I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o M THÀ NGÅC T M V TNH CHN L CÕA SÈ NH N TÛ BT KH QUY MODULO P CÕA A THÙC H SÈ NGUYN LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN, 5/2019 download by : skknchat@gmail.com I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o M THÀ NGÅC T M V TNH CHN L CÕA SÈ NH N TÛ BT KH QUY MODULO P CÕA A THÙC H SÈ NGUYN Chuy¶n ngnh: Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp M số: 46 01 13 LUN VN THC S TON HÅC GIO VIN HìẻNG DN TS NGUYN DUY TN THI NGUYN, 5/2019 download by : skknchat@gmail.com iii Mửc lửc M Ưu Chữỡng Mởt số kián thực chuân b 1.1 1.2 1.3 Kát thùc cõa hai a thùc Bi»t thùc cõa a thùc Tỹ ỗng cĐu Frobenius 10 Ch÷ìng ành lỵ Stickelberger 2.1 2.2 2.3 2.4 Nghiằm cừa a thùc b§t kh£ quy Fp [x] nh lỵ Stickelberger a thùc nguy¶n kh£ quy modulo måi sè p nguyản tố Tữỡng tỹ cừa nh lỵ Stickelberger cho a thùc thüc 12 12 14 17 19 Chữỡng nh lỵ Stickelberger v luêt thuên nghch bêc hai 21 3.1 3.2 3.3 Kỵ hi»u Legendre 21 nh lỵ Stickelberger v luªt thuªn nghàch bªc hai 22 nh lỵ Stickelberger modulo 26 Kát luên Ti liằu tham khÊo download by : skknchat@gmail.com 32 33 luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen Mð ¦u Cho f (x) ∈ Z[x] l mët a thùc chu©n (monic) hằ số nguyản bêc n v khổng cõ nghiằm phực k²p Gåi D(f ) l bi»t thùc cõa f Cho p l mët sè nguy¶n tè l´ v gåi Fp = Z/pZ l trữớng hỳu hÔn cõ p phƯn tû Gåi f¯(x) ∈ Fp [x] l a thùc nhªn ữủc tứ f bơng cĂch thu gồn hằ số modulo p Gồi r l số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa f Khi õ mởt nh lỵ cừa Stickelberger khng nh rơng r v n cõ tẵnh chđn l, tùc l r ≡ n (mod 2), v ch¿ D(f ) l bẳnh phữỡng modulo p Mửc tiảu cừa luên vôn l tẳm hiu và chựng minh cừa nh lỵ Stickelberger ny cụng nhữ ựng dửng cừa nõ chựng minh luêt thuên nghch bêc hai Ngoi phƯn M Ưu, Kát luên v Ti liằu tham khÊo, bố cửc cừa luên vôn ữủc chia lm ba chữỡng Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Chữỡng ny trẳnh b y mët sè ki¸n thùc v· k¸t thùc cõa hai a thực, biằt thực cừa a thực v ỗng cĐu Frobenius Chữỡng nh lỵ Stickelberger Chữỡng ny trẳnh by và nh lỵ Stickelberger, mởt số vẵ dử minh hồa, v mởt tữỡng tỹ cừa nh lỵ ny cho a thực thỹc Chữỡng nh lỵ Stickelberger v luêt thuên nghch bêc hai Chữỡng ny trẳnh by và kỵ hiằu Legendre, luªt thuªn nghàch bªc hai v mët chùng minh cừa luêt ny sỷ dửng nh lỵ Stickelberger Luên vôn n y ÷đc thüc hi»n v ho n th nh v o th¡ng nôm 2019 tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc- Ôi hồc ThĂi Nguyản Qua Ơy, tĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi TS Nguyạn Duy TƠn, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn suốt quĂ trẳnh lm viằc hon thnh luên vôn ny TĂc giÊ xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh án Khoa ToĂn-Tin, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản,  tÔo mồi iÃu kiằn giúp tĂc giÊ hồc têp v hon thnh luên vôn cụng nhữ chữỡng trẳnh thÔc sắ TĂc giÊ cụng xin gỷi lới cÊm ỡn tợi têp th lợp cao hồc K11D, khõa 05/2017 - 05/2019  ởng viản giúp ù tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên vôn luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen ny ỗng thới tĂc giÊ xin gûi líi c£m ìn tỵi Ban gi¡m hi»u v c¡c ỗng nghiằp tÔi trữớng THCS Hững Ôo, ổng TriÃu, QuÊng Ninh  tÔo iÃu kiằn cho tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên vôn Xin chƠn thnh cÊm ỡn XĂc nhên cừa ngữới hữợng dăn ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2019 Ngữới viát luên vôn TS Nguyạn Duy TƠn m Th Ngồc TƠm luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Chữỡng ny trẳnh by mởt số kián thùc v· k¸t thùc cõa hai a thùc, bi»t thùc cừa a thực v ỗng cĐu Frobenius Ti liằu tham kh£o sû dưng cho ch÷ìng n y l t i li»u [2, Section 6.6] v [3, Chapter 15] 1.1 K¸t thùc cõa hai a thùc Gi£ sû f, g l hai a thực bián x vợi cĂc hằ số mởt trữớng F GiÊ sỷ K l mởt trữớng õng Ôi sè chùa F Gåi α1 , , αn l t§t c£ c¡c nghi»m (kº c£ bëi) cõa f K , tùc l f (x) = a(x − α1 )(x − α2 ) (x − αn ), vợi a K no õ Tữỡng tỹ, gồi β1 , , βm l t§t c£ c¡c nghi»m (kº c£ bëi) cõa g K , tùc l g(x) = b(x − β1 )(x − β2 ) (x − βm ), vỵi b ∈ K n o õ Ta nh nghắa kát thực cừa f v g , R(f, g) l n Y m Y R(f, g) = a b (αi − βj ) (n = deg f, m = deg g) m n i=1 j=1 Ta liằt kả dữợi Ơy mởt số tẵnh chĐt cừa kát thực Tẵnh chĐt 1.1.1 R(g, f ) = (1)mnR(f, g) luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen Chùng minh Ta câ m Y n n Y m Y Y m n R(g, f ) = a b (βj − αi ) = a b (αi − βj ) = (−1)mn R(f, g) m n j=1 i=1 i=1 j=1 Ta câ iÃu phÊi chựng minh Tẵnh chĐt 1.1.2 R(f, g) = náu f v g cõ mởt nhƠn tỷ chung bêc dữỡng Chựng minh Náu f v g cõ mởt nh¥n tû chung l h(x) ∈ F [x] Khi â gåi α ∈ K mët nghi»m cõa h K Nhữ vêy tỗn tÔi i, j cho i = α v βj = α Ta suy tẵch nh nghắa R(f, g) cõ nhƠn tỷ i βj = v vªy R(f, g) = Tẵnh chĐt 1.1.3 R(f, g) = a m n Y mn n g(αi ) = (−1) i=1 b m Y f (βj ) j=1 Q Q Chùng minh V¼ g(x) = b nj=1 (x − βi ), n¶n ta câ g(αi ) = b nj=1 (αi − βj ), vỵi måi i = 1, , n Do vªy a m n Y n Y n Y g(αi ) = a b (αi − βj ) = R(f, g) m n i=1 i=1 j=1 T÷ìng tü (ho°c sû dửng Tẵnh chĐt 1.1.1) ta suy R(f, g) = (−1) mn n b m Y f (βj ) j=1 Tẵnh chĐt 1.1.4 Náu g(x) = f q + r, th¼ R(f, g) = am−deg r R(f, r) Chùng minh Tứ Tẵnh chĐt 1.1.3, ta cõ R(f, g) = a deg g n Y i g(αi ) = a deg g n Y [f (αi )q(αi ) + r(αi )] i=1 luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen V¼ αi l nghi»m cõa cõa f , n¶n f (αi ) = v vªy f (αi )q(αi ) + r(αi ) = r(α) Do â ta câ R(f, g) = a deg g n Y r(αi ) i=1 M°t khĂc, cụng theo Tẵnh chĐt 1.1.3 R(f, r) = adeg r R(f, g) = a deg g n Y Qn i=1 r(αi ) Do vªy r(αi ) = adeg g−deg r R(f, r) i=1 Tẵnh chĐt 1.1.5 R(f, b) = bdeg f náu b l vổ hữợng Chựng minh t g(x) = b Theo Tẵnh chĐt 1.1.3 R(f, g) = a n Y g(αi ) = bn i=1 CĂc Tẵnh chĐt 1.1.1,1.1.4, 1.1.5 cho php ta tẵnh toĂn kát thực cừa bĐt kẳ hai a thực no bơng thuêt toĂn chia cừa Euclid CĂc tẵnh chĐt ny cụng cho php ta chựng minh ữủc rơng kát thực R(f, g) l mởt phƯn tỷ cừa trữớng F mc dũ nõ ữủc nh nghắa dỹa theo cĂc phƯn tỷ trữớng lợn hỡn K Tẵnh chĐt 1.1.6 Ta cõ R(f, g) n¬m F Chùng minh Ta chùng minh bơng quy nÔp theo deg f Náu g = b l hơng số thuởc F Thẳ theo Tẵnh chĐt 1.1.1 v 1.1.5, R(f, g) = R(b, f ) = R(f, b) = bn thuëc F Gi£ sû khng nh  úng vợi mồi mồi a thực f v g vợi f cõ bêc nhọ hỡn hoc bơng n − X²t f v g l hai a thực tũy ỵ vợi deg f = n Khi õ theo thuêt toĂn chia a thực, tỗn tÔi hai a thùc q v r F [x] cho g = f q + r, vỵi r = ho°c deg r < deg f = n Theo Tẵnh chĐt 1.1.4, Tẵnh chĐt 1.1.1 v theo giÊ thiát quy nÔp ta cõ R(f, g) = R(f, r) = ±R(r, f ) thuëc F Ta câ i·u ph£i chùng minh luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen T½nh chĐt 1.1.7 Ta cõ Náu f = f1 f2 th¼ R(f, g) = R(f1 , g)R(f2 , g) Náu g = g1 g2 thẳ R(f, g) = R(f, g1 )R(f, g2 ) Chùng minh Suy tø T½nh ch§t 1.1.3 1.2 Bi»t thùc cõa a thùc Cho f = f (x) ∈ F [x] l a thùc vỵi h» sè tr÷íng F v K l mët tr÷íng õng Ôi số chựa F Biằt thực cừa f ữủc nh nghắa l D(f ) = (1)n(n1)/2 R(f, f ), Ơy f l Ôo hm cừa f v n = deg f Theo Tẵnh chĐt 1.1.2, ta câ D(f ) 6= n¸u v ch¿ n¸u f v f khỉng câ thøa sè chung Chúng ta cõ th tẵnh toĂn D(f ) bơng cĂch sỷ dửng thuêt toĂn Euclid trản f v f Dữợi Ơy l mởt số vẵ dử Vẵ dử 1.2.1 X²t f (x) = x − a Khi â f 0(x) = 1, vẳ vêy D(f ) = (1)(1.0)/2 R(f, 1) = R(f, 1) = 1deg f = V½ dư 1.2.2 X²t f (x) = x2 + ax + b Khi â f (x) = 2x + a v D(f ) = −R(f, f ) Ta câ a a2 + + (b − ) x + ax + b = (2x + a) 4 x a2 °t r = b − Ta câ D(f ) = −R(f, f ) = R(f , f ) (theo Tẵnh chĐt 1.1.1) = 2deg f −deg r (−1)R(f , r) ( theo Tẵnh chĐt 1.1.4) = 220 R(f , r) = −4r = a2 − 4b luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen V½ dư 1.2.3 Cho f (x) = x3 + qx + r Th¼ f 0(x) = 3x2 + q v thüc hi»n thuªt to¡n Euclid, ta câ 2q x + qx + r = (3x + q) + x+r , 3 2q 9x 27r 27r2 3x + q = x+r − + q+ 2q 4q 4q x Do â D(f ) = (−1)3·2/2 R(f, f ) = −R(f, f ) = R(f , f ) (theo Tẵnh chĐt 1.1.1) 2qx = −3deg f −1 R(f , + r) (theo Tẵnh chĐt 1.1.4) 2qx = 9R( + r, f ) (theo Tẵnh chĐt 1.1.1) 2 2q 2qx 27r2 R( = −9 + r, q + ) 3 4q 27r2 ) = −4q − 27r2 = −4q (q + 4q V½ dö 1.2.4 X²t f (x) = xn − ∈ F [x] Ta i t½nh bi»t thùc cõa f (x) Gåi α1 , , αn l n nghiằm K (mởt trữớng õng Ôi số chựa F ) cõa a thùc f (x) = xn − Ta câ f (x) = nxn−1 Do vªy D(f ) = (−1) n(n−1)/2 R(f, f ) = (−1) n(n−1)/2 n Y f (αk ) k=1 !n−1 = (−1) n(n−1)/2 n n Y = (−1) n(n−1)/2 n k=1 n(n−1) = (−1) n(n−1)/2 n n αk n (−1) n Vẳ theo nh lỵ Vite à à · αn = (−1)n a thùc f (x) ∈ F [x] ữủc gồi l mởt a thực chuân (monic) náu hằ số ựng vợi số mụ cao nhĐt cừa nâ b¬ng M»nh · 1.2.5 Cho f l mët a thùc monic v α1, , αn l c¡c nghi»m luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen 18 Bê · 2.3.2 Cho f (x) = x4 + ax2 + b ∈ F [x] Khi â bi»t thùc cõa f l 2 D = 16b(a − 4b) Chùng minh Gåi α, −α v β , −β l nghi»m cõa a thùc f (x) (trong mët tr÷íng õng Ôi số K no õ chựa F ) Ta câ α2 = u, β = v l hai nghi»m cõa x2 + ax + b Theo M»nh · 1.2.5, ta câ D = [(−α − α)(β − α)(−β − α)(β + α)(−β + α)(−β − β)]2 = 16α2 β (β − α2 )2 = 16uv (u + v)2 − 4uv) = 16b(a2 − 4b) M»nh · 2.3.3 a thùc x4 + l b§t kh£ quy trản Z l khÊ quy modulo p vợi måi sè nguy¶n tè p Chùng minh Bi»t thùc cõa x4 + l D = 16 · 42 l mởt số chẵnh phữỡng Do vêy theo hằ quÊ trản thẳ x4 + l khÊ quy modulo p vợi måi p nguy¶n tè m p 6= Ta câ x4 + = (x + 1)4 (mod 2) Nh÷ vêy x4 + l khÊ quy modulo p vợi måi p nguy¶n tè Ta chùng minh x4 + bĐt khÊ quy trản Z Thêt vêy, giÊ sỷ x4 + l kh£ quy tr¶n Z Khi â (x4 + 1) = (x2 + ax + c)(x2 + bx + d), vỵi a, b, c, d ∈ Z n o â Ta câ (x2 +ax+c)(x2 +bx+d) = x4 +(a+b)x3 +(ab+c+d)x2 +(ad+bc)x+cd Do vªy a + b = 0, ab + c + d = 0, ad + bc = v cd = Tø cd = ta suy c = d = −1 ho°c c = d = Suy ab = −(c + d) = Do vêy a2 = 2, phữỡng trẳnh ny khổng câ nghi»m nguy¶n M»nh · 2.3.4 a thùc x4 + 3x2 + l bĐt khÊ quy trản Z l khÊ quy modulo p vợi mồi số nguyản tố p Chùng minh Bi»t thùc cõa x4 + 3x2 + l D = 16 · 52 l mët sè chẵnh phữỡng Do vêy theo hằ quÊ trản thẳ x4 + x2 + l kh£ quy modulo p luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen 19 vợi mồi p nguyản tè m p 6= v p 6= Ta câ x4 + 3x2 + = (x + 1)4 (mod 2) v x4 + 3x2 + = (x 1)2 (x 1)2 (mod 5) Nhữ vêy x4 + l kh£ quy modulo p vỵi måi p nguy¶n tè Ta chùng minh x4 + 3x2 + bĐt khÊ quy trản Z Thêt vêy, giÊ sỷ x4 + 3x2 + l kh£ quy tr¶n Z Khi â (x4 + 1) = (x2 + ax + c)(x2 + bx + d), vỵi a, b, c, d ∈ Z n o â Ta câ (x2 +ax+c)(x2 +bx+d) = x4 +(a+b)x3 +(ab+c+d)x2 +(ad+bc)x+cd Do vªy a + b = 0, ab + c + d = 3, ad + bc = v cd = Tø cd = ta suy c = d = −1 ho°c c = d = Suy ab = − (c + d) = ho°c Do vªy a2 = hoc 5, phữỡng trẳnh ny khổng cõ nghiằm nguyản Nhên xt 2.3.5 Hai mằnh à trản l vẵ dử và a thực trũng phữỡng bêc bĐt khÊ quy trản Z khÊ quy modulo p vợi mồi p nguyản tố BÔn ồc cõ th tham khÊo [1] cho nghiản cựu Ưy ừ hỡn và chừ à ny Ăp dửng nh lỵ Stickelberger cƯn cõ khÊ nông kim tra xem D(f ) l mởt bẳnh ph÷ìng mod p hay khỉng Chóng ta câ mët ph÷ìng ph¡p húu hi»u º l m i·u n y b¬ng c¡ch sû dưng luªt thuªn nghàch bªc hai Mët i·u thó rơng, ta cõ th chựng minh luêt thuên nghch bêc hai bơng cĂch sỷ dửng nh lỵ Stickelberger Nhỳng iÃu ny s ữủc trẳnh by chữỡng sau 2.4 Tữỡng tỹ cừa nh lỵ Stickelberger cho a thực thỹc nh lỵ 2.4.1 Cho f (x) l a thực chuân (monic) hằ số thỹc vợi bêc d v biằt thực D(f ) 6= Gåi r l sè nh¥n tû monic b§t kh£ quy thüc cõa f Khi â d ≡ r (mod 2) ⇔ D(f ) > Chùng minh Gi£ sû f (x) = f1 (x) · · · fm (x)fm+1 (x) · · · fn (x) l phƠn tẵch cừa f thnh tẵch cĂc a thực monic b§t kh£ quy thüc, â f1 (x), , fm (x) luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen 20 l c¡c a thùc bªc 2, v fm+1 (x), , fm+n l c¡c a thùc bªc Ta câ D(fi ) < D(fi ) = vỵi måi i = 1, m, v vỵi måi i = m + 1, m + n Theo M»nh · 1.2.8 D(f ) = D(f1 · · · fm fm+1 · · · fm+n ) = D(f1 ) · · · D(fm )a2 , vợi a R no õ Do vêy D(f ) > ⇔ m l sè ch®n ⇔ d = 2m + n ≡ r = m + n (mod 2) Ta câ i·u ph£i chùng minh H» qu£ 2.4.2 Cho f (x) l a thùc chu©n (monic) h» số thỹc vợi bêc d v biằt thực D(f ) 6= Khi â (a) N¸u D(f ) > thẳ f cõ d 4k nghiằm thỹc, vợi k ≥ n o â; (b) N¸u D(f ) < th¼ f câ d − − 4k nghi»m thüc, vỵi k ≥ n o â Chùng minh Gåi m l sè c°p nghi»m phùc (khæng thüc) cõa f v gåi n l sè nghi»m thüc cõa f Khi õ theo nh lỵ trản D(f ) > m ≡ (mod 2) Gi£ sû D(f ) > Khi õ m l số chđn Viát m = 2k vỵi k ≥ n o â Khi â, sè nghi»m thüc cõa f l d − 2m = d − 4k Gi£ sû D(f ) < Khi â m l sè l´ Vi¸t m = 2k + vỵi k ≥ n o â Khi â, sè nghi»m thüc cõa f l d − 2m = d − − 4k luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen 21 Chữỡng nh lỵ Stickelberger v luêt thuên nghch bêc hai Chữỡng ny trẳnh by và kỵ hiằu Legendre, luªt thuªn nghàch bªc hai v mët chùng minh luêt ny bơng cĂch sỷ dửng nh lỵ Stickelberger Ti li»u tham kh£o sû dưng cho ch÷ìng n y l t i liằu [3, Chapter 16] v [2, Section 6.7] 3.1 Kỵ hi»u Legendre ành ngh¾a 3.1.1 Cho p l mët sè nguyản tốl,v a l mởt số nguyản a ữủc nh nghắa nhữ khổng chia hát cho p Khi õ kỵ hi»u Legendre p sau ( a n¸u a l bẳnh phữỡng modulo p = p náu a khổng l bẳnh phữỡng modulo p Mởt số tẵnh chĐt Cho p l số nguyản tố l, a v b l hai số nguyản khổng chia hát cho p Khi õ ta cõ cĂc tẵnh chĐt sau 2 a = p ab p a b = p p p−1 a ≡ a (mod p) (Ti¶u chu©n Euler) p luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen 22 a b N¸u a ≡ b (mod p) th¼ = p p −1 b¬ng ho°c −1 tịy theo p ≡ (mod 4) hay p ≡ (mod 4) p Khi â = v n¸u p ≡ (mod 8) ho°c p ≡ (mod 8); v p = −1 n¸u p ≡ (mod 8) ho°c p ≡ (mod 8) p 45 Tẵnh kỵ hiằu Legendre 37 45 Ta câ = = = = −1 37 37 37 37 37 V½ dư 3.1.2 Líi giÊi nh lỵ 3.1.3 (Luêt thuên nghch GiÊ sỷ p v q l c¡c hai Gauss) bêc số nguyản tố l phƠn biằt Khi õ p q th¼ =− q p p q Vẵ dử 3.1.4 Tẵnh lỵ hiằu Legendre Líi gi£i 1234 199 = q p trø p ≡ q ≡ (mod 4) 1234 199 40 = 199 = 199 199 199 199 = (−1) = (−1) 5 = 3.2 nh lỵ Stickelberger v luêt thuên nghàch bªc hai Trong mưc n y chóng ta chùng minh luêt thuêt nghch bêc bơng cĂch Ăp dửng nh lỵ Stickelberger Cho p v q l hai số nguyản tố l phƠn biằt Gồi e l cĐp cừa q mod p, tực l e l số nguyản dữỡng nhọ nh§t cho luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen 23 q e ≡ (mod p), công tùc l e l cĐp lợp ỗng ữ [q] nhõm nhƠn (Z/pZ)ì Ta s Ăp dửng nh lỵ Stickelberger cho a thực xp Fq [x] Trữợc tiản ta câ bê · sau Bêp · 3.2.1 Gåi f (x) l mởt nhƠn tỷ bĐt khÊ quy bĐt ký cừa a thùc (x − 1)/(x − 1) Fq [x] Khi õ bêc cừa f (x) bơng e, cĐp cừa q mod p Chùng minh Gåi K l mët tr÷íng õng Ôi số chựa Fp Gồi l mởt nghi»m K cõa f (x) Theo M»nh · 2.1.2, ta câ f (x) = (a − α)(x − αq )(x − αq ) (x − αq n−1 ), n ð ¥y n l mët sè tỹ nhiản mụ nhọ nhĐt m q = Ta s ch rơng n = e Vẳ p = v 6= 1, nản cĐp cừa (trong nhõm K ì ) phÊi bơng p iÃu ny suy ra, náu r = vợi r N no õ, thẳ p l ữợc cừa r n n Vẳ q = , nản q = Do vêy p | q n − 1, tùc l q n ≡ (mod p) Do vªy e ≤ n e Mt khĂc, vẳ pe (mod p), nản p | pe − Do vªy αp −1 = Ta suy e αp = α v n ≤ e Nhữ vêy n = e v ta cõ iÃu ph£i chùng minh Bê · 3.2.2 Sè c¡c nh¥n tû bĐt khÊ quy phƠn biằt r cừa xp Fq [x] l r = + (p − 1)/e Chùng minh Bªc cõa (xp − 1)/(x − 1) l p 1, v mội nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cõa (xp − 1)/(x − 1) ·u câ bªc l e theo bờ à trữợc Do vêy cõ (p 1)/e nhƠn tỷ bĐt khÊ quy (monic) phƠn biằt cõa (xp − 1)/(x − 1) Do â r = + (p − 1)/e Bê · 3.2.3 Gåi (−1)(p−1)/2 pp D l bi»t thùc cõa xp − ∈ Fq [x] Khi â D = Chùng minh Theo Vẵ dử 1.2.4, D = (1)p(p1)/2 pp Vẳ p l sè l´ n¶n p(p − 1) p − (p 1)2 = l số chđn Do vêy (−1)p(p−1)/2 = (−1)(p−1)/2 2 v D = (−1)(p−1)/2 pp Chùng minh cõa luªt thuªn nghàch bªc hai Chúng ta s Ăp dửng nh lỵ Stickelberger cho a thùc xp − Fq [x] Trong tr÷íng hđp ny nh lỵ nõi rơng rp (mod 2) D l bẳnh phữỡng mod p luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen 24 p1 l số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy monic cõa f Fq [x], e D = (−1)(p−1)/2 pp l bi»t thùc cõa xp − ∈ Fp [x] Vẳ p l nản é Ơy r = + r =1+ p−1 ≡p e (mod 2) ⇔ | p−1 p−1 ⇔e| e V¼ e l cĐp cừa q (mod p) nản e| p1 q (p−1)/2 ≡ (mod p) V¼ p chia p−1 n¸u e (p−1)/2 p (−1) p ! q = Chúng ta phƠn tẵch phẵa trĂi: chia p−1 p−1 n¸u e chia cho e Khi e l thù tü cõa q cõa p, e chia p1 náu q (p1)/2 1(mod p) Theo tiảu chu©n Euler, q ≡ q (p−1)/2 (mod p), p vêy q (p1)/2 Tõm lÔi, ta cõ r≡p q (mod p) ⇔ = p q = (mod 2) ⇔ p luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen 25 M°t kh¡c D l bẳnh phữỡng mod p D p =1 (p−1)/2 (p−1)/2 p p ⇔ =1 q q p ⇔ (−1)((q−1)/2)((p−1)/2) =1 q q Nhữ vêy tứ nh lỵ Stickelberger câ q p = (−1)((q−1)/2)((p−1)/2) p q Luêt thuên nghch bêc hai ữủc chựng minh Vẵ dử 3.2.4 Tẳm bêc cừa nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cõa (x257 − 1)/(x − 1) tr¶n F19 Gi£i Ta câ 19 257 257 10 = = 19 19 = 19 19 19 = (−1) = (−1) = −1 Do vêy 19128 (mod 257) (theo tiảu chuân Euler) Gåi e l bªc cõa 19 modulo 257 Khi â e l ữợc cừa 256 = 28 (vẳ 19256 = (mod 257), theo nh lỵ Fermat nhọ) Những e khổng l ữợc cừa 128 = 25 vẳ 19128 −1 (mod 257) Do vªy e = 256 v a thùc x257 − = x256 + · · · + x + x−1 l b§t kh£ quy modulo p Vẵ dử 3.2.5 Tẳm bêc cừa nhƠn tỷ bĐt kh£ quy cõa f (x) = (x257 −1)/(x− 1) tr¶n F11 luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyenluan.van.thac.si.ve.tinh.chan.le.cua.so.nhan.tu.bat.kha.quy.modulo.p.cua.da.thuc.he.so.nguyen 26 Gi£i Gồi e l bêc cừa nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cõa (x257 − 1)/(x − 1) tr¶n F11 Khi õ e chẵnh l bêc cừa 11 modulo 257 Ta câ 114 ≡ −8 (mod 257) Do vªy 1132 ≡ 88 ≡ −1 (mod 257) Suy 1164 ≡ (mod 257) Nhữ vêy e l ữợc cừa 64 khổng l ữợc cừa 32 Do vêy e = 64 v f (x) cõ nhƠn tỷ bĐt khÊ quy monic bêc 64 trản F11 3.3 nh lỵ Stickelberger modulo Nhữ Vẵ dử 2.2.1 ta  thĐy, phĂt biu cừa nh lỵ 2.2.1 khổng cỏn úng nỳa cho trữớng hủp p = Tuy nhiản ta cõ nh lỵ sau Ơy và tẵnh chđn l cừa số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa a thực nguyản modulo nh lỵ 3.3.1 Cho f (x) l mởt a thực monic bêc m vợi cĂc hằ số nguyản GiÊ sû D(f ) 6≡ (mod 2) Gåi r l số cĂc nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa f (x) modulo Khi â D ≡ (mod 4) v r ≡ m (mod 2) ⇔ D(f ) ≡ (mod 8) ành ngh¾a 3.3.2 Cho f (x) ∈ F [x] bªc m v câ m nghi»m α1, , m mởt trữớng õng Ôi số K chùa F Ta ành ngh¾a δ (f ) = Y (αi + αj ) 1≤i