m   pH pRRq,}} qÑpH pRRq,}} q »1  »m 0 ϕm pt1 , , tn qdt1 dtn ϕpt1 , , tn qdt1 dtn Kết hợp điều với (4.14), ta suy }Hϕ}pH pRRq,}}qĐpH pRRq,}}q ¥ » mlim Đ8 »8  »8 ϕpt1 , , tn qdt1 dtn p0,8qn zp0,mqn ϕptqdt  Đánh giá chứng tỏ (4.13) ta kết thúc chứng minh Định lí 4.3.5 Kết luận: Trong Chương 4, đưa đặc trưng hàm không âm ϕ để toán tử Hausdorff đa tham số Hϕ bị chặn không gian Hardy đa tham số H pR      Rq không gian Lebesgue Lp pRn q với p P r1, 8s Hơn nữa, đưa công thức xác định chuẩn toán tử Hausdorff đa tham số Hϕ khơng gian Kết chương Định lí 4.1.2 4.1.3 115 luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi Kết luận Mục đích luận án nghiên cứu tính bị chặn số tốn tử quan trọng giải tích điều hịa hốn tử chúng khơng gian Hardy khơng gian loại Hardy Khi tốn tử không gian hàm đủ tốt, cố gắng đưa chuẩn xác chúng Các đóng góp luận án bao gồm nội dung sau: • Đưa số điều kiện cần đủ cho tính bị chặn tốn tử tích phân bậc không nguyên Iα không gian Hardy Musielak-Orlicz (Định lí 1.4.1 Định lí 1.4.4) • Chỉ không gian thực BM Ow,p pRn q BM OpRn q cho hoán tử rb, T s tốn tử Calderón-Zygmund bị chặn từ Hwp pRn q vào Lpw pRn q b P BM Ow,p pRn q (Định lí 2.2.4) • Chỉ không gian thực BM OwΦ pRn q BM OpRn q cho hoán tử rb, T s tốn tử Calderón-Zygmund bị chặn từ HwΦpRnq vào LΦw pRnq b P BM OwΦ pRn q (Định lí 2.3.4) • Xây dựng không gian thực BM Oϕ pRn q BM OpRn q cho hoán tử rb, T s tốn tử Calderón-Zygmund bị chặn từ H ϕ pRn q vào Lϕ pRn q b P BM Oϕ pRn q (Định lí 2.4.5) • Giới thiệu không gian Campanato Musielak-Orlicz không gian loại số đặc trưng bất đẳng thức loại John-Nirenberg cho không gian (các Định lí 3.1.2, 3.1.6 3.1.7) Ngồi ra, ứng dụng kết chứng minh không gian BM OpX q BM Ow pX q trùng w P A8pX q (Định lí 3.1.8) • Cung cấp hai chứng minh đơn giản cho kết tính đối ngẫu bmopRn q-h1 pRn q hội tụ  yếu h1 pRn q Dafni (các Định lí 3.2.1 3.2.2) • Đưa đặc trưng hàm khơng âm ϕ để toán tử Hausdorff đa tham số Hϕ bị chặn không gian Lebesgue Lp pRn q với p 116 P r1, 8s luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi không gian Hardy đa tham số H pR      Rq Hơn nữa, chúng tơi đưa chuẩn xác tốn tử khơng gian tương ứng (các Định lí 4.1.2 4.1.3) Trên sở kết đạt luận án, đề xuất số hướng nghiên cứu sau đây: • Mở rộng kết luận án mà chúng chưa thiết lập không gian Hardy Musielak-Orlicz đến lớp khơng gian • Tiếp tục nghiên cứu chủ đề luận án mà không gian Rn đến trường hợp không gian khơng gian loại X • Xây dựng không gian Hardy Musielak-Orlicz không gian loại nghiên cứu tính đối ngẫu lớp khơng gian với không gian Campanato Musielak-Orlicz không gian loại 117 luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Hung H.D., Huy D.Q., Ky L.D (2016), “A note on weak -convergence in h1 pRd q”, Ann Funct Anal., 7(4), pp 573–577 (SCIE) Huy D.Q., Ky L.D (2018), “The multi-parameter Hausdorff operators on H and Lp ”, Math Inequal Appl., 21(2), pp 497–510 (SCIE) Huy D.Q., Ky L.D (2019), “John–Nirenberg type inequalities for Musielak–Orlicz Campanato spaces on spaces of homogeneous type”, Vietnam J Math., 47(2), pp 461–476 (ESCI) Huy D.Q., Ky L.D., “Boundedness of fractional integral operators on Musielak-Orlicz Hardy spaces”, preprint Huy D.Q., Ky L.D (2020), “Weighted Hardy space estimates for commutators of Calderón-Zygmund operators”, Vietnam J Math Doi: 10.1007/s10013020-00406-2 (ESCI) Huy D.Q., Ky L.D., “Weighted Hardy-Orlicz space estimates for commutators of Calderón-Zygmund operators”, preprint Huy D.Q., Ky L.D., “Musielak–Orlicz Hardy space estimates for commutators of Calderón-Zygmund operators”, preprint 118 luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi Tài liệu tham khảo [1] Adams D.R (1975), “A note on Riesz potentials”, Duke Math J., 42(4), pp 765–778 [2] Andersen K.F (2003), “Boundedness of Hausdorff operators on Lp pRn q, H pRn q, and BM OpRn q”, Acta Sci Math (Szeged), 69(1-2), pp 409–418 [3] Anderson R.C., Cruz-Uribe D., Moen K (2015), “Logarithmic bump conditions for Calderón-Zygmund operators on spaces of homogeneous type”, Publ Mat., 59(1), pp 17–43 [4] Bloom S (1989), “Pointwise multipliers of weighted BMO spaces”, Proc Amer Math Soc., 105(4), pp 950–960 [5] Bonami A., Grellier S., Ky L.D (2012), “Paraproducts and products of functions in BM OpRn q and H pRn q through wavelets”, J Math Pures Appl., 97(3), pp 230–241 [6] Bonami A., Iwaniec T., Jones P., Zinsmeister M (2007), “On the product of functions in BM O and H ”, Ann Inst Fourier (Grenoble), 57(5), pp 1405–1439 [7] Bonami A., Cao J., Ky L.D., Liu L., Yang D., Yuan W (2019), “Multiplication between Hardy spaces and their dual spaces”, J Math Pures Appl., 131(9), pp 130–170 [8] Bonami A., Ky L.D., Liang Y., Yang D., “Some remarks on the theory of Musielak-Orlicz Hardy spaces”, preprint [9] Bownik M., Li B., Yang D., Zhou Y (2008), “Weighted anisotropic Hardy spaces and their applications in boundedness of sublinear operators”, Indiana Univ Math J., 57(7), pp 3065–3100 [10] Calderón A.P (1976), “Inequalities for the maximal function relative to a metric”, Studia Math., 57(3), pp 297–306 119 luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi [11] Campanato S (1964), “Proprietà di una famiglia di spazi funzionali”, Ann Scuola Norm Sup Pisa, 18(3), pp 137–160 [12] Cao J., Chang D.C., Yang D., Yang S (2013), “Boundedness of fractional integrals on weighted Orlicz-Hardy spaces”, Math Methods Appl Sci., 36(15), pp 2069–2085 [13] Cao J., Chang D.-C., Yang D., Yang S (2016), “Riesz transform characterizations of Musielak-Orlicz-Hardy spaces”, Trans Amer Math Soc., 368(10), pp 6979–7018 [14] Chen J., Fan D., Zhang C (2012), “Boundedness of Hausdorff operators on some product Hardy type spaces”, Appl Math J Chinese Univ., 27(1), pp 114–126 [15] Cianchi A (1999), “Strong and weak type inequalities for some classical operators in Orlicz spaces”, J London Math Soc., 60(1), pp 187–202 [16] Coifman R.R., Lions P.-L., Meyer Y., Semmes S (1993), “Compensated compactness and Hardy spaces”, J Math Pures Appl., 72(3), pp 247– 286 [17] Coifman R.R., Rochberg R., Weiss G (1976), “Factorization theorems for Hardy spaces in several variables”, Ann of Math., 103(3), pp 611–635 [18] Coifman R.R., Weiss G (1977), “Extensions of Hardy spaces and their use in analysis”, Bull Amer Math Soc., 83(4), pp 569–645 [19] Dafni G (2002), “Local VMO and weak convergence in h1 ”, Canad Math Bull., 45(1), pp 46–59 [20] Duren P.L (1970), Theory of H p Spaces, Pure and Applied Mathematics, 38, Academic Press, New York-London [21] Fan D., Zhao F (2015), “Product Hardy operators on Hardy spaces”, Tokyo J Math., 38(1), pp 193–209 [22] Fefferman C (1971), “Characterizations of bounded mean oscillation”, Bull Amer Math Soc., 77(4), 587–588 120 luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi [23] Fefferman C., Stein E.M (1972), “H p spaces of several variables”, Acta Math., 129(3-4), 137–193 [24] García-Cuerva J (1979), “Weighted H p spaces”, Dissertations Math (Rozprawy Mat.), 162, pp 1–63 [25] García-Cuerva J., Kazarian K.S (1994), “Calderón-Zygmund operators and unconditional bases of weighted Hardy spaces”, Studia Math., 109(3), pp 255–276 [26] García-Cuerva J., Rubio de Francia J.L (1985), Weighted Norm Inequalities and Related Topics, North-Holland Mathematics Studies, 116 Notas de Matemática [Mathematical Notes], 104 North-Holland Publishing Co., Amsterdam [27] Goldberg D (1979), “A local version of real Hardy spaces”, Duke J Math., 46, pp 27–42 [28] Gundy R.F., Stein E.M (1979), “H p theory for the poly-disc”, Proc Natl Acad Sci USA, 76, pp 1026–1029 [29] Harboure E., Salinas O., Viviani B (2007), “A look at BM Oϕ pω q through Carleson measures”, J Fourier Anal Appl., 13(3), pp 267–284 [30] Hou S., Yang D., Yang S (2013), “Lusin area function and molecular characterizations of Musielak-Orlicz Hardy spaces and their applications”, Commun Contemp Math., 15(6), 1350029 (37 pp.) [31] Hung H.D., Huy D.Q., Ky L.D (2016), “A note on weak -convergence in h1 pRd q”, Ann Funct Anal., 7(4), pp 573–577 [32] Hung H.D., Ky L.D., Quang T.T (2017), “Norm of the Hausdorff operator on the real Hardy space H pRq”, Complex Anal Oper Theory, 12(1), pp 235–345 [33] Hung H.D., Ky L.D., Quang T.T (2019), “Hausdorff operators on holomorphic Hardy spaces and applications”, Proc Roy Soc Edinburgh Sect A (to appear) Doi: 10.1017/prm.2018.74 121 luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi [34] Huy D.Q., Ky L.D (2018), “The multi-parameter Hausdorff operators on H and Lp ”, Math Inequal Appl., 21(2), pp 497–510 [35] Huy D.Q., Ky L.D (2019), “John–Nirenberg type inequalities for Musielak–Orlicz Campanato spaces on spaces of somogeneous type”, Vietnam J Math., 47(2), 461–476 [36] Huy D.Q., Ky L.D., “Boundedness of fractional integral operators on Musielak-Orlicz Hardy spaces”, preprint [37] Huy D.Q., Ky L.D (2020), “Weighted Hardy space estimates for commutators of Calderón-Zygmund operators”, Vietnam J Math Doi: 10.1007/s10013-020-00406-2 [38] Huy D.Q., Ky L.D., “Weighted Hardy-Orlicz space estimates for commutators of Calderón-Zygmund operators”, preprint [39] Huy D.Q., Ky L.D., “Musielak–Orlicz Hardy space estimates for commutators of Calderón-Zygmund operators”, preprint [40] Lacey M.T (2007), “Lectures on Nehari’s Theorem on the Polydisk, Topics in Harmonic Analysis and Ergodic Theory”, Contemp Math., 444, pp 185– 213 [41] Lacey M.T., Petermichl S., Pipher J.C., Wick B.D (2009), “Multiparameter Riesz commutators”, Amer J Math., 131(3), pp 731–769 [42] Janson S (1980), “Generalizations of Lipschitz spaces and an application to Hardy spaces and bounded mean oscillation”, Duke Math J., 47(4), pp 959–982 [43] John F., Nirenberg L (1961), “On functions of bounded mean oscillation”, Comm Pure Appl Math., 14, 415–426 [44] Jones P.W., Journé J-L (1994), “On weak convergence in H pRd q”, Proc Amer Math Soc., 120(1), pp 137–138 [45] Ky L.D (2013), “Bilinear decompositions and commutators of singular integral operators”, Trans Amer Math Soc., 365(6), pp 2931–2958 122 luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi [46] Ky L.D (2014), “New Hardy spaces of Musielak-Orlicz type and boundedness of sublinear Operators”, Integral Equations Operator Theory, 78(1), pp 115–150 [47] Ky L.D (2015), “Endpoint estimates for commutators of singular integrals related to Schrăodinger operators, Rev Mat Iberoam., 31(4), pp 1333– 1373 [48] Lee M (2013), “Calderón-Zygmund operators on weighted Hardy spaces”, Potential Anal., 38(3), pp 699–709 [49] Li W (2008), “John-Nirenberg type inequalities for the Morrey-Campanato spaces”, J Inequal Appl., Art ID 239414, pp [50] Li B., Bownik M., Yang D., Zhou Y (2010), “Anisotropic singular integrals in product spaces”, Sci China Math., 53(12), pp 3163–3178 [51] Liang Y., Huang J., Yang D (2012), “New real-variable characterizations of Musielak-Orlicz Hardy spaces”, J Math Anal Appl., 395(1), pp 413–428 [52] Liang Y., Ky L.D., Yang D (2016), “Weighted endpoint estimates for commutators of Calderón-Zygmund operators”, Proc Amer Math Soc., 144(12), pp 5171–5181 [53] Liang Y., Yang D (2013), “Musielak-Orlicz Campanato spaces and applications”, J Math Anal Appl., 406(1), pp 307–322 [54] Liflyand E (2007), Open problems on Hausdorff operators, Complex analysis and potential theory, 280–285, World Sci Publ., Hackensack, NJ [55] Liflyand E (2013), “Hausdorff operators on Hardy spaces”, Eurasian Math J., 4(4), pp 101–141 [56] Liflyand E., Móricz F (2000), “The Hausdorff operator is bounded on the real Hardy space H pRq”, Proc Amer Math Soc., 128(5), pp 1391–1396 [57] Liflyand E., Móricz F (2001), “The multi-parameter Hausdorff operator is bounded on the product Hardy space H 11 pR  Rq”, Analysis (Munich), 21(2), pp 107–118 123 luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi [58] Liflyand E., Móricz F (2002), “Commuting relations for Hausdorff operators and Hilbert transforms on real Hardy spaces”, Acta Math Hungar., 97(1-2), pp 133–143 [59] Mateu J., Mattila P., Nicolau A., Orobitg J (2000), “BMO for nondoubling measures”, Duke Math J., 102(3), pp 533–565 [60] Morrey C.B (1938), “On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations”, Trans Amer Math Soc., 43(1), pp 126–166 [61] Muckenhoupt B., Wheeden R (1974), “Weighted norm inequalities for fractional integrals”, Trans Amer Math Soc., 192, pp 261–274 [62] Muckenhoupt B., Wheeden R.L (1976), “Weighted bounded mean oscillation and the Hilbert transform”, Studia Math., 54(3), pp 221–237 [63] Musielak J (1983), Orlicz Spaces and Modular Spaces, Lecture Notes in Mathematics, 1034, Springer-Verlag, Berlin [64] O’Neil R (1965), “Fractional integration in Orlicz spaces I”, Trans Amer Math Soc., 115, pp 300–328 [65] Pérez C (1995), “Endpoint estimates for commutators of singular integral operators”, J Func Anal., 128(1), 163–185 [66] Rafeiro H., Samko N., Samko S (2013), Morrey-Campanato Spaces: an Overview, In Operator Theory, Pseudo-Differential Equations, and Mathematical Physics, 293323, Oper Theory Adv Appl., 228, Birkhăauser/Springer Basel AG, Basel [67] Royden H.L (1988), Real Analysis, Third edition, Macmillan Publishing Company, New York [68] Sharpley R (1976), “Fractional integration in Orlicz spaces”, Proc Amer Math Soc., 59(1), pp 99–106 [69] Song L., Yan L (2010), “Riesz transforms associated to Schrăodinger operators on weighted Hardy spaces, J Funct Anal., 259(6), pp 1466–1490 124 luan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moiluan.van.thac.si.tinh.bi.chan.cua.mot.so.toan.tu.tren.khong.gian.hardy.kieu.moi download by : skknchat@gmail.com